1、2021 年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（明州卷）年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（明州卷） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1 （4 分）的绝对值是（ ） A B C3 D3 2 （4 分）下列各式计算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba10a2a5 C （a4）2a8 D （2ab）48a4b4 3 （4 分）国务院印发 “十三五”国家信息化规划 ，提出到 2020 年信息产业收入规模预计达到 26.2 万亿 元将数据“26.2 万亿”用科学记数法表示为（
2、） A26.21011 B2.621012 C2.621013 D26.21012 4 （4 分）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（ ） A B C D 5 （4 分）一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 4 个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个 球是红球的概率为（ ） A B C D 6 （4 分）二次根式中字母 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 7 （4 分）一次秋游活动中，有 x 辆客车共乘坐 y 位师生若每辆客车乘 60 人，则还有 10 人不能上车；若 每辆客车乘 62 人，则最后一辆车空了 8 个座位给出下列 4 个方程：60
3、 x+1062x8；60 x10 62x+8；其中正确的是（ ） A B C D 8 （4 分） 如图， 在四边形 ABCD 中， ABBC， ADBC， D90， AD4， BC3， 则 CD 的长为 （ ） A2 B C2.5 D2 9（4 分） 小甬从如图所示的二次函数 yax2+bx+c 的图象中， 观察得出了下面五条信息： abc0； 2a+3b 0；a2b+c0；c4b0，其中结论正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10 （4 分）两张全等的矩形（非正方形）纸片按如图呈中心对称方式放置在一个大正方形内，记重叠部分 为，不重叠部分为和；若已知正方形面积，且图形
4、和图形相似，则下列可求的是（ ） A矩形的面积 B矩形的周长 C图形的面积 D图形的面积 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）实数 27 的立方根是 12 （5 分）因式分解：2m212m+18 13 （5 分）表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方差要从中 选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是 甲 乙 丙 丁 平均数 376 350 376 350 方差 S2 12.5 13.5 2.4 5.4 14（5 分） 用一个圆心角为 120， 半径为 6 的扇形做一个圆锥的侧面， 则这个
5、圆锥的底面圆的面积为 15 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，AB2BC12，点 P 是对角线 AC 上一动点，以点 P 为圆心作圆，当P 与矩形 ABCD 的相邻两边相切时，AP 的长为 16 （5 分）如图，线段 OA 分别交反比例函数 y1（x0） ，y2（x0）的图象于点 A，B，过点 B 作 CDx 轴于点 D，交反比例函数 y1（x0）的图象于点 C，若 OB2AB，则OBD 与ABC 的 面积之比为 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算： （a2）2+a（4a） （2）解不等式：2x53（2x+1） 18
6、（8 分）图，图，图都是由小正方形构成的网格，每个网格图中有 4 个小正方形已涂上阴影请 在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个相邻小正方形涂上阴影： （1）使得 6 个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，不是中心对称图形， （2）使得 6 个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，不是轴对称图形 （3）使得 6 个阴影小正方形组成的图形可以成为正方体的表面展开图 （请将三个小题依次作答在图，图，图中，均只需画出符合条件的一种情形） 19 （8 分）两栋居民楼之间的距离 CD30 米，楼 AC 和 BD 均为 10 层，每层楼高 3 米 （1）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，楼 BD
7、 的影子刚好落在楼 AC 的底部； （2）上午某时刻，太阳光线 GB 与水平面的夹角为 30，此刻楼 BD 的影子落在楼 AC 的第几层？（参 考数据：1.732） 20 （10 分）如图是某个二次函数的图象 （1）求该二次函数关系式； （2）补全函数图象； （3）若抛物线上点 P（m，n）到 y 轴的距离不大于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围 21 （10 分）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校 1200 名学生进行经典诗词诵背活动， 并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽 取部分学生调查“一周诗词诵背数量” ，根据调
8、查结果绘制成的统计图（部分）如图所示 大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量” ，绘制成统计表 一周诗词诵 背数量 3 首 4 首 5 首 6 首 7 首 8 首 人数 10 10 15 40 25 20 请根据调查的信息分析： （1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 ； （2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背 6 首（含 6 首）以上的人数； （3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动 的效果 22 （10 分）一天早晨，小甬从家出发匀速步行到学校，小甬出发一段时间后，他的妈妈发现小甬忘带了一 件必需的学习用
9、品，于是立即下楼骑自行车，沿小甬行进的路线，匀速去追小甬妈妈追上小甬将学习 用品交给小甬后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来 速度的一半小甬继续以原速度步行前往学校妈妈与小甬之间的距离 y（米）与小甬从家出发后步行 的时间 x（分）之间的关系如图所示（小甬和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小甬耽搁的时间忽略 不计） （1）根据图象直接写出在小甬出发几分钟后妈妈追上小甬； （2）求小甬去学校的速度以及妈妈追上小甬前的速度； （3）当妈妈刚回到家时，求小甬离学校的距离 23 （12 分）定义：有一组对角之差为 90的四边形为美好四边形 （1）如图，ABC
10、中，A2C，点 D，E 分别在 AB，AC 上，ADAE，求证：四边形 DBCE 为 美好四边形； （2）请在图，图中分别画一个以 AB 为边且顶点在格点的美好四边形 ABCD； （3）在（1）的条件下，若 DE 经过ABC 的内心，BD4，CE7，求 DE 的长 24 （14 分）如图，O 是等腰ABC 的外接圆，ABAC，点 D 为上一点，连结 AD，CD，作 BFAD 交 AC 的延长线于点 F （1）求证：BCFADC； （2）若 AD2，BF8，求 ACCF 的值 （3）连结 BD 交 AF 于点 E，若 BDAC 当 AE2 时，求 CF 的长； 若k，用含有 k 的代数式表示 t
11、anBAC 2021 年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（明州卷）年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（明州卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1 （4 分）的绝对值是（ ） A B C3 D3 【解答】解：| 故选：A 2 （4 分）下列各式计算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba10a2a5 C （a4）2a8 D （2ab）48a4b4 【解答】解：A、a2a3a5，故此选项错误； B、a10a2a8，故此选项错误； C、
12、（a4）2a8，正确； D、 （2ab）416a4b4，故此选项错误； 故选：C 3 （4 分）国务院印发 “十三五”国家信息化规划 ，提出到 2020 年信息产业收入规模预计达到 26.2 万亿 元将数据“26.2 万亿”用科学记数法表示为（ ） A26.21011 B2.621012 C2.621013 D26.21012 【解答】解：26.2 万亿2.621013， 故选：C 4 （4 分）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（ ） A B C D 【解答】解：从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角 故选：C 5 （4 分）一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 4
13、 个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个 球是红球的概率为（ ） A B C D 【解答】解：透明的袋子里装有 3 个红球和 4 个黄球，共有 7 个球， 从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 故选：C 6 （4 分）二次根式中字母 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 【解答】解二次根式有意义， x30，解得：x3 故选：D 7 （4 分）一次秋游活动中，有 x 辆客车共乘坐 y 位师生若每辆客车乘 60 人，则还有 10 人不能上车；若 每辆客车乘 62 人，则最后一辆车空了 8 个座位给出下列 4 个方程：60 x+1062x8；60 x10 62x+8；其中正
14、确的是（ ） A B C D 【解答】解：根据总人数列方程，应是 60 x+1062x8， 根据客车数列方程，应该为：， 故选：A 8 （4 分） 如图， 在四边形 ABCD 中， ABBC， ADBC， D90， AD4， BC3， 则 CD 的长为 （ ） A2 B C2.5 D2 【解答】解：如图，取 AC 的中点 O，连结 BO 并延长交 AD 于点 F，连结 CF， ABBC，AOCO， BFAC， AFCF， ADBC， FAOBCO， 在FOA 和BOC 中， ， FOABOC（AAS） ， AFBC， BC3， AFCF3， AD4， DFADAF1， 在CDF 中， D90，
15、 CD2， 故选：D 9（4 分） 小甬从如图所示的二次函数 yax2+bx+c 的图象中， 观察得出了下面五条信息： abc0； 2a+3b 0；a2b+c0；c4b0，其中结论正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：抛物线开口方向向上， a0， 与 y 轴交点在 x 轴的下方， c0， ， b0， abc0， 是正确的； 对称轴 x， 3b2a， 2a+3b0， 是正确的； 当 x1，yab+c0， b0， b0， a2b+c0 是正确的； 当 x2 时，y4a+2b+c2（3b）+2b+cc4b0， 而点（2，c4b）在第一象限， c4b0，故正确 故选：
16、D 10 （4 分）两张全等的矩形（非正方形）纸片按如图呈中心对称方式放置在一个大正方形内，记重叠部分 为，不重叠部分为和；若已知正方形面积，且图形和图形相似，则下列可求的是（ ） A矩形的面积 B矩形的周长 C图形的面积 D图形的面积 【解答】解：设正方形的边长为 c，矩形的长，宽分别为 a，b，则， 化简得到，2a22b23ac3bc，即 2（ab） （a+b）3c（ab） ， ab， 2（a+b）3c， 即矩形的周长为 3c， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）实数 27 的立方根是 3 【解答】解：3 的立方等于 27，
17、27 的立方根等于 3 故答案为 3 12 （5 分）因式分解：2m212m+18 2（m3）2 【解答】解：原式2（m26m+9） 2（m3）2 故答案为：2（m3）2 13 （5 分）表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方差要从中 选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是 丙 甲 乙 丙 丁 平均数 376 350 376 350 方差 S2 12.5 13.5 2.4 5.4 【解答】解：乙和丁的平均数最小， 从甲和丙中选择一人参加比赛， 丙的方差最小， 最合适的运动员是丙 故答案为：丙 14（5 分） 用一个圆心角为120， 半径
18、为6 的扇形做一个圆锥的侧面， 则这个圆锥的底面圆的面积为 4 【解答】解：扇形的弧长4， 圆锥的底面半径为 422 面积为：4， 故答案为：4 15 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，AB2BC12，点 P 是对角线 AC 上一动点，以点 P 为圆心作圆，当P 与矩形 ABCD 的相邻两边相切时，AP 的长为 2或 4 【解答】解:矩形 ABCD 中，AB2BC12， ADBC6，ADBC，ABCD， 如图 1，当P 与边 AD 和 CD 相切时，则PFCEAP90， 设切点分别为 E、F，半径为 r， 连接 EP，FP，则 DFEPr， tanPCFtanACD， ， CF2PF2r，
19、3r12， 即 r4， AE2，EP4， AP2 如图 2，当P 与边 AB 和 BC 相切时，设切点分别为 E，F，半径为 r， 同理 AE2PE， 3r12， r4， AE8，PE4， AP4 综合以上可得 AP 的长为 2或 4 16 （5 分）如图，线段 OA 分别交反比例函数 y1（x0） ，y2（x0）的图象于点 A，B，过点 B 作 CDx 轴于点 D，交反比例函数 y1（x0）的图象于点 C，若 OB2AB，则OBD 与ABC 的 面积之比为 8：5 【解答】解：过点 A 作 AEOD 于 E 点， CDx 轴于点 D， BDAC，OB2AB， ， 反比例函数 y1（x0） ，
20、y2（x0）的图分别经过点 A，B， SOBDk1，SOAE， k1：k24：9， 设点 B 的纵坐标为 2m，则点 B 坐标为（，2m） ，点 A 坐标为（，3m） ， 点 C 的横坐标为，纵坐标为 ym， SABC（m2m） （）mk1， k1， 故答案为：8：5 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算： （a2）2+a（4a） （2）解不等式：2x53（2x+1） 【解答】解： （1） （a2）2+a（4a） a24a+4+4aa2 4； （2）2x53（2x+1） ， 去括号，得 2x56x+3， 移项，得 2x6x
21、3+5， 合并同类项，得4x8， 系数化成 1，得 x2 18 （8 分）图，图，图都是由小正方形构成的网格，每个网格图中有 4 个小正方形已涂上阴影请 在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个相邻小正方形涂上阴影： （1）使得 6 个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，不是中心对称图形， （2）使得 6 个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，不是轴对称图形 （3）使得 6 个阴影小正方形组成的图形可以成为正方体的表面展开图 （请将三个小题依次作答在图，图，图中，均只需画出符合条件的一种情形） 【解答】解： （1）如图； （2）如图； （3）如图 19 （8 分）两栋居民楼之间的距离
22、CD30 米，楼 AC 和 BD 均为 10 层，每层楼高 3 米 （1）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，楼 BD 的影子刚好落在楼 AC 的底部； （2）上午某时刻，太阳光线 GB 与水平面的夹角为 30，此刻楼 BD 的影子落在楼 AC 的第几层？（参 考数据：1.732） 【解答】解： （1）由题意得，ACBD31030（米） ， 所以 tanBCD1， 所以BCD45， 即太阳光线与水平面的夹角为 45时，楼 BD 的影子刚好落在楼 AC 的底部； （2）如图，延长 GB 交 AC 于点 E，过点 E 作 EFBD，垂足为 F，则 EFCD30， 在 RtBEF 中，BEF30，E
23、F30, BF30tan3010（米） ， CEDFBDBF30103017.3212.68（米） ， 12.6834.235（层） ， 答：此刻楼 BD 的影子落在楼 AC 的第 5 层 20 （10 分）如图是某个二次函数的图象 （1）求该二次函数关系式； （2）补全函数图象； （3）若抛物线上点 P（m，n）到 y 轴的距离不大于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围 【解答】解： （1）根据图象知，抛物线的顶点坐标为（1,4） ， 设二次函数关系式为 ya(x1)+4， 又函数图象过（3,0） ， 04a+4， 解得 a1， 函数解析式为：y(x1)+4； （2）由（1）函数解析式知
24、，函数与 y 轴的交点为（0,3） ， 函数与 x 轴的另一交点为（1,0） ， 图象补全如右图所示； （3）由图知，当 x1 时函数有最大值为 4， n4， 当 x2 时 P（m，n）到 y 轴的距离等于 2， 此时 n 有最小值，n(21)+45， 综上所述，n 的取值为5n4 21 （10 分）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校 1200 名学生进行经典诗词诵背活动， 并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽 取部分学生调查“一周诗词诵背数量” ，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示 大赛结束后一个月，再次抽查这部分学
25、生“一周诗词诵背数量” ，绘制成统计表 一周诗词诵 背数量 3 首 4 首 5 首 6 首 7 首 8 首 人数 10 10 15 40 25 20 请根据调查的信息分析： （1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 4.5 首 ； （2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背 6 首（含 6 首）以上的人数； （3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动 的效果 【解答】解： （1）本次调查的学生有：20120（名） ， 背诵 4 首的有：120152016131145（人） ， 15+4560， 这组数据的中位数是： （4+5）24.
26、5（首） ， 故答案为：4.5 首； （2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背 6 首（含 6 首）以上的有：1200850（人） ， 答：大赛后一个月该校学生一周诗词诵背 6 首（含 6 首）以上的有 850 人； （3）活动启动之初的中位数是 4.5 首，众数是 4 首， 大赛比赛后一个月的中位数是 6 首，众数是 6 首， 由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想 22 （10 分）一天早晨，小甬从家出发匀速步行到学校，小甬出发一段时间后，他的妈妈发现小甬忘带了一 件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小甬行进的路线，匀速去追小甬妈妈追上
27、小甬将学习 用品交给小甬后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来 速度的一半小甬继续以原速度步行前往学校妈妈与小甬之间的距离 y（米）与小甬从家出发后步行 的时间 x（分）之间的关系如图所示（小甬和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小甬耽搁的时间忽略 不计） （1）根据图象直接写出在小甬出发几分钟后妈妈追上小甬； （2）求小甬去学校的速度以及妈妈追上小甬前的速度； （3）当妈妈刚回到家时，求小甬离学校的距离 【解答】解： （1）y 表示妈妈与小甬之间的距离， 当 y0 时，妈妈追上小甬， 小甬出发 15 分钟后妈妈追上小甬； （2）小甬的速度始终不变， 小甬
28、的速度为：40（米/分） ， 小甬步行 15 分中的路程为：1540600（米） ， 妈妈花了 5 分钟追上小甬， 妈妈追上小甬前的速度为：120（米/分） ， 答：小甬去学校的速度 40 米/分，妈妈追上小甬前的速度 120 米/分； （3）妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半， 妈妈回家的速度为：60（米/分） ， 妈妈回家用时：10（分） ， 小甬此时一共走了：10+5+1025（分） ， 小甬走的路程：25401000（米） ， 12001000200（米） ， 妈妈刚回到家时，小甬离学校的距离为 200 米， 答：妈妈刚回到家时，小甬离学校的距离为 200 米 23 （12 分）定
29、义：有一组对角之差为 90的四边形为美好四边形 （1）如图，ABC 中，A2C，点 D，E 分别在 AB，AC 上，ADAE，求证：四边形 DBCE 为 美好四边形； （2）请在图，图中分别画一个以 AB 为边且顶点在格点的美好四边形 ABCD； （3）在（1）的条件下，若 DE 经过ABC 的内心，BD4，CE7，求 DE 的长 【解答】解： （1）设Cx，则A2x， ADAE，故ADEAED90 x， 即BDE90+x， 故BDEC90， 四边形 DBCE 为美好四边形； （2）依据题意，图形见图 1图 4（答案不唯一） ， （3）过点 A 作 APAD 于点 P， ADAE，故 AP 是
30、BAC 的平分线且 PDPEED， DE 经过ABC 的内心，故点 P 是ABC 的内心， 连接 BP、CP，则 BP、CP 分别为ABC、ACB 的平分线， 设DAPPAE，DBCPBC，ECPPCB， ABC 的内角和为 180，即 2+2+2180， 而 x2，则 +90 x， 则BPC18090+xBDE， BDE180DBPDPB，BDC180DPBEPC， DPBEPC， ADAE，故ADEAED，则BDPCEP， DBPEPC， ，即 EPPDBDEC4728， 而 EPPD， 故 EPPD2DE， DE4 24 （14 分）如图，O 是等腰ABC 的外接圆，ABAC，点 D 为
31、上一点，连结 AD，CD，作 BFAD 交 AC 的延长线于点 F （1）求证：BCFADC； （2）若 AD2，BF8，求 ACCF 的值 （3）连结 BD 交 AF 于点 E，若 BDAC 当 AE2 时，求 CF 的长； 若k，用含有 k 的代数式表示 tanBAC 【解答】解： （1）ABAC， ABCACB， ACB+BCF180，ABC+ADC180， BCFADC； （2）ADBF， DACF， BCFADC， BCFCDA， ， 即 ACCFADBF2816； （3）设 CEx，CFy， DBCDACF，BECFEB， BECFEB， BE2x（x+y） ， 在 RtABE 中，22+x（x+y）（2+x）2， CFy4； 设 AEa，由知，CF2a， k， AC2ak，ECACAEa（2k1） ，EFEC+CFa（2k1）+2aa（2k+1） ， 由知，BE2CEEF， BEa， tanBCA
