1、专题专题 12 图形的性质之解答题图形的性质之解答题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一解答题（共一解答题（共 50 小题）小题） 1 （2018上海）已知O 的直径 AB2，弦 AC 与弦 BD 交于点 E且 ODAC，垂足为点 F （1）如图 1，如果 ACBD，求弦 AC 的长； （2）如图 2，如果 E 为弦 BD 的中点，求ABD 的余切值； （3）联结 BC、CD、DA，如果 BC 是O 的内接正 n 边形的一边，CD 是O 的内接正（n+4）边形的 一边，求ACD 的面积 【答案】解： （1）ODAC， = ，AFO90， 又ACBD， = ，即+ = + ， = ， =
2、= ， AODDOCBOC60， AB2， AOBO1， AFAOsinAOF1 3 2 = 3 2 ， 则 AC2AF= 3； （2）如图 1，连接 BC， AB 为直径，ODAC， AFOC90， ODBC， DEBC， DEBE、DEFBEC， DEFBEC（ASA） ， BCDF、ECEF， 又AOOB， OF 是ABC 的中位线， 设 OFt，则 BCDF2t， DFDOOF1t， 1t2t， 解得：t= 1 3， 则 DFBC= 2 3、AC= 2 2 =22 (2 3) 2 = 42 3 ， EF= 1 2FC= 1 4AC= 2 3 ， OBOD， ABDD， 则 cotABD
3、cotD= = 2 3 2 3 = 2； （3）如图 2， BC 是O 的内接正 n 边形的一边，CD 是O 的内接正（n+4）边形的一边， BOC= 360 、AODCOD= 360 +4， 则360 +2 360 +4 =180， 解得：n4， BOC90、AODCOD45， BCAC= 2， AFO90， OFAOcosAOF= 2 2 ， 则 DFODOF1 2 2 ， SACD= 1 2ACDF= 1 2 2 （1 2 2 ）= 21 2 【点睛】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形 的判定与性质及三角函数的应用等知识点 2 （2017上
4、海）已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ADCD，E 是对角线 BD 上一点，且 EAEC （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）如果 BEBC，且CBE：BCE2：3，求证：四边形 ABCD 是正方形 【答案】证明： （1）在ADE 与CDE 中， = = = ， ADECDE， ADECDE， ADBC， ADECBD， CDECBD， BCCD， ADCD， BCAD， 四边形 ABCD 为平行四边形， ADCD， 四边形 ABCD 是菱形； （2）BEBC BCEBEC， CBE：BCE2：3， CBE180 2 2+3+3 =45， 四边形 ABCD 是菱形， ABE
5、45， ABC90， 四边形 ABCD 是正方形 【点睛】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键 3 （2019杨浦区三模）已知，在ACB 和DCE 中，ACBDCE90，ACBC，DCEC，M 为 DE 的中点，联结 BE （1）如图 1，当点 A、D、E 在同一直线上，联结 CM，求证：CM= 2 2 ； （2）如图 2，当点 D 在边 AB 上时，联结 BM，求证：BM2（ 2 ）2+（ 2 ）2 【答案】 （1）证明：ACBDCE90，ACBC， ACDBCE90DCB，BACABC45， 在ACD 和BCE 中， = = = ， ACDBCE（SAS
6、） ， ADBE， AEADAEBEDE， M 为 DE 的中点，DCE90， CM= 1 2DE= 1 2（AEAD）= 2 2 ； （2）证明：同（1）得：ACDBCE， ADBE，DACEBC45， ABEABC+EBC90， DE2BE2+BD2， M 为 DE 的中点， DE2BM， 4BM2BE2+BD2AD2+BD2， BM2（ 2 ）2+（ 2 ）2 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、 直角三角形斜边上的中线性质、 等腰直角三角形的性质、 勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键 4 （2019静安区一模）已知：如图，在ABC 中，AB
7、6，AC9，tanABC22过点 B 作 BMAC， 动点 P 在射线 BM 上（点 P 不与 B 重合） ，连结 PA 并延长到点 Q，使AQCABP （1）求ABC 的面积； （2）设 BPx，AQy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （3）连接 PC，如果PQC 是直角三角形，求 BP 的长 【答案】解： （1）过点 A 作 AHBC 交于点 H， 在 RtABH 中，tanABC= =22， 设 BHm，AH22m， 根据勾股定理得，m2+（22m）236， m2（舍）或 m2， BH2，AH22m42， 在 RtAHC 中，AC9， 根据勾股定理得，CH= 2
8、 2=7， BCBH+CH9， SABC= 1 2AHBC= 1 2 42 9182； （2）过点 A 作 AGPA 交于点 G， 由（1）知，BC9， AC9， ACBC， ABCBAC， BMAC， BACABP， ABPABC， AHBC，AGBP， AGAH42，BGBH2， PGBPBGx2 根据勾股定理得，AP= 2+ 2= 2 4 + 36， BMAC， QACAPB，又AQCABP， ABPCQA， = = ， 其中：AB6，BPx，QAy，AP= 2 4 + 36，AC9， 6 = = 2;4:36 9 ， CQ= 54 24+36，y= 924+36 24+36 （x0）
9、； （3）连接 PC，PQC 是直角三角形，即PCQ90， 在 RtABH 中，cosABH= = 1 3， cosPQCcos= = 1 3 其中 CQ= 54 24+36，PQAP+AQy+AP，AP= 2 4 + 36， 54 2;4:36 :2;4:36 = 1 3 联立解得：x14（舍）或 x9， 即 BP 的长为 9 【点睛】本题为三角形综合题，重点是确定三角形相似，利用解直角三角形和三角形相似的方法，求出 对应线段长度是解题的关键，本题难度较大 5 （2019奉贤区一模）如图，已知 AD 是ABC 的中线，G 是重心 （1）设 = ， = ，用向量 、 表示 ； （2）如果 AB
10、3，AC2，GACGCA，求 BG 的长 【答案】解： （1）AD 是ABC 的中线， = ， = 1 2 ， = ， = + 1 2 ， G 是重心， = 2 3 = 2 3（ + 1 2 ）= 2 3 + 1 3 ， = + = + 2 3 + 1 2 ； （2）延长 BG 交 AC 于 H， GACGCA， GAGC， G 是重心，AC2， AH= 1 2AC1， BHAC， 在 RtABH 中，AHB90，AB3， BH= 2 2=22， BG= 2 3BH= 42 3 【点睛】本题考查了三角形的直线，平面向量，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的 关键 6 （2019崇明
11、区一模）如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，ADBC，垂足为 D，点 P 是边 AB 上的 一个动点，过点 P 作 PFAC 交线段 BD 于点 F，作 PGAB 交 AD 于点 E，交线段 CD 于点 G，设 BP x （1）用含 x 的代数式表示线段 DG 的长； （2）设DEF 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域； （3）PEF 能否为直角三角形？如果能，求出 BP 的长；如果不能，请说明理由 【答案】解： （1）ABAC5，BC6，ADBC， BDCD3， 在 RtABD 中，AD= 2 2=4， BB，ADBBPG90， ABDGBP = = 3 5 B
12、G= 5 3BP= 5 3x， DGBGBD= 5 3x3 （2）PFAC BFPBCA = 即 5 = 6 BF= 6 5x， FDBDBF3 6 5x， DGE+DEGDGE+ABD， ABDDEG，ADGADB90 DEGDBA = 3 4 = 5 3;3 DE= 5 4x 9 4 SDEFy= 1 2 DFDE= 1 2 （3 6 5x）（ 5 4x 9 4）= 3 4x 2+129 40 x 27 8 （9 5 x 5 2） （3）若 EFPG 时， EFPG，EDFG， FED+DEG90，FED+EFD90， EFDDEG，且EDFEDG， EFDGDE = ED2FDDG （5
13、 4x 9 4） 2（36 5x） （ 5 3x3） 557x21138x+22550 x= 9 5（不合题意舍去） ，x= 125 57 若 EFPF， PFB+EFD90，且PFBACB，ACB+DAC90 EFDDAC，且EDFADC90， EDFCDA = 5 4; 9 4 3;6 5 = 3 4 x= 90 43 综上所述：当 BP 为125 57 或90 43时，PEF 为直角三角形 【点睛】 本题是三角形综合题， 考查了等腰三角形的性质， 相似三角形判定和性质， 以及分类讨论思想， 熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键 7 （2019嘉定区二模）如图已知：ABC 中，AD
14、是边 BC 上的高、E 是边 AC 的中点，BC11，AD12， DFGH 为边长为 4 的正方形，其中点 F、G、H 分别在 AD、AB、BC 上 （1）求 BD 的长度； （2）求 cosEDC 的值 【答案】解： （1）四边形 DFGH 为顶点在ABD 边长的正方形，且边长为 4， GFBD，GFDF4， = ， AD12， AF8， 则 4 = 8 12， 解得：BD6； （2）BC11，BD6， CD5， 在直角ADC 中，AC2AD2+DC2， AC13， E 是边 AC 的中点， EDEC， EDCACD， = = 5 13 【点睛】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方
15、形的性质、勾股定理、三角函数的应用及 直角三角形的性质等 8 （2019松江区二模）如图，已知ABCD 中，ABAC，COAD，垂足为点 O，延长 CO、BA 交于点 E， 联结 DE （1）求证：四边形 ACDE 是菱形； （2）联结 OB，交 AC 于点 F，如果 OFOC，求证：2AB2BFBO 【答案】 （1）证明：COBC， BCE90， ABAC， BACB， AEC+B90，ACE+ACB90， ACEAEC， AEAC， AEAB， 四边形 ABCD 是平行四边形， BECD，ABCDAE， 四边形 AEDC 是平行四边形， AEAC， 四边形 AEDC 是菱形 （2）解：连接
16、 OB 交 AC 于 F 四边形 AEDC 是菱形， AECACE， OFOC， OFCOCFAFB， AFBAEO， ABFOBE， BAFBOE， = ， BABEBFBO， BE2BA， 2AB2BFBO 【点睛】本题考查菱形的性质和判定，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关 键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型 9 （2019松江区二模）在梯形 ABCD 中，ABCD，BCAB，且 ADBD，BD6，sinA= 2 3，求梯形 ABCD 的面积 【答案】解：DCAB，ABBC， CABC90， ADBD， ADB90， A+ABD90，DBC+ABD90， ADBC
17、， sinA= 2 3， sinAsinDBC= 2 3， BD6， = 2 3， = 2 3， AB9，DC4， 在 RtDCB 中，由勾股定理得：BC= 2 2= 62 42=25， 梯形 ABCD 的面积是1 2 ( + ) = 1 2 （4+9）25 =135 【点睛】本题考查了梯形和解直角三角形，能通过解直角三角形求出 DC、BA 的长度是解此题的关键 10 （2019奉贤区二模）已知：如图，正方形 ABCD，点 E 在边 AD 上，AFBE，垂足为点 F，点 G 在线 段 BF 上，BGAF （1）求证：CGBE； （2）如果点 E 是 AD 的中点，联结 CF，求证：CFCB 【
18、答案】证明： （1）四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABC90 AFBE， FAB+FBA90 FBA+CBG90， FABCBG 又AFBG， AFBBGC（SAS） AFBBGC BGC90，CGBE （2）ABFEBA，AFBBAE90， AEBFAB = 点 E 是 AD 的中点，ADAB， = = 1 2 AFBG， = 1 2，即 FGBG CGBE， CFCB 【点睛】 本题主要考查正方形的性质、 全等三角形的判定和性质、 相似三角形的判定和性质 难度中等， 熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法是解题的关键 11 （2019金山区二模）已知：如图，菱形 ABCD 的对
19、角线 AC 与 BD 相交于点 O，若CADDBC （1）求证：四边形 ABCD 是正方形 （2）E 是 OB 上一点，DHCE，垂足为 H，DH 与 OC 相交于点 F，求证：OEOF 【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形， ADBC，BAD2DAC，ABC2DBC， BAD+ABC180， CADDBC， BADABC， 2BAD180，BAD90， 四边形 ABCD 是正方形； （2）证明：四边形 ABCD 是正方形， ACBD，ACBD，CO= 1 2AC，DO= 1 2BO， COBDOC90，CODO， DHCE，垂足为 H， DHE90，EDH+DEH90， ECO+D
20、EH90， ECOEDH， 在ECO 和FDO 中， = = = = 90 ， ECOFDO（ASA） ， OEOF 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正 方形的判定与性质是解题关键 12 （2019奉贤区二模）如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，BC2AB8，对角线 AC 平 分BCD，过点 D 作 DEAC，垂足为点 E，交边 AB 的延长线于点 F，联结 CF （1）求腰 DC 的长； （2）求BCF 的余弦值 【答案】解： （1）ABC90，BC2AB8， AB4，AC= 2+ 2=45， ADBC， DACBCA，
21、 AC 平分BCD， DCAACB， DACDCA， ADCD， DEAC， CE= 1 2AC= 1 2 45 =25， 在 RtDEC 中，DEC90，tanDCE= ， 在 RtABC 中，ABC90，tanACB= = 4 8 = 1 2， = 1 2， CE25， DE= 5， 在 RtDEC 中，由勾股定理得：DC= 2+ 2=(5)2+ (25)2=5； 即腰 DC 的长是 5； （2）设 DF 与 BC 相交于点 Q， FBCFEC90，BQFEQC， 由三角形内角和定理得：AFEACB， FADABC90， AFDBCA， = ， ADDC5， = 1 2， 5 = 1 2，
22、 解得：AF10， AECE，FEAC， CFAF10， 在 RtBCF 中，CBF90，cosBCF= = 8 10 = 4 5 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等 知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键 13 （2019杨浦区二模）已知：如图，在ABC 中，ABBC，ABC90，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，点 F、G 是边 AC 的三等分点，DF、EG 的延长线相交于点 H，连接 HA、HC 求证： （1）四边形 FBGH 是菱形； （2）四边形 ABCH 是正方形 【答案】证明： （1）点 F、G 是边 AC 的
23、三等分点， AFFGGC 又点 D 是边 AB 的中点， DHBG 同理：EHBF 四边形 FBGH 是平行四边形， 连结 BH，交 AC 于点 O， OFOG， AOCO， ABBC， BHFG， 四边形 FBGH 是菱形； （2）四边形 FBGH 是平行四边形， BOHO，FOGO 又AFFGGC， AF+FOGC+GO，即：AOCO 四边形 ABCH 是平行四边形 ACBH，ABBC， 四边形 ABCH 是正方形 【点睛】本题考查正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线，熟练掌握正方形的判定和性质 是解题的关键 14 （2019虹口区一模）如图，在四边形 ABCD 中 ADBC，A
24、90，AB6，BC10，点 E 为边 AD 上一点，将 ABE 沿 BE 翻折，点 A 落在对角线 BD 上的点 G 处，连接 EG 并延长交射线 BC 于点 F （1）如果 cosDBC= 2 3，求 EF 的长； （2）当点 F 在边 BC 上时，连接 AG，设 ADx， =y，求 y 关于 x 的函数关系式并写出 x 的取值 范围； （3）连接 CG，如果FCG 是等腰三角形，求 AD 的长 【答案】解： （1）将 ABE 沿 BE 翻折，点 A 落在对角线 BD 上的点 G 处， BGEF，BGAB6， cosDBC= 2 3 = = 6 ，则：BF9， SBEF= 1 2BFAB=
25、1 2EFBG，即：966EF， 则 EF9； （2）过点 A 作 AHBG 交于点 H，连接 AG，设：BFa， 在 RtBGF 中，cosGBFcos= = 6 ，则 tan= 236 6 ，sin= 236 ， y= = 1 2 1 2 = 66 6 = 36 2 ， tan= = 6 = 236 6 ，解得：a236+（36 ）2， 把式代入式整理得：y= 2 2+36（x 9 2） ； （3）当 GFFC 时， FC10aGFasin= 2 36， 把式代入上式并解得：x= 45 4 ， 当 CFCG 时， 同理可得：x= 1891 91 ； 故：AD 的长为45 4 或1891 9
26、1 【点睛】本题为四边形综合题，基本方法是利用解直角三角形的方法，确定相应线段间的关系，此类题 目难度较大 15 （2019徐汇区一模）已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ACBC10，cosACB= 4 5，点 E 在对角线 AC 上（不与点 A、C 重合） ，EDCACB，DE 的延长线与射线 CB 交于点 F，设 AD 的长为 x （1）如图 1，当 DFBC 时，求 AD 的长； （2）设 ECy，求 y 关于 x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当DFC 是等腰三角形时，求 AD 的长 【答案】解： （1）设：ACBEDCCAD， cos= 4 5，sin= 3 5， 过点
27、A 作 AHBC 交于点 H， AHACsin6DF，BH2， 如图 1，设：FC4a， cosACB= 4 5，则 EF3a，EC5a， EDCCAD，ACDACD， ADCDCE， ACCECD2DF2+FC236+16a2105a， 解得：a2 或9 8（舍去 a2） ， ADHF1024a= 7 2； （2）过点 C 作 CHAD 交 AD 的延长线于点 H， CD2CH2+DH2（ACsin）2+（ACcosx）2， 即：CD236+（8x）2， 由（1）得：ACCECD2， 即：y= 1 10 x 28 5x+10（x0）， （3）当 DFDC 时， ECFFDC，DFCDFC，
28、DFCCFE，DFDC， FCECy，x+y10， 即：10= 1 10 x 28 5x+10+x， 解得：x6； 当 FCDC， 则DFCFDC， 则：EFECy，DEAE10y， 在等腰ADE 中，cosDAEcos= 1 2 = 1 2 10 = 4 5， 即：5x+8y80， 将上式代入式并解得：x= 39 4 ； 当 FCFD， 则FCDFDC，而ECFFCD，不成立， 故：该情况不存在； 故：AD 的长为 6 和39 4 【点睛】本题为四边形的综合题，涉及到解直角三角形、一元二次方程，三角形相似等诸多知识点，其 中三角形相似是本题的突破点，难度较大 16 （2019宝山区一模）如图
29、，已知：ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，AB9，AC6，AD2， AE3 （1）求 的值； （2）设 = ， = ，求 （用含 、 的式子表示） 【答案】解： （1）AEDABC，AA ADEACB， = = 2 6 = 1 3，即 = 1 3 （2） = + = 2 9 + 1 2 【点睛】考查了平面向量和相似三角形的判定与性质注意：平面向量是有方向的 17 （2019杨浦区一模）已知：梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD3，AB6，DFDC 分别交射线 AB、射线 CB 于点 E、F （1）当点 E 为边 AB 的中点时（如图 1） ，求 BC 的长； （2）当点
30、E 在边 AB 上时（如图 2） ，联结 CE，试问：DCE 的大小是否确定？若确定，请求出DCE 的正切值；若不确定，则设 AEx，DCE 的正切值为 y，请求出 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义 域； （3）当AEF 的面积为 3 时，求DCE 的面积 【答案】解： （1）如图 1 中， ADBC，ABBC， ABCA90， AEEB3，AD3， ADAE， AEDADEBEFF45， EFDE32，FB3， DFDC， FDC90， CF45， DFDC62， CF= 2DC12， BCCFBF1239 （2）结论： ：DCE 的大小是定值 理由：如图 2 中，连接 BD取 EC
31、的中点 O，连接 OD，OB EBCEDC90，EOOC， ODOEOCOB， E，B，C，D 四点共圆， DCEABD， 在 RtADE 中，tanABD= = 1 2， ABD 的大小是定值， DCE 的大小是定值， tanDCE= 1 2 （3）如图 21 中，连接 AF 设 AEx，FBy，EBm， SAEF= 1 2AEFB3， xy6， ADFB， = ， = 3 ， xy3m， 63m， m2， EB2，AE4， 在 RtAED 中，DE= 32+ 42=5， 在 RtDEC 中，tanDCE= = 1 2， DC10， SDEC= 1 2DEDC= 1 2 51025 当点 E
32、 在 AB 的延长线上时，同法可得 AE8，DE= 32+ 82= 73， CD2DE273， SDEC= 1 2DEDC573 综上所述，DEC 的面积为 25 或 73 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，平行线的性质，勾股定 理，三角形的面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用四点共圆解决 问题，属于中考压轴题 18 （2019虹口区一模）如图，在 RtABC 中，C90，cotA= 4 3，BC6，点 D、E 分别在边 AC、AB 上，且 DEBC，tanDBC= 1 2 （1）求 AD 的长； （2）如果 = ， = ，用
33、、 表示 【答案】解： （1）在 RtABC 中，C90，cotA= 4 3，BC6， = 6 = 4 3，则 AC8 又在 RtBCD 中，tanDBC= 1 2， = 6 = 1 2， CD3 ADACCD5 （2）DEBC， = = 5 8 DE= 5 8BC = ， = ， = = = 5 8 5 8 【点睛】考查了平面向量，解直角三角形，平行线的性质注意：向量是有方向的 19 （2019闵行区一模）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABCD，AD5，BC15，cosABC= 5 13E 为射线 CD 上任意一点， 过点 A 作 AFBE， 与射线 CD 相交于点 F 连接 BF，
34、 与直线 AD 相交于点 G 设 CEx， =y （1）求 AB 的长； （2）当点 G 在线段 AD 上时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果 四边形 四边形 = 2 3，求线段 CE 的长 【答案】解： （1）分别过点 A、D 作 AMBC、DNBC，垂足为点 M、N ADBC，ABCD，AD5，BC15， BM= 1 2 ( ) = 1 2 (15 5) = 5， 在 RtABM 中，AMB90， = = 5 = 5 13 AB13 （2） = ， : = + 1即得 = 5 +1， AFDBEC，ADFC ADFBCE = = 5 15 = 1 3， 又C
35、Ex，FD= 1 3x，ABCD13即得 FC= 1 3 + 13 ADBC， = 1 3 1 3:13 = 5 :1 15 = 392 3 所求函数的解析式为 = 392 3 ，函数定义域为0 39 2 （3）在 RtABM 中，利用勾股定理，得 = 2 2= 12 梯形= 1 2 ( + ) = 1 2 (5 + 15) 12 = 120 四边形 四边形 = 2 3， S四边形ABEF80 设 SADFS由ADFBCE， = 1 3，得 S AEC9S 过点 E 作 EHBC，垂足为点 H 由题意，本题有两种情况： （）如果点 G 在边 AD 上，则 S四边形ABCDS四边形ABEF8S4
36、0 S5 SAEC9S45 = 1 2 = 1 2 15 = 45 EH6 由 DNBC，EHBC，易得 EHDN = = 6 12 = 1 2 又 CDAB13， = 13 2 ， （）如果点 G 在边 DA 的延长线上，则 S四边形ABCD+S四边形ABEF+SAEF9S 8S200解得 S25 SBEC9S225 = 1 2 = 1 2 15 = 225解得 EH30 = = 30 12 = 5 2 = 65 2 ， = 13 2 或 65 2 【点睛】 此题考查四边形的综合题， 关键是根据相似三角形的判定和性质以及梯形的性质进行解答即可 20 （2019崇明区一模）如图，在ABC 中，
37、点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，且 DE= 2 3BC （1）如果 AC6，求 AE 的长； （2）设 = ， = ，求向量 （用向量 、 表示） 【答案】解： （1）如图，DEBC，且 DE= 2 3BC， = = 2 3 又 AC6， AE4 （2） = ， = ， = = 又 DEBC，DE= 2 3BC， = 2 3 = 2 3（ ） 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义 21 （2019长宁区一模）如图，AB 与 CD 相交于点 E，ACBD，点 F 在 DB 的延长线上，联结 BC，若 BC 平分ABF，AE2，BE3 （1）求 BD
38、 的长； （2）设 = ， = ，用含 、 的式子表示 【答案】解： （1）BC 平分ABF， ABCCBF ACBD， CBFACB ABCACB ACAB AE2，BE3， ABAC5 ACBD， = 5 = 2 3 BD= 15 2 ； （2）ACBD， = = 2 3 = ， = 2 3 = + = 2 3 【点睛】考查了平行线的性质和平面向量，需要掌握平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则，难 度不大 22 （2019杨浦区三模）ABC 中，ACB90，tanB= 3 4，AB5，点 O 为边 AB 上一动点，以 O 为圆 心，OB 为半径的圆交射线 BC 于点 E，以 A 为圆心
39、，OB 为半径的圆交射线 AC 于点 G （1）如图 1，当点 E、G 分别在边 BC、AC 上，且 CECG 时，请判断圆 A 与圆 O 的位置关系，并证 明你的结论； （2）当圆 O 与圆 A 存在公共弦 MN 时（如图 2） ，设 OBx，MNy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （3）设圆 A 与边 AB 的交点为 F，联结 OE、EF，当OEF 为以 OE 为腰的等腰三角形时，求圆 O 的半 径长 【答案】解： （1）圆 A 与圆 O 外切，理由如下： ACB90，tanB= 3 4，AB5，AC3，BC4， 作 OPBE 于 P，如图 1 所示： 则 PBPE，OP
40、AC， = ， 设 PBPEx，则 CGCE42x， OB= 5 4 = 5 4x，AGACCG2x1， AGOB， 2x1= 5 4x， 解得：x= 4 3， OB5 3， OAABOB5 5 3 = 10 3 =2OB， 圆 A 与圆 O 外切； （2）连接 OM，如图 2 所示： 圆 O 与圆 A 存在公共弦 MN， OA 与 MN 垂直平分， ODM90，DM= 1 2MN= 1 2y，ADOD= 1 2（5x） ， 由勾股定理得：DM2OM2OD2，即（1 2y） 2x2（5; 2 ）2， 整理得：y23x2+10 x25， y= 32+ 10 25（5 3 x5） ； （3）分三种
41、情况： 当圆 O 与圆 A 外切，OEOF 时，圆 O 与圆 A 外切，圆 O 的半径长 OB= 5 3； 当 OEFE 时，圆 O 与圆 A 相交，如图 3 所示： 作 EHOF 于 H，则 OFOH= 5 2 OB， BB，EHB90C， BEHBAC， = ， EH= 35 2 4 = 15 8 ， 在 RtOEH 中，由勾股定理得： （15 8 ）2+（5 2 OB）2OE2OB2， 解得：OB= 125 64 ； 当 O 与 A 重合时，OEOF，F 与 B 重合，OEAB5； 综上所述，当OEF 为以 OE 为腰的等腰三角形时，圆 O 的半径长为5 3或 125 64 或 5 【点
42、睛】本题是圆的综合题目，考查了两圆的位置关系、相交两圆的性质、相似三角形的判定与性质、 勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键 23 （2019青浦区二模）已知：在 RtABC 中，ACB90，AC1，D 是 AB 的中点，以 CD 为直径的 Q 分别交 BC、BA 于点 F、E，点 E 位于点 D 下方，连接 EF 交 CD 于点 G （1）如图 1，如果 BC2，求 DE 的长； （2）如图 2，设 BCx， =y，求 y 关于 x 的函数关系式及其定义域； （3）如图 3，连接 CE，如果 CGCE，求 BC 的长 【答案】解： （1）如图 1 中
43、，连接 CE 在 RtACB 中，ACB90，AC1，BC2， AB= 12+ 22= 5， CD 是Q 的直径， CED90， CEAB， BDAD， CD= 1 2AB= 5 2 ， 1 2ABCE= 1 2BCAC， CE= 25 5 ， 在 RtCDE 中，DE= 2 2=( 5 2 )2 (2 5 5 )2= 35 10 （2）如图 2 中，连接 CE，设 AC 交Q 于 K，连接 FK，DF，DK FCK90， FK 是Q 的直径， 直线 FK 经过点 Q， CD 是Q 的直径， CFDCKD90， DFBC，DKAC， DCDBDA， BFCF，CKAK， FKAB， = ， B
44、Cx，AC1， AB= 1 + 2， DCDBDA= 1+2 2 ， ACEABC， 可得 AE= 1 1+2， DEADAE= 1+2 2 1 1+2， = 2， 1:2 2 ; 1 1:2 1:2 2 = 2， y= 222 1+2 （x1） （3）如图 3 中，连接 FK CECG， CEGCGE， FKCCEG， FKAB， FKCA， DCDA， ADCA， ADCACEGCGE， CDAECG， ECDE， 由（2）可知： 1 1:2 = 1:2 2 1 1:2， 整理得：x22x10， x1+2或 12（舍弃） ， BC1+2 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理
45、，三角形的中位线定理，平行线分线段成比 例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题， 学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型 24 （2019浦东新区二模）已知 AB 是圆 O 的一条弦，P 是圆 O 上一点，过点 O 作 MNAP，垂足为点 M， 并交射线 AB 于点 N，圆 O 的半径为 5，AB8 （1）当 P 是优弧 的中点时（如图） ，求弦 AP 的长； （2） 当点 N 与点 B 重合时， 试判断： 以圆 O 为圆心， 3 2为半径的圆与直线 AP 的位置关系， 并说明理由； （3）当BNOBON，且圆 N 与圆 O 相切时，求圆 N 半径的长 【答案】解： （1）连接 PO 并延长交弦 AB 于点 H，如图 1 所示： P 是优弧 的中点，PH 经过圆心 O， PHAB，AHBH， 在AOH 中，AHO90，AH= 1 2AB4，AO5， OH= 2 2= 52 42=3， 在APH 中，AHP90，PHOP+OH5+38， AP= 2+ 2= 82+ 42=45； （2）当点 N 与点 B 重合时，以点 O 为圆心，3 2为半径的圆与直线 AP 相交；理由如下： 作 OGAB 于 G，如图 2 所示： OBGABM，OGBAMB， OBGABM， = ，即 8 = 4 5， 解得：BM= 32 5 ，
