1、备战备战 2021 年中考数学真题年中考数学真题模拟题模拟题分类汇编分类汇编(上海上海专版专版) 专题专题 1717 圆的综合问题圆的综合问题( (共共 4343 题题) ) 一选择题一选择题(共共 1 小题小题) 1(2016上海)如图，在 RtABC 中，C90，AC4，BC7，点 D 在边 BC 上，CD3，A 的半 径长为 3，D 与A 相交，且点 B 在D 外，那么D 的半径长 r 的取值范围是( ) A1r4 B2r4 C1r8 D2r8 【分析】连接 AD， 根据勾股定理得到 AD5， 根据圆与圆的位置关系得到 r532， 由点 B 在D 外， 于是得到 r4， 即可得到结论 【
2、解析】连接 AD， AC4，CD3，C90， AD5， A 的半径长为 3，D 与A 相交， r532， BC7， BD4， 点 B 在D 外， r4， D 的半径长 r 的取值范围是 2r4， 故选：B 中考真题再现中考真题再现 二解答题二解答题(共共 6 小题小题) 2(2020上海)如图，ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，BO 的延长线交边 AC 于点 D (1)求证：BAC2ABD； (2)当BCD 是等腰三角形时，求BCD 的大小； (3)当 AD2，CD3 时，求边 BC 的长 【分析】(1)连接 OA利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可 (2)分三种情形：若
3、BDCB，则CBDCABD+BAC3ABD若 CDCB，则CBD CDB3ABD若 DBDC，则 D 与 A 重合，这种情形不存在分别利用三角形内角和定理构 建方程求解即可 (3)如图 3 中，作 AEBC 交 BD 的延长线于 E则 = = 2 3，推出 = = 4 3，设 OBOA 4a，OH3a，根据 BH2AB2AH2OB2OH2，构建方程求出 a 即可解决问题 【解答】(1)证明：连接 OA A ABAC， = ， OABC， BAOCAO， OAOB， ABDBAO， BAC2BAD (2)解：如图 2 中，延长 AO 交 BC 于 H 若 BDCB，则CBDCABD+BAC3AB
4、D， ABAC， ABCC， DBC2ABD， DBC+C+BDC180， 8ABD180， C3ABD67.5 若 CDCB，则CBDCDB3ABD， C4ABD， DBC+C+CDB180， 10ABD180， BCD4ABD72 若 DBDC，则 D 与 A 重合，这种情形不存在 综上所述，C 的值为 67.5或 72 (3)如图 3 中，作 AEBC 交 BD 的延长线于 E 则 = = 2 3， = = 4 3，设 OBOA4a，OH3a， BH2AB2AH2OB2OH2， 2549a216a29a2， a2= 25 56， BH= 52 4 ， BC2BH= 52 2 3(2019
5、上海)已知：如图，AB、AC 是O 的两条弦，且 ABAC，D 是 AO 延长线上一点，联结 BD 并 延长交O 于点 E，联结 CD 并延长交O 于点 F (1)求证：BDCD； (2)如果 AB2AOAD，求证：四边形 ABDC 是菱形 【分析】(1)连接 BC，根据 ABAC，OBOAOC，即可得出 AD 垂直平分 BC，根据线段垂直平分线 性质求出即可； (2)根据相似三角形的性质和判定求出ABOADBBAO，求出 BDAB，再根据菱形的判定推出 即可 【解答】证明：(1)如图 1，连接 BC，OB，OC， AB、AC 是O 的两条弦，且 ABAC， A 在 BC 的垂直平分线上， O
6、BOAOC， O 在 BC 的垂直平分线上， AO 垂直平分 BC， BDCD； (2)如图 2，连接 OB， AB2AOAD， = ， BAODAB， ABOADB， OBAADB， OAOB， OBAOAB， OABBDA， ABBD， ABAC，BDCD， ABACBDCD， 四边形 ABDC 是菱形 4(2018上海)已知O 的直径 AB2，弦 AC 与弦 BD 交于点 E且 ODAC，垂足为点 F (1)如图 1，如果 ACBD，求弦 AC 的长； (2)如图 2，如果 E 为弦 BD 的中点，求ABD 的余切值； (3)联结 BC、CD、DA，如果 BC 是O 的内接正 n 边形的
7、一边，CD 是O 的内接正(n+4)边形的一边， 求ACD 的面积 【分析】(1)由 ACBD 知 + = + ，得 = ，根据 ODAC 知 = ，从而得 = = ，即可知AODDOCBOC60，利用 AFAOsinAOF 可得答案； (2)连接BC， 设OFt， 证OF为ABC中位线及DEFBEC得BCDF2t， 由DF1t可得t= 1 3， 即可知 BCDF= 2 3，继而求得 EF= 1 4AC= 2 3 ，由余切函数定义可得答案； (3)先求出 BC、CD、AD 所对圆心角度数，从而求得 BCAD= 2、OF= 2 2 ，从而根据三角形面积公 式计算可得 【解析】(1)ODAC， =
8、 ，AFO90， 又ACBD， = ，即+ = + ， = ， = = ， AODDOCBOC60， AB2， AOBO1， AFAOsinAOF1 3 2 = 3 2 ， 则 AC2AF= 3； (2)如图 1，连接 BC， AB 为直径，ODAC， AFOC90， ODBC， DEBC， DEBE、DEFBEC， DEFBEC(ASA)， BCDF、ECEF， 又AOOB， OF 是ABC 的中位线， 设 OFt，则 BCDF2t， DFDOOF1t， 1t2t， 解得：t= 1 3， 则 DFBC= 2 3、AC= 2 2 =22 (2 3) 2 = 42 3 ， EF= 1 2FC=
9、1 4AC= 2 3 ， OBOD， ABDD， 则 cotABDcotD= = 2 3 2 3 = 2； (3)如图 2， BC 是O 的内接正 n 边形的一边，CD 是O 的内接正(n+4)边形的一边， BOC= 360 、AODCOD= 360 +4， 则360 +2 360 +4 =180， 解得：n4 或2，2 舍去 BOC90、AODCOD45， BCAC= 2， AFO90， OFAOcosAOF= 2 2 ， 则 DFODOF1 2 2 ， SACD= 1 2ACDF= 1 2 2 (1 2 2 ) = 21 2 5(2017上海)如图，已知O 的半径长为 1，AB、AC 是O
10、 的两条弦，且 ABAC，BO 的延长线交 AC 于点 D，联结 OA、OC (1)求证：OADABD； (2)当OCD 是直角三角形时，求 B、C 两点的距离； (3)记AOB、AOD、COD 的面积分别为 S1、S2、S3，如果 S2是 S1和 S3的比例中项，求 OD 的长 【分析】(1)由AOBAOC，推出CB，由 OAOC，推出OACCB，由ADO ADB，即可证明OADABD； (2)如图 2 中，当OCD 是直角三角形时，需要分类讨论解决问题； (3)如图 3 中，作 OHAC 于 H，设 ODx想办法用 x 表示 AD、AB、CD，再证明 AD2ACCD，列 出方程即可解决问题
11、； 【解答】(1)证明：如图 1 中， 在AOB 和AOC 中， = = = ， AOBAOC， CB， OAOC， OACCB， ADOADB， OADABD (2)如图 2 中，当ODC90时， BDAC，OAOC， ADDC， BABCAC， ABC 是等边三角形， 在 RtOAD 中，OA1，OAD30， OD= 1 2OA= 1 2， AD= 2 2= 3 2 ， BCAC2AD= 3 COD90，BOC90，BC= 12+ 12= 2， OCD 显然90，不需要讨论 综上所述，BC= 3或2 (3)如图 3 中，作 OHAC 于 H，设 ODx DAODBA， = = ， :1 =
12、 = 1 ， AD= ( + 1)，AB= (+1) ， S2是 S1和 S3的比例中项， S22S1S3， S2= 1 2ADOH，S1SOAC= 1 2ACOH，S3= 1 2CDOH， (1 2ADOH) 2=1 2ACOH 1 2CDOH， AD2ACCD， ACABCDACAD= (+1) ( + 1)， ( + 1)2= (+1) (:1) ( + 1)， 整理得 x2+x10， 解得 x= 51 2 或;5;1 2 ， 经检验：x= 51 2 是分式方程的根，且符合题意， OD= 51 2 (也可以利用角平分线的性质定理： = = ，黄金分割点的性质解决这个问题) 方法 2、设
13、ODx，设AOB 的边上的高为 h，则AOD 的边 OD 边上的高也为 h， = 1 2 1 2 = = 1 ， 设 SAOBa， SAODax， AOBAOC， SAOCSAOBa SAOCSAOD+SCOD， SCODaaxa(1x)， S2是 S1和 S3的比例中项， S22S1S3， (ax)2aa(1x)， x= 15 2 ， OD0， OD= 51 2 6(2016上海)已知：如图，O 是ABC 的外接圆， = ，点 D 在边 BC 上，AEBC，AEBD (1)求证：ADCE； (2)如果点 G 在线段 DC 上(不与点 D 重合)，且 AGAD，求证：四边形 AGCE 是平行四
14、边形 【分析】 (1)根据等弧所对的圆周角相等， 得出BACB， 再根据全等三角形的判定得ABDCAE， 即可得出 ADCE； (2)连接 AO 并延长，交边 BC 于点 H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出 AHBC，再由垂径定理 得 BHCH，得出 CG 与 AE 平行且相等 【解答】证明：(1)在O 中， = ， ABAC， BACB， AEBC， EACACB， BEAC， 在ABD 和CAE 中， = = = ， ABDCAE(SAS)， ADCE； (2)连接 AO 并延长，交边 BC 于点 H， = ，OA 为半径， AHBC， BHCH， ADAG， DHHG， BHDHCH
15、GH，即 BDCG， BDAE， CGAE， CGAE， 四边形 AGCE 是平行四边形 7(2015上海)已知，如图，AB 是半圆 O 的直径，弦 CDAB，动点 P，Q 分别在线段 OC，CD 上，且 DQOP， AP 的延长线与射线 OQ 相交于点 E， 与弦 CD 相交于点 F(点 F 与点 C， D 不重合)， AB20， cosAOC= 4 5，设 OPx，CPF 的面积为 y (1)求证：APOQ； (2)求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域； (3)当OPE 是直角三角形时，求线段 OP 的长 【分析】(1)连接 OD，证得AOPODQ 后即可证得 APOQ； (2
16、)作 PHOA，根据 cosAOC= 4 5得到 OH= 4 5PO= 4 5x，从而得到 SAOP= 1 2AOPH3x，利用PFC PAO 得当对应边的比相等即可得到函数解析式； (3)分当POE90时、当OPE90时，当OEP90时三种情况讨论即可得到正确的结论 【解析】(1)连接 OD， 在AOP 和ODQ 中， = = = = ， AOPODQ， APOQ； (2)作 PHOA， cosAOC= 4 5， OH= 4 5PO= 4 5x， SAOP= 1 2AOPH3x， 又PFCPAO， = ( ) 2 = (10; )2， 整理得：y= 3260+300 ， AP 延长线与 CD
17、 相交于点 F， CFCD16，易知CPFOPA， = ， x 的定义域为：50 13 x10； (3)当POE90时，CQ= = 25 2 ，PODQCDCQ= 7 2(舍)； 当OPE90时，POAOcosCOA8； 当OEP90时，如图，由(1)知AOPODQ， APOOQD， AOQOQDAPO， AOQ90，APO90(矛盾)， 此种情况不存在， 线段 OP 的长为 8 一选择题一选择题(共共 8 小题小题) 1(2020普陀区二模)如图，已知 A、B、C、D 四点都在O 上，OBAC，BCCD，在下列四个说法中， =2 ；AC2CD；OCBD；AOD3BOC，正确的个数是( ) 2
18、 2020020 模拟模拟汇编汇编 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据题意和垂径定理，可以得到 ACBD， = ， = ，然后即可判断各个小题中的 结论是否正确，从而可以解答本题 【解析】OBAC，BCCD， = ， = ， =2 ，故正确； ACAB+BCBC+CD2CD，故错误； OCBD，故正确； AOD3BOC，故正确； 故选：C 2(2020金山区二模)如图，MON30，OP 是MON 的角平分线，PQON 交 OM 于点 Q，以 P 为 圆心半径为 4 的圆与 ON 相切，如果以 Q 为圆心半径为 r 的圆与P 相交，那么 r 的取值范围是( ) A4r12 B2
19、r12 C4r8 Dr4 【分析】 如图， 过点 P 作 PAOM 于点 A 根据题意首先判定 OM 是切线， 根据切线的性质得到 PA4 由 角平分线的性质和平行线的性质判定直角APQ 中含有 30 度角，则由“30 度角所对的直角边是斜边的 一半”得到 PQ 的长度；然后根据圆与圆的位置关系求得 r 的取值范围 【解析】如图，过点 P 作 PAOM 于点 A 圆 P 与 ON 相切，设切点为 B，连接 PB PBON OP 是MON 的角平分线， PAPB PA 是半径， OM 是圆 P 的切线 MON30，OP 是MON 的角平分线， 1215 PQON， 3215 41+330 PA4
20、， PQ2PA8 r最小值844，r最大值8+412 r 的取值范围是 4r12 故选：A 3(2020杨浦区二模)如果正十边形的边长为 a，那么它的半径是( ) A 36 B 36 C 218 D 218 【分析】设 AB 是圆内接正十边形的边长，连接 OA、OB，过 O 作 OCAB 于 C，解直角三角形即可得 到结论 【解析】设 AB 是圆内接正十边形的边长， 连接 OA、OB，过 O 作 OCAB 于 C， 则AOB= 360 10 =36， = 1 2 =18，AC= 1 2AB= 2， OA= = 218， 故选：C 4(2020浦东新区二模)矩形 ABCD 中，AB5，BC12，
21、如果分别以 A、C 为圆心的两圆外切，且点 D 在圆 C 内，点 B 在圆 C 外，那么圆 A 的半径 r 的取值范围是( ) A5r12 B18r25 C1r8 D5r8 【分析】首先根据点 D 在C 内，点 B 在C 外，求得C 的半径是大于 5 而小于 12；再根据勾股定 理求得 AC13，最后根据两圆外切的位置关系得到其数量关系 【解析】在矩形 ABCD 中，AB5，BC12， AC= 2+ 2=13， 点 D 在C 内，点 B 在C 外， C 的半径 R 的取值范围为：5R12， 当A 和C 外切时，圆心距等于两圆半径之和是 13，设C 的半径是 Rc，即 Rc+r13， 又5Rc1
22、2， 则 r 的取值范围是 1r8 故选：C 5(2020崇明区二模)如果一个正多边形的外角是锐角，且它的余弦值是 3 2 ，那么它是( ) A等边三角形 B正六边形 C正八边形 D正十二边形 【分析】利用任意凸多边形的外角和均为 360，正多边形的每个外角相等即可求出答案 【解析】一个外角为锐角，且其余弦值为 3 2 ， 这个一个外角30， 3603012 故它是正十二边形 故选：D 6(2020闵行区一模)如果两个圆的圆心距为 3，其中一个圆的半径长为 4，另一个圆的半径长大于 1，那 么这两个圆的位置关系不可能是( ) A内含 B内切 C外切 D相交 【分析】首先利用一个圆的半径为 4，
23、另一个圆的半径大于 1 来求得两圆的半径之差的范围，然后根据 圆心距 d 与两半径的关系判断即可 【解析】一个圆的半径 R 为 4，另一个圆的半径 r 大于 1， Rr41，R+r5 即：Rr3， 圆心距为 3， 两圆不可能外切， 故选：C 7(2020奉贤区一模)在ABC 中，AB9，BC2AC12，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 DEBC， AD2BD，以 AD 为半径的D 和以 CE 为半径的E 的位置关系是( ) A外离 B外切 C相交 D内含 【分析】分别计算D 和以 CE 为半径的E 的半径，并计算 DE 的长，根据外切的定义可解答 【解析】如图， DEBC， = ， B
24、C12，AD2BD， 12 = 2 3，DE8， D 的半径为 AD6，E 的半径 CE2， AD+CE6+28DE， 以 AD 为半径的D 和以 CE 为半径的E 的位置关系是外切， 故选：B 8(2020利辛县模拟)已知A 的半径 AB 长是 5，点 C 在 AB 上，且 AC3，如果C 与A 有公共点， 那么C 的半径长 r 的取值范围是( ) Ar2 Br8 C2r8 D2r8 【分析】 先确定点 C 到A 的最大距离为 8，最小距离为 2，利用C 与A 相交或相切确定 r 的范围 【解析】A 的半径 AB 长是 5，点 C 在 AB 上，且 AC3， 点 C 到A 的最大距离为 8，
25、最小距离为 2， C 与A 有公共点， 2r8 故选：D 二解答题二解答题(共共 28 小题小题) 9(2020普陀区二模)如图，已知在四边形 ABCD 中，ADBC，ABC90，以 AB 为直径的O 交边 DC 于 E、F 两点，AD1，BC5，设O 的半径长为 r (1)联结 OF，当 OFBC 时，求O 的半径长； (2)过点 O 作 OHEF，垂足为点 H，设 OHy，试用 r 的代数式表示 y； (3)设点 G 为 DC 的中点，联结 OG、OD，ODG 是否能成为等腰三角形？如果能，试求出 r 的值；如 不能，试说明理由 【分析】(1)证 OF 为梯形 ABCD 的中位线，得出 r
26、OF= 1 2(AD+BC)3 即可； (2)连接 OD、OC，过点 D 作 DMBC 于 M，则 CMBCBM4，由勾股定理得出 DC22+ 4， 由四边形 ABCD 的面积DOC 的面积+AOD 的面积+BOC 的面积，进而得出答案； (3)证 OG 是梯形 ABCD 的中位线，得出 OGAD，OG3，DG= 1 2CD= 2+ 4，由勾股定理得 OD= 2+ 1，分三种情况，分别求解即可 【解析】(1)OFBC，OAOB， OF 为梯形 ABCD 的中位线， OF= 1 2(AD+BC)= 1 2(1+5)3， 即O 的半径长为 3； (2)连接 OD、OC，过点 D 作 DMBC 于
27、M，如图 1 所示： 则 BMAD1， CMBCBM4， DC= 2+ 2= (2)2+ 42=22+ 4， 四边形 ABCD 的面积DOC 的面积+AOD 的面积+BOC 的面积， 1 2(1+5)2r= 1 2 22+ 4 y+ 1 2 r1+ 1 2 r5， 整理得：y= 32+4 2+4 ； (3)ODG 能成为等腰三角形，理由如下： 点 G 为 DC 的中点，OAOB， OG 是梯形 ABCD 的中位线， OGAD，OG= 1 2(AD+BC)= 1 2(1+5)3， DG= 1 2CD= 2+ 4， 由勾股定理得：OD= 2+ 2= 2+ 1， 分三种情况： DGDO 时，则2+
28、4 = 2+ 1，无解； ODOG 时，如图 2 所示： 2+ 1 =3， 解得：r22； GDGO 时，作 OHCD 于 H，如图 3 所示： GODGDO， OGAD， ADOGOD， ADOGDO， 在ADO 和HDO 中， = = 90 = = ， ADOHDO(AAS)， OAOH， 则此时圆 O 和 CD 相切，不合题意； 综上所述，ODG 能成为等腰三角形，r22 10(2020杨浦区二模)如图，已知在ABC 中，ACB90，AC4，BC8，点 P 是射线 AC 上一点(不 与点 A、C 重合)，过 P 作 PMAB，垂足为点 M，以 M 为圆心，MA 长为半径的M 与边 AB
29、相交的另 一个交点为点 N，点 Q 是边 BC 上一点，且 CQ2CP，联结 NQ (1)如果M 与直线 BC 相切，求M 的半径长； (2)如果点 P 在线段 AC 上，设线段 APx，线段 NQy，求 y 关于 x 的函数解析式及定义域； (3)如果以 NQ 为直径的O 与M 的公共弦所在直线恰好经过点 P，求线段 AP 的长 【分析】(1)先利用勾股定理求出 AB，进而表示出 BM，再判断出BHMBCA，即可得出结论； (2)先表示出 BQ2x， 过 Q 作 QGAB，垂足为点 G，再用三角函数表示出 = 45 5 ， = 25 5 ，再用三角函数表示出 = 5 5 ， = 25 5 ，
30、进而得出 = 45 65 5 ，最后用勾股定理建立方程，即可得出结论； (3)先判断出 P、 E、 N 在同一直线上， 再要判断出PANANE 和NMOB， 进而判断出 QAQB， 最后用勾股定理即可得出结论 【解答】(1)解：如图 1，在 RtABC 中， ACB90，AC4，BC8， = 42+ 82= 45， 设M 的半径长为 R，则 = 45 ， 过 M 作 MHBC，垂足为点 H， MHAC， MHAC， BHMBCA， = ， M 与直线 BC 相切， MAMH， 45; 45 = 4， = 5 5， 即 的半径长为5 5 (2)如图 2， APx， CP4x， CQ2CP， CQ
31、82x， BQBCCQ8(82x)2x， 过 Q 作 QGAB，垂足为点 G， = = ， 2 = 8 45， = 45 5 ， 同理： = 25 5 ， PMAB， AMP90， = = = 5 5 ， APx， = 5 5 ， = 25 5 = 45 65 5 ， 在 RtQNG 中，根据勾股定理得，QN2NG2+QG2， 2= (45 6 55) 2 + (2 55) 2， = 222 12 + 20(0 x4)； (3)当点 P 在线段 AC 上，如图 3， 设以 NQ 为直径的O 与M 的另一个交点为点 E，连接 EN，MO， 则 MOEN， NMO+ANE90， 以 NQ 为直径的
32、O 与M 的公共弦所在直线恰好经过点 P， 即 P、E、N 在同一直线上， 又PMAB，MAMN， PNPA， PANANE， ACB90， PAN+B90， NMOB， 连接 AQ， M、O 分别是线段 AN、NQ 的中点， MOAQ NMOBAQ， BAQB， QAQB， 在 RtQAC 中，根据勾股定理得，QA2AC2+QC2， (2x)242+(82x)2， = 5 2， 同理：当点 P 在线段 AC 的延长线上， = 11 2 ， 即线段 AP 的长为5 2或 11 2 11(2020虹口区二模)如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，cosC= 3 5，DC5，BC6
33、， 以点 B 为圆心，BD 为半径作圆弧，分别交边 CD、BC 于点 E、F (1)求 sinBDC 的值； (2)联结 BE，设点 G 为射线 DB 上一动点，如果ADG 相似于BEC，求 DG 的长； (3)如图 2，点 P、Q 分别为边 AD、BC 上动点，将扇形 DBF 沿着直线 PQ 折叠，折叠后的弧 DF经过点 B 与 AB 上的一点 H(点 D、F 分别对应点 D，F)，设 BHx，BQy，求 y 关于 x 的函数关系式(不需要 写定义域) 【分析】(1)如图 1 中，连接 BE，过点 D 作 DKBC 于 K，过点 B 作 BJCD 于 J想办法求出 BJ， BD 即可解决问题
34、 (2)分两种情形分别求解：当ADGBCE 时当ADGECB 时，分别利用相似三角形的性 质求解即可 (3)如图 3 中，过点 B 作 BJPQ 交 于 J，连接 BJ，JH，JQ，过点 J 作 JGBH 于 G，过点 Q 作 QK JH 于 K由题意 BQQJy，求出 QK，KJ，在 RtQKJ 中，利用勾股定理即可解决问题 【解析】(1)如图 1 中，连接 BE，过点 D 作 DKBC 于 K，过点 B 作 BJCD 于 J 在 RtCDK 中，DKC90，CD5，cosC= = 3 5， CK3， BC6， BKCK3， ADBC，ABC90， A90 DKBC， AABCDKB90，
35、四边形 ABKD 是矩形， ADBK3， DBDC5，DK= 2 2= 52 32=4， SDCB= 1 2BCDK= 1 2CDBJ， BJ= 24 5 ， DJ= 2 2=52 (24 5 )2= 7 5， BDBE，BJDE， DJJE= 7 5， ECCDDJJE5 14 5 = 11 5 ， sinBDC= = 24 5 5 = 24 25 (2)如图 2 中， ADBC， ADGDBC， DBDC， DBCC， ADGC， ADG 相似BEC， 有两种情形：当ADGBCE 时， = ， 3 6 = 11 5 ， DG= 11 10， 当ADGECB 时， = ， 3 11 5 =
36、6 ， DG= 90 11 (3)如图 3 中，过点 B 作 BJPQ 交 于 J，连接 BJ，JH，JQ，过点 J 作 JGBH 于 G，过点 Q 作 QK JH 于 K 由题意：QBQJy，BJBD5， JBJH，JGBH， BGGH= 1 2x， JG= 2 2=25 1 4 2， GBQBGKQKG90， 四边形 BGKQ 是矩形， BQGKy，QKGB= 1 2x， 在 RtQKJ 中， JQ2QK2+KJ2， y2= 1 4x 2+(25 1 4 2y)2， y= 251002 1002 12(2020杨浦区二模)如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度 AB(弧所对的弦的
37、长)为 8 米，拱高 CD(弧的中点到弦的距离)为 2 米 (1)求桥拱所在圆的半径长； (2)如果水面 AB 上升到 EF 时，从点 E 测得桥顶 D 的仰角为 ，且 cot3，求水面上升的高度 【分析】(1)联结 OA，设半径 OAODR，OCODDCR2，在 RtACO 中，利用勾股定理构 建方程求解即可 (2)设水面上升的高度为 x 米，即 CGx，则 DG2x，EG63x，在 RtEGO 中，根据 EG2+OG2 OE2，构建方程求解即可 【解析】(1)点是 的中点，DCAB， ACBC，DC 经过圆心， 设拱桥的桥拱弧 AB 所在圆的圆心为 O， AB8， ACBC4， 联结 OA
38、，设半径 OAODR，OCODDCR2， ODAB， ACO90， 在 RtACO 中，OA2AC2+OC2， R2(R2)2+42， 解之得 R5 答：桥拱所在圆的半径长为 5 米 (2)设 OD 与 EF 相交于点 G，联结 OE， EFAB，ODAB， ODEF， EGDEGO90， 在 RtEGD 中， = = 3， EG3DG， 设水面上升的高度为 x 米，即 CGx，则 DG2x， EG63x， 在 RtEGO 中，EG2+OG2OE2， (63x)2+(3+x)252， 化简得 x23x+20，解得 x12(舍去)，x21， 答：水面上升的高度为 1 米 13(2020金山区二模
39、)如图，在ABC 中，C90，AC6，BC8，P 是线段 BC 上任意一点，以点 P 为圆心 PB 为半径的圆与线段 AB 相交于点 Q(点 Q 与点 A、B 不重合)，CPQ 的角平分线与 AC 相交 于点 D (1)如果 DQPB，求证：四边形 BQDP 是平行四边形； (2)设 PBx，DPQ 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； (3)如果ADQ 是以 DQ 为腰的等腰三角形，求 PB 的长 【分析】(1)由等腰三角形的性质和角平分线的性质可得CPDPBQDPQPQB，由“AAS” 可证DPQBQP，可得 DPBQ，可得结论； (2)由“SAS”可证D
40、PEDPQ，可得 SDPESDPQy，通过证明DCPACB，可求 CD= 3 4(8 x)，即可求解； (3)分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解 【解答】证明：(1)BPPQ， PBQPQB， DP 平分CPQ， CPDQPD， CPQPBQ+PQB2PBQ， CPDPBQDPQPQB， DPBQ， DQPB，PQPB， DQQP， QDPQPDPQBPBQ， 又PBDQ， DPQBQP(AAS) DPBQ， 四边形 BPDQ 是平行四边形； (2)如图，设 BC 与P 的交点为 E，连接 DE， EPPQ，DPEDPQ，DPDP， DPEDPQ(SAS)， SDPESDPQy
41、，DQDE， BPx， PC8x， DPAB， DCPACB， = ， 6 = 8; 8 ， CD= 3 4(8x)， SDPQy= 1 2 EPCD= 1 2 x 3 4(8x)= 3 8x 2+3x(0 x25 4 )； (3)当 DQAD 时， ADACCD， AD6 3 4(8x)= 3 4x， DQDEAD= 3 4x， DE2DC2+CE2， (3 4x) 2(63 4x) 2+(82x)2， x14，x2= 25 4 (不合题意舍去)， 当 AQDQ 时， 过点 P 作 PFAB 于 F， C90，AC6，BC8， AB= 2+ 2 = 36 + 64 =10， cosB= =
42、， = 8 10， BF= 4 5x， PBPQ，PFAB， BQ2BF= 8 5x， AQ10 8 5x， AQDQDE10 8 5x， DE2DC2+CE2， (10 8 5x) 2(63 4x) 2+(82x)2， x30(不合题意舍去)，x4= 400 89 ， 综上所述：BP 的长为 4 和400 89 14(2020奉贤区二模)如图，已知半圆O 的直径 AB10，弦 CDAB，且 CD8，E 为弧 CD 的中点， 点 P 在弦 CD 上，联结 PE，过点 E 作 PE 的垂线交弦 CD 于点 G，交射线 OB 于点 F (1)当点 F 与点 B 重合时，求 CP 的长； (2)设
43、CPx，OFy，求 y 与 x 的函数关系式及定义域； (3)如果 GPGF，求EPF 的面积 【分析】(1)如图 1，连接 EO，交弦 CD 于点 H，根据垂径定理得 EOAB，由勾股定理计算 = 2 2= 3，可得 EH 的长，证明HPEHGE45，则 PEGE从而可得结论； (2)如图 2，连接 OE，证明PEHEFO，列比例式可得结论； (3)如图 3，作 PQAB，分别计算 PE 和 EF 的长，利用三角形面积公式可得结论 【解析】(1)连接 EO，交弦 CD 于点 H， E 为弧 CD 的中点， EOAB， CDAB， OHCD， CH= 1 2 ， 连接 CO， AB10，CD8
44、， CO5，CH4， = 2 2= 3， EHEOOH2， 点 F 与点 B 重合， OBEHGE45， PEBE， HPEHGE45， PEGE， PHHG2， CPCHPH422； (2)如图 2，连接 OE，交 CD 于 H， PEH+OEF90，OFE+OEF90， PEHOFE， PHEEOF90， PEHEFO， = ， EH2，FOy，PH4x，EO5， 2 = 4; 5 ， = 10 4(0 3) (3)如图 3，过点 P 作 PQAB，垂足为 Q， GPGF， GPFGFP， CDAB， GPFPFQ， PEEF， PQPE， 由(2)可知，PEHEFO， = ， PQOH3
45、， PE3， EH2， = 2 2= 5， 3 = 5 5 ， = 35， = 1 2 = 1 2 3 35 = 95 2 15(2020黄浦区二模)已知：如图，圆 O 是ABC 的外接圆，AO 平分BAC (1)求证：ABC 是等腰三角形； (2)当 OA4，AB6，求边 BC 的长 【分析】(1)连接 OB、OC，先证明OBAOCABAOCAO，再证明OABOAC 得 AB AC，问题得证； (2)延长 AO 交 BC 于点 H，先证明 AHBC，BHCH，设 OHb，BHCHa，根据 OA4，AB6， 由勾股定理列出 a、b 的方程组，解得 a、b，便可得 BC 【解析】(1)连接 OB
46、、OC， OAOBOC，OA 平分BAC， OBAOCABAOCAO， 在OAB 和OAC 中， = = = ， OABOAC(AAS)， ABAC 即ABC 是等腰三角形； (2)延长 AO 交 BC 于点 H， AH 平分BAC，ABAC， AHBC，BHCH， 设 OHb，BHCHa， BH2+OH2OB2，BH2+AH2AB2，OA4，AB6， 2 + 2= 16 2+ ( + 4)2= 36， 解得， = 37 2 = 1 2 ， BC2a37 16(2020徐汇区二模)如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABCDAD5，cosB= 4 5，点 O 是边 BC 上 的动点， 以 OB 为半径的O 与射线 BA 和边 BC 分别交于点 E 和点 M， 联结 AM， 作CMNBAM， 射线 MN 与边 AD、射线 CD 分别交于点 F、N (1)当点 E 为边 AB 的中点时，求 DF 的长； (2)分别联结 AN、MD，当 ANMD 时，求 MN 的长； (3)将O 绕着点 M 旋转 180得到O， 如果以点 N 为圆心的N
