1、备战备战 2021 年中考数学真题模拟题分类汇编年中考数学真题模拟题分类汇编(上海专版上海专版) 专题专题 10 二次函数压轴题二次函数压轴题(共共 34 题题) 一解答题一解答题(共共 34 小题小题) 1(2020上海)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= 1 2x+5 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B(如图)抛物线 y ax2+bx(a0)经过点 A (1)求线段 AB 的长； (2)如果抛物线 yax2+bx 经过线段 AB 上的另一点 C，且 BC= 5，求这条抛物线的表达式； (3)如果抛物线 yax2+bx 的顶点 D 位于AOB 内，求 a 的取值范围 【分析】(1)先
2、求出 A，B 坐标，即可得出结论； (2)设点 C(m， 1 2m+5)，则 BC= 5 2 |m，进而求出点 C(2，4)，最后将点 A，C 代入抛物线解析式中，即 可得出结论； (3)将点 A 坐标代入抛物线解析式中得出 b10a， 代入抛物线解析式中得出顶点 D 坐标为(5， 25a)， 即可得出结论 【解析】(1)针对于直线 y= 1 2x+5， 令 x0，y5， B(0，5)， 令 y0，则 1 2x+50， x10， A(10，0)， AB= 52+ 102=55； (2)设点 C(m， 1 2m+5)， B(0，5)， BC=2+ ( 1 2 + 5 5) 2 = 5 2 |m|
3、， BC= 5， 5 2 |m|= 5， m2， 点 C 在线段 AB 上， m2， C(2，4)， 将点 A(10，0)，C(2，4)代入抛物线 yax2+bx(a0)中，得100 + 10 = 0 4 + 2 = 4 ， = 1 4 = 5 2 ， 抛物线 y= 1 4x 2+5 2x； (3)点 A(10，0)在抛物线 yax2+bx 中，得 100a+10b0， b10a， 抛物线的解析式为 yax210axa(x5)225a， 抛物线的顶点 D 坐标为(5，25a)， 将 x5 代入 y= 1 2x+5 中，得 y= 1 2 5+5= 5 2， 顶点 D 位于AOB 内， 025a
4、5 2， 1 10a0； 2(2019上海)在平面直角坐标系 xOy 中(如图)，已知抛物线 yx22x，其顶点为 A (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点 A 的坐标，并说明它的变化情况； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” 试求抛物线 yx22x 的“不动点”的坐标； 平移抛物线 yx22x， 使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的 “不动点” ， 其对称轴与 x 轴交于点 C， 且四边形 OABC 是梯形，求新抛物线的表达式 【分析】(1)a10，故该抛物线开口向上，顶点 A 的坐标为(1，1)； (2)设抛物线“不动点”坐标为(t，t)，则 tt2
5、2t，即可求解；新抛物线顶点 B 为“不动点” ，则 设点 B(m，m)，则新抛物线的对称轴为：xm，与 x 轴的交点 C(m，0)，四边形 OABC 是梯形，则直线 xm 在 y 轴左侧，而点 A(1，1)，点 B(m，m)，则 m1，即可求解 【解析】(1)a10， 故该抛物线开口向上，顶点 A 的坐标为(1，1)， 当 x1，y 随 x 的增大而增大，当 x1，y 随 x 增大而减小； (2)设抛物线“不动点”坐标为(t，t)，则 tt22t， 解得：t0 或 3， 故“不动点”坐标为(0，0)或(3，3)； 当 OCAB 时， 新抛物线顶点 B 为“不动点” ，则设点 B(m，m)，
6、新抛物线的对称轴为：xm，与 x 轴的交点 C(m，0)， 四边形 OABC 是梯形， 直线 xm 在 y 轴左侧， BC 与 OA 不平行， OCAB， 又点 A(1，1)，点 B(m，m)， m1， 故新抛物线是由抛物线 yx22x 向左平移 2 个单位得到的； 当 OBAC 时， 同理可得：抛物线的表达式为：y(x2)2+2x24x+6， 当四边形 OABC 是梯形，字母顺序不对，故舍去， 综上，新抛物线的表达式为：y(x+1)21 3 (2018上海)在平面直角坐标系 xOy 中(如图) 已知抛物线 y= 1 2x 2+bx+c 经过点 A(1， 0)和点 B(0， 5 2)， 顶 点
7、为 C，点 D 在其对称轴上且位于点 C 下方，将线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转 90，点 C 落在抛 物线上的点 P 处 (1)求这条抛物线的表达式； (2)求线段 CD 的长； (3)将抛物线平移，使其顶点 C 移到原点 O 的位置，这时点 P 落在点 E 的位置，如果点 M 在 y 轴上，且 以 O、D、E、M 为顶点的四边形面积为 8，求点 M 的坐标 【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式； (2)利用配方法得到 y= 1 2(x2) 2+9 2，则根据二次函数的性质得到 C 点坐标和抛物线的对称轴为直线 x 2，如图，设 CDt，则 D(2，9 2 t)，根据旋转性质得
8、PDC90，DPDCt，则 P(2+t，9 2 t)， 然后把 P(2+t，9 2 t)代入 y= 1 2x 2+2x+5 2得到关于 t 的方程，从而解方程可得到 CD 的长； (3)P 点坐标为(4，5 2)，D 点坐标为(2， 5 2)，利用抛物线的平移规律确定 E 点坐标为(2，2)，设 M(0， m)，当 m0 时，利用梯形面积公式得到1 2(m+ 5 2 +2)28 当 m0 时，利用梯形面积公式得到1 2( m+ 5 2 +2)28，然后分别解方程求出 m 即可得到对应的 M 点坐标 【解析】(1)把 A(1，0)和点 B(0，5 2)代入 y= 1 2x 2+bx+c 得 1
9、2 + = 0 = 5 2 ，解得 = 2 = 5 2 ， 抛物线解析式为 y= 1 2x 2+2x+5 2； (2)y= 1 2(x2) 2+9 2， C(2，9 2)，抛物线的对称轴为直线 x2， 如图，设 CDt，则 D(2，9 2 t)， 线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转 90，点 C 落在抛物线上的点 P 处， PDC90，DPDCt， P(2+t，9 2 t)， 把 P(2+t，9 2 t)代入 y= 1 2x 2+2x+5 2得 1 2(2+t) 2+2(2+t)+5 2 = 9 2 t， 整理得 t22t0，解得 t10(舍去)，t22， 线段 CD 的长为 2； (3)
10、P 点坐标为(4，5 2)，D 点坐标为(2， 5 2)， 抛物线平移，使其顶点 C(2，9 2)移到原点 O 的位置， 抛物线向左平移 2 个单位，向下平移9 2个单位， 而 P 点(4，5 2)向左平移 2 个单位，向下平移 9 2个单位得到点 E， E 点坐标为(2，2)， 设 M(0，m)， 当 m0 时，1 2(m+ 5 2 +2)28，解得 m= 7 2，此时 M 点坐标为(0， 7 2)； 当 m0 时，1 2(m+ 5 2 +2)28，解得 m= 7 2，此时 M 点坐标为(0， 7 2)； 综上所述，M 点的坐标为(0，7 2)或(0， 7 2) 4(2017上海)已知在平面
11、直角坐标系 xOy 中(如图)，已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A(2，2)，对称轴是 直线 x1，顶点为 B (1)求这条抛物线的表达式和点 B 的坐标； (2)点 M 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为 m，联结 AM，用含 m 的代数式表示AMB 的 余切值； (3)将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点 C 在 x 轴上原抛物线上一点 P 平移后的对应点 为点 Q，如果 OPOQ，求点 Q 的坐标 【分析】(1)依据抛物线的对称轴方程可求得 b 的值，然后将点 A 的坐标代入 yx2+2x+c 可求得 c 的 值； (2)过点 A 作 ACBM，垂足为 C，从而可得
12、到 AC1，MCm2，最后利用锐角三角函数的定义求解 即可； (3)由平移后抛物线的顶点在 x 轴上可求得平移的方向和距离，故此 QP3，然后由点 QOPO，QPy 轴可得到点 Q 和 P 关于 x 对称，可求得点 Q 的纵坐标，将点 Q 的纵坐标代入平移后的解析式可求得对 应的 x 的值，则可得到点 Q 的坐标 【解析】(1)抛物线的对称轴为 x1， x= 2 =1，即 ; 2(;1) =1，解得 b2 yx2+2x+c 将 A(2，2)代入得：4+4+c2，解得：c2 抛物线的解析式为 yx2+2x+2 配方得：y(x1)2+3 抛物线的顶点坐标为(1，3) (2)如图所示：过点 A 作
13、AGBM，垂足为 G，则 AG1，G(1，2) M(1，m)，G(1，2)， MGm2 cotAMB= =m2 (3)抛物线的顶点坐标为(1，3)，平移后抛物线的顶点坐标在 x 轴上， 抛物线向下平移了 3 个单位 平移后抛物线的解析式为 yx2+2x1，PQ3 OPOQ， 点 O 在 PQ 的垂直平分线上 又QPy 轴， 点 Q 与点 P 关于 x 轴对称 点 Q 的纵坐标为 3 2 将 y= 3 2代入 yx 2+2x1 得：x2+2x1= 3 2，解得：x= 2+6 2 或 x= 26 2 点 Q 的坐标为(2:6 2 ， 3 2)或( 2;6 2 ， 3 2) 5(2016上海)如图，
14、抛物线 yax2+bx5(a0)经过点 A(4，5)，与 x 轴的负半轴交于点 B，与 y 轴交 于点 C，且 OC5OB，抛物线的顶点为点 D (1)求这条抛物线的表达式； (2)联结 AB、BC、CD、DA，求四边形 ABCD 的面积； (3)如果点 E 在 y 轴的正半轴上，且BEOABC，求点 E 的坐标 【分析】 (1)先得出 C 点坐标， 再由 OC5BO， 得出 B 点坐标， 将 A、 B 两点坐标代入解析式求出 a， b； (2)分别算出ABC 和ACD 的面积，相加即得四边形 ABCD 的面积； (3)由BEOABC 可知，tanBEOtanABC，过 C 作 AB 边上的高
15、 CH，利用等面积法求出 CH， 从而算出 tanABC，而 BO 是已知的，从而利用 tanBEOtanABC 可求出 EO 长度，也就求出了 E 点坐标 【解析】(1)抛物线 yax2+bx5 与 y 轴交于点 C， C(0，5)， OC5 OC5OB， OB1， 又点 B 在 x 轴的负半轴上， B(1，0) 抛物线经过点 A(4，5)和点 B(1，0)， 16 + 4 5 = 5 5 = 0 ，解得 = 1 = 4， 这条抛物线的表达式为 yx24x5 (2)由 yx24x5，得顶点 D 的坐标为(2，9) 连接 AC， 点 A 的坐标是(4，5)，点 C 的坐标是(0，5)， 又 S
16、ABC= 1 2 4510，SACD= 1 2 448， S四边形ABCDSABC+SACD18 (3)过点 C 作 CHAB，垂足为点 H SABC= 1 2 ABCH10，AB= (1 4)2+ (0 + 5)2=52， CH22， 在 RTBCH 中，BHC90，BC= 26，BH= 2 2=32， tanCBH= = 2 3 在 RTBOE 中，BOE90，tanBEO= ， BEOABC， = 2 3，得 EO= 3 2， 点 E 的坐标为(0，3 2) 6(2020浦东新区三模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A(3，0)和 点 B，与
17、 y 轴相交于点 C(0，3)，抛物线的顶点为点 D (1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； (2)联结 AD、AC、CD，求DAC 的正切值； (3)如果点 P 是原抛物线上的一点，且PABDAC，将原抛物线向右平移 m 个单位(m0)，使平移后 新抛物线经过点 P，求平移距离 【分析】(1)利用待定系数法构建方程组即可解决问题 (2)利用勾股定理求出 AD，CD，AC，证明ACD90即可解决问题 (3)过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 H设 P(a，a22a+3)，可得 PH|a22a+3|，AHa+3，由PAB DAC，推出 tanPABtanDAC= = 1 3接下来分两种情形，
18、构建方程求解即可 【解析】(1)抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A(3，0)和点 B，与 y 轴相交于点 C(0，3)， 则有9 3 + = 0 = 3 ， 解得 = 2 = 3 ， 抛物线的解析式为 yx22x+3，顶点 D(1，4) (2)A(3，0)，C(0，3)，D(1，4)， AD= (3 + 1)2+ (0 4)2=25， CD= (0 + 1)2+ (3 4)2= 2， AC= (3 0)2+ (0 3)2=32， AC2+CD2AD2， ACD90， tanDAC= = 1 3 (3)过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 H 点 P 在抛物线 yx22x+3 上， 设
19、 P(a，a22a+3)，可得 PH|a22a+3|，AHa+3， PABDAC， tanPABtanDAC= = 1 3 当 a+33(a22a+3)，解得 a= 2 3或3(舍弃)， P(2 3， 11 9 )， 过点 P 作 x 轴的平行线与抛物线交于点 N，则点 N 与点 P 关于直线 x1 对称， 根据对称性可知 N( 8 3， 11 9 )， 平移的距离为10 3 当 a+33(a22a+3)，解得 a= 4 3或3(舍弃)， P(4 3， 13 9 )， 过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 Q，则点 Q 与点 P 关于直线 x1 对称， 根据对称性可知 Q( 10 3 ，
20、13 9 )， 平移的距离为14 3 ， 综上所述，平移的距离为10 3 或14 3 7 (2020普陀区二模)在平面直角坐标系 xOy 中(如图)， 已知点 A 在 x 轴的正半轴上， 且与原点的距离为 3， 抛物线 yax24ax+3(a0)经过点 A，其顶点为 C，直线 y1 与 y 轴交于点 B，与抛物线交于点 D(在 其对称轴右侧)，联结 BC、CD (1)求抛物线的表达式及点 C 的坐标； (2)点 P 是 y 轴的负半轴上的一点，如果PBC 与BCD 相似，且相似比不为 1，求点 P 的坐标； (3)将CBD 绕着点 B 逆时针方向旋转，使射线 BC 经过点 A，另一边与抛物线交
21、于点 E(点 E 在对称轴 的右侧)，求点 E 的坐标 【分析】(1)把点 A 的坐标代入抛物线的解析式中可得：a 的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点 C 的坐标； (2)根据DBCPBC45，且相似比不为 1，所以只能CBPDBC，列比例式可得 BP 的长， 从而得点 P 的坐标； (3)连接 AC，过 E 作 EHBD 于 H，先根据勾股定理的逆定理证明ABC 是等腰直角三角形，且ACB 90， 由等角三角函数得 tanABCtanEBD= 1 2 = ， 设 EHm， 则 BH2m， 表示 E(2m， m+1)， 代入抛物线的解析式，可得结论 【解析】(1)点 A 在 x 轴的正半轴
22、上，且与原点的距离为 3， A(3，0)， 把 A(3，0)代入抛物线 yax24ax+3 中得：09a12a+3， a1， 抛物线的表达式为：yx24x+3， yx24x+3(x2)21， C(2，1)； (2)当 y1 时，x24x+31， 解得：x122，x22+2， 由题意得：D(2+2，1)， B(0，1)，C(2，1)， BC= 22+ (1 + 1)2=22，BD2+2， DBCPBC45，且相似比不为 1， 只能CBPDBC， = ，即 22 2:2 = 22， BP842， P(0，42 7)； (3)连接 AC，过 E 作 EHBD 于 H， 由旋转得：CBDABE， EB
23、DABC， AB232+1210，BC222+224，AC212+122， AB2BC2+AC2， ABC 是等腰直角三角形，且ACB90， tanABC= = 2 22 = 1 2， tanEBD= 1 2 = ， 设 EHm，则 BH2m， E(2m，m+1)， 点 E 在抛物线上， (2m)242m+3m+1， 4m29m+20， 解得：m12，m2= 1 4(舍)， E(4，3) 8(2020杨浦区二模)如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+4 经过点 A(3，0)和点 B(3，2)，与 y 轴相交于点 C (1)求这条抛物线的表达式； (2)点 P 是抛物线
24、在第一象限内一点，联结 AP，如果点 C 关于直线 AP 的对称点 D 恰好落在 x 轴上，求 直线 AP 的截距； (3)在(2)小题的条件下，如果点 E 是 y 轴正半轴上一点，点 F 是直线 AP 上一点当EAO 与EAF 全 等时，求点 E 的纵坐标 【分析】(1)把 A(3，0)和点 B(3，2)代入抛物线的解析式，列方程组，可得结论； (2)如图 1，根据对称的性质得 ADAC5，可得 OD2，设 OHa，则 HCHD4a，在 RtHOD 中，根据勾股定理得 HD2OH2+OD2，列方程可得结论； (3)分两种情况：先说明AOE 是直角三角形，所以EAF 也是直角三角形，根据EFA
25、90，画图， 由勾股定理列方程可解答 【解析】(1)抛物线 yax2+bx+4 过点 A(3，0)和点 B(3，2)， 9 3 + 4 = 0 9 + 3 + 4 = 2， 解得 = 1 3 = 1 3 ， = 1 3 2 + 1 3 + 4； (2)如图 1，连接 AC，DH， 点 C 关于直线 AP 的对称点 D， ADAC， = 1 3 2 + 1 3 + 4与 y 轴交于点 C(0，4)，与 x 轴交于点 A(3，0)， AC5， AD5， 点 D(2，0)， 设直线 AP 与 y 轴交于点 H，则 HCHD， 设 OHa，则 HCHD4a， 在 RtHOD 中，HD2OH2+OD2，
26、 (4a)2a2+22， = 3 2， 直线 AP 的截距为3 2； (3)点 E 是 y 轴正半轴上一点， AOE 是直角三角形，且AOE90 当EAO 与EAF 全等时，存在两种情况： 如图 2，当EFAAOE90，EFAAOE， EFOA， AHOEHF，AOHEFH90， AOHEFH(AAS)， AHEH， 由(2)知：OH= 3 2， EHAHOE 3 2， RtAHO 中，AH2AO2+OH2， (OE 3 2) 232+(3 2) 2， 解得：OE= 3+35 2 或3;35 2 (舍)， 点 E 的纵坐标是3:35 2 ； 如图 3，当EFAAOE90，EFAEOA， AFA
27、O3，EFOE， RtAHO 中，AH=32+ (3 2) 2 = 35 2 ， FH= 35 2 3，EH= 3 2 OE， RtEFH 中，由勾股定理得：EH2FH2+EF2， (3 2 OE)2(35 2 3)2+OE2， 解得：OE35 6， 点 E 的纵坐标是 35 6； 综上，点 E 的纵坐标是3:35 2 或 35 6 9(2020嘉定区二模)在平面直角坐标系 xOy 中(如图)，已知经过点 A(3，0)的抛物线 yax2+2ax3 与 y 轴交于点 C，点 B 与点 A 关于该抛物线的对称轴对称，D 为该抛物线的顶点 (1)直接写出该抛物线的对称轴以及点 B 的坐标、点 C 的
28、坐标、点 D 的坐标； (2)联结 AD、DC、CB，求四边形 ABCD 的面积； (3)联结 AC如果点 E 在该抛物线上，过点 E 作 x 轴的垂线，垂足为 H，线段 EH 交线段 AC 于点 F当 EF2FH 时，求点 E 的坐标 【分析】(1)该抛物线的对称轴为直线 x= 2 2 = 1，而点 A(3，0)，求出点 B 的坐标，进而求解； (2)将四边形 ABCD 的面积分解为DAM、梯形 DMOC、BOC 的面积和，即可求解； (3)设点 E(x，x2+2x3)，则点 F(x，x1)，求出 EF、FH 长度的表达式，即可求解 【解析】(1)该抛物线的对称轴为直线 x= 2 2 = 1
29、，而点 A(3，0)， 点 B 的坐标为(1，0)， c3，故点 C 的坐标为(0，3)， 函数的对称轴为 x1，故点 D 的坐标为(1，4)； (2)过点 D 作 DMAB，垂足为 M， 则 OM1，DM4，AM2，OB1， = 1 2 = 1 2 2 4 = 4， 梯形= 1 2 ( + ) = 1 2 (3 + 4) 1 = 7 2， = 1 2 = 1 2 1 3 = 3 2， 四边形= + 梯形+ = 4 + 7 2 + 3 2 = 9； (3)设直线 AC 的表达式为：ykx+b，则 = 3 3 + = 0，解得： = 1 = 3， 故直线 AC 的表达式为：yx3， 将点 A 的
30、坐标代入抛物线表达式得：9a6a30，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx2+2x3， 设点 E(x，x2+2x3)，则点 F(x，x3)， 则 EF(x3)(x2+2x3)x23x，FHx+3， EF2FH， x23x2(x+3)，解得：x2 或3(舍去3)， 故 m2， 故点 E 的坐标为：(2，3) 10(2020长宁区二模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx2+mx+n 经过点 A(2，2)，对称 轴是直线 x1，顶点为点 B，抛物线与 y 轴交于点 C (1)求抛物线的表达式和点 B 的坐标； (2)将上述抛物线向下平移 1 个单位，平移后的抛物线与 x 轴正半轴
31、交于点 D，求BCD 的面积； (3)如果点 P 在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结 BP 交线段 OA 于点 Q， = 1 5，求点 P 的坐标 【分析】(1)先根据对称轴求出 m，再将点 A 坐标代入抛物线解析式中求出 n，得出抛物线解析式，最后 配成顶点式，即可得出结论； (2)先求出点 D 坐标，进而求出直线 CD 解析式，得出点 E 坐标，再用面积公式求解即可得出结论； (3)设出点 P 坐标， 构造出PMQPNB， 得出 = = ， 表示出 QM= 5 6(a 22a+1)， PM=5 6(a 1)，进而表示出 Q(1 6a+ 5 6， 1 6a 21 3a 11 6 )，代入直
32、线 OA 中，即可得出结论 【解析】(1)抛物线 yx2+mx+n 的对称轴是直线 x1， 2 =1， m2， 抛物线解析式为 yx22x+n， 抛物线过点(2，2)， 422+n2， n2， 抛物线的解析式为 yx22x2(x1)23， 顶点 B 的坐标为(1，3)； (2)如图 1，由平移知，平移后的抛物线解析式为 yx22x3， 令 y0，则 x22x30， x1 或 x3， 点 D 在 x 正半轴上， D(3，0)， 针对于抛物线 yx22x2， 令 x0，则 y2， C(0，2)， 直线 CD 的解析式为 y= 2 3x2， 记直线 CD 与直线 x1 的交点为 E，则 E(1， 4
33、 3)， SBCD= 1 2BE|xDxC|= 1 2 | 4 3 (3)|3= 5 2； (3)如图 2，设 P(a，a22a2)， 过点 P 作 PN 垂直于直线 x1 于点 N 过点 Q 作 QMPN 于 M， QMNB， PMQPNB， = = ， = 1 5， = = 5 6， PNa1，BNa22a2+3a22a+1， 2;2:1 = ;1 = 5 6， QM= 5 6(a 22a+1)，PM=5 6(a1)， MNPNPM= 1 6(a1)，点 Q 与点 B 的纵坐标之差的绝对值为 1 6(a 22a+1)， Q(1 6a+ 5 6， 1 6a 21 3a 11 6 )， A(2
34、，2)， 直线 OA 的解析式为 yx， 点 Q 在线段 OA 上， 1 6a+ 5 6 + 1 6a 21 3a 11 6 =0， a3(舍)或 a4， P(4，6) 11(2020宝山区二模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax22ax3a(a0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，经过点 A 的直线 l：ykx+b 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点 为 D，且 CD4AC (1)直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式(其中 k、b 用含 a 的式子表示)； (2)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最
35、大值为5 4，求 a 的值； (3)设 P 是抛物线的对称轴上的一点， 点 Q 在抛物线上， 当以点 A、 D、 P、 Q 为顶点的四边形为矩形时， 请直接写出点 P 的坐标 【分析】 (1)将已知抛物线解析式转化为两点式， 可以直接得到点 A 的坐标； 根据直线 l： ykx+b 过 A( 1，0)，得到直线 l：ykx+k，解方程得到点 D 的横坐标为 4，求得 ka，得到直线 l 的函数表达式为 y ax+a； (2)过 E 作 EFy 轴交直线 l 于 F，设 E(x，ax22ax3a)，得到 F(x，ax+a)，求出 EFax23ax4a， 根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
36、(3)令 ax22ax3aax+a，即 ax23ax4a0，得到 D(4，5a)，设 P(1，m)，若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边，若 AD 是矩形 APDQ 的对角线，列方程即可得到结论 【解析】(1)当 yax22ax3aa(x+1)(x3)，得 A(1，0)，B(3，0)， 直线 l：ykx+b 过 A(1，0)， 0k+b， 即 kb， 直线 l：ykx+k， 抛物线与直线 l 交于点 A，D， ax22ax3akx+k， 即 ax2(2a+k)x3ak0， CD4AC， 点 D 的横坐标为 4， 3 = 14， ka， 直线 l 的函数表达式为 yax+a； (2)如图 1，过
37、 E 作 EFy 轴交直线 l 于 F， 设 E(x，ax22ax3a)， 则 F(x，ax+a)，EFax22ax3aaxaax23ax4a， SACESAFESCEF= 1 2(ax 23ax4a)(x+1)1 2(ax 23ax4a)x=1 2(ax 23ax4a)=1 2a(x 3 2) 225 8 a， ACE 的面积的最大值25 8 a， ACE 的面积的最大值为5 4， 25 8 a= 5 4， 解得 a= 2 5； (3)以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形， 令 ax22ax3aax+a，即 ax23ax4a0， 解得：x11，x24， D(4，5a)， 抛物线的对
38、称轴为直线 x1， 设 P(1，m)， 如图 2，若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边， 则易得 Q(4，21a)， m21a+5a26a，则 P(1，26a)， 四边形 ADPQ 是矩形， ADP90， AD2+PD2AP2， 52+(5a)2+32+(26a5a)222+(26a)2， 即 a2= 1 7， a0， a= 7 7 P(1， 267 7 )； 如图 3，若 AD 是矩形 APDQ 的对角线， 则易得 Q(2，3a)， m5a(3a)8a，则 P(1，8a)， 四边形 APDQ 是矩形， APD90， AP2+PD2AD2， (11)2+(8a)2+(14)2+(8a5a)25
39、2+(5a)2， 即 a2= 1 4， a0， a= 1 2， P(1，4)， 综上所述，点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点 P(1， 267 7 )或(1，4) 12(2020黄浦区二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y= 1 2x 2+bx+c 经过点 A(4，0)和 B(2，6)， 其顶点为 D (1)求此抛物线的表达式； (2)求ABD 的面积； (3)设 C 为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点 C 作 CHx 轴，垂足为点 H，如果OCH 与ABD 相似，求点 C 的坐标 【分析】(1)将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； (2)BD2AB2
40、+AD2，则ABD 为直角三角形，ABD 的面积= 1 2ABAD，即可求解； (3)OCH 与ABD 相似， tanCOHtanABD 或 tanADB， 即 tanCOH= = 1 22+2 = 1 3或 3， 即可求解 【解析】(1)将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式得： 1 2 16 4 + = 0 1 2 4 + 2 + = 6 ，解得： = 2 = 0， 故抛物线的表达式为：y= 1 2x 2+2x； (2)对于 y= 1 2x 2+2x，顶点 D(2，2)， 则 AD= (4 + 2)2+ (0 + 2)2=22， 同理 AB62，BD45， 故 BD2AB2+AD2， ABD
41、 为直角三角形， ABD 的面积= 1 2ABAD= 1 2 62 22 =12； (3)在ABD 中，tanABD= = 22 62 = 1 3， OCH 与ABD 相似， tanCOHtanABD 或 tanADB， 即 tanCOH= 1 3或 3， 设点 C(m，1 2m 2+2m)，则 tanCOH= = 1 22+2 = 1 3或 3， 解得：m10 或 14 3 (不合题意的值已舍去)， 故点 H 的坐标为(10，30)或( 14 3 ，14 9 ) 13(2020虹口区二模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+3 经过点 A(1，0)和点 B(3， 0)
42、，该抛物线对称轴上的点 P 在 x 轴上方，线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90至 PC(点 B 对应点 C)， 点 C 恰好落在抛物线上 (1)求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴； (2)求点 P 的坐标； (3)点 Q 在抛物线上，联结 AC，如果QACABC，求点 Q 的坐标 【分析】(1)将点 A、B 坐标代入抛物线表达式，即可求解； (2)证明PMCBNP(AAS)，则 PMBN，MCPN，即可求解； (3)设MH3x， 用x表示AM、 GM， 利用AGAM+GM= 2， 求出x的值； 在AOH中， OH= 2 2， 求得点 H 的坐标，即可求解 【解析】(1)将点 A、B 坐
43、标代入抛物线表达式得： + 3 = 0 9 + 3 + 3 = 0，解得： = 1 = 2 ， 故抛物线的表达式为：yx2+2x+3； 函数的对称轴为：x1； (2)设点 C(m，n)，则 nm2+2m+3，点 P(1，s)， 如图 1，设抛物线对称轴交 x 轴于点 N，过点 C 作 CMPN 交抛物线对称轴于点 M， PBN+BPN90，BPN+MPC90， MPCPBN， PMCBNP90，PBPC， PMCBNP(AAS)， PMBN，MCPN， 1 = = 2 = 2+ 2 + 3 ，解得： = 2 = 3 = 1 ， 故点 C(2，3)，点 P(1，1)； 故点 P 的坐标为(1，1
44、)； (3)设直线 AC 交 y 轴于点 G，直线 AQ 交 y 轴于点 H， 由(2)知，点 C(2，3)，而点 A(1，0)， 过点 C 作 CKx 轴于点 K，则 CKAK3， 故直线 AC 的倾斜角为 45，故AGOGAO45， tanABC= = 3 32 =3 QACABC， tanQAC3； 在AGH 中，过点 H 作 HMAG 于点 M，设 MH3x， AGO45，则 GOAO1， MGMH3x， tanQAC3，则 AMx， AGAM+GMx+3x= (1)2+ 12= 2， 解得：x= 2 4 ， 在AHM 中，AH= 2+ 2= 10 x= 5 2 ， 在AOH 中，OH
45、= 2 2= 1 2，故点 H(0， 1 2)， 由点 A、H 的坐标得，直线 AH 的表达式为：y= 1 2x 1 2， 联立并解得：x1(舍去)或7 2， 故点 Q 的坐标为：(7 2， 9 4) 14(2020浦东新区二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C(0，3)，对称轴是直线 x1 (1)求抛物线的表达式； (2)直线 MN 平行于 x 轴，与抛物线交于 M、N 两点(点 M 在点 N 的左侧)，且 MN= 3 4AB，点 C 关于直线 MN 的对称点为 E，求线段 OE 的长
46、； (3)点 P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结 CP、EP，EP 交线段 BC 于点 F，当 SCPF：SCEF 1：2 时，求点 P 的坐标 【分析】(1)根据对称轴为直线 x1 求出 b2，即可求解； (2)由抛物线的对称性知，QMQN= 1 2MN= 3 2，则点 N( 5 2， 7 4)，即 MN 在直线 y= 7 4上，即可求解； (3)SCPF：SCEF1：2，即 = 1 2，而PPFECF，则 = ，即 ;2:3 5 2 = 1 2，即可求解 【解析】(1)由题意得： 2(1) = 1，解得：b2， 抛物线与 y 轴交于点 C(0，3)，故 c3， 故抛物线的表达式为：
47、yx2+2x+3； (2)对于 yx2+2x+3，令 y0，则 x1 或 3， 故点 A、B 的坐标分别为：(1，0)、(3，0)，则 AB4，MN= 3 4AB3， 如图 1，作抛物线的对称轴交 MN 于点 Q， 由抛物线的对称性知，QMQN= 1 2MN= 3 2， 则点 N 的横坐标为 1+ 3 2 = 5 2，故点 N( 5 2， 7 4)，即 MN 在直线 y= 7 4上， 则点 C 关于 MN 的对称点 E 的坐标为：(0，1 2)， 即 OE= 1 2； (3)过点 P 作 PPOC 交 BC 于点 P， 设直线 BC 的表达式为：ymx+n，则 = 3 0 = 3 + ，解得： = 1 = 3 ， 故直线 BC 的表达式为：yx+3， 设点 P(a，a2+2a+3)，则点 P(a，a+3)， 则 PP(a2+2a+3)(a+3)a2+3a， SCPF：SCEF1：2，即 = 1 2， PPCE， PPFECF， = ，即 ;2:3 5 2 = 1 2， 解得：a= 5 2或 1 2， 故点 P 的坐标为：(5
