专题10二次函数压轴题(共34题)-备战2021年中考数学真题模拟题分专题训练(教师版含解析)【上海专版】

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1、备战备战 2021 年中考数学真题模拟题分类汇编年中考数学真题模拟题分类汇编(上海专版上海专版) 专题专题 10 二次函数压轴题二次函数压轴题(共共 34 题题) 一解答题一解答题(共共 34 小题小题) 1(2020上海)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y= 1 2x+5 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B(如图)抛物线 y ax2+bx(a0)经过点 A (1)求线段 AB 的长; (2)如果抛物线 yax2+bx 经过线段 AB 上的另一点 C,且 BC= 5,求这条抛物线的表达式; (3)如果抛物线 yax2+bx 的顶点 D 位于AOB 内,求 a 的取值范围 【分析】(1)先

2、求出 A,B 坐标,即可得出结论; (2)设点 C(m, 1 2m+5),则 BC= 5 2 |m,进而求出点 C(2,4),最后将点 A,C 代入抛物线解析式中,即 可得出结论; (3)将点 A 坐标代入抛物线解析式中得出 b10a, 代入抛物线解析式中得出顶点 D 坐标为(5, 25a), 即可得出结论 【解析】(1)针对于直线 y= 1 2x+5, 令 x0,y5, B(0,5), 令 y0,则 1 2x+50, x10, A(10,0), AB= 52+ 102=55; (2)设点 C(m, 1 2m+5), B(0,5), BC=2+ ( 1 2 + 5 5) 2 = 5 2 |m|

3、, BC= 5, 5 2 |m|= 5, m2, 点 C 在线段 AB 上, m2, C(2,4), 将点 A(10,0),C(2,4)代入抛物线 yax2+bx(a0)中,得100 + 10 = 0 4 + 2 = 4 , = 1 4 = 5 2 , 抛物线 y= 1 4x 2+5 2x; (3)点 A(10,0)在抛物线 yax2+bx 中,得 100a+10b0, b10a, 抛物线的解析式为 yax210axa(x5)225a, 抛物线的顶点 D 坐标为(5,25a), 将 x5 代入 y= 1 2x+5 中,得 y= 1 2 5+5= 5 2, 顶点 D 位于AOB 内, 025a

4、5 2, 1 10a0; 2(2019上海)在平面直角坐标系 xOy 中(如图),已知抛物线 yx22x,其顶点为 A (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点 A 的坐标,并说明它的变化情况; (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” 试求抛物线 yx22x 的“不动点”的坐标; 平移抛物线 yx22x, 使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的 “不动点” , 其对称轴与 x 轴交于点 C, 且四边形 OABC 是梯形,求新抛物线的表达式 【分析】(1)a10,故该抛物线开口向上,顶点 A 的坐标为(1,1); (2)设抛物线“不动点”坐标为(t,t),则 tt2

5、2t,即可求解;新抛物线顶点 B 为“不动点” ,则 设点 B(m,m),则新抛物线的对称轴为:xm,与 x 轴的交点 C(m,0),四边形 OABC 是梯形,则直线 xm 在 y 轴左侧,而点 A(1,1),点 B(m,m),则 m1,即可求解 【解析】(1)a10, 故该抛物线开口向上,顶点 A 的坐标为(1,1), 当 x1,y 随 x 的增大而增大,当 x1,y 随 x 增大而减小; (2)设抛物线“不动点”坐标为(t,t),则 tt22t, 解得:t0 或 3, 故“不动点”坐标为(0,0)或(3,3); 当 OCAB 时, 新抛物线顶点 B 为“不动点” ,则设点 B(m,m),

6、新抛物线的对称轴为:xm,与 x 轴的交点 C(m,0), 四边形 OABC 是梯形, 直线 xm 在 y 轴左侧, BC 与 OA 不平行, OCAB, 又点 A(1,1),点 B(m,m), m1, 故新抛物线是由抛物线 yx22x 向左平移 2 个单位得到的; 当 OBAC 时, 同理可得:抛物线的表达式为:y(x2)2+2x24x+6, 当四边形 OABC 是梯形,字母顺序不对,故舍去, 综上,新抛物线的表达式为:y(x+1)21 3 (2018上海)在平面直角坐标系 xOy 中(如图) 已知抛物线 y= 1 2x 2+bx+c 经过点 A(1, 0)和点 B(0, 5 2), 顶 点

7、为 C,点 D 在其对称轴上且位于点 C 下方,将线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转 90,点 C 落在抛 物线上的点 P 处 (1)求这条抛物线的表达式; (2)求线段 CD 的长; (3)将抛物线平移,使其顶点 C 移到原点 O 的位置,这时点 P 落在点 E 的位置,如果点 M 在 y 轴上,且 以 O、D、E、M 为顶点的四边形面积为 8,求点 M 的坐标 【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式; (2)利用配方法得到 y= 1 2(x2) 2+9 2,则根据二次函数的性质得到 C 点坐标和抛物线的对称轴为直线 x 2,如图,设 CDt,则 D(2,9 2 t),根据旋转性质得

8、PDC90,DPDCt,则 P(2+t,9 2 t), 然后把 P(2+t,9 2 t)代入 y= 1 2x 2+2x+5 2得到关于 t 的方程,从而解方程可得到 CD 的长; (3)P 点坐标为(4,5 2),D 点坐标为(2, 5 2),利用抛物线的平移规律确定 E 点坐标为(2,2),设 M(0, m),当 m0 时,利用梯形面积公式得到1 2(m+ 5 2 +2)28 当 m0 时,利用梯形面积公式得到1 2( m+ 5 2 +2)28,然后分别解方程求出 m 即可得到对应的 M 点坐标 【解析】(1)把 A(1,0)和点 B(0,5 2)代入 y= 1 2x 2+bx+c 得 1

9、2 + = 0 = 5 2 ,解得 = 2 = 5 2 , 抛物线解析式为 y= 1 2x 2+2x+5 2; (2)y= 1 2(x2) 2+9 2, C(2,9 2),抛物线的对称轴为直线 x2, 如图,设 CDt,则 D(2,9 2 t), 线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转 90,点 C 落在抛物线上的点 P 处, PDC90,DPDCt, P(2+t,9 2 t), 把 P(2+t,9 2 t)代入 y= 1 2x 2+2x+5 2得 1 2(2+t) 2+2(2+t)+5 2 = 9 2 t, 整理得 t22t0,解得 t10(舍去),t22, 线段 CD 的长为 2; (3)

10、P 点坐标为(4,5 2),D 点坐标为(2, 5 2), 抛物线平移,使其顶点 C(2,9 2)移到原点 O 的位置, 抛物线向左平移 2 个单位,向下平移9 2个单位, 而 P 点(4,5 2)向左平移 2 个单位,向下平移 9 2个单位得到点 E, E 点坐标为(2,2), 设 M(0,m), 当 m0 时,1 2(m+ 5 2 +2)28,解得 m= 7 2,此时 M 点坐标为(0, 7 2); 当 m0 时,1 2(m+ 5 2 +2)28,解得 m= 7 2,此时 M 点坐标为(0, 7 2); 综上所述,M 点的坐标为(0,7 2)或(0, 7 2) 4(2017上海)已知在平面

11、直角坐标系 xOy 中(如图),已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A(2,2),对称轴是 直线 x1,顶点为 B (1)求这条抛物线的表达式和点 B 的坐标; (2)点 M 在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为 m,联结 AM,用含 m 的代数式表示AMB 的 余切值; (3)将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点 C 在 x 轴上原抛物线上一点 P 平移后的对应点 为点 Q,如果 OPOQ,求点 Q 的坐标 【分析】(1)依据抛物线的对称轴方程可求得 b 的值,然后将点 A 的坐标代入 yx2+2x+c 可求得 c 的 值; (2)过点 A 作 ACBM,垂足为 C,从而可得

12、到 AC1,MCm2,最后利用锐角三角函数的定义求解 即可; (3)由平移后抛物线的顶点在 x 轴上可求得平移的方向和距离,故此 QP3,然后由点 QOPO,QPy 轴可得到点 Q 和 P 关于 x 对称,可求得点 Q 的纵坐标,将点 Q 的纵坐标代入平移后的解析式可求得对 应的 x 的值,则可得到点 Q 的坐标 【解析】(1)抛物线的对称轴为 x1, x= 2 =1,即 ; 2(;1) =1,解得 b2 yx2+2x+c 将 A(2,2)代入得:4+4+c2,解得:c2 抛物线的解析式为 yx2+2x+2 配方得:y(x1)2+3 抛物线的顶点坐标为(1,3) (2)如图所示:过点 A 作

13、AGBM,垂足为 G,则 AG1,G(1,2) M(1,m),G(1,2), MGm2 cotAMB= =m2 (3)抛物线的顶点坐标为(1,3),平移后抛物线的顶点坐标在 x 轴上, 抛物线向下平移了 3 个单位 平移后抛物线的解析式为 yx2+2x1,PQ3 OPOQ, 点 O 在 PQ 的垂直平分线上 又QPy 轴, 点 Q 与点 P 关于 x 轴对称 点 Q 的纵坐标为 3 2 将 y= 3 2代入 yx 2+2x1 得:x2+2x1= 3 2,解得:x= 2+6 2 或 x= 26 2 点 Q 的坐标为(2:6 2 , 3 2)或( 2;6 2 , 3 2) 5(2016上海)如图,

14、抛物线 yax2+bx5(a0)经过点 A(4,5),与 x 轴的负半轴交于点 B,与 y 轴交 于点 C,且 OC5OB,抛物线的顶点为点 D (1)求这条抛物线的表达式; (2)联结 AB、BC、CD、DA,求四边形 ABCD 的面积; (3)如果点 E 在 y 轴的正半轴上,且BEOABC,求点 E 的坐标 【分析】 (1)先得出 C 点坐标, 再由 OC5BO, 得出 B 点坐标, 将 A、 B 两点坐标代入解析式求出 a, b; (2)分别算出ABC 和ACD 的面积,相加即得四边形 ABCD 的面积; (3)由BEOABC 可知,tanBEOtanABC,过 C 作 AB 边上的高

15、 CH,利用等面积法求出 CH, 从而算出 tanABC,而 BO 是已知的,从而利用 tanBEOtanABC 可求出 EO 长度,也就求出了 E 点坐标 【解析】(1)抛物线 yax2+bx5 与 y 轴交于点 C, C(0,5), OC5 OC5OB, OB1, 又点 B 在 x 轴的负半轴上, B(1,0) 抛物线经过点 A(4,5)和点 B(1,0), 16 + 4 5 = 5 5 = 0 ,解得 = 1 = 4, 这条抛物线的表达式为 yx24x5 (2)由 yx24x5,得顶点 D 的坐标为(2,9) 连接 AC, 点 A 的坐标是(4,5),点 C 的坐标是(0,5), 又 S

16、ABC= 1 2 4510,SACD= 1 2 448, S四边形ABCDSABC+SACD18 (3)过点 C 作 CHAB,垂足为点 H SABC= 1 2 ABCH10,AB= (1 4)2+ (0 + 5)2=52, CH22, 在 RTBCH 中,BHC90,BC= 26,BH= 2 2=32, tanCBH= = 2 3 在 RTBOE 中,BOE90,tanBEO= , BEOABC, = 2 3,得 EO= 3 2, 点 E 的坐标为(0,3 2) 6(2020浦东新区三模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A(3,0)和 点 B,与

17、 y 轴相交于点 C(0,3),抛物线的顶点为点 D (1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标; (2)联结 AD、AC、CD,求DAC 的正切值; (3)如果点 P 是原抛物线上的一点,且PABDAC,将原抛物线向右平移 m 个单位(m0),使平移后 新抛物线经过点 P,求平移距离 【分析】(1)利用待定系数法构建方程组即可解决问题 (2)利用勾股定理求出 AD,CD,AC,证明ACD90即可解决问题 (3)过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 H设 P(a,a22a+3),可得 PH|a22a+3|,AHa+3,由PAB DAC,推出 tanPABtanDAC= = 1 3接下来分两种情形,

18、构建方程求解即可 【解析】(1)抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A(3,0)和点 B,与 y 轴相交于点 C(0,3), 则有9 3 + = 0 = 3 , 解得 = 2 = 3 , 抛物线的解析式为 yx22x+3,顶点 D(1,4) (2)A(3,0),C(0,3),D(1,4), AD= (3 + 1)2+ (0 4)2=25, CD= (0 + 1)2+ (3 4)2= 2, AC= (3 0)2+ (0 3)2=32, AC2+CD2AD2, ACD90, tanDAC= = 1 3 (3)过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 H 点 P 在抛物线 yx22x+3 上, 设

19、 P(a,a22a+3),可得 PH|a22a+3|,AHa+3, PABDAC, tanPABtanDAC= = 1 3 当 a+33(a22a+3),解得 a= 2 3或3(舍弃), P(2 3, 11 9 ), 过点 P 作 x 轴的平行线与抛物线交于点 N,则点 N 与点 P 关于直线 x1 对称, 根据对称性可知 N( 8 3, 11 9 ), 平移的距离为10 3 当 a+33(a22a+3),解得 a= 4 3或3(舍弃), P(4 3, 13 9 ), 过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 Q,则点 Q 与点 P 关于直线 x1 对称, 根据对称性可知 Q( 10 3 ,

20、13 9 ), 平移的距离为14 3 , 综上所述,平移的距离为10 3 或14 3 7 (2020普陀区二模)在平面直角坐标系 xOy 中(如图), 已知点 A 在 x 轴的正半轴上, 且与原点的距离为 3, 抛物线 yax24ax+3(a0)经过点 A,其顶点为 C,直线 y1 与 y 轴交于点 B,与抛物线交于点 D(在 其对称轴右侧),联结 BC、CD (1)求抛物线的表达式及点 C 的坐标; (2)点 P 是 y 轴的负半轴上的一点,如果PBC 与BCD 相似,且相似比不为 1,求点 P 的坐标; (3)将CBD 绕着点 B 逆时针方向旋转,使射线 BC 经过点 A,另一边与抛物线交

21、于点 E(点 E 在对称轴 的右侧),求点 E 的坐标 【分析】(1)把点 A 的坐标代入抛物线的解析式中可得:a 的值,从而得抛物线的解析式,配方得顶点 C 的坐标; (2)根据DBCPBC45,且相似比不为 1,所以只能CBPDBC,列比例式可得 BP 的长, 从而得点 P 的坐标; (3)连接 AC,过 E 作 EHBD 于 H,先根据勾股定理的逆定理证明ABC 是等腰直角三角形,且ACB 90, 由等角三角函数得 tanABCtanEBD= 1 2 = , 设 EHm, 则 BH2m, 表示 E(2m, m+1), 代入抛物线的解析式,可得结论 【解析】(1)点 A 在 x 轴的正半轴

22、上,且与原点的距离为 3, A(3,0), 把 A(3,0)代入抛物线 yax24ax+3 中得:09a12a+3, a1, 抛物线的表达式为:yx24x+3, yx24x+3(x2)21, C(2,1); (2)当 y1 时,x24x+31, 解得:x122,x22+2, 由题意得:D(2+2,1), B(0,1),C(2,1), BC= 22+ (1 + 1)2=22,BD2+2, DBCPBC45,且相似比不为 1, 只能CBPDBC, = ,即 22 2:2 = 22, BP842, P(0,42 7); (3)连接 AC,过 E 作 EHBD 于 H, 由旋转得:CBDABE, EB

23、DABC, AB232+1210,BC222+224,AC212+122, AB2BC2+AC2, ABC 是等腰直角三角形,且ACB90, tanABC= = 2 22 = 1 2, tanEBD= 1 2 = , 设 EHm,则 BH2m, E(2m,m+1), 点 E 在抛物线上, (2m)242m+3m+1, 4m29m+20, 解得:m12,m2= 1 4(舍), E(4,3) 8(2020杨浦区二模)如图,已知在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yax2+bx+4 经过点 A(3,0)和点 B(3,2),与 y 轴相交于点 C (1)求这条抛物线的表达式; (2)点 P 是抛物线

24、在第一象限内一点,联结 AP,如果点 C 关于直线 AP 的对称点 D 恰好落在 x 轴上,求 直线 AP 的截距; (3)在(2)小题的条件下,如果点 E 是 y 轴正半轴上一点,点 F 是直线 AP 上一点当EAO 与EAF 全 等时,求点 E 的纵坐标 【分析】(1)把 A(3,0)和点 B(3,2)代入抛物线的解析式,列方程组,可得结论; (2)如图 1,根据对称的性质得 ADAC5,可得 OD2,设 OHa,则 HCHD4a,在 RtHOD 中,根据勾股定理得 HD2OH2+OD2,列方程可得结论; (3)分两种情况:先说明AOE 是直角三角形,所以EAF 也是直角三角形,根据EFA

25、90,画图, 由勾股定理列方程可解答 【解析】(1)抛物线 yax2+bx+4 过点 A(3,0)和点 B(3,2), 9 3 + 4 = 0 9 + 3 + 4 = 2, 解得 = 1 3 = 1 3 , = 1 3 2 + 1 3 + 4; (2)如图 1,连接 AC,DH, 点 C 关于直线 AP 的对称点 D, ADAC, = 1 3 2 + 1 3 + 4与 y 轴交于点 C(0,4),与 x 轴交于点 A(3,0), AC5, AD5, 点 D(2,0), 设直线 AP 与 y 轴交于点 H,则 HCHD, 设 OHa,则 HCHD4a, 在 RtHOD 中,HD2OH2+OD2,

26、 (4a)2a2+22, = 3 2, 直线 AP 的截距为3 2; (3)点 E 是 y 轴正半轴上一点, AOE 是直角三角形,且AOE90 当EAO 与EAF 全等时,存在两种情况: 如图 2,当EFAAOE90,EFAAOE, EFOA, AHOEHF,AOHEFH90, AOHEFH(AAS), AHEH, 由(2)知:OH= 3 2, EHAHOE 3 2, RtAHO 中,AH2AO2+OH2, (OE 3 2) 232+(3 2) 2, 解得:OE= 3+35 2 或3;35 2 (舍), 点 E 的纵坐标是3:35 2 ; 如图 3,当EFAAOE90,EFAEOA, AFA

27、O3,EFOE, RtAHO 中,AH=32+ (3 2) 2 = 35 2 , FH= 35 2 3,EH= 3 2 OE, RtEFH 中,由勾股定理得:EH2FH2+EF2, (3 2 OE)2(35 2 3)2+OE2, 解得:OE35 6, 点 E 的纵坐标是 35 6; 综上,点 E 的纵坐标是3:35 2 或 35 6 9(2020嘉定区二模)在平面直角坐标系 xOy 中(如图),已知经过点 A(3,0)的抛物线 yax2+2ax3 与 y 轴交于点 C,点 B 与点 A 关于该抛物线的对称轴对称,D 为该抛物线的顶点 (1)直接写出该抛物线的对称轴以及点 B 的坐标、点 C 的

28、坐标、点 D 的坐标; (2)联结 AD、DC、CB,求四边形 ABCD 的面积; (3)联结 AC如果点 E 在该抛物线上,过点 E 作 x 轴的垂线,垂足为 H,线段 EH 交线段 AC 于点 F当 EF2FH 时,求点 E 的坐标 【分析】(1)该抛物线的对称轴为直线 x= 2 2 = 1,而点 A(3,0),求出点 B 的坐标,进而求解; (2)将四边形 ABCD 的面积分解为DAM、梯形 DMOC、BOC 的面积和,即可求解; (3)设点 E(x,x2+2x3),则点 F(x,x1),求出 EF、FH 长度的表达式,即可求解 【解析】(1)该抛物线的对称轴为直线 x= 2 2 = 1

29、,而点 A(3,0), 点 B 的坐标为(1,0), c3,故点 C 的坐标为(0,3), 函数的对称轴为 x1,故点 D 的坐标为(1,4); (2)过点 D 作 DMAB,垂足为 M, 则 OM1,DM4,AM2,OB1, = 1 2 = 1 2 2 4 = 4, 梯形= 1 2 ( + ) = 1 2 (3 + 4) 1 = 7 2, = 1 2 = 1 2 1 3 = 3 2, 四边形= + 梯形+ = 4 + 7 2 + 3 2 = 9; (3)设直线 AC 的表达式为:ykx+b,则 = 3 3 + = 0,解得: = 1 = 3, 故直线 AC 的表达式为:yx3, 将点 A 的

30、坐标代入抛物线表达式得:9a6a30,解得:a1, 故抛物线的表达式为:yx2+2x3, 设点 E(x,x2+2x3),则点 F(x,x3), 则 EF(x3)(x2+2x3)x23x,FHx+3, EF2FH, x23x2(x+3),解得:x2 或3(舍去3), 故 m2, 故点 E 的坐标为:(2,3) 10(2020长宁区二模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yx2+mx+n 经过点 A(2,2),对称 轴是直线 x1,顶点为点 B,抛物线与 y 轴交于点 C (1)求抛物线的表达式和点 B 的坐标; (2)将上述抛物线向下平移 1 个单位,平移后的抛物线与 x 轴正半轴

31、交于点 D,求BCD 的面积; (3)如果点 P 在原抛物线上,且在对称轴的右侧,联结 BP 交线段 OA 于点 Q, = 1 5,求点 P 的坐标 【分析】(1)先根据对称轴求出 m,再将点 A 坐标代入抛物线解析式中求出 n,得出抛物线解析式,最后 配成顶点式,即可得出结论; (2)先求出点 D 坐标,进而求出直线 CD 解析式,得出点 E 坐标,再用面积公式求解即可得出结论; (3)设出点 P 坐标, 构造出PMQPNB, 得出 = = , 表示出 QM= 5 6(a 22a+1), PM=5 6(a 1),进而表示出 Q(1 6a+ 5 6, 1 6a 21 3a 11 6 ),代入直

32、线 OA 中,即可得出结论 【解析】(1)抛物线 yx2+mx+n 的对称轴是直线 x1, 2 =1, m2, 抛物线解析式为 yx22x+n, 抛物线过点(2,2), 422+n2, n2, 抛物线的解析式为 yx22x2(x1)23, 顶点 B 的坐标为(1,3); (2)如图 1,由平移知,平移后的抛物线解析式为 yx22x3, 令 y0,则 x22x30, x1 或 x3, 点 D 在 x 正半轴上, D(3,0), 针对于抛物线 yx22x2, 令 x0,则 y2, C(0,2), 直线 CD 的解析式为 y= 2 3x2, 记直线 CD 与直线 x1 的交点为 E,则 E(1, 4

33、 3), SBCD= 1 2BE|xDxC|= 1 2 | 4 3 (3)|3= 5 2; (3)如图 2,设 P(a,a22a2), 过点 P 作 PN 垂直于直线 x1 于点 N 过点 Q 作 QMPN 于 M, QMNB, PMQPNB, = = , = 1 5, = = 5 6, PNa1,BNa22a2+3a22a+1, 2;2:1 = ;1 = 5 6, QM= 5 6(a 22a+1),PM=5 6(a1), MNPNPM= 1 6(a1),点 Q 与点 B 的纵坐标之差的绝对值为 1 6(a 22a+1), Q(1 6a+ 5 6, 1 6a 21 3a 11 6 ), A(2

34、,2), 直线 OA 的解析式为 yx, 点 Q 在线段 OA 上, 1 6a+ 5 6 + 1 6a 21 3a 11 6 =0, a3(舍)或 a4, P(4,6) 11(2020宝山区二模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yax22ax3a(a0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧),经过点 A 的直线 l:ykx+b 与 y 轴负半轴交于点 C,与抛物线的另一个交点 为 D,且 CD4AC (1)直接写出点 A 的坐标,并求直线 l 的函数表达式(其中 k、b 用含 a 的式子表示); (2)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点,若ACE 的面积的最

35、大值为5 4,求 a 的值; (3)设 P 是抛物线的对称轴上的一点, 点 Q 在抛物线上, 当以点 A、 D、 P、 Q 为顶点的四边形为矩形时, 请直接写出点 P 的坐标 【分析】 (1)将已知抛物线解析式转化为两点式, 可以直接得到点 A 的坐标; 根据直线 l: ykx+b 过 A( 1,0),得到直线 l:ykx+k,解方程得到点 D 的横坐标为 4,求得 ka,得到直线 l 的函数表达式为 y ax+a; (2)过 E 作 EFy 轴交直线 l 于 F,设 E(x,ax22ax3a),得到 F(x,ax+a),求出 EFax23ax4a, 根据三角形的面积公式列方程即可得到结论;

36、(3)令 ax22ax3aax+a,即 ax23ax4a0,得到 D(4,5a),设 P(1,m),若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边,若 AD 是矩形 APDQ 的对角线,列方程即可得到结论 【解析】(1)当 yax22ax3aa(x+1)(x3),得 A(1,0),B(3,0), 直线 l:ykx+b 过 A(1,0), 0k+b, 即 kb, 直线 l:ykx+k, 抛物线与直线 l 交于点 A,D, ax22ax3akx+k, 即 ax2(2a+k)x3ak0, CD4AC, 点 D 的横坐标为 4, 3 = 14, ka, 直线 l 的函数表达式为 yax+a; (2)如图 1,过

37、 E 作 EFy 轴交直线 l 于 F, 设 E(x,ax22ax3a), 则 F(x,ax+a),EFax22ax3aaxaax23ax4a, SACESAFESCEF= 1 2(ax 23ax4a)(x+1)1 2(ax 23ax4a)x=1 2(ax 23ax4a)=1 2a(x 3 2) 225 8 a, ACE 的面积的最大值25 8 a, ACE 的面积的最大值为5 4, 25 8 a= 5 4, 解得 a= 2 5; (3)以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形, 令 ax22ax3aax+a,即 ax23ax4a0, 解得:x11,x24, D(4,5a), 抛物线的对

38、称轴为直线 x1, 设 P(1,m), 如图 2,若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边, 则易得 Q(4,21a), m21a+5a26a,则 P(1,26a), 四边形 ADPQ 是矩形, ADP90, AD2+PD2AP2, 52+(5a)2+32+(26a5a)222+(26a)2, 即 a2= 1 7, a0, a= 7 7 P(1, 267 7 ); 如图 3,若 AD 是矩形 APDQ 的对角线, 则易得 Q(2,3a), m5a(3a)8a,则 P(1,8a), 四边形 APDQ 是矩形, APD90, AP2+PD2AD2, (11)2+(8a)2+(14)2+(8a5a)25

39、2+(5a)2, 即 a2= 1 4, a0, a= 1 2, P(1,4), 综上所述,点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形,点 P(1, 267 7 )或(1,4) 12(2020黄浦区二模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y= 1 2x 2+bx+c 经过点 A(4,0)和 B(2,6), 其顶点为 D (1)求此抛物线的表达式; (2)求ABD 的面积; (3)设 C 为该抛物线上一点,且位于第二象限,过点 C 作 CHx 轴,垂足为点 H,如果OCH 与ABD 相似,求点 C 的坐标 【分析】(1)将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式,即可求解; (2)BD2AB2

40、+AD2,则ABD 为直角三角形,ABD 的面积= 1 2ABAD,即可求解; (3)OCH 与ABD 相似, tanCOHtanABD 或 tanADB, 即 tanCOH= = 1 22+2 = 1 3或 3, 即可求解 【解析】(1)将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式得: 1 2 16 4 + = 0 1 2 4 + 2 + = 6 ,解得: = 2 = 0, 故抛物线的表达式为:y= 1 2x 2+2x; (2)对于 y= 1 2x 2+2x,顶点 D(2,2), 则 AD= (4 + 2)2+ (0 + 2)2=22, 同理 AB62,BD45, 故 BD2AB2+AD2, ABD

41、 为直角三角形, ABD 的面积= 1 2ABAD= 1 2 62 22 =12; (3)在ABD 中,tanABD= = 22 62 = 1 3, OCH 与ABD 相似, tanCOHtanABD 或 tanADB, 即 tanCOH= 1 3或 3, 设点 C(m,1 2m 2+2m),则 tanCOH= = 1 22+2 = 1 3或 3, 解得:m10 或 14 3 (不合题意的值已舍去), 故点 H 的坐标为(10,30)或( 14 3 ,14 9 ) 13(2020虹口区二模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yax2+bx+3 经过点 A(1,0)和点 B(3, 0)

42、,该抛物线对称轴上的点 P 在 x 轴上方,线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90至 PC(点 B 对应点 C), 点 C 恰好落在抛物线上 (1)求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴; (2)求点 P 的坐标; (3)点 Q 在抛物线上,联结 AC,如果QACABC,求点 Q 的坐标 【分析】(1)将点 A、B 坐标代入抛物线表达式,即可求解; (2)证明PMCBNP(AAS),则 PMBN,MCPN,即可求解; (3)设MH3x, 用x表示AM、 GM, 利用AGAM+GM= 2, 求出x的值; 在AOH中, OH= 2 2, 求得点 H 的坐标,即可求解 【解析】(1)将点 A、B 坐

43、标代入抛物线表达式得: + 3 = 0 9 + 3 + 3 = 0,解得: = 1 = 2 , 故抛物线的表达式为:yx2+2x+3; 函数的对称轴为:x1; (2)设点 C(m,n),则 nm2+2m+3,点 P(1,s), 如图 1,设抛物线对称轴交 x 轴于点 N,过点 C 作 CMPN 交抛物线对称轴于点 M, PBN+BPN90,BPN+MPC90, MPCPBN, PMCBNP90,PBPC, PMCBNP(AAS), PMBN,MCPN, 1 = = 2 = 2+ 2 + 3 ,解得: = 2 = 3 = 1 , 故点 C(2,3),点 P(1,1); 故点 P 的坐标为(1,1

44、); (3)设直线 AC 交 y 轴于点 G,直线 AQ 交 y 轴于点 H, 由(2)知,点 C(2,3),而点 A(1,0), 过点 C 作 CKx 轴于点 K,则 CKAK3, 故直线 AC 的倾斜角为 45,故AGOGAO45, tanABC= = 3 32 =3 QACABC, tanQAC3; 在AGH 中,过点 H 作 HMAG 于点 M,设 MH3x, AGO45,则 GOAO1, MGMH3x, tanQAC3,则 AMx, AGAM+GMx+3x= (1)2+ 12= 2, 解得:x= 2 4 , 在AHM 中,AH= 2+ 2= 10 x= 5 2 , 在AOH 中,OH

45、= 2 2= 1 2,故点 H(0, 1 2), 由点 A、H 的坐标得,直线 AH 的表达式为:y= 1 2x 1 2, 联立并解得:x1(舍去)或7 2, 故点 Q 的坐标为:(7 2, 9 4) 14(2020浦东新区二模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C(0,3),对称轴是直线 x1 (1)求抛物线的表达式; (2)直线 MN 平行于 x 轴,与抛物线交于 M、N 两点(点 M 在点 N 的左侧),且 MN= 3 4AB,点 C 关于直线 MN 的对称点为 E,求线段 OE 的长

46、; (3)点 P 是该抛物线上一点,且在第一象限内,联结 CP、EP,EP 交线段 BC 于点 F,当 SCPF:SCEF 1:2 时,求点 P 的坐标 【分析】(1)根据对称轴为直线 x1 求出 b2,即可求解; (2)由抛物线的对称性知,QMQN= 1 2MN= 3 2,则点 N( 5 2, 7 4),即 MN 在直线 y= 7 4上,即可求解; (3)SCPF:SCEF1:2,即 = 1 2,而PPFECF,则 = ,即 ;2:3 5 2 = 1 2,即可求解 【解析】(1)由题意得: 2(1) = 1,解得:b2, 抛物线与 y 轴交于点 C(0,3),故 c3, 故抛物线的表达式为:

47、yx2+2x+3; (2)对于 yx2+2x+3,令 y0,则 x1 或 3, 故点 A、B 的坐标分别为:(1,0)、(3,0),则 AB4,MN= 3 4AB3, 如图 1,作抛物线的对称轴交 MN 于点 Q, 由抛物线的对称性知,QMQN= 1 2MN= 3 2, 则点 N 的横坐标为 1+ 3 2 = 5 2,故点 N( 5 2, 7 4),即 MN 在直线 y= 7 4上, 则点 C 关于 MN 的对称点 E 的坐标为:(0,1 2), 即 OE= 1 2; (3)过点 P 作 PPOC 交 BC 于点 P, 设直线 BC 的表达式为:ymx+n,则 = 3 0 = 3 + ,解得: = 1 = 3 , 故直线 BC 的表达式为:yx+3, 设点 P(a,a2+2a+3),则点 P(a,a+3), 则 PP(a2+2a+3)(a+3)a2+3a, SCPF:SCEF1:2,即 = 1 2, PPCE, PPFECF, = ,即 ;2:3 5 2 = 1 2, 解得:a= 5 2或 1 2, 故点 P 的坐标为:(5

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