2021年中考数学微专题讲义专题9.5分类思想在解决一类质点运动

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1、分类思想在解决一类“质点运动”问题中的运用分类思想在解决一类“质点运动”问题中的运用 【专题综述】 “质点运动”中图形重叠面积问题对学生来说是难点,解决这类问题的关键是,根据几何图形的点和线出 现不同位置的情况,分类讨论解决问题,下面举例说明分类讨论思想在解决此类问题中的运用 【方法解读】 例 1 如图 1, 矩形 ABCD 中, AB6, BC23, 点 O 是 AB 的中点, 点 P 在 AB 的延长线上, 且 BP3 一 动点 E 从 O 点出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 匀速运动,到达 A 点后立即以原速度沿 OA 返回; 另一动点 F 从 P 点出发,以每秒一个单位的速度

2、沿射线 PA 匀速运动点 E、F 同时出发,当两点相遇时停 止运动,在点 E、F 的运动过程中,以 EF 为边作等边三角形EFG,使EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的 同侧设运动的时间为 t 秒(t0);在整个运动过程中,设等边三角形EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积 为 S请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式以及相应的自变量的取值范围 分析 利用 “动中求静 “来分类 当 0t3 时, 相当于形状大小不改变的等边三角形从 O 点向 A 点运动 重 叠部分的图形形状分为两种情况: (i)当 0t1 时,重叠部分是直角梯形(如图 3 所示)S23t43; (ii)当 1t3 时

3、,重叠部分是五边形(如图 4 所示) 2 37 3 3 3 22 Stt 再继续运动,E 点将返回,这时 EF 的长度将越来越短,AEFG 的形状将发生变化,越来越小,重叠部分的 图形是等腰梯形和等边三角形 (iii)当 3t4 时,重叠部分是等腰梯形(如图 5),S20343 (iv)当 4t6 时,重叠部分是等边三角形(如图 6),S3(6t)2 例 2 如图 7,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l1x 与 l2x6 相交于点 M,直线 l2与 x 轴相交 于点 N在矩形 ABCD 中,已知 AB1,BC2,边 AB 在戈轴上,矩形 ABCD 沿 x 轴自左向右以每秒 1 个单位长

4、度的速度移动,设矩形 ABCD 与OMN 重叠部分的面积为 S,移动的时间为 t(从点 B 与点 O 重 合时开始计时,到点 A 与点 N 重合时计时结束)直接写出 S 与自变量 t 之间的函数关系式(不需给出解 答过程) 分析 分类时要考虑矩形 ABCD 与直线 l1和 l2相交的情况首先是矩形与 l1相交的情况 (1)当 0t1 时,重叠部分是三角形(如图 8), SOBE 2 111 224 ttt; (2)当 1t4 时,重叠部分是直角梯形(如图 9), S梯形 ABEF 1 111 1 2 222 tt t 1 4 ; (3)当 4t5 时,矩形与两条直线都相交,重叠部分是五边形(如

5、图 10),此时, 2 31349 424 Stt; (4)当 5t6 时,矩形只与 l2相交,重叠部分又是直角梯形(如图 11),此时, 1 2 1 2 S13 2 t; (5)当 6t7 时,重叠部分又是一个直角三角形(如图 12),此时, 2 149 7 22 Stt; 本题的分类比较复杂,要考虑的点很多,所以只有把握住“动中求静”的方法,画出正确的图形,方能顺 利求解 【强化训练】 1.(2017 四川省达州市)甲、乙两动点分别从线段 AB 的两端点同时出发,甲从点 A 出发,向终点 B 运动, 乙从点 B 出发,向终点 A 运动已知线段 AB 长为 90cm,甲的速度为 2.5cm/

6、s设运动时间为 x(s),甲、 乙两点之间的距离为 y(cm),y 与 x 的函数图象如图所示,则图中线段 DE 所表示的函数关系式为 (并 写出自变量取值范围) 【答案】y=4.5x90(20 x36) 【解析】 考点:1一次函数的应用;2动点型;3分段函数 2. (2017 辽宁省葫芦岛市)如图,点 A(0,8),点 B(4,0),连接 AB,点 M,N 分别是 OA,AB 的中 点,在射线 MN 上有一动点 P若ABP 是直角三角形,则点 P 的坐标是 【答案】(2 52 ,4)或(12,4) 【解析】 考点:1勾股定理;2坐标与图形性质;3动点型;4分类讨论;5综合题 3. (2017

7、 黑龙江省龙东地区)如图,在ABC 中,AB=BC=8,AO=BO,点 M 是射线 CO 上的一个动点, AOC=60 ,则当ABM 为直角三角形时,AM 的长为 【答案】4 3或4 7或 4 【解析】 考点:1勾股定理;2等腰三角形的性质;3分类讨论;4动点型;5综合题 4. (2017 四川省攀枝花市)如图 1,E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点,点 P 从点 B 出发沿折线 BE-ED-DC 运动到点 C 停止,点 Q 从点 B 出发沿 BC 运动到点 C 停止,它们运动的速度都是 1cm/s若点 P、点 Q 同 时开始运动,设运动时间为 t(s),BPQ 的面积为 y( 2 cm

8、),已知 y 与 t 之间的函数图象如图 2 所示 给出下列结论:当 0t10 时,BPQ 是等腰三角形; ABE S=48 2 cm;当 14t22 时,y=110-5t; 在运动过程中,使得ABP 是等腰三角形的 P 点一共有 3 个;BPQ 与ABE 相似时,t=14.5 其中正确结论的序号是_ 【答案】 【解析】 ABP 为等腰直角三角形需要分类讨论:当 AB=AP 时,ED 上存在一个符号题意的 P 点,当 BA=BO 时, BE 上存在一个符合同意的 P 点,当 PA=PB 时,点 P 在 AB 垂直平分线上,所以 BE 和 CD 上各存在一个符 号题意的 P 点,共有 4 个点满

9、足题意,故错误; BPQ 与ABE 相似时,只有;BPQBEA 这种情况,此时点 Q 与点 C 重合,即 3 4 PCAE BCAB , PC=7.5,即 t=14.5 故正确 综上所述,正确的结论的序号是 故答案为: 考点:1动点问题的函数图象;2分类讨论;3综合题 5. (2016 广东省)如图,在正方形 ABCD 中,点 P 从点 A 出发,沿着正方形的边顺时针方向运动一周,则 APC 的面积 y 与点 P 运动的路程 x 之间形成的函数关系图象大致是( ) A B C D 【答案】C 【分析】分 P 在 AB、BC、CD、AD 上四种情况,表示出 y 与 x 的函数解析式,确定出大致图

10、象即可 当 P 在 AD 边上运动时,y= 1 2 a(4ax)= 2 1 2 2 axa,大致图象为: 故选 C 【点评】此题考查了动点问题的函数图象,解题关键是深刻理解动点的函数图象,了解图象中关键点所代 表的实际意义,理解动点的完整运动过程 考点:1动点问题的函数图象;2动点型;3分段函数;4分类讨论;5函数思想 6. (2016 浙江省舟山市)如图,在直角坐标系中,点A,B 分别在 x 轴,y 轴上,点 A 的坐标为(1,0), ABO=30 ,线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发,沿OBA 的边按 OBAO 运动一周,同时另一端点 Q 随 之在 x 轴的非负半轴上运动,如果 PQ=

11、3,那么当点 P 运动一周时,点 Q 运动的总路程为 【答案】4 【分析】首先根据题意正确画出从 OBA 运动一周的图形,分四种情况进行计算:点 P 从 OB 时, 路程是线段 PQ 的长;当点 P 从 BC 时,点 Q 从 O 运动到 Q,计算 OQ 的长就是运动的路程;点 P 从 CA 时, 点 Q 由 Q 向左运动, 路程为 QQ; 点 P 从 AO 时, 点 Q 运动的路程就是点 P 运动的路程; 最后相加即可 【解析】在 RtAOB 中,ABO=30 ,AO=1,AB=2,BO= 22 21=3; 当点 P 从 OB 时,如图 1、图 2 所示,点 Q 运动的路程为3; 当点 P 从

12、 BC 时, 如图 3 所示, 这时 QCAB, 则ACQ=90 ABO=30 , BAO=60 , OQD=90 60 =30 ,cos30 = CQ AQ ,AQ= cos30 CQ =2,OQ=21=1,则点 Q 运动的路程为 QO=1; 当点 P 从 CA 时,如图 3 所示,点 Q 运动的路程为 QQ=23; 当点 P 从 AO 时,点 Q 运动的路程为 AO=1,点 Q 运动的总路程为:3 1 23 1 =4 故答案为:4 【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形,此题的解题关键是理解题意,正确画出图形;线 段的两个端点看成是两个动点,将线段移动问题转化为点移动问题 考点:

13、1解直角三角形;2动点型;3分段函数;4分类讨论 7(2016 辽宁省沈阳市)如图,在 RtABC 中,A=90 ,AB=AC,BC=20,DE 是ABC 的中位线,点 M 是边 BC 上一点,BM=3,点 N 是线段 MC 上的一个动点,连接 DN,ME,DN 与 ME 相交于点 O若OMN 是直角三角形,则 DO 的长是 【答案】 25 6 或 50 13 【分析】分两种情形讨论即可MNO=90,根据 EDDO MNO N 计算即可; MON=90 ,利用DOEEFM,得 DOED EFEM 计算即可 【解析】如图作 EFBC 于 F,DNBC 于 N交 EM 于点 O,此时MNO=90,

14、DE 是ABC 中位线, DEBC,DE= 1 2 BC=10,DNEF,四边形 DEFN是平行四边 形,EFN=90,四边形 DEFN 是矩形,EF=DN,DE=FN=10,AB=AC,A=90 ,B=C=45 ,BN=DN=EF=FC=5, EDDO MNO N ,10 25 DO DO ,DO= 25 6 当MON=90 时, DOEEFM, DOED EFEM , EM= 22 EFMF=13, DO= 50 13 , 故答案为: 25 6 或 50 13 【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识, 解题的关键是学会分类讨论,学会添加常

15、用辅助线,属于中考常考题型 考点:1三角形中位线定理;2相似三角形的判定与性质;3分类讨论;4动点型 8. (2016 四川省雅安市)已知 RtABC 中,B=90 ,AC=20,AB=10,P 是边 AC 上一点(不包括端点 A、 C),过点 P 作 PEBC 于点 E,过点 E 作 EFAC,交 AB 于点 F设 PC=x,PE=y (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)是否存在点 P 使PEF 是 Rt?若存在,求此时的 x 的值;若不存在,请说明理由 【答案】(1) 1 2 yx(0 x20);(2)当 x=10 或 x=16,存在点 P 使PEF 是 Rt 【分析】(1)在 R

16、tABC 中,根据三角函数可求 y与 x 的函数关系式; (2)分三种情况:如图 1,当FPE=90 时,如图 2,当PFE=90 时,当PEF=90 时,进行讨论 可求 x 的值 如图 2, 当PFE=90 时, RtAPFRtABC, ARP=C=30 , AF=402x, 平行四边形 AFEP 中, AF=PE, 即:402x= 1 2 x,解得 x=16; 当PEF=90 时,此时不存在符合条件的 RtPEF 综上所述,当 x=10 或 x=16,存在点 P 使PEF 是 Rt 【点评】考查了相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质,矩形的性质,解直角三角形,注意分类思 想的运用,综合

17、性较强,难度中等 考点:1相似三角形的判定与性质;2平行四边形的性质;3矩形的性质;4解直角三角形;5动点 型;6存在型;7分类讨论 9.(2017 四川省内江市)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 2 yaxbxc(a0)与 y 轴交与点 C(0, 3),与 x 轴交于 A、B 两点,点 B 坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为 x=1 (1)求抛物线的解析式; (2)点 M 从 A 点出发,在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动,同时点 N 从 B 点出发,在 线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动, 其中一个点到达终点时, 另一个点也停止运动, 设M

18、BN 的面积为 S,点 M 运动时间为 t,试求 S 与 t 的函数关系,并求 S 的最大值; (3)在点 M 运动过程中,是否存在某一时刻 t,使MBN 为直角三角形?若存在,求出 t 值;若不存在, 请说明理由 【答案】 (1) 2 33 3 84 yxx ; (2)S= 2 99 105 tt,运动 1 秒使PBQ 的面积最大,最大面积是 9 10 ; (3)t= 24 17 或 t= 30 19 【解析】 (3)根据余弦函数,可得关于 t 的方程,解方程,可得答案 试题解析:(1)点 B 坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为 x=1,A(2,0),把点 A(2,0)、 B(4,0)、

19、点 C(0,3),分别代入 2 yaxbxc(a0),得: 4230 16430 ab ab ,解得: 3 8 3 4 3 a b c , 所以该抛物线的解析式为: 2 33 3 84 yxx ; (2)设运动时间为 t 秒,则 AM=3t,BN=t,MB=63t由题意得,点 C 的坐标为(0,3)在 RtBOC 中, BC= 22 34=5 如图 1, 过点 N 作 NHAB 于点 H, NHCO, BHNBOC, HNBN OCBC , 即 35 HNt ,HN= 3 5 t,SMBN= 1 2 MBHN= 1 2 (63t) 3 5 t,即 S= 2 99 105 tt = 2 99 (

20、1) 1010 t,当 PBQ 存在时,0t2,当 t=1 时,S PBQ 最大= 9 10 答:运动 1 秒使PBQ 的面积最大,最大面积是 9 10 ; (3)如图 2,在 RtOBC 中,cosB= 4 5 OB BC 设运动时间为 t 秒,则 AM=3t,BN=t,MB=63t 当MNB=90 时,cosB= 4 5 BN MB ,即 4 635 t t ,化简,得 17t=24,解得 t= 24 17 ; 当BMN=90 时,cosB= 634 5 t t ,化简,得 19t=30,解得 t= 30 19 综上所述:t= 24 17 或 t= 30 19 时,MBN 为直角三角形 考

21、点:1二次函数综合题;2最值问题;3二次函数的最值;4动点型;5存在型;6分类讨论;7压 轴题 10.(2017 山东省潍坊市)如图 1,抛物线cbxaxy 2 经过平行四边形 ABCD 的顶点 A(0,3)、B( 1,0)、D(2,3),抛物线与 x 轴的另一交点为 E经过点 E 的直线 l 将平行四边形 ABCD 分割为面积相 等两部分,与抛物线交于另一点 F点 P 在直线 l 上方抛物线上一动点,设点 P 的横坐标为 t (1)求抛物线的解析式; (2)当 t 何值时,PFE 的面积最大?并求最大值的立方根; (3)是否存在点 P 使PAE 为直角三角形?若存在,求出 t 的值;若不存在

22、,说明理由 【答案】(1) 2 23yxx ;(2)t= 13 10 时,PEF 的面积最大,最大值的立方根为17 10 ;(3)t 的值 为 1 或1 5 2 【解析】 (3)由题意可知有PAE=90 或APE=90 两种情况,当PAE=90 时,作 PGy 轴,利用等腰直角三角形 的性质可得到关于 t 的方程,可求得 t 的值;当APE=90 时,作 PKx 轴,AQPK,则可证得PKE AQP,利用相似三角形的性质可得到关于 t 的方程,可求得 t 的值 试题解析: (1)由题意可得: 3 0 423 c abc abc ,解得: 1 2 3 a b c ,抛物线解析式为 2 23yxx

23、 ; (2)A(0,3),D(2,3),BC=AD=2,B(1,0),C(1,0),线段 AC 的中点为( 1 2 , 3 2 ),直线 l 将平行四边形 ABCD 分割为面积相等两部分,直线 l 过平行四边形的对称中心,A、D 关于对称轴对称,抛物线对称轴为 x=1,E(3,0),设直线 l 的解析式为 y=kx+m,把 E 点和对称中心 坐标代入可得: 13 22 30 km km ,解得: 3 5 9 5 k b ,直线 l 的解析式为 39 55 yx ,联立直线 l 和抛物 线解析式可得: 2 39 55 23 yx yxx ,解得: 3 0 x y 或 2 5 51 25 x y

24、,F( 2 5 , 51 25 ),如图 1,作 PHx 轴, 交 l 于点 M, 作 FNPH, P 点横坐标为 t, P (t, 2 23tt) , M (t, 39 55 t) , PM= 2 23tt ( 39 55 t)= 2 136 55 tt,S PEF =SPFM+SPEM= 1 2 PMFN+ 1 2 PMEH= 1 2 PM(FN+EH)= 1 2 ( 2 136 55 tt)(3+ 2 5 )= 2 171328917 () 101010010 t,当 t= 13 10 时,PEF 的面积最大,其最大值为 28917 10010 ,最大值的立方根为3 289 17 100

25、10 =17 10 ; (3)由图可知PEA90,只能有PAE=90 或APE=90 : 当PAE=90 时, 如图 2, 作 PGy 轴, OA=OE, OAE=OEA=45 , PAG=APG=45 , PG=AG, t=t2+2t+33,即t2+t=0,解得 t=1 或 t=0(舍去); 当APE=90 时,如图 3,作 PKx 轴,AQPK,则 PK=t2+2t+3,AQ=t,KE=3t,PQ=t2+2t+3 3=t2+2t, APQ+KPE=APQ+PAQ=90 , PAQ=KPE, 且PKE=PQA, PKEAQP, PKKE AQPQ ,即 2 2 233 2 ttt ttt ,即 t2t1=0,解得 t=1 5 2 或 t=1 5 2 5 2 (舍去) 综上可知存在满足条件的点 P,t 的值为 1 或1 5 2 考点:1二次函数综合题;2动点型;3最值问题;4存在型;5分类讨论;6压轴题

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