1、2025年中考数学二轮复习：新定义试题 专题练习题汇编1.阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为x，即当n为非负整数时，若n12xn+12，则xn例如：0.671，2.492，请解决下列问题：（1）21；（2）若2x15，则实数x的取值范围是114x134；（3）2x2x；当m为非负整数时，m+2xm+2x；满足x=32x的非负实数x只有两个，其中结论正确的是（填序号）2.对于任意实数m、n，定义一种新运算：m*nm3n+7，等式右边是通常的加减运算，例如：2*3233+70（1）（8*2）的平方根为 3；（2）若关于x的不等式组3t2*x7解集中恰有3个整数解，求t的取值范围
2、3.在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线yx22x，其顶点为A（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”试求抛物线yx22x的“不动点”的坐标；向左或向右平移抛物线yx22x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式4.对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”例如：247（2+4+7）2471319，247是13的“和倍数”又如：214（2+1+4）2147304，214不是
3、“和倍数”（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且abc在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A5.规定a*b = 2ab，则 3*5的值为（ ）A15B 15C30D 306.定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图，抛物线C1：yx2+2x3与抛物线C2：yax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点
4、A（3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，1）（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MNx轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值（3）如图，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由7.定义新运算“”：对于任意实数，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算例如：若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是ABC，且D，且8.现在规定一种新的运算“”：ab，如923，则3等于()AB3CD39.在
5、平面直角坐标系中，对于点和点，给出下列定义：若，则称点为点的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是，如果一个点的限变点的坐标是，那个这个点的坐标是（ ）ABCD10.如图，在菱形中，点E是边的中点点M是边上一动点（不与点A重合），连接并延长交的延长线于点N，连接(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当时，求证：四边形是矩形；(3)填空：当的值为 时，四边形是菱形11.如图，直线分别与轴、轴交于点、，把直线沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，且直线分别与轴、轴交于点C、D(1)求直线对应的函数表达式；(2)求四边形的面积12.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can
6、），如图1，在ABC中，ABAC，底角B的邻对记作canB，这时canB容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30，若canB1，则B60（2）如图2，在ABC中，ABAC，canB，SABC48，求ABC的周长13.定义新运算：对于任意实数、，都有，则的值为 114.有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”若点A表示数4，点B表示数8，M为数轴一个动点若点M在线段AB上，且点M是点A、点B的“关键点”，则此时点M表示的数是_15.定义：有一组对角互补的四边形叫
7、做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若A+C180或B+D180，则四边形ABCD是“对补四边形”【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”若A：B：C3：2：1，则D90度若B90且AB3，AD2时则CD2CB25【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，ABCB，BD平分ADC求证：四边形ABCD是“对补四边形”16.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a0)或向左(a0)平移a个单位长度，再向上(b0)或向下(b0)平移b个单位长度，得到点P，点P关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”(1)如图，点M(1,1
8、),点N在线段OM的延长线上，若点P(2,0),点Q为点P的“对应点”在图中画出点Q；连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12OM;(2)O的半径为1，M是O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(12t1)，若P为O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）17.形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为依此法则计算：（1）计算的值（2）若1，求x的值18.定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）A-2BC2D19.对于有理数a，b，n，d，若|an|+|bn|d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|21
9、|+|31|3，则2和3关于1的“相对关系值”为3（1）3和5关于1的“相对关系值”为 8；（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值20.若10xN，则称x是以10为底N的对数记作：xlgN例如：102100，则2lg100；1001，则0lg1对数运算满足：当M0，N0时，lgM+lgNlg（MN）例如：lg3+lg5lg15，则（lg5）2+lg5lg2+lg2的值为（）A5B2C1D021.定义一种新运算：，例如：，3若，则的值是A9BC9或D无法确定22.若新运算“”定义为：abb22a，则23（）A3B4C5D622.当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为
10、“标准三角形”，其中为“标准角”，如果一个“标准三角形”的“标准角”为100，那么这个“标准三角形”的最小内角度数为（）A30B45C50D6023.在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称P1PP2为点P的“关联三角形”（1）已知点A（1，2），求点A的“关联三角形”的面积；（2）如图，已知点B（m，m），T的圆心为T（2，2），半径为2若点B的“关联三角形”与T有公共点，直接写出m的取值范围；（3）已知O的半径为r，OP2r，若点P的“关联三角形”与O有四个公共点，直接写出PP1P2的取值范围24.已知当m、n都是实数，且满足2
11、m6+n，则称点A(m1，n2)为“智慧点”（1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由（2）若点M（a，12a）是“智慧点”请判断点M在第几象限？并说明理由参考答案1.【解答】解：（1）21（2）若2x15，则5122x15+12，解得114x134（3）2x2x，例如当x0.3时，2x1，2x0，故错误；当m为非负整数时，不影响“四舍五入”，故m+2xm+2x，故正确；x=32x，则32x12x32x+12，解得1x1，32x为非负整数，x0或23，故正确故答案为：1；114x134；2.【解答】解：（1）根据题中的新定义得：8*2832+786+79，则9的平方根是3；故答案为
12、：3；（2）根据题中的新定义化简得：3t23x+77，解得：23xt+3，该不等式的解集有3个整数解，该整数解为1，2，3，3t+34，解得：1t03.【解答】解：（1）a10，yx22x（x1）21故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，1），（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则tt22t，解得：t0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；当OCAB时，新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），新抛物线的对称轴为：xm，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，直线xm在y轴左侧，BC与OA不平行，OCAB，又点A（1，1），点B（m，m），m1，故新抛物线是由抛
13、物线yx22x向左平移2个单位得到的；当OBAC时，同理可得：抛物线的表达式为：y（x2）2+2x24x+6，当四边形OABC是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：y（x+1）214.【解答】解：（1）357（3+5+7）357152312，357不是“和倍数”；441（4+4+1）441949，*本号资料全部来源于微信公众号：数学第六感441是9的“和倍数”；（2）设A=abc（a+b+c12，abc），由题意得：F（A）=ab，G（A）=cb，F(A)+G(A)16=ab+cb16=10a+b+10c+b16=10(a+c)+2b16，本号资料全部来源于*微信公众号：数学
14、第六感a+c12b，F(A)+G(A)16为整数，F(A)+G(A)16=10(12b)+2b16=1208b16=112+88b16=7+12（1b），1b9，b3，5，7，a+c9，7，5，当b3，a+c9时，a=8b=3c=1（舍），a=7b=3c=2，则A732或372；当b5，a+c7时，a=6b=5c=1，则A156或516；当b7，a+c5时，此种情况没有符合的值；综上，满足条件的所有数A为：732或372或156或5165.【详解】a*b = 2ab， 3*5；6.【解答】解：（1）将A（3，0）、H（0，1）代入yax2+2ax+c中，解得，yx2+x1，在yx2+2x3中，
15、令x0，则y3，G（0，3）；（2）设M（t，t2+2t3），则D（t，t2+t1），N（t，0），本号资*料全部来源于微信*公众号：数学第六感NMt22t+3，DMt2+t1（t2+2t3）t2t+2，；（3）存在点F，使得EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得yx2+2x3的对称轴为直线x1，E点与H点关于对称轴x1对称，E（2，1），设F（x，0），当EGEF时，G（0，3），EG2，2，解得x2或x2，F（2，0）或（2，0）；当EGFG时，2，此时x无实数根；综上所述：F点坐标为（2，0）或（2，0）7.【解答】解：，整理可得，又关于的方程有两个实数根，解得：且。8.
16、【解答】ab，3=9.【答案】C【分析】根据新定义的叙述可知：这个点和限变点的横坐标不变，当横坐标a1时，这个点和限变点的纵坐标不变；当横坐标a1时，纵坐标是互为相反数；据此可做出判断【详解】1这个点的坐标为（，-1）故选：C【点睛】此题考查点的坐标，解题关键在于准确找出这个点与限变点的横、纵坐标与a的关系即可10.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“”证明和全等，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论成立；（2）可证是等边三角形，则即可证明；（3）由，得是等边三角形，则即可证明【详解】（1）
17、四边形是菱形，又点E是边的中点，在和中，四边形是平行四边形；（2）四边形是菱形，点E是边的中点，又，是等边三角形，平行四边形是矩形；（3）当的值为2时，四边形是菱形，是等边三角形，平行四边形是菱形故答案为：211.【答案】(1)(2)【分析】（1）设直线对应的函数表达式为：，将点、代入，待定系数法求解析式即可；（2）根据一次函数的平移规律得出直线对应的函数表达式为：，求得，根据四边形的面积为，即可求解【详解】（1）设直线对应的函数表达式为：，将点、代入，得。，解得：。直线对应的函数表达式为（2）把直线：沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，直线对应的函数表达式为：，直线分别与轴、轴交于点C、D令
18、，得，令，得，.四边形的面积为12.【解答】解：（1）如图：过点A作ADBC，垂足为D，ABAC，ADBC，BC2BD，B30，BDABcos30AB，BC2BDAB，can30，若canB1，canB1，BCAB，ABAC，ABBCAC，ABC是等边三角形，B60，故答案为：，60；（2）过点A作ADBC，垂足为D，canB，设BC8x，AB5x，ABAC，ADBC，BDBC4x，AD3x，SABC48，BCAD48，8x3x48，x24，x2（负值舍去），x2，ABAC10，BC16，ABC的周长为36，答：ABC的周长为3614.【解答】解：，故答案为：115.【答案】5或1.【解析】解
19、：设点M表示的数是x ，MAx（4）x+4；BM8x，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”，MA3BM或BM3MA，x+43（8x）或8x3（x+4），解得：x5或x1故答案为：5或115.【解答】（1）解：A：B：C3：2：1，设A3x，则B2x，Cx，四边形ABCD是“对补四边形”，A+C180，3x+x180，x45B2x90四边形ABCD是“对补四边形”，B+D180，D90故答案为：90；连接AC，如图，B90，AB2+BC2AC2四边形ABCD是“对补四边形”，B+D180D90AD2+CD2AC2AB2+BC2AD2+CD2，CD
20、2CB2AB2AD2，AB3，AD2，CD2CB232225故答案为：5；（2）证明：在DC上截取DEDA，连接BE，如图，BD平分ADC，ADBEDB在ADB和EDB中，ADBEDB（SAS），ADEB，ABBE，ABCB，BEBC，BECCDEB+BEC180，DEB+C180，A+C180，四边形ABCD是“对补四边形”16.【答案(1)解：点Q如下图所示点M(1,1)，点P(2,0)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P，P1,1，点P关于点N的对称点为Q，N2,2，点Q的横坐标为：221=5，纵坐标为：221=3，点Q5,3，在坐标系内找出该点即可；证明：如图延长ON
21、至点A3,3，连接AQ， AQ/OP，AQT=OPT，在AQT与OPT中，AQT=OPTATQ=OTPAQ=OP，AQTOPTAAS，TA=TO=12OA， A3,3，M(1,1)，N(2,2)，OA=32+32=32，OM=12+12=2，ON=22+22=22，TO=12OA=322，NT=ONOT=22322=22，NT=12OM；(2)解：如图所示，连接PO并延长至S，使OP=OS，延长SQ至T，使ST=OM，M(a,b)，点P向右(a0)或向左(a0)平移a个单位长度，再向上(b0)或向下(b0)平移b个单位长度，得到点P，PP=OM=1，点P关于点N的对称点为Q，NP=NQ，又OP
22、=OS，OMST，NM为PQT的中位线， NM/QT，NM=12QT，NM=OMON=1t，TQ=2NM=22t，SQ=STTQ=122t=2t1，本号资料全部来源于微信公众号：数学#第六#感在PQS中，PSQSPQPS+QS，结合题意，PQmax=PS+QS，PQmin=PSQS，PQmaxPQmin=PS+QSPSQS=2QS=4t2，即PQ长的最大值与最小值的差为4t217.【答案】（1）14.5；（2）【分析】（1）根据计算即可；（2）根据1可得，再解方程即可【详解】解：（1），；（2）1，整理得：，解得18.【答案】B【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.【详解】根据题意
23、得，则，经检验，是方程的解，故选B.19.【解析】（1）由题意得，|31|+|51|8故答案为8；（2）由题意得，|a1|+|21|4，解得，a4或220.【解析】原式lg5（lg5+lg2）+lg2lg5lg（52）+lg2lg5lg10+lg2lg5+lg2lg101故选：C21.【解答】解：当时，化简，得：，移项得：，合并得：，解得：；当时，化简，得：，移项得：，合并得：，解得：，综上，的值为9或故选：22.【答案】C【解答】解：abb22a，23324945故选：C22.【答案】A【详解】解：由题意得：2，100，则50，1801005030，故选：A23.【解答】解：（1）点A（1，
24、2）关于x轴对称的对称点（1，2），点A关于yz轴对称的点A2（1，2），244；（2）T的圆心为T（2，2），半径为2，四边形OADC是T的外接四边形（如图1中），D（4，4），点B的“关联三角形”与T有公共点，且B（m，n），2m4；（3）当PP2与O相切于点E时，如图2中，OEr，OP2r，OPE30，OPP1OP1P60，当60OP1P90时，点P的“关联三角形”与O有四个公共点当PP1与O相切于点F时，如图3中，OFr，OP2r，OPFOP1P30，当0OP1P30时，点P的“关联三角形”与O有四个公共点，综上所述，点P的“关联三角形”与O有四个公共点，PP1P2的取值范围为：0OP1P30或60OP1P9024.【解答】解：（1）点P不是“智慧点”，由题意得：m1=4，n2=10，m5，n20，2m2510，6+n6+2026，2m6+n，点P（4，10）不是“智慧点”；（2）点M在第四象限，理由：点M（a，12a）是“智慧点”，m1=a，n2=12a，ma+1，n24a，2n6+n，2（a+1）6+24a，解得a1，点M（1，1），点M在第四象限第 26 页 共 26 页
