1、2025年中考数学二轮复习：平行四边形 专题练习题汇编一、解答题1如图，矩形中，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q.(1)求证：；(2)若厘米，厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，求t为何值时，四边形是菱形.2已知点是正方形的两条对角线的交点，是边上的点（不与、重合），连接交于点，连接交于点(1)如图1，当是的中点时，求证：；(2)如图2，当不是的中点时，连接点在运动过程中的度数是否为定值，若为定值请求出的度数，若不是定值请说明理由；求证：3如图，已知正方形，连接其对角线在延长线上取一点E，使得，连接过B作的垂线，交于点O，交延长线于
2、点F(1)求证四边形是菱形(2)求的度数4如图1，在ABC中，ACB=90，CAB=30，ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F（1）求证：AEFBEC；（2）判断四边形BCFD是何特殊四边形，并说出理由；（3）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，若BC=1，求AH的长 5如图，在正方形中，射线与边交于点E，将射线绕点A顺时针旋转，与的延长线交于点F，且(1)求证：；(2)若，求四边形的面积6如图，是的平分线，过点作交于点，交于点(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求的长7如图，在等边中，点是所在直线上一点，连接(1)如图1，点在线段上，若，求的长；(
3、2)如图2，点在线段上，点是线段上一点，满足，连接交于点过作于，点是延长线上一点，连接交于点若，求证：；(3)如图3，过作交直线于，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积8如图，正方形ABCD中，点E在CD上，且，将沿AE对折至，延长EF交BC于点G，连接AG、CF求证：；求BG的长；求的面积9如图，点、均在线段上，且，分别过、作，连接、，连接交于点，若，求证：10如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，使EH=FH，连接BE，CF（1）求证：BEHCFH（2）当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE
4、是矩形？请说明理由第 3 页 共 20 页参考答案：1(1)见解析(2)【分析】（1）由矩形中，O为的中点，易证得，继而证得；（2）由四边形是菱形，可得，即可得，继而可得方程，解此方程即可求得答案【详解】（1）解：四边形是矩形，O为的中点，在和中，；（2）由题意知：厘米，厘米，（厘米），矩形，四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，（厘米），解得：，当时，四边形是菱形【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定、勾股定理等，熟记基本性质与定理，灵活利用勾股定理计算是解题关键2(1)证明过程见详解(2)点在运动过程中的度数是定值，理由见详解；见解析【分析】（1）根据正方形的性质
5、，是的中点可得是中位线，可证四边形是正方形，由此可证，可得，根据，即可求解；（2）如图所示，连接，在上取，根据正方形的性质可证，由此可证，从而得到是等腰直角三角形，由此即可求解；如图所示，连接，在上取，连接，根据是等腰直角三角形可得，再证明可得，根据勾股定理，完全平方公式的运用即可求解【详解】（1）证明：如图所示，连接，四边形是正方形，点是对角线的交点，是的中点，在中，是中位线，且，则，且，四边形是正方形，在中，即（2）解：如图所示，连接，在上取，即，即，四边形是正方形，是对角线的一半，在中，是正方形对角线的一半，即，即，在中，在中，即，是等腰直角三角形，点在运动过程中的度数是定值；证明：如图
6、所示，连接，在上取，连接，由可知，是等腰直角三角形，即，四边形是正方形，是对角线，即，即，在中，即，由（1）可知，是直角三角形，【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的运用等知识的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键3(1)见解析(2)112.5【分析】（1）由正方形的性质及已知条件可证BODFOD(ASA)，再根据对边平行且相等且邻边相等的四边形是菱形即可得出结论；（2）由正方形的性质及菱形的性质即可求解【详解】（1）四边形ABCD是正方形，ADBC，FDO=DEB，BD=BE，BDO=DEB，FDO=BDO，BFDE，BOD=90=FOD，DO=DO
7、，BODFOD(ASA)，DF=BD，BD=BE，DF=BE，ADBC，即DFBE，四边形BEFD是平行四边形，而BD=BE，四边形BEFD是菱形；（2）四边形ABCD是正方形，DBC=45=BDC，由（1）知四边形BEFD是菱形，DBO=EBO=DBC=22.5，DPB=180-DBO-DBC=112.5【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键4（1）（2）见解析；（3）【分析】（1）在ABC中，由已知可得ABC=60，从而推得BAD=ABC=60由E为AB的中点，得到AE=BE又因为AEF=BEC，所以AEFBEC；（2）在
8、RtABC中，E为AB的中点，则CE= 12AB，BE= 12AB，得到BCE=EBC=60由AEFBEC，得AFE=BCE=60又D=60，得AFE=D=60度所以FCBD，又因为BAD=ABC=60，所以ADBC，即FDBC，则四边形BCFD是平行四边形（3）由BAD=60，CAB=30，可得CAH=90；在RtABC中，CAB=30，BC=1，根据30角的直角三角形的性质可得AB=2BC=2，所以AD=AB=2设AH=x，则HC=HD=ADAH=2x，在RtABC中，由勾股定理求得AC2=3，在RtACH中，根据勾股定理列出方程x2+3=（2x）2，解方程即可求得AH的值【详解】（1）证
9、明：在ABC中，ACB=90，CAB=30，ABC=60在等边ABD中，BAD=60，BAD=ABC=60E为AB的中点，AE=BE又AEF=BEC，AEFBEC（2）在ABC中，ACB=90，E为AB的中点，CE=AB，BE=ABCE=AE，EAC=ECA=30，BCE=EBC=60又AEFBEC，AFE=BCE=60又D=60，AFE=D=60FCBD又BAD=ABC=60，ADBC，即FDBC四边形BCFD是平行四边形（3）BAD=60，CAB=30，CAH=90在RtABC中，CAB=30，BC=1，AB=2BC=2AD=AB=2设AH=x，则HC=HD=ADAH=2x，在RtABC中
10、，AC2=2212=3，在RtACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3=（2x）2，解得x=，即AH=【点睛】本题考查了：（1）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质5(1)见解析(2)12【分析】（1）证明即可得证；（2）由，则这两个三角形的面积相等，因此四边形的面积等于正方形的面积，由已知可求得的长，则可求得正方形的面积，从而求出四边形的面积【详解】（1）证明：四边形是正方形，；（2）解：，由勾股定理得：，四边形的面积为1
11、2【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识，其中三角形全等的判定与性质是解题的关键6(1)见解析(2)【分析】本题考查了菱形的判定与性质、角平分线的定义、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键（1）由，得出四边形是平行四边形，由角平分线的定义结合平行线的性质得出，从而推出，即可得证；（2）连接与相交于点，由菱形的性质得出，求出，再由含角的直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得出答案【详解】（1）证明：，四边形是平行四边形，是的平分线，四边形是菱形；（2）解：如图，连接与相交于点，四边形是菱形，是的平分线，7
12、(1)(2)见解析(3)【分析】（1）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解；（2）过点作于点，证明，得出，则，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据已知，可得，过点作交的延长线于点，则四边形是平行四边形，得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证；（3）作关于的对称点，连接，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则四边形是菱形，根据题意将沿所在直线翻折至所在平面内得到，则关于对称，得出是直角三角形，当在上时，取得最小值，勾股定理求得的最小值为，过点作于点，连接，进而等面积法得出，然后根据三角形的面积公式，即可求解【详解】
13、（1）解：如图所示，过点作于点，是等边三角形，则在中，则在中，（2）证明：如图所示，过点作于点，是等边三角形，又， ，即是的中点，过点作交的延长线于点，四边形是平行四边形，又在中，；（3）解：如图所示，作关于的对称点，连接，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则，四边形是菱形，则，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，关于对称，关于对称，是直角三角形，当在上时，取得最小值，则，在中，的最小值为如图所示，过点作于点，连接，是的中点，则，当取最小值时， 的面积为【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，
14、全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外角的性质，轴对称的性质，三角形三边关系的应用，熟练掌握以上知识是是解题的关键8（1）详见解析；（2）3；（3）【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；在直角中，根据勾股定理即可得出结论；结合和求出的面积，最后用同高的两三角形的面积的比等于底的比，即可得出结论【详解】是由折叠得到，又四边形ABCD是正方形，在和中，正方形ABCD中，设，则在直角中，根据勾股定理，得，解得；由知，由知，由知，【点睛】此题属于四边形的综合题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识注意折叠中的对应关系，注意
15、掌握方程思想的应用是解此题的关键9见解析【分析】连接、，证明，得出，即可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解【详解】证明：连接、，在和中，四边形为平行四边形，【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键10（1）详见解析；（2）当BH=EH时，平行四边形BFCE为矩形【详解】试题分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BECF，EBH=FCH时，都可以证明BEHCFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形试题解析：点H是BC的中点，BH=CH，在BEH和CFH中，BEHCFH（SAS）；（2）解：BH=CH，EH=FH，四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），当BH=EH时，则BC=EF，平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）考点：1.全等三角形的判定与性质；2.矩形的判定第 15 页 共 20 页
