1、例谈数形结合在初中例谈数形结合在初中数学解题中的应用数学解题中的应用 【专题综述】 数学家华罗庚说过:“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞;数无形时少直觉，形少数时难入微.”初中数 学思想方法中的数形结合思想是一种很重要的方法，利用这种方法，可以实现代数问题与几何问题的相互 转化， 使抽象 问题具体化， 复杂问题简单化。 本文举例说明运用数形结合思想解决数学问题可以达到事半功 倍的效果。 【方法解读】 一以“数”解“形” 例 1 如图，过正方形ABCD的顶点G，任作一直线与AB、AD的延长线分别交于E、F。 求证: 4AEAFAB。 证明 设正方形的边长为a，连AC。 因为 AEFACFACE
2、 SSS ，所以有 ()/2()/2()/2()/2AF SEAF CDAE BCa AEAF， 即()AE AFa AEAF 。从而AE、AF可视为关于x的一元二次方程 2 ()()0 xAEAF xa AEAF的两个实数根。所以该方程的判别式 2 ()4 ()0AEAFa AEAF，得4AEAFa，即4AEAFAB。 本例是“形”的问题， 但直接从“形”入手较难解决，若将“形”转化为“数” ，则结论变为 2 ()4()0AEAFAB AEAF。则可联想起一元二次方程根的判别式，从而把它转化为“数”的问题 来解决。 例 2 如图，直线 3 3 yxb 与y轴交于点A，与双曲线 k y x 在
3、第一象限交于B、 C两点，且4AB AC，则k= 。 解 设 1122 ( ,),(,)B x yC xy，则 1 x、 2 x是方程 3 3 k xb x 的两根， 1 2 3x xk。又 12 22 334,3 33 AB ACxxk。 此题将反比例函数图象与直线相结合，利用直线解析式，先算出 12 22 3 ,3, 33 ABx ACx然后联立直 线与双曲线的解析式，得到关于x的一个一元二次方程，再利用根与系数的关系，求出k的值。用代数的知 识解决几何问题，体现了数形结合的思想。 一、以“形”解“数” 例 3 不等式235xx的解集是。 解 从数轴上看，-2 到 3 的距离是 5，所以x
4、不能在-2 和 3 之间(包括-2 和 3), x只能在-2 的左侧或 3 的右 侧，不等式才能成立，故原不等式的解集是x3 或x0,y0，且3xy，求 22 91xy的最小值。 解 如图，作线段AB垂直于BC， 使3,3ABBCxy，过C作CF 垂直于CB，CF= 1，由勾股定理可得: 22 9,1ADxDFy，原题 也就是求ADDF的最小值了。 当D在线段AF上时，ADDF有 最小值，就是线段AF的长度。 过点F作AB的垂线，与线段BA的延长线交于点E。 在直角三角形AEF中，3 14AEABBEABCF ，3EFBDCDxy，于是用勾 股定理就很容易求得斜边5AF ，即 22 91xy的
5、最小值为 5。 点评 此题由式子联想到两点之间直线最短以及勾股定理，构造几何图形，问题就迎刃而解了。 例 5 在实数范围内，方程 2 1 1x x 有()个解。 分析 此题如果去分母就是高次方程，而学生已有的知识水平没办法解高次方程。借助右图，反比例函 数 1 y x 与二次函数 2 1yx的图形的交点个数就是这个方程解的个数， 借助图形就显得非常简单、 直观。 “数形结合”在解题中可使复杂问题简单化，有利于开阔学生的数学思维方式;有利于提高学生在数学问题 中建立模型的能力;有利于增强学生探求知识的兴趣，感知数学中的美。 【强化训练】 1. （2017四川省自贡市） 一次函数 11 yk xb
6、和反比例函数 2 2 k y x （ 12 0k k ） 的图象如图所示， 若 12 yy ， 则 x 的取值范围是（ ） A2x0 或 x1 B2x1 Cx2 或 x1 Dx2 或 0 x1 【答案】D 【解析】 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 2.（2017 内蒙古包头市）已知一次函数 1 4yx，二次函数 2 2 22yx，在实数范围内，对于 x 的同一个 值，这两个函数所对应的函数值为 1 y与 2 y，则下列关系正确的是（ ） A 12 yy B 12 yy C 12 yy D 12 yy 【答案】D 【解析】 试题分析：由 2 4 22 yx yx 消去 y 得到： 2 21
7、0 xx ，=0，直线 y=4x 与抛物线 2 22yx只有 一个交点，如图所示，观察图象可知： 12 yy，故选 D 考点：二次函数与不等式（组） 3.（2017 湖北省咸宁市）如图，直线 y=mx+n 与抛物线 2 yaxbxc交于 A（1，p），B（4，q）两点， 则关于 x 的不等式 2 mxnaxbxc的解集是 【答案】x1 或 x4 【解析】 考点：二次函数与不等式（组） 4. （2017 山东省菏泽市）如图，函数 y1=2x 与 y2=ax+3 的图象相交于点 A（m，2），则关于 x 的不等式 2xax+3 的解集是（ ） Ax2 Bx2 Cx1 Dx1 【答案】D 【解析】
8、试题分析：函数 y1=2x 过点 A（m，2），2m=2，解得：m=1，A（1，2），不等式2x ax+3 的解集为 x1故选 D 考点：一次函数与一元一次不等式 5. （2017 山东省聊城市）端午节前夕，在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在 500 米的赛道上，所划行的路程 y（m）与时间 x（min）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A乙队比甲队提前 0.25min 到达终点 B当乙队划行 110m 时，此时落后甲队 15m C0.5min 后，乙队比甲队每分钟快 40m D自 1.5min 开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到 255
9、m/min 【答案】D 【解析】 D甲的解析式为 y=200 x，当 x=1.5 时，y=300，甲乙同时到达（500300） （2.251.5）=266m/min，故 D 符合题意； 故选 D 考点：函数的图象 6. （2017 山东省菏泽市）如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为（4，5），D 是 OB 的中点，E 是 OC 上 的一点，当ADE 的周长最小时，点 E 的坐标是（ ） A（0， 4 3 ） B（0， 5 3 ） C（0，2） D（0，10 3 ） 【答案】B 【解析】 考点：1轴对称最短路线问题；2坐标与图形性质；3矩形的性质；4最值问题 7. （2017 湖北省十堰市
10、） 如图，ABC 内接于O， ACB=90 ，ACB 的角平分线交O 于 D 若 AC=6， BD=5 2，则 BC 的长为 【答案】8 【解析】 试题分析：连接 BD，ACB=90 ，AB 是O 的直径ACB 的角平分线交O 于 D，ACD= BCD=45 ，AD=BD=5 2AB 是O 的直径，ABD 是等腰直角三角形，AB= 22 ADBD = 22 (5 2)(5 2) =10AC=6，BC= 22 ABAC= 22 106=8故答案为：8 考点：1圆周角定理；2勾股定理 8. （2017 四川省广元市）已知O 的半径为 10，弦 ABCD，AB=12，CD=16，则 AB 和 CD
11、的距离为 【答案】14 或 2 【解析】 考点：1垂径定理；2平行线之间的距离；3分类讨论 9. （2017 浙江省嘉兴市）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为 8cm 的O，AB =90 ，弓形 ACB （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 【答案】32+48 【解析】 试题分析： 连接OA、 OB， AB =90 ， AOB=90 ， S AOB = 1 2 8 8=32， 扇形ACB （阴影部分） = 2 2708 360 =48，则弓形 ACB 胶皮面积为（32+48）cm2，故答案为：（32+48）cm2 考点：1垂径定理的应用；2扇形面积的计算 10. （2017 四川省广元市）
12、 如图， 一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 k y x 的图象交于 C， D 两点， 与 x， y 轴交于 B，A 两点，且 tanABO= 1 2 ，OB=4，OE=2 （1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； （2）求OCD 的面积； （3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量 x 的取值范围 【答案】（1） 1 2 2 yx ， 6 y x ；（2）8；（3）x2 或 0 x6 【解析】 试题解析：（1）OB=4，OE=2，BE=2+4=6 CEx 轴于点 E，tanABO= OACE OBBE = 1 2 ，OA=2，CE=3，点 A 的坐标为（0，
13、2）、点 B 的坐标 为 C（4，0）、点 C 的坐标为（2，3） 一次函数 y=ax+b 的图象与 x，y 轴交于 B，A 两点， 40 2 ab b ，解得： 1 2 2 a b 故直线 AB 的解析式为 1 2 2 yx 反比例函数 k y x 的图象过 C，3= 2 k ，k=6，该反比例函数的解析式为 6 y x ； （2） 联立反比例函数的解析式和直线 AB 的解析式可得： 1 2 2 6 yx y x ， 可得交点 D 的坐标为 （6， 1） ， 则BOD 的面积=4 1 2=2，BOC 的面积=4 3 2=6，故OCD 的面积为 2+6=8； （3）由图象得，一次函数的值大于反比例函数的值时 x 的取值范围：x2 或 0 x6 考点：反比例函数与一次函数的交点问题
