1、2021 年江苏省苏州市姑苏区中考数学二模试卷年江苏省苏州市姑苏区中考数学二模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A3x+2x25x3 B （ab）2a2b2 C （x3）2x6 D3x24x312x6 3 （3 分）中国国家图书馆约有古籍善本 2000000 册2000000 用科学记数法可以表示为（ ） A0.2107 B2106 C20105 D1026 4 （3 分）某市一周空气质量报告中，某项污染指
2、数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的 中位数，众数分别是（ ） A31，31 B32，31 C31，32 D32，35 5 （3 分）某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（ ） A4 B60 C15 D8 6 （3 分）如图，已知矩形 ABCD 中，AB8，BC5分别以 B，D 为圆心，AB 为半径画弧，两弧分别 交对角线 BD 于点 E，F，则图中阴影部分的面积为（ ） A4 B5 C8 D10 7 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B、C 的坐标分别为（0，5） 、 （0，2） 、 （1，2） ，将矩形 ABCD 向右 平移 t 个
3、单位， 若平移后的矩形 ABCD 与函数 y（x0） 的图象有公共点， 则 t 的取值范围是 （ ） A0t4 B1t4 C1t5 D2t5 8（3 分） 如图， AB 为O 的直径， 弦 CD 与 AB 交于点 E 若 ACAE， CE4， DE6， 则的值为 （ ） A B C D 9 （3 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上AB5，AC4，D 是上的一个动点，连接 AD过 点 C 作 CEAD 于 E连接 BE，则 BE 的最小值是（ ） A B C2 D2 10 （3 分）如图，点 D 是OABC 内一点，AD 与 x 轴平行，BD 与 y 轴平行，BD，BDC120
4、S BDC，若反比例函数 y（x0）的图象经过 C、D 两点，则 k 的值是（ ） A6 B6 C3 D3 二、填空题（共二、填空题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 11 （3 分）因式分解：x2y9y 12 （3 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是 13 （3 分）单项式xy2的次数是 14 （3 分）已知4.22，42.2，则的值是 15 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，DAB 的角平分线与ABC 的外角平分线相交于点 P，且D+C 210，则P 16 （3 分）关于 x 的方程2 的解是非负数，则 a 的取值范围是 17 （3 分）如图
5、，在 RtABC 中，ABC90，C（0，4） ，AC 与 x 轴交于点 D，CD4AD，点 A 在 反比例函数 y（x0）的图象上，且 y 轴平分ACB，求 k 18 （3 分）如图，ABC 为等边三角形，点 D、E 分别在 AC、AB 上，且 ADBE，连接 BD、CE 交于点 P， 在ABC 外部作ABFABD，过点 A 作 AFBF 于点 F，若ADBABF+90，BFAF3，则 BP 三、解答题（共三、解答题（共 10 小题，满分小题，满分 76 分）分） 19 （8 分）计算： （1） （1）2+|+（3）0； （2） 20 （5 分）先化简，再求值： （），其中 x1+ 21 （
6、6 分）如图，在矩形 ABCD 中，过对角线 AC 的中点 O 作 AC 的垂线，分别交射线 AD 和 CB 于点 E， F 连接 AF，CE （1）求证：OEOF； （2）求证：四边形 AFCE 是菱形 22 （8 分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题： “A5G 通讯：B民法典；C北斗导航； D数字经济；E小康社会” ，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注 的话题，根据调查结果绘制了统计图 请结合图中的信息解决下列问题： （1）在这次活动中，调查的居民共有 人； （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中的 a ，D 所在扇形的圆心角是 度； （
7、4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题： “A5G 通讯；B民法典；C北斗导航”中抽签（不 放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择 A、B 话题发言的概率 23 （6 分）图 1 是一辆在平地上可以滑行的某品牌纯电动滑板车，图 2 是其示意图已知车杆 AB74cm， BC20cm，ABC130，BCE120，前、后轮子的圆心分别为点 D、E，半径均 6cm，且 D、C、 E 在同一水平线上 求把手 A 离地面的高度（结果保留整数， 参考数据：1.7， sin700.94， cos70 0.34，tan702.75） 24 （7 分）小张是某工厂的一名工人，每天工作 8 小
8、时，已知他生产 6 件甲产品和 4 件乙产品共需 170 分 钟，生产 10 件甲产品和 10 件乙产品共需 350 分钟 （1）小张每生产一件甲产品和一件乙产品分别需要多少分钟？ （2）工厂工人每日收入由底薪和计件工资组成，每日底薪为 100 元，按件计酬的方式为每生产一件甲产 品得 a 元（2a3） ，每生产一件乙产品得 2.5 元小张某日计划生产甲，乙两种产品共 28 件，请设计 出日薪最高的生产方案 25 （8 分）如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 （1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中肯定是垂美四边形 的是 （2）性质探究：如
9、图 1，已知四边形 ABCD 是垂美四边形，直接写出其两组对边 AB、CD 与 BC、AD 之 间的数量关系 （3） 问题解决： 如图2， 分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE， 连接 BE，CG，已知 AC4，AB5，求 GE 的长 26 （8 分）我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形类似地，我们定义：有一内角为 45的 三角形叫做半直角三角形如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，A（4，0） ，B（4，0） ，D 是 y 轴 上的一个动点， ADC90 （A、 D、 C 按顺时针方向排列） ， BC 与经过 A、 B、 D 三点的M 交于
10、点 E， DE 平分ADC，连接 AE，BD显然DCE、DEF、DAE 是半直角三角形 （1）求证：ABC 是半直角三角形； （2）求证：DECDEA； （3）若点 D 的坐标为（0，8） ，求 AE 的长 27 （10 分）如图（1） ，四边形 ABCD 的顶点 A、D、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，ADBC，OC4cm动 点 E 从点 C 出发，沿 CDABC 匀速运动，动点 F 以每秒 1cm 的速度从 C 出发沿线段 CB 向点 B 来回运动，当 E 点运动到点 C 点时，两点同时停止运动若点 E、F 同时出发运动 t 秒后，如图（2）是 OEC 的面积 S（cm2）与 t（秒）的
11、函数关系图象，以线段 EF 为斜边向右作等腰直角EFG （1）填空：点 E 的运动速度是 ，B 点坐标为 （2）当 0t4 秒时， t 为何值时，以 O、C、E 为顶点的三角形与BFG 相似？ 是否存在这样的时刻 t，使点 G 正好落在线段 AB 上，若存在，求此时的 t，若不存在，请说明理由 28 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+4（a0）与 x 轴交于 A（4，0） 、B（2， 0）两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，点 D（0，3） ，连接 AD （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是线段 AO 上一点，过点 P 作 PQx 轴
12、交抛物线于点 Q，交线段 AD 于点 E，点 F 是直线 AD 上一点，连接 FQ，FQEQ，当FEQ 的周长最大时，求点 Q 的坐标和FEQ 周长的最大值； （3）如图 2，已知 H（，0） 将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线 AD 交 于点 N，连接 HN，当AHN 是等腰三角形时，求抛物线的平移距离 d 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选
13、项分析判断即可得解 【解答】解：A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选：B 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A3x+2x25x3 B （ab）2a2b2 C （x3）2x6 D3x24x312x6 【分析】根据完全平方公式，幂的乘方的性
14、质，单项式的乘法法则，同底数幂的乘法的性质对各选项分 析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、3x 与 2x2不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、应为（ab）2a22ab+b2，故本选项错误； C、 （x3）2x3 2x6，正确； D、应为 3x24x334（x2x3）12x5，故本选项错误 故选：C 【点评】本题比较简单，主要考查了幂的乘方的性质，单项式的乘法的法则，完全平方公式 3 （3 分）中国国家图书馆约有古籍善本 2000000 册2000000 用科学记数法可以表示为（ ） A0.2107 B2106 C20105 D1026 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，
15、其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：20000002106， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，表示时关键要确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）某市一周空气质量报告中，某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的 中位数，众数分别是（ ） A31，31 B32，31 C31，32 D32，35 【分析】将数据按照从小到大依次排列，根
16、据中位数、众数定义解答 【解答】解：将数据按照从小到大依次排列为 30，31，31，31，32，34，35， 众数为 31，中位数为 31 故选：A 【点评】本题考查了众数和中位数，熟悉定义是解题的关键 5 （3 分）某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（ ） A4 B60 C15 D8 【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是圆锥，再根据圆锥的侧面是扇形即可求解 【解答】解：观察图形可知： 圆锥母线长为：2， 所以圆锥侧面积为：rl224 故选：A 【点评】本题考查了几何体的表面积，解决本题的关键是根据几何体的三视图得几何体，再根据几何体 求其侧面积 6 （3 分）如图，
17、已知矩形 ABCD 中，AB8，BC5分别以 B，D 为圆心，AB 为半径画弧，两弧分别 交对角线 BD 于点 E，F，则图中阴影部分的面积为（ ） A4 B5 C8 D10 【分析】阴影面积三角形面积2 个扇形的面积 【解答】解：SABD58220；S扇形BAE；S扇形DFG； 阴影面积2020164故选 A 【点评】本题主要是利用扇形面积和三角形面积公式计算阴影部分的面积解题关键是找到所求的量的等 量关系 7 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B、C 的坐标分别为（0，5） 、 （0，2） 、 （1，2） ，将矩形 ABCD 向右 平移 t 个单位， 若平移后的矩形 ABCD 与
18、函数 y（x0） 的图象有公共点， 则 t 的取值范围是 （ ） A0t4 B1t4 C1t5 D2t5 【分析】先求得 D 的坐标，然后表示出平移后的点 D、B的坐标分别为（1+t，5） ， （t，2） ，依据点 D、B落在函数函数 y（x0）的图象上时 t 的值，根据图象即可求得符合题意的 t 的取值 【解答】解：矩形 ABCD 的顶点 A、B、C 的坐标分别为（0，5） 、 （0，2） 、 （1，2） ， D（1，5） ， 平移后，可设点 D、B的坐标分别为（1+t，5） ， （t，2） ， 当点 D落在函数 y（x0）的图象上时，则 5（1+t）10， 解得 t1， 当点 B落在函数
19、y（x0）的图象上时，则 2t10， 解得 t5， 平移后的矩形 ABCD 与函数 y（x0）的图象有公共点，则 t 的取值范围是 1t5， 故选：C 【点评】本题考查了矩形性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质的应用，解题时注意：反 比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk 8（3 分） 如图， AB 为O 的直径， 弦 CD 与 AB 交于点 E 若 ACAE， CE4， DE6， 则的值为 （ ） A B C D 【分析】通过分别从 A、O 作 CD 的垂线段，由垂径定理得 DF 和 CF 的长，结合 ACAE 可得 EGCG 的长，然后由 OFAG 可得
20、相应线段成比例，最后根据比例设出未知量得到 AE 与 BE 的比 【解答】解：过点 O 作 OFCD 于点 F，过点 A 作 AGCD 于 G DE6，CE4 CD10 OFCD，由垂径定理可得 DFCF5 EF1 又ACAE，AGCD EGCG 又OFCD，AGCD OFAG 设 OEx，则 AE2x， OBOA3x，BEOB+OE3x+x4x 故选：A 【点评】本题考查了圆中常用辅助线的作法，垂径定理，平行线分线段对应成比例的相关知识，熟练掌 握以上内容是解题的关键 9 （3 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上AB5，AC4，D 是上的一个动点，连接 AD过 点 C 作
21、CEAD 于 E连接 BE，则 BE 的最小值是（ ） A B C2 D2 【分析】如图，取 AC 的中点 O，连接 BO、BC在点 D 移动的过程中，点 E 在以 AC 为直径的圆 上运动，当 O、E、B 共线时，BE 的值最小，最小值为 OBOE，利用勾股定理求出 BO即可解 决问题 【解答】解：如图，取 AC 的中点 O，连接 BO、BC CEAD， AEC90， 在点 D 移动的过程中，点 E 在以 AC 为直径的圆上运动， AB 是直径， ACB90， 在 RtABC 中，AC4，AB5， BC3， 在 RtBCO中，BO， OE+BEOB， 当 O、E、B 共线时，BE 的值最小，
22、最小值为 OBOE2， 故选：C 【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等 E 的运动轨 迹是以 AC 为直径的圆上运动，属于中考选择题中压轴题 10 （3 分）如图，点 D 是OABC 内一点，AD 与 x 轴平行，BD 与 y 轴平行，BD，BDC120S BDC，若反比例函数 y（x0）的图象经过 C、D 两点，则 k 的值是（ ） A6 B6 C3 D3 【分析】过点 C 作 CEy 轴，延长 BD 交 CE 于点 F，易证COEABD，求得 OE，根据 SBDC ，求得 CF3，得到点 D 的纵坐标为 2，设 C（m，） ，则 D（m+3，2）
23、 ，由反比例函数 y（x0）的图象经过 C、D 两点，从而求出 m，进而可得 k 的值 【解答】解：过点 C 作 CEy 轴，延长 BD 交 CE 于点 F， 四边形 OABC 为平行四边形， ABOC，ABOC， COEABD， BD 与 y 轴平行， ADB90， 在COE 和ABD 中， ， COEABD（AAS） ， ， SBDCBDCF， CF3， BDC120， CDF60， ， 点 D 的纵坐标为 2， 设 C（m，） ，则 D（m+3，2） ， 反比例函数 y（x0）的图象经过 C、D 两点， k2（m+3） ， m6， k6， 故选：A 【点评】 本题主要考查反比例函数， 掌
24、握平行四边形的性质和反比例函数图像的坐标特征是解题的关键 二、填空题（共二、填空题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 11 （3 分）因式分解：x2y9y y（x+3） （x3） 【分析】先提取公因式 y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：x2y9y， y（x29） ， y（x+3） （x3） 【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式， 然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 12 （3 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式的性质，被
25、开方数大于等于 0，就可以求解 【解答】解：依题意，得 x20， 解得：x2， 故答案为：x2 【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数 13 （3 分）单项式xy2的次数是 3 【分析】根据一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，即可得出答案 【解答】解：单项式xy2的次数是：1+23 故答案为：3 【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键 14 （3 分）已知4.22，42.2，则的值是 100 【分析】先把要求的式子转化成（）2，再代值计算即可得出答案 【解答】解：4.22，42.2， （）2 （）2 102
26、 100 【点评】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键 15 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，DAB 的角平分线与ABC 的外角平分线相交于点 P，且D+C 210，则P 15 【分析】利用四边形内角和是 360可以求得DAB+ABC150然后由角平分线的性质，邻补角 的定义求得PAB+ABP 的度数，所以根据ABP 的内角和定理求得P 的度数即可 【解答】解：如图，D+C210，DAB+ABC+C+D360， DAB+ABC150 又DAB 的角平分线与ABC 的外角平分线相交于点 P， PAB+ABPDAB+ABC+（180ABC）90+（DAB+ABC）165，
27、 P180（PAB+ABP）15 故答案为：15 【点评】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角熟知“四边形的内角和是 360”是解 题的关键 16 （3 分）关于 x 的方程2 的解是非负数，则 a 的取值范围是 a8 且 a0 【分析】分式方程去分母表示出解，根据解为非负数求出 a 的范围即可 【解答】解：去分母得：a2x8， 解得：x， 由分式方程的解为非负数，得到0 且4， 解得：a8 且 a0 故答案为：a8 且 a0 【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，C（0，4） ，A
28、C 与 x 轴交于点 D，CD4AD，点 A 在 反比例函数 y（x0）的图象上，且 y 轴平分ACB，求 k 【分析】作 x 轴的垂线，构造相似三角形，利用 CD4AD 和 C（0，4）可以求出 A 的纵坐标，再利 用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点 A 的 坐标，进而确定 k 的值 【解答】解：过 A 作 AEx 轴，垂足为 E， C（0，4） ， OC4， AEDCOD90，ADECDO ADECDO， CD4AD， ， AE1； 又y 轴平分ACB，COBD， BOOD， ABC90， OCDDAEABE， ABEDCO， ， 设 D
29、En，则 BOOD4n，BE9n， ， n， OE5n， A（，1） k1 故答案为： 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求 A 的坐标，依据 A 在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出 k 的值综合性较强，注意转化思想方法 的应用 18 （3 分）如图，ABC 为等边三角形，点 D、E 分别在 AC、AB 上，且 ADBE，连接 BD、CE 交于点 P， 在ABC 外部作ABFABD，过点 A 作 AFBF 于点 F，若ADBABF+90，BFAF3，则 BP 3 【分析】如图，在 FB 上取一点 G，使得 FGFA，作 GFAB 于 F
30、，在 FB 上取一点 H，使得 GHHB， 连接 GH，在 FB 上取一点 K，使得BAK45，连接 AK证明CBEBAD（SAS） ，推出ABE BCE，推出DPCPCB+PBCPBC+ABD60，由ADBABF+90DCB+ DBC60+60BCP120ABF，可得ABF15，解直角三角形求出 AK，再证明 BP AK 即可解决问题 【解答】解：如图，在 FB 上取一点 G，使得 FGFA，作 GTAB 于 T，在 FB 上取一点 H，使得 GH HB，连接 GH，在 FB 上取一点 K，使得BAK45，连接 AK ABC 是等边三角形， ABBCAC， CBEBAD60， ADBE， C
31、BEBAD（SAS） ， ABDBCE， DPCPCB+PBCPBC+ABD60 ADBABF+90DCB+DBC60+60BCP120ABF， ABF15， HGHB， HGBHBG15， GHTHGB+HBG30，设 GTa，则 GHBH2a，THa， BFAF3，FAFG， BG3， 在 RtBGT 中，BG2GT2+BT2， a2+（2a+a）29， 解得 a， TG，AG2TG， AFFG， AK3， BCPABK，BCBA，CBP45BAK， BCPBAK（ASA） ， BPCK3 故答案为 3 【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关
32、键是 学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题 三、解答题（共三、解答题（共 10 小题，满分小题，满分 76 分）分） 19 （8 分）计算： （1） （1）2+|+（3）0； （2） 【分析】 （1）根据整式指数幂、零指数幂、绝对值的性质以及平方根计算即可； （2）先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可 【解答】解： （1）原式1+12 ； （2）， 由得：x1； 由得：x2； 所以不等式组的解集是：2x1 【点评】本题考查了实数的计算和解一元一次不等式组的应用，熟知“同大取大；同小取小；大小小大 中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 20
33、（5 分）先化简，再求值： （），其中 x1+ 【分析】直接利用分式的混合运算法则将分式分别化简得出答案 【解答】解：原式 ， 当 x1+时， 原式+1 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键 21 （6 分）如图，在矩形 ABCD 中，过对角线 AC 的中点 O 作 AC 的垂线，分别交射线 AD 和 CB 于点 E， F 连接 AF，CE （1）求证：OEOF； （2）求证：四边形 AFCE 是菱形 【分析】 （1）根据矩形的性质得出 ADBC，求出EAOFCO，根据全等三角形的判定推出EOA FOC 即可； （2）根据平行四边形的判定得出四边形 AFCE 是平行四边
34、形，再根据菱形的判定得出即可 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是矩形， ADBC， EAOFCO， AC 的中点是 O， OAOC， 在EOA 和FOC 中， ， EOAFOC（ASA） ， OEOF； （2）OEOF，AOCO， 四边形 AFCE 是平行四边形， EFAC， 四边形 AFCE 是菱形 【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和平行四边形 的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键 22 （8 分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题： “A5G 通讯：B民法典；C北斗导航； D数字经济；E小康社会” ，对某小区
35、居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注 的话题，根据调查结果绘制了统计图 请结合图中的信息解决下列问题： （1）在这次活动中，调查的居民共有 200 人； （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中的 a 25 ，D 所在扇形的圆心角是 36 度； （4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题： “A5G 通讯；B民法典；C北斗导航”中抽签（不 放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择 A、B 话题发言的概率 【分析】 （1）根据选择 B 的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数； （2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择 A 和
36、C 的人数，从而可以将条形统计图补 充完整； （3）由 A 的人数除以抽查人数求出 a 的值，再由 360乘以 D 所占的比例即可； （4）画树状图，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）调查的学生共有：6030%200（人） ， 故答案为：200； （2）选择 C 的学生有：20015%30（人） ， 选择 A 的学生有：2006030204050（人） ， 补全的条形统计图如图所示： （3）a%50200100%25%， a25， 话题 D 所在扇形的圆心角是：36036， 故答案为：25，36； （4）画树状图如图： 共有 6 个等可能的结果，两个小组选择 A、B 话题发言的结果有
37、2 个， 两个小组选择 A、B 话题发言的概率为 【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比也考查了条形统计图和扇形统计图 23 （6 分）图 1 是一辆在平地上可以滑行的某品牌纯电动滑板车，图 2 是其示意图已知车杆 AB74cm， BC20cm，ABC130，BCE120，前、后轮子的圆心分别为点 D、E，半径均 6cm，且 D、C、 E 在同一水平线上 求把手 A 离地面的高度（结果保留整数， 参考数据：1.7， sin700.94， cos70 0.34，tan702.75） 【分析】通过作垂线，构造直角三角形，
38、利用直角三角形的边角关系求出 AM、AN 即可 【解答】解：如图，过点 A 作 AMCE，垂足为 M，交地面于点 N，则 MN6cm， ABC130，BCE120， DBC18013050，BCD18012060， 在 RtBCF 中，BC20，BCD60， FC2010（cm） ，BF2010（cm） ， D180506070， 在 RtBDF 中，BD18.1（cm） ， ADAB+BD74+18.192.1（cm） ， 在 RtADM 中，AMADsin7092.10.9486.6（cm） ， ANAM+MN86.6+692.693（cm） ， 答：把手 A 离地面的高度约为 93cm
39、【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题 型 24 （7 分）小张是某工厂的一名工人，每天工作 8 小时，已知他生产 6 件甲产品和 4 件乙产品共需 170 分 钟，生产 10 件甲产品和 10 件乙产品共需 350 分钟 （1）小张每生产一件甲产品和一件乙产品分别需要多少分钟？ （2）工厂工人每日收入由底薪和计件工资组成，每日底薪为 100 元，按件计酬的方式为每生产一件甲产 品得 a 元（2a3） ，每生产一件乙产品得 2.5 元小张某日计划生产甲，乙两种产品共 28 件，请设计 出日薪最高的生产方案 【分析】 （1）根据题中条件分别列出
40、生产甲产品和乙产品的时间总和为 170 分钟和 350 分钟构成二元一 次方程组即可 （2）先根据工作时间总分钟数小于等于 480 分钟，求出 m 的取值范围，表达出日薪 w 与 a，m 的函数 关系，根据 a 的取值范围，讨论一次函数的最大值即可得到答案 【解答】解： （1）设小张每生产一件甲产品用 x 分钟，生一件乙产品分别需要 y 分钟， 由题意得：， 解得：， 答：小张每生产一件甲产品用 15 分钟，生一件乙产品分别需要 20 分钟 （2）设生产甲产品 m 件，则生产乙产品（28m）件，日薪为 w 元，由题意得， 15m+20（28m）860，解得，m16，且 m28，故，16m28
41、wam+2.5（28m）+100， w（a2.5）m+170，且 16m28， 当 2a2.5 时，a2.50，w 随 m 增大而减小，所以当 m16 时，w 有最大值为（130+16a）元 a2.5 时，a2.50，此时 w 的最大值就为 170 元 2.5a3 时，a2.50，w 随 m 增大而增大，所以 m28 时，w 有最大值为（100+28a）元 【点评】本题考查了，二元一次方程组的应用中的方案问题，确定出 m 的取值范围，表达出日薪的函数 关系式进行讨论是解决本题的关键 25 （8 分）如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 （1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、
42、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中肯定是垂美四边形 的是 菱形，正方形 （2）性质探究：如图 1，已知四边形 ABCD 是垂美四边形，直接写出其两组对边 AB、CD 与 BC、AD 之 间的数量关系 AD2+BC2AB2+CD2 （3） 问题解决： 如图2， 分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE， 连接 BE，CG，已知 AC4，AB5，求 GE 的长 【分析】 （1）根据垂美四边形的定义即可判断； （2）结论：AD2+BC2AB2+CD2利用勾股定理即可证明； （3）CE、BA 相交于点 M，连接 CE，BG，只要证明四边形 CGEB 是垂美四边形，
43、利用（2）中结论即 可解决问题 【解答】解： （1）菱形、正方形的对角线垂直， 菱形、正方形都是垂美四边形， 故答案为：菱形，正方形； （2）猜想：AD2+BC2AB2+CD2 理由如下： 四边形 ABCD 是垂美四边形， ACBD， AODAOBBOCCOD90， 由勾股定理，得 AD2+BC2AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2AO2+BO2+CO2+DO2， AD2+BC2AB2+CD2； 故答案为 AD2+BC2AB2+CD2； （3）CE、BA 相交于点 M，连接 CE，BG， CAGBAE90， CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE， 在GAB 和CAE 中，A
44、GAC，GABCAE，ABAE， GABCAE（SAS） ， ABGAEC， 又AEC+AME90， ABG+AME90， 又BMCAME， ABG+BMC90， CEBG 四边形 CGEB 是垂美四边形， 由（2）可知 CG2+BE2CB2+GE2， AC4，AB5， 由勾股定理，得 CB29，CG232，BE250， GE2CG2+BE2CB273， GE 【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、勾股定理、垂美四边形的定义等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 26 （8 分）我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形类似地，我们定义：有一内角为 45的
45、三角形叫做半直角三角形如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，A（4，0） ，B（4，0） ，D 是 y 轴 上的一个动点， ADC90 （A、 D、 C 按顺时针方向排列） ， BC 与经过 A、 B、 D 三点的M 交于点 E， DE 平分ADC，连接 AE，BD显然DCE、DEF、DAE 是半直角三角形 （1）求证：ABC 是半直角三角形； （2）求证：DECDEA； （3）若点 D 的坐标为（0，8） ，求 AE 的长 【分析】 （1）ADC90，DE 平分ADC，则ADE45，故ABEADE45，即可求解； （2）D、B、A、E 四点共圆，则DBA+DEA180，而DEB+DEC180
46、，故DEADEC； （3）点 D 的坐标为（0，8） ，则 OM8r，由 OM2+OA2MA2得： （8r）2+42r2，解得 r5，进而 求解 【解答】 （1）证明：ADC90，DE 平分ADC， ADE45， ABEADE45， ABC 是半直角三角形； （2）证明：OMAB，OAOB， ADBD， DABDBA， DEBDAB， DBADEB， D、B、A、E 四点共圆， DBA+DEA180， DEB+DEC180， DEADEC； （3）解：如图 1，连接 AM，ME，设M 的半径为 r， 点 D 的坐标为（0，8） ， OM8r， 由 OM2+OA2MA2得： （8r）2+42r2
47、， 解得 r5， M 的半径为 5， ABE45， EMA2ABE90， EA2MA2+ME252+5250， AE5 【点评】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、新定义、三角函数值的知识，综合性较强， 解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来 27 （10 分）如图（1） ，四边形 ABCD 的顶点 A、D、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，ADBC，OC4cm动 点 E 从点 C 出发，沿 CDABC 匀速运动，动点 F 以每秒 1cm 的速度从 C 出发沿线段 CB 向点 B 来回运动，当 E 点运动到点 C 点时，两点同时停止运动若点 E、F 同时出发运动 t 秒后，如图（2）是 OEC 的面积 S（cm2）与 t（秒）的函数关系图象，以线段 EF 为斜边向右作等腰直角EFG （1）填空：点 E 的运动速度是 cm/s ，B 点坐标为 （4，4） （2）当 0t4 秒时， t 为何值时，以 O、C、E 为顶点的三角形与BFG 相似？ 是否存在这样的时刻 t，使点 G 正好落在线段 AB 上，若存在，求此时的 t，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据三角形 OCD 的面积求出 OD 的长，利用勾股定理求出 CD，根据速度可得结 论，观察图 2 可知，AD2，
