1、2021 年北京市西城区中考数学二模试卷年北京市西城区中考数学二模试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）第分）第 18 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1 （2 分） “沿着高速看中国” ， 镶嵌于正阳门前的 “中国公路零公里点” 标志牌见证了中国高速公路从 “零” 出发的跨越式发展截至 2020 年底，我国高速公路总里程已达 160000 公里将 160000 用科学记数法表 示应为（ ） A0.16106 B1.6106 C1.6105 D16104 2 （2 分）下列图形中是中心对称图形的是（ ） A
2、 B C D 3 （2 分）以下变形正确的是（ ） A+ B3 C （）33 D 4 （2 分）若如图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是（ ） A正三棱柱 B正方体 C圆柱 D圆锥 5 （2 分）半径为 2cm，圆心角为 90的扇形的面积等于（ ） A1cm2 Bcm2 C2cm2 D4cm2 6 （2 分）若相似三角形的相似比为 1：4，则面积比为（ ） A1：16 B16：1 C1：4 D1：2 7 （2 分）密云水库是首都北京重要水源地，水源地生态保护对保障首都水源安全及北京市生态和城市可持 续发展具有不可替代的作用，以下是 19862020 年密云水库水体面积和年降水量变化图 对于
3、现有数据有以下结论： 2004 年的密云水库水体面积最小，仅约为 20km2； 20152020 年，密云水库的水体面积呈持续增加趋势，表明水资源储备增多； 在 19862020 年中，2020 年的密云水库水体面积最大，约为 170km2； 在 19862020 年中，密云水库年降水量最大的年份，水体面积也最大 其中结论正确的是（ ） A B C D 8 （2 分） 如图， MAN60， 点 B 在射线 AN 上， AB2 点 P 在射线 AM 上运动 （点 P 不与点 A 重合） ， 连接 BP，以点 B 为圆心，BP 为半径作弧交射线 AN 于点 Q，连接 PQ若 APx，PQy，则下列
4、图象 中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 10 （2 分）分解因式：x310 x2+25x 11 （2 分）50 件外观相同的产品中有 2 件不合格，现从中随机抽取 1 件进行检测，抽到不合格产品的概率 是 12 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+2 与 x 轴的交点的坐标为 13 （2 分）如图，直线 l 为线段 AB 的垂直平分线，垂足为 C，直线 l 上的两点 E，F 位于 AB 异侧（E，F 两点不
5、与点 C 重合） 只需添加一个条件即可证明ACEBCF， 这个条件可以是 14 （2 分）图 1 是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两部分，图 2 中 的“风筝”和“飞镖”是由图 3 所示的特殊菱形制作而成在菱形 ABCD 中，BAD72，在对角线 AC 上截取 AEAB，连接 BE，DE，可将菱形分割为“风筝” （凸四边形 ABED）和“飞镖” （凹四边形 BCDE）两部分，则图 2 中的 15 （2 分）从 1，2，3，4，5 中选择四个数字组成四位数，其中 a，b，c，d 分别代表千位、百位、 十位、个位数字，若要求这个四位数同时满足以下条件：是偶数；abc
6、；a+cb+d，请 写出一个符合要求的数 16 （2 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l1：yx，直线 l2：yx+，直线 x交 l1于 点 A1，交 l2于点 B1，过点 B1作 y 轴的垂线交 l1于点 A2，过点 A2作 x 轴的垂线，交 l2于点 B2，过点 B2 作 y 轴的垂线交 l1于点 A3，按此方式进行下去，则 B1的坐标为 ，Bn的坐标 为 （用含 n 的式子表示，n 为正整数） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-19 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 20 题题 6 分，第分，第 21-23 题，每小题题，每小题 5
7、分，第分，第 24-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17 （5 分）计算：4sin45+（4）0+|1| 18 （5 分）解不等式：+x 19 （5 分）已知 a2+2a10，求代数式（a）的值 20 （6 分）已知关于 x 的方程（k1）x22x+10 有两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）当 k 取最大整数时，求此时方程的根 21 （5 分）下面是小华设计的“作AOB 的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空 （保留作图
8、痕迹） 步骤 作法 推断 第一步 在 OB 上任取一点 C，以点 C 为圆心，OC 为半径作 半圆，分别交射线 OA，OB 于点 P，点 Q，连接 PQ OPQ ，理由是 第二步 过点 C 作 PQ 的垂线，交 PQ 于点 D，交于点 E PDDQ， 第三步 作射线 OE 射线 OE 平分AOB 射线 OE 为所求作 22 （5 分）如图，在ABC 中，ACBC，CD 为ABC 的角平分线，AEDC，AEDC，连接 CE （1）求证：四边形 ADCE 为矩形； （2）连接 DE，若 AB10，CD12，求 DE 的长 23 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：ykxk+2（k0）
9、 ，函数 y（x0）的图象为 F （1）若 A（2，1）在函数 y（x0）的图象 F 上，求直线 l 对应的函数解析式； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记直线 l：ykxk+2（k0） ，图象 F 和直线 y围成的区 域（不含边界）为图形 G 在（1）的条件下，写出图形 G 内的整点的坐标； 若图形 G 内有三个整点，直接写出 k 的取值范围 24 （6 分）某大学共有 9000 名学生，为了解该大学学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方 式调查了 150 名学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析下面是其中的部分信息： a所调查的 150 名学生最常用的一种阅读方式统计
10、图如图 1 b选择手机阅读为最常用的一种阅读方式的学生中，平均每天阅读时长统计表如表 1； 表 1 使用手机阅读的学生平均每天阅读时长统计表 平均每天阅读时长 x（单位：分钟） 人数 0 x30 6 30 x60 n 60 x90 17 x90 9 c使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长在 60 x90 这一组的具体数据如下： 60 60 66 68 68 69 70 70 72 72 72 73 75 80 83 84 85 根据以上信息解答下列问题： （1）图 1 中 m ，表 1 中 n ； （2）使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长的中位数是 ，平均每天阅读时长在 60 x90 这
11、一组的数据的众数是 ； （3）根据所调查的这 150 名学生的阅读情况，估计该校使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长少于 半小时的人数 25 （6 分）如图，在 RtABC 中，C90，点 O 在 AC 上，OBCA，点 D 在 AB 上，以点 O 为 圆心，OD 为半径作圆，交 DO 的延长线于点 E，交 AC 于点 F，EBOC （1）求证：AB 为O 的切线； （2）若O 的半径为 3，tanOBC，求 BD 的长 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，M（a，y1） ，N（a+t，y2）为抛物线 yx2+x 上两点，其中 t0 （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）若
12、t1，点 M，点 N 在抛物线上运动，过点 M 作 y 轴的垂线，过点 N 作 x 轴的垂线，两条垂线交 于点 Q，当MNQ 为等腰直角三角形时，求 a 的值； （3）记抛物线在 M，N 两点之间的部分为图象 G（包含 M，N 两点） ，若图象 G 上最高点与最低点的纵 坐标之差为 1，直接写出 t 的取值范围 27 （7 分）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 为ABC 外一点，点 P 与点 C 位于直线 AB 异侧，且APB45，过点 C 作 CDPA，垂足为 D （1）当ABP90时，在图 1 中补全图形，并直接写出线段 AP 与 CD 之间的数量关系； （2）如图 2，当
13、ABP90时， 用等式表示线段 AP 与 CD 之间的数量关系，并证明； 在线段 AP 上取一点 K，使得ABKACD，画出图形并直接写出此时的值 28 （7 分）对于平面内的点 M，如果点 P，点 Q 与点 M 所构成的MPQ 是边长为 1 的等边三角形，则称 点 P，点 Q 为点 M 的一对“关联点” 进一步地，在MPQ 中，若顶点 M，P，Q 按顺时针排列，则称 点 P，点 Q 为点 M 的一对“顺关联点” ；若顶点 M，P，Q 按逆时针排列，则称点 P，点 Q 为点 M 的一 对“逆关联点” 已知 A（1，0） （1）在 O（0，0） ，B（0，1） ，C（2，0） ，D（，）中，点
14、A 的一对关联点是 ，它们 为点 A 的一对 关联点（填“顺”或“逆” ） ； （2）以原点 O 为圆心作半径为 1 的圆，已知直线 l：yx+b 若点 P 在O 上，点 Q 在直线 l 上，点 P，点 Q 为点 A 的一对关联点，求 b 的值； 若在O 上存在点 R，在直线 l 上存在两点 T（x1，y1）和 S（x2，y2） ，其中 x1x2，且点 T，点 S 为 点 R 的一对顺关联点，求 b 的取值范围 2021 年北京市西城区中考数学二模试卷年北京市西城区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）
15、第分）第 18 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1 （2 分） “沿着高速看中国” ， 镶嵌于正阳门前的 “中国公路零公里点” 标志牌见证了中国高速公路从 “零” 出发的跨越式发展截至 2020 年底，我国高速公路总里程已达 160000 公里将 160000 用科学记数法表 示应为（ ） A0.16106 B1.6106 C1.6105 D16104 【解答】解：1600001.6105 故选：C 2 （2 分）下列图形中是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是中心对称图形，故本选项符
16、合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B 3 （2 分）以下变形正确的是（ ） A+ B3 C （）33 D 【解答】解：2， A 错误 3 B 错误 （）3（）2 2 C 错误 2，2 故 D 正确 故选：D 4 （2 分）若如图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是（ ） A正三棱柱 B正方体 C圆柱 D圆锥 【解答】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是正三棱柱 故选：A 5 （2 分）半径为 2cm，圆心角为 90的扇形的面积等于（ ） A1cm2 Bcm2 C2cm2 D4cm2 【解答】解：扇形的面
17、积是：（cm2） 故选：B 6 （2 分）若相似三角形的相似比为 1：4，则面积比为（ ） A1：16 B16：1 C1：4 D1：2 【解答】解：两个相似三角形的相似比为 1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是 1：16 故选：A 7 （2 分）密云水库是首都北京重要水源地，水源地生态保护对保障首都水源安全及北京市生态和城市可持 续发展具有不可替代的作用，以下是 19862020 年密云水库水体面积和年降水量变化图 对于现有数据有以下结论： 2004 年的密云水库水体面积最小，仅约为 20km2； 20152020 年，密云水库的水体面积呈持续增加趋势，表明水资源储备增多； 在 198
18、62020 年中，2020 年的密云水库水体面积最大，约为 170km2； 在 19862020 年中，密云水库年降水量最大的年份，水体面积也最大 其中结论正确的是（ ） A B C D 【解答】解：2004 年的水体面积超过 60，不符合题意； 符合题意； 符合题意； 降水量最大的年份是 2012 年，水体面积最大的年份是 2020 年，不符合题意 故选：A 8 （2 分） 如图， MAN60， 点 B 在射线 AN 上， AB2 点 P 在射线 AM 上运动 （点 P 不与点 A 重合） ， 连接 BP，以点 B 为圆心，BP 为半径作弧交射线 AN 于点 Q，连接 PQ若 APx，PQy
19、，则下列图象 中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：由题知知，点 P 在射线 AM 上运动，APx，PQy， 随着 x 增大 y 值先变小后变大， 故选项 A、B 错误， 在 C 和 D 选项中当 x5 时对应函数值差别较大， 选当 x5 时为特殊值求此时的函数值， 作 QHAM 于 H，作 BRAM 于 R， MAN60，AB2，AP5， AR1，BR，RPAPAR514， BQBP， AQAB+BQ2+， MAN60， AHAQ1+，QHAQ+， PHAPAH5（1+）4， QP5.2， 观察选项 C 和 D 的图象可以发现 C 的图象符合， 故
20、选：C 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x3 【解答】解：若式子在实数范围内有意义， 则 x+30， 解得：x3， 则 x 的取值范围是：x3 故答案为：x3 10 （2 分）分解因式：x310 x2+25x x（x5）2 【解答】解：x310 x2+25x x（x210 x+25） x（x5）2 故答案为：x（x5）2 11 （2 分）50 件外观相同的产品中有 2 件不合格，现从中随机抽取 1 件进行检测，抽到不合格产品的概率 是 【解答】解：50 件外观相同的产品中有 2 件不合格，
21、 从中随机抽取 1 件进行检测，抽到不合格产品的概率是； 故答案为： 12 （2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+2 与 x 轴的交点的坐标为 （2，0） 【解答】解：令 y0， 则 x+20 x2 直线 yx+2 与 x 轴的交点的坐标为（2，0） 故答案为： （2，0） 13 （2 分）如图，直线 l 为线段 AB 的垂直平分线，垂足为 C，直线 l 上的两点 E，F 位于 AB 异侧（E，F 两点不与点 C 重合） 只需添加一个条件即可证明ACEBCF，这个条件可以是 AB（答案 不唯一） 【解答】解：条件可以是AB， 理由是：直线 l 是线段 AB 的垂直平分线， ACB
22、C， 在ACE 和BCF 中 ， ACEBCF（ASA） ， 故答案为：AB（答案不唯一） 14 （2 分）图 1 是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两部分，图 2 中 的“风筝”和“飞镖”是由图 3 所示的特殊菱形制作而成在菱形 ABCD 中，BAD72，在对角线 AC 上截取 AEAB，连接 BE，DE，可将菱形分割为“风筝” （凸四边形 ABED）和“飞镖” （凹四边形 BCDE）两部分，则图 2 中的 144 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，BAD72， DACBAC36，ADAB， AEABAD， DEA72AEB， 72+72144， 故答案为
23、144 15 （2 分）从 1，2，3，4，5 中选择四个数字组成四位数，其中 a，b，c，d 分别代表千位、百位、 十位、个位数字，若要求这个四位数同时满足以下条件：是偶数；abc；a+cb+d，请 写出一个符合要求的数 5412 或 4312 或 5324（填其中的一个即可） 【解答】解：是偶数， d2 或 d4， 当 d2 时，a+cb+d， a+cb+2， ba+c2， abc， a5，b4，c1 或 a4，b3，c1， 四位数为 5412 或 4312； 当 d4 时，a+cb+d， a+cb+4， ba+c4， abc， a5，b3，c2， 四位数为 5324， 即符合条件的四位数
24、为 5412 或 4312 或 5324， 故答案为 5412 或 4312 或 5324（填其中的一个即可） 16 （2 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l1：yx，直线 l2：yx+，直线 x交 l1于 点 A1，交 l2于点 B1，过点 B1作 y 轴的垂线交 l1于点 A2，过点 A2作 x 轴的垂线，交 l2于点 B2，过点 B2 作 y 轴的垂线交 l1于点 A3， ， 按此方式进行下去， 则 B1的坐标为 （， ） ， Bn的坐标为 （， ） （用含 n 的式子表示，n 为正整数） 【解答】解：直线 l1：yx，直线 l2：yx+，直线 x交 l1于点 A1，交
25、 l2于点 B1， A1（，） ，B1（，） ， A2的纵坐标为， A2（，） ， B2（，） ， 同理：A3（，） ，B3（，） ， A4（，） ，B4（，） ， ， Bn的坐标为（，） 故答案为： （，） ， （，） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-19 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 20 题题 6 分，第分，第 21-23 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 24-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 1
26、7 （5 分）计算：4sin45+（4）0+|1| 【解答】解：原式42+1+1 22+1+1 18 （5 分）解不等式：+x 【解答】解：去分母，得 3x+32x2+6x， 移项得 3x2x6x23， 合并，得5x5， 系数化为 1，得 x1 19 （5 分）已知 a2+2a10，求代数式（a）的值 【解答】解：原式（） a（a+2） a2+2a， a2+2a10， a2+2a1， 则原式1 20 （6 分）已知关于 x 的方程（k1）x22x+10 有两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）当 k 取最大整数时，求此时方程的根 【解答】解： （1）关于 x 的方程（k1）x22x+1
27、0 有两个实数根， ， 解得：k2 且 k1 （2）当 k2 时，方程为：x22x+10，即（x1）20， 解得：x1x21 21 （5 分）下面是小华设计的“作AOB 的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空 （保留作图痕迹） 步骤 作法 推断 第一步 在 OB 上任取一点 C，以点 C 为圆心，OC 为半径作 半圆，分别交射线 OA，OB 于点 P，点 Q，连接 PQ OPQ 90 ，理由是 直径所对的圆周角是直角 第二步 过点 C 作 PQ 的垂线，交 PQ 于点 D，交于点 E PDDQ， 第三步 作射线 OE 射线 OE 平分AOB 射线 OE 为所求作 【解答】解：
28、如图，射线 OE 即为所求作 理由：OQ 是直径， OPQ90（直径所对的圆周角是直角） ， OEPQ， PDDQ， OE 平分AOB 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角， 22 （5 分）如图，在ABC 中，ACBC，CD 为ABC 的角平分线，AEDC，AEDC，连接 CE （1）求证：四边形 ADCE 为矩形； （2）连接 DE，若 AB10，CD12，求 DE 的长 【解答】 （1）证明：AEDC，AEDC， 四边形 ADCE 是平行四边形， ACBC，CD 为ABC 的角平分线， CDAB， ADC90， 平行四边形 ADCE 为矩形； （2）解：ACBC，CD 为ABC 的角平
29、分线， BDADAB5，CDAB， BDC90， AC13， 由（1）得：四边形 ADCE 为矩形， DEAC13 23 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：ykxk+2（k0） ，函数 y（x0）的图象为 F （1）若 A（2，1）在函数 y（x0）的图象 F 上，求直线 l 对应的函数解析式； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记直线 l：ykxk+2（k0） ，图象 F 和直线 y围成的区 域（不含边界）为图形 G 在（1）的条件下，写出图形 G 内的整点的坐标； 若图形 G 内有三个整点，直接写出 k 的取值范围 【解答】解： （1）把 A（2，1）代入 y（x0）得
30、2k21， k1， 直线 l 对应的函数解析式为 yx+1； （2）解方程x+1 得 x12（舍去） ，x21，则直线 l：ykxk+2（k0）与函数 y（x0） 的图象的交点为（1，2） ， 如图 1 所示，区域 G 内的整点有（1，1）一个； 如图 2，当直线 l：ykxk+2（k0）经过点（1，1）时，则 1kk+2，解得 k， 当函数 y（x0）经过点（1，3）时，则 3，解得 k， 则直线 l：yx+（k0）经过点（1，1）时，此时图形 G 内有（1，1） ， （2，1）两个整点， 函数 y（x0）经过点（2，2）时，则 2，解得 k2， 则直线 l：y2x（k0）经过点（1，1）时
31、，此时图形 G 内有（1，1） ， （2，1） ， （3，1）三个个整 点， 观察图象可知：当k2 时，区域 G 内有三个整点 24 （6 分）某大学共有 9000 名学生，为了解该大学学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方 式调查了 150 名学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析下面是其中的部分信息： a所调查的 150 名学生最常用的一种阅读方式统计图如图 1 b选择手机阅读为最常用的一种阅读方式的学生中，平均每天阅读时长统计表如表 1； 表 1 使用手机阅读的学生平均每天阅读时长统计表 平均每天阅读时长 x（单位：分钟） 人数 0 x30 6 30 x60 n 60
32、x90 17 x90 9 c使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长在 60 x90 这一组的具体数据如下： 60 60 66 68 68 69 70 70 72 72 72 73 75 80 83 84 85 根据以上信息解答下列问题： （1）图 1 中 m 34% ，表 1 中 n 19 ； （2）使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长的中位数是 60 ，平均每天阅读时长在 60 x90 这 一组的数据的众数是 72 ； （3）根据所调查的这 150 名学生的阅读情况，估计该校使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长少于 半小时的人数 【解答】解： （1）m1（17%+7%+3%+39%）34
33、%， n15034%（6+17+9）19， 故答案为：34%，19； （2）使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长的中位数是第 26 个数据， 使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长的中位数是 60， 平均每天阅读时长在 60 x90 这一组的数据的众数是 72， 故答案为：60、72； （3）根据所调查的这 150 名学生的阅读情况，估计该校使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长少于 半小时的人数9000360（人） 25 （6 分）如图，在 RtABC 中，C90，点 O 在 AC 上，OBCA，点 D 在 AB 上，以点 O 为 圆心，OD 为半径作圆，交 DO 的延长线于点 E，交 A
34、C 于点 F，EBOC （1）求证：AB 为O 的切线； （2）若O 的半径为 3，tanOBC，求 BD 的长 【解答】 （1）证明：EDOF，EBOC， DOFBOC， C90， OBC+BOC90， OBC+DOF90， OBCA， A+DOF90， ADO90， ODAD， AB 为O 的切线； （2）解：OBCA， tanOBCtanA， OD3， AD2OD6， OA3， 设 OCx，则 BC2x， 在 RtABC 中，tanA， ， 解得 x， OC，BC2， OB5， BD4 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，M（a，y1） ，N（a+t，y2）为抛物线 yx2+x
35、 上两点，其中 t0 （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）若 t1，点 M，点 N 在抛物线上运动，过点 M 作 y 轴的垂线，过点 N 作 x 轴的垂线，两条垂线交 于点 Q，当MNQ 为等腰直角三角形时，求 a 的值； （3）记抛物线在 M，N 两点之间的部分为图象 G（包含 M，N 两点） ，若图象 G 上最高点与最低点的纵 坐标之差为 1，直接写出 t 的取值范围 【解答】解： （1）令 yx2+x0，解得 x0 或1， 故抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0）或（1，0） ； （2）由题意得，此时点 Q 的坐标为（a+t，y1） ， MNQ 为等腰直角三角形，故 MQNQ，
36、则 MQa+tat1， NQ|y1y2|（a+1）2+a+1a2a|MQ1， 解得 a或； （3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为（，） ， 当点 M、N 在对称轴同侧时， 当点 M、N 均为对称轴的右侧时，即 a， 则 y2y1（a+t）2+（a+t）a2at2+2at+t1， a（1tt2），解得 0t1； 当点 M、N 均在对称轴左侧时，同理可得：0t1； 0t1； 当点 M、N 在对称轴两侧时， 则最小值为，最大值为 y1或 y2， 当最大值为 y1时，则 y1（）1， 即 a2+a+1，解得 a， 则与点 M 关于抛物线对称轴对称的点的横坐标为， 故点 N 的横坐标 a+t 在和之间，
37、即t， 解得 1t2； 当最大值为 y2时，同理可得，1t2； 故 1t2； 综上，0t2 27 （7 分）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 为ABC 外一点，点 P 与点 C 位于直线 AB 异侧，且APB45，过点 C 作 CDPA，垂足为 D （1）当ABP90时，在图 1 中补全图形，并直接写出线段 AP 与 CD 之间的数量关系； （2）如图 2，当ABP90时， 用等式表示线段 AP 与 CD 之间的数量关系，并证明； 在线段 AP 上取一点 K，使得ABKACD，画出图形并直接写出此时的值 【解答】解： （1）如图 1， ACB90，ACBC， CAB45， AB
38、AC， ABP90，APB45， BAP45， CAPCAB+BAP90， CDPA， CD 和 CA 重合， APAB， APAC2AC2CD； （2）AP2CD， 证明：过点 A 作 AFBP 于点 F， BPA45， FAPFPA45， ， APAF ABFBAP+PBAP+45， 又CADBAP+CABBAP+45， CADFBA 又ADCAFB90， CADABF， ， AFCD， APAF2CD； 延长 CD、BK 交于点 Q， 12，ACGABK， AGCQGB， CAGQ45， P45， QP， 34， QDKPBK， PBKQDK90， P45， KPBP， 28 （7 分）
39、对于平面内的点 M，如果点 P，点 Q 与点 M 所构成的MPQ 是边长为 1 的等边三角形，则称 点 P，点 Q 为点 M 的一对“关联点” 进一步地，在MPQ 中，若顶点 M，P，Q 按顺时针排列，则称 点 P，点 Q 为点 M 的一对“顺关联点” ；若顶点 M，P，Q 按逆时针排列，则称点 P，点 Q 为点 M 的一 对“逆关联点” 已知 A（1，0） （1）在 O（0，0） ，B（0，1） ，C（2，0） ，D（，）中，点 A 的一对关联点是 D，C ，它们 为点 A 的一对 顺 关联点（填“顺”或“逆” ） ； （2）以原点 O 为圆心作半径为 1 的圆，已知直线 l：yx+b 若点
40、 P 在O 上，点 Q 在直线 l 上，点 P，点 Q 为点 A 的一对关联点，求 b 的值； 若在O 上存在点 R，在直线 l 上存在两点 T（x1，y1）和 S（x2，y2） ，其中 x1x2，且点 T，点 S 为 点 R 的一对顺关联点，求 b 的取值范围 【解答】解： （1）如图 1 中， 观察图象可知，ADC 是边长为 1 的等边三角形， 点 A 的一对关联点是 D，C，是点 A 的一对顺关联点 故答案为：D，C，顺 （2）如图 21 中，点 P，点 Q 为点 A 的一对关联点，有三种情形如图所示， 当直线 yx+b 经过原点（0，0） ，满足条件，此时 b0 当直线 yx+b 经过点 A（1，0） ，满足条件，此时 b 当直线 yx+b 经过点 Q（，） ，满足条件，此时 b2 综上所述，满足条件的 b 的值为 0 或或2 如图 22 中，当直线 yx+b 与O 相切于 E，F 时，解析法分别为：yx2，yx+2 以 ST 为边向上构造等边三角形 （边长 1） ， 当等边三角形与O 有交点时， 满足条件 （这个交点为点 R） ， 当 R 与 E 重合时，直线的解析式为 yx2， 当 R 与 F 重合时，直线的解析式为 yx+2， 观察图象可知，满足条件的 b 的值为2b2
