1、2021 年北京市昌平区中考数学二模试卷年北京市昌平区中考数学二模试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1（2 分） 自 2021 年 1 月 1 日起， 全市启动九类重点人群新冠疫苗接种工作 昌平设置 46 个疫苗接种点位， 共配备医务人员 1200 多名截至 3 月 28 日 18 时，昌平区累计新冠疫苗接种共完成 1015000 人次，整体 接种秩序井然将 1015000 用科学记数法表示应为（ ） A10.15106 B1.015106 C0.101
2、5107 D1.015107 2 （2 分）下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ） A B C D 3 （2 分）下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B圆 C正方形 D正六边形 4 （2 分）实数 a，b，c，d 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A|a|b| Bad0 Ca+c0 Dda0 5 （2 分）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是（ ） A3 B4 C5 D6 6 （2 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 和正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似 图形，且相似比是，点
3、A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 12，则点 C 的坐标为（ ） A （6，2） B （6，4） C （4，4） D （8，4） 7 （2 分）疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有 2 个测温通道，分别 记为 A、B 通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园某日早晨该校所有学生体温正常小王 和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（ ） A B C D 8 （2 分）世界各国温度的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（）和华氏温度（）两种，它们之间 的换算关系如表所示： 摄氏（单位） 0 1 2 3 4 5 6 华氏（单
4、位） 32 33.8 35.6 37.4 39.2 41 42.8 那么当华氏度与摄氏度对应相等时的温度值是（ ） A32 B20 C40 D40 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分分 9 （2 分）代数式有意义时，x 应满足的条件是 10 （2 分）将一副三角板如图摆放，斜边 AB 与直角边 DE 相交于点 F，则BFE 11 （2 分）写出一个比小的正整数是 12 （2 分）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D 是网格线交点，则ABC 的面积与ADB 的面 积大小关系为：SABC SADB（填“” “”或“” ） 13 （2 分）方程组的解为
5、 14 （2 分）今年五月某中学举行一次“新冠”防疫知识竞赛，该校九年级 1 班、2 班各选派了 6 名学生参 赛，为了全面了解、比较两个班级的参赛学生的实力，请你根据表格成绩对他们进行统计分析： 1 班 65 70 70 70 75 82 2 班 55 70 70 75 80 82 请问： ，s12 s22 （填“” “”或“” ） 15 （2 分）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点： 甲：对称轴是直线 x4； 乙：顶点到 x 轴的距离为 2 请你写出一个符合条件的解析式： 16 （2 分）盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种 类的两颗粒
6、子发生碰撞， 会变成第三种粒子 例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子， 现有甲粒子 6 颗，乙粒子 4 颗，丙粒子 5 颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下 1 颗粒子，给出下列结 论： 最后一颗粒子可能是甲粒子； 最后一颗粒子一定不是乙粒子； 最后一颗粒子可能是丙粒子 其中正确结论的序号是： 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17
7、（5 分）计算：（） 1+|2|4sin45 18 （5 分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上 19 （5 分）已知 x2+x10，求代数式（3x+1）2x（x2）的值 20 （5 分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的 2 倍”的尺规作图过程 已知：AOB 求作：ADC，使ADC2AOB 作法：如图， 在射线 OB 上任取一点 C； 作线段 OC 的垂直平分线，交 OA 于点 D，交 OB 于点 E，连接 DC 所以ADC 即为所求的角 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据） 证明：DE 是线
8、段 OC 的垂直平分线， OD （ ） ， AOB （ ） ， ADCAOB+DCO， ADC2AOB 21 （5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x+a0 有两个不相等的实数根 （1）求 a 的取值范围； （2）请你给出一个符合条件的 a 的值，并求出此时方程的解 22 （5 分）如图，矩形 ABCD，延长 AD 至点 F，使 DFAD，连接 AC，CF，过点 A 作 AECF 交 CD 的 延长线于点 E，连接 EF （1）求证：四边形 ACFE 是菱形； （2）连接 BE 交 AD 于点 G当 AB2，tanACB时，求 BE 的长 23 （6 分）为了解昌平区两校学生对垃圾分类
9、知识的掌握情况，从甲、乙两所学校各随机抽取 40 名学生进 行垃圾分类知识的测试，获得了他们的成绩（百分制）并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析下 面给出了部分信息 a甲、乙两校 40 名学生成绩的频数分布统计表如表： 成绩 x 学校 50 x60 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 甲 4 15 9 10 2 乙 6 3 15 14 2 （说明：成绩 80 分及以上为优秀，7079 分为良好，6069 分为合格，60 分以下为不合格） b甲校成绩在 70 x80 这一组的是：70，70，71，72，73，74，76，77，79 c甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如
10、表： 学校 平均分 中位数 众数 甲 74.2 n 85 乙 73.5 76 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 n 的值； （2）估计乙校 200 名学生中，成绩优秀的学生人数是 ； （3）假设甲校 200 名学生都参加此次测试，并决定年级排名在前 100 名的学生都可以被评为“垃圾分类 知识标兵”荣誉称号，预估甲校学生至少要达到 分可以获得此荣誉称号 24 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y的图象与直线 l：yx2 交于点 A（a，4） ， 直线 l 与 x 轴交于点 B （1）求 a，k 的值； （2）在 y 轴上存在一点 C，使得 SABC3，求点
11、C 的坐标 25 （6 分）如图，AB 为O 直径，点 C，D 在O 上，且，过点 C 作 CEBD，交 AB 延长线于点 E （1）求证：CE 为O 切线； （2）过点 C 作 CFAE 交 BD 于 H 点，E30，CH6，求 BE 的长 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+3a（a0）与 x 轴的交点为点 A（1，0）和点 B （1）直接写出抛物线的对称轴和点 B 的坐标； （2）分别过点 P（t，0）和点 Q（t+2，0）作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M 和点 N，记抛物线在 M，N 之间的部分为图象 G（包括 M，N 两点） 记图形 G 上任意一点
12、的纵坐标的最大值是 m，最小值为 n 当 a2 时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出 mn 的最小值； 若存在实数 t，使得 mn2，直接写出 a 的取值范围 27 （7 分）如图，在等腰直角ABC 中，ABAC，BAC90，点 D 是 CA 延长线上一点，点 E 是 AB 延长线上一点，且 ADBE，过点 A 作 DE 的垂线交 DE 于点 F，交 BC 的延长线于点 G （1）依题意补全图形； （2）当AED，请你用含 的式子表示AGC； （3）用等式表示线段 CG 与 AD 之间的数量关系，并写出证明思路 28 （7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：P
13、为图形 M 上任意一点，Q 为图形 N 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 间的“闭距离” ，记 作 d（M，N） 特殊地，当图形 M 与图形 N 有公共点时，规定 d（M，N）0 已知点 A（2，0） ，B（0，2） ，C（2，0） ，D（0，m） （1）求 d（点 O，线段 AB） ； 若 d（线段 CD，直线 AB）1，直接写出 m 的值； （2）O 的半径为 r，若 d（O，线段 AB）1，直接写出 r 的取值范围； （3）若直线 yx+b 上存在点 E，使 d（E，ABC）1，直接写出 b 的取值范围 2021 年北京市昌平区中考数学二模试
14、卷年北京市昌平区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1（2 分） 自 2021 年 1 月 1 日起， 全市启动九类重点人群新冠疫苗接种工作 昌平设置 46 个疫苗接种点位， 共配备医务人员 1200 多名截至 3 月 28 日 18 时，昌平区累计新冠疫苗接种共完成 1015000 人次，整体 接种秩序井然将 1015000 用科学记数法表示应为（ ） A10.15106 B1.015106 C0.101
15、5107 D1.015107 【解答】解：将 1015000 用科学记数法表示为：1.015106 故选：B 2 （2 分）下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ） A B C D 【解答】解：A、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意； B、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意； C、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意； D、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意 故选：D 3 （2 分）下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B圆 C正方形 D正六边形 【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形故
16、本选项符合题意； B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形故本选项不合题意； C、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形故本选项不合题意； D、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形故本选项不合题意 故选：A 4 （2 分）实数 a，b，c，d 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A|a|b| Bad0 Ca+c0 Dda0 【解答】解：由实数 a，b，c，d 在数轴上对应的点的位置可知，ab0cd， |a|b|，ad0，a+c0，da0， 因此选项 D 正确， 故选：D 5 （2 分）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是（ ） A3 B4 C5 D6
17、 【解答】解：设多边形的边数为 n，根据题意 （n2） 180360， 解得 n4 故选：B 6 （2 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 和正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似 图形，且相似比是，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 12，则点 C 的坐标为（ ） A （6，2） B （6，4） C （4，4） D （8，4） 【解答】解：正方形 ABCD 和正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比是，正方 形 BEFG 的边长为 12， BCEF，BC4， OBCOEF， ，即， 解得，OB6， 点 C 的坐标为
18、（6，4） ， 故选：B 7 （2 分）疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有 2 个测温通道，分别 记为 A、B 通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园某日早晨该校所有学生体温正常小王 和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（ ） A B C D 【解答】解：画树状图如图： 共有 4 个等可能的结果， 小王和小李两同学该日早晨进校园时， 选择同一通道测温进校园的结果有 2 个， 小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率为， 故选：C 8 （2 分）世界各国温度的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（）和华氏温度（）两
19、种，它们之间 的换算关系如表所示： 摄氏（单位） 0 1 2 3 4 5 6 华氏（单位） 32 33.8 35.6 37.4 39.2 41 42.8 那么当华氏度与摄氏度对应相等时的温度值是（ ） A32 B20 C40 D40 【解答】解：设华氏度 y 与摄氏度 x 的函数关系式是 ykx+b， ，解得：， 即 y 与 x 的函数关系式是 yx+32； 令 yx， 则 xx+32， 解得，x40， 即当华氏度与摄氏度对应相等时的温度值是40 度 故选：C 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分分 9 （2 分）代数式有意义时，x 应满足的条件是 x2 【
20、解答】解：由题意，得 2x40， 解得 x2 故答案为：x2 10 （2 分）将一副三角板如图摆放，斜边 AB 与直角边 DE 相交于点 F，则BFE 60 【解答】解：DAEE45，CAF30， EAFDAEDAF15， BFEFAE+E15+4560， 故答案为：60 11 （2 分）写出一个比小的正整数是 2 【解答】解：489， 23， 写出一个比小的正整数是 2 故答案为：2（答案不唯一） 12 （2 分）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D 是网格线交点，则ABC 的面积与ADB 的面 积大小关系为：SABC SADB（填“” “”或“” ） 【解答】解：AB28，BC2
21、2，AC210， AB2+BC2AC2， ABC 是直角三角形， SABC22，SABD222， SABCSABD， 故答案为： 13 （2 分）方程组的解为 【解答】解：， +，得 3x6， 解得：x2， 把 x2 代入，得 2y2， 解得：y0， 所以方程组的解是， 故答案为： 14 （2 分）今年五月某中学举行一次“新冠”防疫知识竞赛，该校九年级 1 班、2 班各选派了 6 名学生参 赛，为了全面了解、比较两个班级的参赛学生的实力，请你根据表格成绩对他们进行统计分析： 1 班 65 70 70 70 75 82 2 班 55 70 70 75 80 82 请问： ，s12 s22 （填“
22、” “”或“” ） 【解答】解：72，72， s12（6572）2+3（70+72）2+（7572）2+（8272）2， s22（5572）2+2（70+72）2+（7572）2+（8272）2+（8072）2， ，s12s22 故答案为：， 15 （2 分）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点： 甲：对称轴是直线 x4； 乙：顶点到 x 轴的距离为 2 请你写出一个符合条件的解析式： y2x216x34（答案不唯一） 【解答】解：设抛物线 yax2+bx+c， 对称轴 x4， 顶点到 x 轴的距离为 2， 即顶点坐标为（4，2）或（4，2） ， 把顶点坐标代入抛物线解析式得： 16a2
23、+4b+c2， 4， 即：2b+c2， 满足这样条件的抛物线不唯一 设 a2，2b+c2 时 则 设 a2，2b+c2 时， 则， 故其中一个符合条件解析式为：y2x216x34 故答案为：y2x216x34答案不唯一 16 （2 分）盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种 类的两颗粒子发生碰撞， 会变成第三种粒子 例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子， 现有甲粒子 6 颗，乙粒子 4 颗，丙粒子 5 颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下 1 颗粒子，给出下列结 论： 最后一颗粒子可能是甲粒子； 最后一颗粒子一定不是乙粒子； 最后一颗粒子
24、可能是丙粒子 其中正确结论的序号是： 【解答】解：由题目知每次碰撞都会减少一个粒子，现在共有 15 颗粒子，碰撞 14 次后只剩 1 颗粒子， （1）每次碰撞后乙粒子的数量增多或者减少一个，题目中开始有 8 颗乙粒子，14 次碰撞之后剩余的乙 粒子也是偶数不可能是 1 个； （2）每次碰撞之后，甲，丙粒子的总数不变或者减少两个，题目中甲和丙粒子之和为 11 个，无论碰撞 多少次甲和丙都没有了是不可能的， 综上，剩下的粒子可能是甲或丙不可能是乙， 故答案为： 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每
25、小题 5 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17 （5 分）计算：（） 1+|2|4sin45 【解答】解：原式22+24 22+22 0 18 （5 分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上 【解答】解：解不等式 4x62x，得：x3， 解不等式，得：x， 则不等式组的解集为x3， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 19 （5 分）已知 x2+x10，求代数式（3x+1）2x（x2）的值 【解答】解： （3x+1）2x（x2） 9x2+6x+1x2+2x 8x2+8x+1， x2+x10，
26、 x2+x1， 原式8（x2+x）+19 20 （5 分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的 2 倍”的尺规作图过程 已知：AOB 求作：ADC，使ADC2AOB 作法：如图， 在射线 OB 上任取一点 C； 作线段 OC 的垂直平分线，交 OA 于点 D，交 OB 于点 E，连接 DC 所以ADC 即为所求的角 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据） 证明：DE 是线段 OC 的垂直平分线， OD DC （ 线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 ） ， AOB DCO （ 等边对等角
27、 ） ， ADCAOB+DCO， ADC2AOB 【解答】解： （1）如图， ADC 即为所求作： （2）证明：ED 是线段 OC 的垂直平分线， ODDC（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等） ， ODCO（等边对等角） ， ADCO+DCO（三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和） ， ADC2AOB， 故答案为线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形任意一个外角等于与它不相邻 的两内角的和 21 （5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x+a0 有两个不相等的实数根 （1）求 a 的取值范围； （2）请你给出一个符合条件的 a 的值，并求出此时方
28、程的解 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x24x+a0 有两个不相等的实数根 4241a0， 解得 a4 （2）由（1）知，实数 a 的取值范围为 a4， 故取 a3， 则 x24x+30，即（x3） （x1）0， 解得，x13，x21 22 （5 分）如图，矩形 ABCD，延长 AD 至点 F，使 DFAD，连接 AC，CF，过点 A 作 AECF 交 CD 的 延长线于点 E，连接 EF （1）求证：四边形 ACFE 是菱形； （2）连接 BE 交 AD 于点 G当 AB2，tanACB时，求 BE 的长 【解答】解： （1）证明：矩形 ABCD， ADC90， AFCE，
29、DFAD， AEEF，ACCF， AEDFED， AECF， AEDECF， FEDECF， EFCF， AEEFACCF， 四边形 ACFE 是菱形； （2）解：如图， 矩形 ABCD， ABCBCE90，CDAB2， 由（1）知四边形 ACFE 是菱形， CDDE2， EC4， AB2，tanACB， BC4， BE4 23 （6 分）为了解昌平区两校学生对垃圾分类知识的掌握情况，从甲、乙两所学校各随机抽取 40 名学生进 行垃圾分类知识的测试，获得了他们的成绩（百分制）并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析下 面给出了部分信息 a甲、乙两校 40 名学生成绩的频数分布统计表如表： 成绩
30、x 学校 50 x60 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 甲 4 15 9 10 2 乙 6 3 15 14 2 （说明：成绩 80 分及以上为优秀，7079 分为良好，6069 分为合格，60 分以下为不合格） b甲校成绩在 70 x80 这一组的是：70，70，71，72，73，74，76，77，79 c甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如表： 学校 平均分 中位数 众数 甲 74.2 n 85 乙 73.5 76 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 n 的值； （2）估计乙校 200 名学生中，成绩优秀的学生人数是 60 ； （3）假设甲校 20
31、0 名学生都参加此次测试，并决定年级排名在前 100 名的学生都可以被评为“垃圾分类 知识标兵”荣誉称号，预估甲校学生至少要达到 70 分可以获得此荣誉称号 【解答】解： （1）甲校 40 名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数，即第 20、第 21 位的两 个数都是 70，因此中位数是 70，即 n70； （2）20060（人） ， 故答案为：60； （3）由甲校学生成绩的中位数是 70 分，即一半学生在 70 分以上，一半学生在 70 分以下， 200 名学生中的前 100 名，即一半获奖，因此至少要在 70 分， 故答案为：70 24 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，反比
32、例函数 y的图象与直线 l：yx2 交于点 A（a，4） ， 直线 l 与 x 轴交于点 B （1）求 a，k 的值； （2）在 y 轴上存在一点 C，使得 SABC3，求点 C 的坐标 【解答】解： （1）将点 A（a，4）的坐标代入 yx2 中， 得4a2， 解得 a2； 点 A（2，4） ， 将点 A（2，4）的坐标代入反比例函数 y中， 得 k2（4）8； 答：a，k 的值为 2，8； （2）当 y0，x20，解得 x2， 点 B 的坐标为（2，0） 设 P（0，t） ， SABC5， |t+2|2+|t+2|23， 即|t+2|， t或， C（0，）或 P（0，） 25 （6 分）如
33、图，AB 为O 直径，点 C，D 在O 上，且，过点 C 作 CEBD，交 AB 延长线于点 E （1）求证：CE 为O 切线； （2）过点 C 作 CFAE 交 BD 于 H 点，E30，CH6，求 BE 的长 【解答】 （1）证明：连接 CO，BD 与 AC 交于点 K， ， OCBD， CEBD， OCCE， CE 为O 切线； （2）解：在 RtCEO 中，E30， EOC60， OBOC， BOC 为等边三角形， CBOBCO60， BDOC，CFOB， CBDOCFBCE30， CKHCHKKCH60，BCBE， CKCH6， 在 RtBCK 中，tanCBKtan30， BCBE
34、6 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+3a（a0）与 x 轴的交点为点 A（1，0）和点 B （1）直接写出抛物线的对称轴和点 B 的坐标； （2）分别过点 P（t，0）和点 Q（t+2，0）作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M 和点 N，记抛物线在 M，N 之间的部分为图象 G（包括 M，N 两点） 记图形 G 上任意一点的纵坐标的最大值是 m，最小值为 n 当 a2 时，画出抛物线的图象，根据图象直接写出 mn 的最小值； 若存在实数 t，使得 mn2，直接写出 a 的取值范围 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3a（a0）与 x 轴的交点为点
35、A（1，0） ， 0a+b+3a， 即 b4a， 对称轴为直线 x2， B 点是函数图象与 x 轴的另一交点， 根据对称性可得，B（3，0） ； （2）当 a2 时，函数解析式为 y2x28x+6（a0） ，图像如右图， 对称轴为直线 x2，顶点坐标为（2，2） ， 图象 G 为函数图象的一部分，P（t，0）Q（t+2，0） ， 2tt+22， t1， 点 P（t，0）和点 Q（t+2，0）作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M 和点 N， M（1，0） ，N（3，0） ， 顶点坐标为（2，2） ， mn 的最大值为 0（2）2； 点 P（t，0）和点 Q（t+2，0）作 x 轴的垂线，交抛物线于
36、点 M 和点 N， 由（1）知 b4a， M（t，at24at+3a） ，N（t+2，a（t+2）24a（t+2）+3a） ， 又抛物线对称轴为 2，顶点坐标为（2，2） ， 根据 M、N 点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论 a 的取值： （）当 a0，且 t0 时，即图象 G 在对称轴左侧时， 此时 M 点的纵坐标最大，N 点的纵坐标最小， at24at+3aa（t+2）24a（t+2）+3a2， 解得 t1， 又t0，a0， 10 且 a0， 0a1， （）当 a0，且 t2 时，即图象 G 在对称轴右侧时， 此时 N 点的纵坐标最大，M 点的纵坐标最小， a（t+2）24
37、a（t+2）+3a（at24at+3a）2， 解得 t1， 又t2，a0， 12 且 a0， 0a， （）当 a0，且 t0 时，即图象 G 在对称轴左侧时， 此时 N 点的纵坐标最大，M 点的纵坐标最小， a（t+2）24a（t+2）+3a（at24at+3a）2， 解得 t1， 又t2，a0， 12 且 a0， a0， （）当 a0，且 t2 时，即图象 G 在对称轴右侧时， 此时 M 点的纵坐标最大，N 点的纵坐标最小， at24at+3aa（t+2）24a（t+2）+3a2， 解得 t1， 又t0，a0， 10 且 a0， a1， 综上，a 的取值范围为 a0 或 0a1 27 （7
38、分）如图，在等腰直角ABC 中，ABAC，BAC90，点 D 是 CA 延长线上一点，点 E 是 AB 延长线上一点，且 ADBE，过点 A 作 DE 的垂线交 DE 于点 F，交 BC 的延长线于点 G （1）依题意补全图形； （2）当AED，请你用含 的式子表示AGC； （3）用等式表示线段 CG 与 AD 之间的数量关系，并写出证明思路 【解答】解： （1）依题意补全图形如图 1 所示： （2）ABAC，BAC90， ACB45， AGC+CAGACB45， AFDE， AFE90DAE， AED+EAFDAF+EAF90， DAFAED， CAGDAF， AGC45； （3）CGAD，
39、证明思路如下： 过 G 作 GHAC 交 AC 的延长线于 H，如图 2 所示： 则GHA90DAE，CGH 是等腰直角三角形， 得 CHGH，CGGH， 设 ABACa，ADBEb，CHGHm， 由（2）可知，AEDHAG，则ADEHGA， 得，即， 整理得：am+bmab+bm，则 mb， 故 CGmbAD 28 （7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点，Q 为图形 N 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 间的“闭距离” ，记 作 d（M，N） 特殊地，当图形 M 与图形 N 有公共点时，规
40、定 d（M，N）0 已知点 A（2，0） ，B（0，2） ，C（2，0） ，D（0，m） （1）求 d（点 O，线段 AB） ； 若 d（线段 CD，直线 AB）1，直接写出 m 的值； （2）O 的半径为 r，若 d（O，线段 AB）1，直接写出 r 的取值范围； （3）若直线 yx+b 上存在点 E，使 d（E，ABC）1，直接写出 b 的取值范围 【解答】解： （1）如图 1 中，过点 O 作 OHAB 于 H A（2，0） ，B（0，2） ， OA2，OB2， tanABO， ABO30， OHB90， OHOB， d（点 O，线段 AB） 如图 2 中，过点 D 作 DFAB 于 F
41、 d（线段 CD，直线 AB）1， DF1， DBF30，DFB90， BD2DF2， OD22， D（0，22） ， m22 （2）如图 3 中，当O 与直线 AB 相离时，d（O，线段 AB）1 时，r1 当线段 AB 在O 内部时，设O 与 y 轴交于 W， 当 d（O，线段 AB）1 时，W（0，2+1） ，此时 r2+1， 观察图象可知，满足条件的 r 的值为1r2+1 （3）如图 4 中，当直线 yx+b 在直线 AB 的上方时，设直线 yx+b 交 x 轴于 P，过点 A 作 AM 直线 yx+b 于 M APMBAC60， ABPM， 当使 d（E，ABC）1 时，AM1， PA， P（2，0） ， 把 P 点坐标代入 yx+b，得到 b2+2， 当直线 yx+b 在直线 AB 的下方时，设直线 yx+b 交 x 轴于 Q，过点 C 作 CN直线 yx+b 于 N 同法可得 Q（2+） ， 把 Q 点坐标代入 yx+b 中，得到 b22， 观察图象可知，满足条件的 b 的值为22b2+2
