初三数学讲义直升班 第8讲 二次函数的区间最值及应用(教师版)

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1、第第 8 8 讲讲 二次函数的区间最值及应用二次函数的区间最值及应用 模块模块一:二次函数的一:二次函数的区间最值区间最值 1定轴定区间 对于二次函数 2 (0)yaxbxc a在mxn 上的最值问题(其中a、b、c、m和n均为定值, max y表示 y的最大值, min y 表示y的最小值) (1)若自变量x为全体实数,如图,函数在 2 b x a 时,取到最小值,无最大值 (2)若 2 b n a ,如图,当xm, max yy ;当x n , min yy (3)若 2 b m a ,如图,当xm, min yy ;当x n , max yy (4)若 2 b mn a , 22 bb

2、nm aa ,如图,当 2 b x a , min yy ;当x n , max yy 2动轴或动区间 对于二次函数 2 (0)yaxbxc a,在mxn(m,n为参数)条件下,函数的最值需要分别讨论m,n 与 2 b a 的大小 模块二模块二:二次函数的:二次函数的应用应用 1常见应用题类型按照考频从高到低可以分为: (1)经济利润类问题; (2)方案选择类问题; (3)行程问题; (4)数学建模类问题; (5)工程问题。 2解应用题的关键在于审题,理解题意,尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、 一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点,在求最值的过

3、程中一定要注意自变量 的取值范围。 模块一模块一 二次函数的区间最值二次函数的区间最值 分别求出在下列条件下,函数 2 231yxx的最值: (1)x取任意实数; (2)当20 x 时; (3)当13x 时; (4)当12x 时 x=- b 2a x=- b 2a x=- b 2a x=- b 2a 例题 1 【解析】【解析】(1) 2 317 2 48 yx ,当 3 4 x 时,函数的最大值为17 8 ,无最小值; (2) 3 4 x 在20 x 右侧, 当0 x 时,函数取得最大值 1;当2x 时,函数取得最小值13; (3) 3 4 x 在13x左侧, 当1x 时,函数取得最大值 2;

4、当3x 时,函数取得最小值8; (4) 3 12 4 ,且 33 12 44 , 当 3 4 x 时,函数取得最大值17 8 ;当1x 时,函数取得最小值4 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解最值的求法(1)配方,求对称轴, (2)画草图 试求(1)(2)(3)(4)5yxxxx在33x 的最值 【解析】【解析】令 2 5txx,则有 222 (54)(56)5(4)(6)51029yxxxxtttt 当33x 时,t的取值范围是 25 24 4 t , 原题转化为当 25 24 4 t 时,求 2 1029ytt的最大值和最小值 2 54yt,故当5t 时, min 4y而当 2

5、 55xx 解得: 1,2 55 2 x , 又33x ,当 55 2 x 时, min 4y 当 25 4 t 时, 9 516y ;当24t 时, 845y ,而 9 845516 , 当24t 时,即3x 时, max 845y 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是高次函数利用换元转化为二次函数区间最值. 已知函数 2 22yxx在1txt 范围内的最小值为s,写出函数s关于t的函数解析式 【解析】【解析】二次函数 2 22yxx的对称轴是1x , 当1t 时,对称轴在x t左边, 2 22stt; 当11tt ,即01t 时,最小值s在顶点处取得,1s ; 当11t ,即0t

6、时,对称轴在1xt 右边, 2 1st 综上所述: 2 2 1(0) 1(01) 22 (1) tt st ttt 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题讲解动区间最值的求法(1)配方,求对称轴, (2)画草图, (3)分类讨论 例题 2 例题 3 已知函数 22 962yxaxaa在区间 11 33 x 有最大值3,求实数a的值 【解析】【解析】因为 2 92 3 a yxa , 11 33 x,它的对称轴是直线 3 a x , (1)当 1 33 a 时,即1a 时,y在区间 11 33 x随着x的增加而减少, 这时,当 1 3 x 时,函数的最大值是 2 41aa, 2 413aa 得2

7、6a 因 1a ,故 26a (2)当 11 333 a 时,即11a 时,这时,当 3 a x 时,函数的最大值是2a, 23a 得 3 2 a ,这与11a 矛盾 (3)当 1 33 a ,即1a 时,y在区间 11 33 x 随着x增加而增加, 这时,当 1 3 x 时,函数的最大值是 2 1a, 2 13a ,得2a 因为 1a ,故 2a 综上所述,满足题意的a为2 6 或 2 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解动轴最值的求法,和动区间最值求法一样 若函数 2 113 22 yx 在区间()axb ba上的最小值为 2a,最大值为 2b求a、b的值 【解析】【解析】函数的

8、对称轴为,下面分三种情况加以讨论: (1)若0ab时,即函数在区间axb上单调递减,有 2 2 113 2 22 113 2 22 ab ba ,解得 1 3 a b (2)若0ab时,则由函数图象知, 函数在ax 0上单调递增,在xb0 上单调递减, 因此在0 x 处有最大值 2b,即 13 2 2 b ,得 13 4 b 而函数的最小值在x a 或xb处取得, 又由于0a ,并且当xb时, 2 1 131339 0 24232 y , 故函数的最小值在x a 处取得,则有 2 113 2 22 aa , 解得或(舍去) 0 x 217a 217a 例题 4 例题 5 从而 217 13 4

9、 a b (3)当0ab时,即函数在区间axb上单调递增,有 2 2 113 2 22 113 2 22 aa bb 由于a、b是方程 2 113 2 22 xx的两个根,又因为两根之积为负数, 即两根异号,这与0ab矛盾,故不存在 综上所述,得 1 3 a b 或 217 13 4 a b 【教师备课提示】【教师备课提示】例题 5 和例题 6 是在动轴或动区间的基础上添加计算量,锻炼孩子们分类讨论的能力和综合 计算的能力 设 2 3yxaxa ,当22x 时,y的最小值不小于 0,求实数a的取值范围 【解析】【解析】 2 2 3 24 aa yxa ,对称轴是 2 a x 当 2 2 a ,

10、即4a 时,二次函数在2x 时取得最小值73a 由730a,得 7 3 a ,这与4a 矛盾,此时a不存在 当2 2 2 a ,即44a 时,二次函数在 2 a x 时取得最小值 2 3 4 a a 由 2 2 30412062 4 a aaaa ,此时42a 当 2 2 a ,即4a 时,二次函数在2x 时取得最小值7a 由70a,得7a,此时74a 综上所述,a的取值范围是72a 模块二 二次函数的应用 某超市销售某种玩具,进货价为 20 元 根据市场调查:在一段时间内, 销售单价是 30 元时, 销售量是 400 件, 而销售单价每上涨 1 元,就会少售出 10 件玩具,超市要完成不少于

11、 300 件的销售任务,当销售单价定为多少元 时,可以获得最大利润,最大利润是多少元? 【解析】【解析】设销售单价应定为x元,销售利润为y元,根据题意可得: 例题 6 例题 7 (20)400 10(30)yxx (20)(700 10 )xx 2 1090014000 xx 2 10(45)6250 x, 超市要完成不少于 300 件的销售任务, 400 10(30)300 x, 解得:40 x , 即40 x 时,销量为 300 件,此时利润最大为: 2 10(4045)62506000(元) , 故销售单价应定为 40 元时,销售利润最大,最大为 6000 元 【教师备课提示】【教师备课

12、提示】这道题主要锻炼孩子们提取信息的能力,每每问题也是各学校的高频考点 九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第(190)xx天的售价与销量的相关信息如下表: 时间x(天) 150 x 5090 x 售价(元/件) 40 x 90 每天销量(件) 2002x 已知该商品的进价为每件 30 元,设销售该商品的每天利润为y元 (1)求出y与x的函数关系式; (2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少? (3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于 4800 元?请直接写出结果 【解析】【解析】(1)当150 x时, 2 (2002 )(40 30)2180

13、2000yx xxx, 当5090 x时,(2002 )(9030)12012000yxx, 综上所述: 2 21802000(150) 12012000(5090) xxx y xx ; (2)当150 x时,二次函数开口向下,二次函数对称轴为45x , 当45x 时, 2 2 45180 4520006050y 最大 , 当5090 x时,y随x的增大而减小, 当50 x 时,6000y 最大 , 综上所述,该商品第 45 天时,当天销售利润最大,最大利润是 6050 元; (3)当150 x时, 2 218020004800yxx,解得2070 x, 因此利润不低于 4800 元的天数是

14、2050 x,共 30 天; 当5090 x时,120120004800yx,解得60 x , 因此利润不低于 4800 元的天数是5060 x,共 11 天, 所以该商品在销售过程中,共 41 天每天销售利润不低于 4800 元 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要锻炼孩子们分类讨论及综合计算能力 例题 8 二次函数的区间最值 (1)求函数 2 21yxx 的最小值; (2)若12x ,求 2 21yxx 的最大值、最小值; (3)若01x,求 2 21yxx 的最大值、最小值; (4)若20 x ,求 2 21yxx 的最大值、最小值 【解析】【解析】(1)当 11 2224 b x

15、 a 时,y的最小值是 2 47 48 acb a ; (2) 由图像可知: 当12x时, 函数 2 21yxx单调递增, 当1x 时,y最小, 且 2 1 1 12y , 当2x 时,y最大,且 2 2 22 17y (3)由图像可知:当01x时,函数 2 21yxx是先减后增,当 1 4 x ,y最小,且 7 8 y 当0 x 时, 2 00 1 1y 当1x 时, 2 1 1 121y ,当1x 时,y最大,且 2y (4)由函数图像开口向上,且 1 20 4 x ,故当2x 时,y取最大值为 11,当0 x 时,y取最 小值为 1 已知函数 2 42yxx在1txt 范围内的最小值为s

16、,写出函数s关于t的函数解析式 【解析】【解析】二次函数 2 42yxx的对称轴是2x , 当2t 时,对称轴在xt左边, 2 42stt;当21tt ,即12t 时,最小值s在顶点 处取得,2s ;当12t ,即1t 时,对称轴在1xt 右边, 2 21stt 综上所述: 2 2 42(2) 2(12) 21(1) ttt st ttt 已知函数 2 21yxaxa 在01x上有最大值 2,求a的值 【解析】【解析】按对称轴进行讨论: 演练 1 演练 2 演练 3 当对称轴0 xa时,如左图所示 当0 x 时,y有最大值, max 1ya , 12a,即1a ,且满足0a ,1a 当对称轴0

17、1xa时,如中图所示, 当x a 时,y有最大值, 222 max 21yaaaa 1a 2 12aa 解得 15 2 a (01a,舍去) 当对称轴1xa时,如右图所示 当1x 时,y有最大值, max 22yaa ,且满足1a ,2a 综上可知:1a 或2a 模块二 二次函数的应用 (16 年成都中考) 某果园有 100 棵橙子树, 平均每棵树结 600 个橙子, 现准备多种一些橙子树以提高果园产量, 但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计,每多种一棵树,平均 每棵树就会少结 5 个橙子,假设果园多种了x棵橙子树 (1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(

18、个)与x之间的关系; (2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个? 【解析】【解析】(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为: 6005 (0120)yxx ; (2)设果园多种x棵橙子树时,可使橙子的总产量为w, 则(6005 )(100)wxx 2 510060000 xx 2 5(10)60500 x, 则果园多种 10 棵橙子树时,可使橙子的总产量最大,最大为 60500 个 某集团公司试销一种成本为每件 60 元的节能产品,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于 40%经试销发现,销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数图象如图 (1

19、)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围 (2)设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W(万元) ,试求出利润W(万 元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;并求出当销售单价定为多少元时, 公司可获得最大利润,最大利润是多少万元? (3) 该公司决定每销售一件产品, 就抽出 5 元钱捐给希望工程 若除去捐款后, 所获利润不低于 450 万元,请你确定此时销售单价的范围 x y Oa 1 x y O a1 x y O a1 演练 4 演练 5 【解析】【解析】(1)由题意得: 6357 7050 kb kb ,解得: 1 120 k b 故y与x之间的函数关系式为:120yx , 成

20、本为每件 60 元的产品,销售单价不低于成本单价,且获利不得高于 40%,6084x; (2) 22 (60)(120)1807200(90)900wxxxxx ,抛物线开口向下,当90 x 时,w 随x的增大而增大,而6084x,故当84x 时,(8460) (12084)864w 答:当销售价定为 84 元/件时,商家可以获得最大利润,最大利润是 864 元 (3)该公司决定每销售一件产品,就抽出 5 元钱捐给希望工程, 2 (60 5)(120)1857800wxxxx ,当450w,则 2 4501857800 xx, 解得: 1 75x , 2 110 x ,而6084x,故7584x, 即所获利润不低于 450 万元,此时销售单价的范围是:7584x

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