1、2021 年陕西省西安市莲湖区中考数学模拟试卷（年陕西省西安市莲湖区中考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分分.每小题只有每小题只有-一个选项是符合题意的）一个选项是符合题意的） 1计算：（3） 1（ ） A3 B3 C D 2如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截若1105，则2 的度数为（ ） A75 B85 C95 D105 3 2021 年 1 月 20 日， 陕西省统计局发布陕西 2020 年经济运行情况 根据地区生产总值统一核算结果， 2020 年全省实现生产总值 26181.86 亿元， 比
2、上年增长 2.2% 将数据 26181.86 亿用科学记数法表示为 （ ） A2.618186104 B26.181861011 C2.6181861011 D2.6181861012 4计算：2a（5a3b）（ ） A10a6ab B10a26ab C10a25ab D7a26ab 5已知 y 是关于 x 的函数，函数图象如图，则当 y0 时，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax0 B1x1 或 x2 Cx1 Dx1 或 1x2 6如图，在由边长均为 1 的小正方形组成的 44 网格中，将连接任意两个格点的线段称作“格点线”， 则“格点线”的长度不可能为（ ） A B C D5 7若直线 y
3、kx+b 与直线 y2x+2 平行，且与 x 轴交于点 M（4，0），则该直线的函数关系式为（ ） Ay2x+4 By2x8 Cy2x+8 Dy2x4 8如图，在等腰 RtABC 中，ACB90，AC1，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，连接 CD，则 CD 的长为（ ） A2 B C D 9如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，若A90，B60，AB2，BC4，则 CD 的 长为（ ） A 1 B1 C D3 10已知二次函数 ya（xm）2（a0）的图象经过点 A（1，p），B（3，q），且 pq，则 m 的取值 范围是（ ） Am1 Bm1 C1m1 Dm1 二、填空题（共
4、二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11请写出一个大于且小于的整数： 12一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线了 l 上，且有一个公共顶点 O，则 AOB 的度数是 13如图，点 A 在 x 轴正半轴上，B（5，4），四边形 AOCB 为平行四边形，反比例函数 y的图象经过 点 C，交 AB 边于点 D，则点 D 的坐标为 14如图，菱形 ABCD 的边长为 12，ABC60，连接 AC，EFAC垂足为 H，分别交 AD，AB，CB 的延长线于点 E，M，F若 AE：FB1：2，则 CH 的长为 三、解答题（共三、解答题（共
5、11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 15解不等式组： 16解分式方程：+1 17如图，在ABC 中，BC，AD 是 BC 边上的中线请用尺规作图法，求作ABC 的内切圆（保 留作图痕迹，不写作法） 18如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，12，ADEC求证：AB+BECD 19劳动教育是新时代对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展教育体系 的重要内容，是大、中、小学必须开展的教育活动某中学为落实劳动教育，组织八年级学生进行了劳 动知识技能竞赛，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制），制成不完整的统计图表： 表一 成绩 x x60 6
6、0 x70 70 x80 80 x90 90 x100 人数 1 2 a 8 4 表二 统计量 平均数 中位数 众数 成绩 79.7 b 72 根据以上信息回答下列问题 （1） 若抽取的学生成绩处在 80 x90 这一组的数据如下： 88 87 81 80 82 88 84 86 根据以上数据填空： a ；b （2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在 90 x100 这一组的扇形圆心角度数为 （3）已知该校八年级共有学生 500 名若将成绩不少于 80 分的学生称为“劳动达人”，请你估计该校 八年级一共有多少名学生是“劳动达人” 20如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，
7、他们先在点 C 处测得树顶 A 的仰角为 60 然后在坡顶 D 测得树顶 A 的仰角为 30， 已知斜坡 CD 的坡度 （坡面的铅直高度与水平宽度的比） i1：，斜坡 CD10 m，求树 AB 的高度（结果精确到 1m，参考数据：1.41，1.73） 21某商店销售两种品牌的书包，已知 A 品牌书包的单价是 150 元，B 品牌书包的单价是 200 元为迎接 开学季的到来，该商店对这两种品牌的书包给出相应的优惠活动：A 品牌的书包按原价的八折销售，B 品牌的书包购买 10 个以上，前 10 个原价销售，超出 10 个的部分按原价的五折销售 （1）设购买 x 个 A 品牌书包的费用为 y1元，购
8、买 x 个 B 品牌书包的费用为 y2元，请分别求出 y1，y2与 x（x10）的函数关系式 （2）学校准备购买同一品牌的书包（超过 10 个），如何购买更省钱？ 22在一个不透明的口袋中装有 4 个依次写有数字 1，2，3，4 的小球，它们除数字外其余都相同，每次摸 球前都将小球摇匀 （1）从中随机摸出一个小球，求上面的数字不小于 3 的概率 （2）从中随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球 上的数字之和恰好是偶数的概率 23如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AB 为直径作O，过点 C 作O 的切线 CD 交 AB 的延长线 于点 D （1）
9、求证：BCDA （2）将ADC 折叠，使 AD 与 DC 边重合，折痕 DE 分别交 AC，BC 于点 E，F当 CE1 时，求 EF 的长 24如图，抛物线 yx2+2xc 与 x 轴负半轴，y 轴负半轴分别交于点 A，点 C，OAOC，它的对称轴为直 线 l （1）求抛物线的表达式及顶点坐标 （2）P 是直线 AC 上方对称轴上的一动点，过点 P 作 PQAC 于点 Q，若 PQPO，求点 P 的坐标 25问题提出 （1）如图 1，在ABC 中，CDAB，Aa，ACb，ABc则 SABC 问题探究 （2）如图 2，在ABC 中，AB5，AC3，D 为 BC 上一点，且满足BAD30，CAD
10、45设 ADa，ABC 的面积为 S，求 S 与 a 之间的关系式 问题解决 （3）如图 3，矩形 ABCD 是一片试验田的平面示意图，农科人员将试验田分成四部分用于不同作物的种 植，各部分的示意图分别为ABE，CEF，ADF，AEF在试验田划分好之后，为了能够给AEF 部分的试验田进行充分灌溉，农科人员需要从点 F 处修建一条输水管 FG，且满足点 G 在 AE 上，FG AD已知点 E、F 分别在边 BC 和边 CD 上，EAF45，AD120m，AB80m，输水管 FG 的修建 费用为 200 元/米，请你根据以上数据求修建输水管 FG 的最低费用 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选
11、择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分分.每小题只有每小题只有-一个选项是符合题意的）一个选项是符合题意的） 1计算：（3） 1（ ） A3 B3 C D 【分析】直接利用负整数指数幂的性质得出答案 解：（3） 1 故选：D 2如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截若1105，则2 的度数为（ ） A75 B85 C95 D105 【分析】由 ABCD，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出1+2180，再结合1105 即可得出2 的度数 解：ABCD， 1+2180 又1105， 218010575 故选：A 3 2021 年 1 月 20 日， 陕西省统
12、计局发布陕西 2020 年经济运行情况 根据地区生产总值统一核算结果， 2020 年全省实现生产总值 26181.86 亿元， 比上年增长 2.2% 将数据 26181.86 亿用科学记数法表示为 （ ） A2.618186104 B26.181861011 C2.6181861011 D2.6181861012 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 解：26181.86 亿261818
13、600000002.6181861012 故选：D 4计算：2a（5a3b）（ ） A10a6ab B10a26ab C10a25ab D7a26ab 【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加依此即可求解 解：2a（5a3b）10a26ab 故选：B 5已知 y 是关于 x 的函数，函数图象如图，则当 y0 时，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax0 B1x1 或 x2 Cx1 Dx1 或 1x2 【分析】观察图象和数据即可求出答案 解：y0 时，即 x 轴上方的部分， 自变量 x 的取值范围分两个部分是 x1，1x2 故选：
14、D 6如图，在由边长均为 1 的小正方形组成的 44 网格中，将连接任意两个格点的线段称作“格点线”， 则“格点线”的长度不可能为（ ） A B C D5 【分析】根据题意和各个选项中的数据，可以得到哪个数据不可能是“格点线”的长度，从而可以解答 本题 解：，故不可能是“格点线”的长度，故选项 A 符合题意； ，故可能是“格点线”的长度，故选项 B 不符合题意； 3，故可能是“格点线”的长度，故选项 C 不符合题意； 5，故 5 可能是“格点线”的长度，故选项 D 不符合题意； 故选：A 7若直线 ykx+b 与直线 y2x+2 平行，且与 x 轴交于点 M（4，0），则该直线的函数关系式为（
15、 ） Ay2x+4 By2x8 Cy2x+8 Dy2x4 【分析】先根据两直线平行的问题得到 k2，然后根据一次函数图象上点的坐标特征，把（4，0）代 入 y2x+b 求出 b 的值即可 解：直线 ykx+b 与 y2x+2 平行， k2， 点 M（4，0）在直线 y2x+b 上， b8， 所求直线解析式为 y2x+8 故选：C 8如图，在等腰 RtABC 中，ACB90，AC1，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，连接 CD，则 CD 的长为（ ） A2 B C D 【分析】过点 D 作 DFCB 交 CB 的延长线于点 F，证明ACBDFB 得 DFBFCBAC1，再 根据勾股定理求
16、解即可 解：过点 D 作 DFCB 交 CB 的延长线于点 F，如图， RtABC 是等腰直角三角形， ACCB1，CAB+ABC90， 四边形 ABDE 是正方形， ABD90，ABBD， ABC+DBF90， CABFBD， 在 RtACB 和 RtDFB 中， ， RtACBRtDFB（AAS）， BFAC，FDCB， BFACFDCB1， CFCB+BF1+12， 在 RtCFD 中，由勾股定理得：CD， 故选：C 9如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，若A90，B60，AB2，BC4，则 CD 的 长为（ ） A 1 B1 C D3 【分析】延长 AD、BC 交于 E，解直角
17、三角形即可得到结论 解：延长 AD、BC 交于 E， A90，B60， DCB90，E30， 在 RtABE 中，BE2AB4， 在 RtCDE 中，CEBEBC44+， DCCE1， 故选：B 10已知二次函数 ya（xm）2（a0）的图象经过点 A（1，p），B（3，q），且 pq，则 m 的取值 范围是（ ） Am1 Bm1 C1m1 Dm1 【分析】二次函数 ya（xm）2（a0）开口向上，对称轴为直线 xm，根据抛物线上的点与直线 x m 的距离越小对应的 y 值就越小即可得到 m 的取值范围 解：ya（xm）2（a0）， 抛物线开口向上，对称轴为直线 xm， 当抛物线上的点与直线
18、xm 的距离越小，对应的 y 值就越小， A（1，p），B（3，q），且 pq， A 点到直线 xm 的距离小于 B 点到直线 xm 的距离， m1，或 m+13m， 解得 m1， 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11请写出一个大于且小于的整数： 2（或1 或 0 或 1） 【分析】首先确定和的整数部分，然后在取值范围内确定整数即可，答案不唯一 解：设所求整数为 x， 23， 32， 12， 所求的整数 x 的范围是3x2， 即整数 x 可以是2、1、0、1 故答案为：2、1、0、1（填其中一个即可） 12一个正五边形和一
19、个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线了 l 上，且有一个公共顶点 O，则 AOB 的度数是 84 【分析】利用正多边形的性质求出AOE，BOF，EOF 即可解决问题 解：由题意：AOE108，BOF120，OEF72，OFE60， EOF180726048， AOB3601084812084， 故答案为：84 13如图，点 A 在 x 轴正半轴上，B（5，4），四边形 AOCB 为平行四边形，反比例函数 y的图象经过 点 C，交 AB 边于点 D，则点 D 的坐标为 （4，2） 【分析】作 CEOA 于 E，根据平行四边形的性质可知 C 的纵坐标为 4，代入反比例函数解析式即可求 得
20、C 的坐标，从而求得直线 OC 的解析式，根据平行线的性质设直线 AB 的解析式为 y2x+b，根据待定 系数法即可求得解析式，然后与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得 D 的坐标 解：作 CEOA 于 E， B（5，4），四边形 AOCB 为平行四边形， C 的纵坐标为 4， 反比例函数 y的图象经过点 C， 4， x2， C（2，4），OABC523， A（3，0）， 设直线 OC 为 ykx， 把 C（2，4）代入得，42k，解得 k2， ABOC， 设直线 AB 的解析式为 y2x+b， 代入 A（3，0）解得，b6， 直线 AB 的解析式为 y2x6， 由得或， 点 D 的坐标为
21、（4，2）， 故答案为（4，2） 14如图，菱形 ABCD 的边长为 12，ABC60，连接 AC，EFAC垂足为 H，分别交 AD，AB，CB 的延长线于点 E，M，F若 AE：FB1：2，则 CH 的长为 10 【分析】根据菱形的性质得出 ADBC，ABBC12，求出ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性 质得出 ACAB12，求出 HMHE，AMEBMF，AHECHF，再根据相似三角形的性质得 出比例式，最后求出答案即可 解：四边形 ABCD 是菱形， ADBC，ABBC12，MAHEAH， EFAC， AHMAHE90， 在AHM 和AHE 中， ， AHMAHE（ASA）， MHE
22、H， ADBC， AMEBMF， ， AE：FB1：2， ， ， ABC60， ABC 是等边三角形， ACAB12， ADBC， AHECHF， ， AC12， ， 解得：CH10， 故答案为：10 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 15解不等式组： 【分析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可 解：， 解不等式得：x1， 解不等式得：x1 故不等式组的解集为1x1 16解分式方程：+1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 解：去
23、分母得：2（x1）+x2x（x1）， 解得：x， 检验：把 x代入 x（x1）得：（1）0， 则 x是分式方程的解 17如图，在ABC 中，BC，AD 是 BC 边上的中线请用尺规作图法，求作ABC 的内切圆（保 留作图痕迹，不写作法） 【分析】作ABC 的角平分线交 AD 于点 O，以 O 为圆心，OD 为半径作O 即可 解：如图，O 即为所求作 18如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，12，ADEC求证：AB+BECD 【分析】由“AAS”可证ABDEDC，可得 ABDE，BDCD，可得结论； 【解答】证明：ABCD， ABDEDC 在ABD 和EDC 中， ， ABDEDC（AAS）
24、， ABDE，BDCD， DE+BECD， AB+BECD 19劳动教育是新时代对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展教育体系 的重要内容，是大、中、小学必须开展的教育活动某中学为落实劳动教育，组织八年级学生进行了劳 动知识技能竞赛，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制），制成不完整的统计图表： 表一 成绩 x x60 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 人数 1 2 a 8 4 表二 统计量 平均数 中位数 众数 成绩 79.7 b 72 根据以上信息回答下列问题 （1） 若抽取的学生成绩处在 80 x90 这一组的数据如下： 88 87 81
25、80 82 88 84 86 根据以上数据填空： a 5 ；b 81.5 （2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在 90 x100 这一组的扇形圆心角度数为 72 （3）已知该校八年级共有学生 500 名若将成绩不少于 80 分的学生称为“劳动达人”，请你估计该校 八年级一共有多少名学生是“劳动达人” 【分析】（1）根据 80 x90 这一组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即 可计算出 a 和 b 的值； （2）根据统计图中的数据，可以计算出问卷成绩在 90 x100 这一组的扇形圆心角度数； （3）根据统计图中的数据，可以计算出该校八年级一共有多少名学生是“劳动达人” 解
26、：（1）本次抽取的学生有：840%20（人）， a2012845， 80 x90 这一组的数据按照从小到大排列是：80，81，82，84，86，87，88，88， b（81+82）281.5， 故答案为：5，81.5； （2）问卷成绩在 90 x100 这一组的扇形圆心角度数为：36072， 故答案为：72； （3）500300（名）， 即估计该校八年级一共有 300 名学生是“劳动达人” 20如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树顶 A 的仰角为 60 然后在坡顶 D 测得树顶 A 的仰角为 30， 已知斜坡 CD 的坡度 （坡面的铅直高度与
27、水平宽度的比） i1：，斜坡 CD10 m，求树 AB 的高度（结果精确到 1m，参考数据：1.41，1.73） 【分析】首先得出DCB90，再由BDF30可知DBE60，由 DFAE 可得出BGF BCA60，故GBF30，所以DBC30，再由锐角三角函数的定义即可得出结论 解：斜坡 CD 的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比）i1：， tanDCE DCE30 ACB60，DFAE， BGF60 ABC30，DCB90 BDF30， DBF60 DBC30 BC30（m） ABBCsin60301526（m） 答：树 AB 的高度约为 26 米 21某商店销售两种品牌的书包，已知 A 品牌
28、书包的单价是 150 元，B 品牌书包的单价是 200 元为迎接 开学季的到来，该商店对这两种品牌的书包给出相应的优惠活动：A 品牌的书包按原价的八折销售，B 品牌的书包购买 10 个以上，前 10 个原价销售，超出 10 个的部分按原价的五折销售 （1）设购买 x 个 A 品牌书包的费用为 y1元，购买 x 个 B 品牌书包的费用为 y2元，请分别求出 y1，y2与 x（x10）的函数关系式 （2）学校准备购买同一品牌的书包（超过 10 个），如何购买更省钱？ 【分析】（1）分别利用当 0 x10 时，当 x10 时，分别得出函数关系式； （2）分别利用当 y1y2时，当 y1y2时，当 y
29、1y2时，求出答案 解：（1）当 x10 时，y11500.8x120 x； 当 x10 时，y220010+2000.5200（x10）100 x+1000； （3）由 x10， 当 y1y2时，120 x100 x+1000， 解得：x50； 当 y1y2时，120 x100 x+1000， 解得：x50； 当 y1y2时，120 x100 x+1000， 解得：x50； 答：若购买 50 个书包，选 A，B 品牌都一样；若购买 50 个以上书包，选 B 品牌划算；若购买书包个数 超过 10 个但小于 50 个，选 A 品牌划算 22在一个不透明的口袋中装有 4 个依次写有数字 1，2，3
30、，4 的小球，它们除数字外其余都相同，每次摸 球前都将小球摇匀 （1）从中随机摸出一个小球，求上面的数字不小于 3 的概率 （2）从中随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球 上的数字之和恰好是偶数的概率 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球上的数字之和恰好是偶数的情况数，然后 根据概率公式即可得出答案 解：（1）从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于 3 的概率为； （2）画树状图如下： 共有 12 种等可能结果，两次摸出小球上的数字之和恰好是偶数的结果有 4 种， 两次摸出小球上的数字之和
31、恰好是偶数的概率为 23如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AB 为直径作O，过点 C 作O 的切线 CD 交 AB 的延长线 于点 D （1）求证：BCDA （2）将ADC 折叠，使 AD 与 DC 边重合，折痕 DE 分别交 AC，BC 于点 E，F当 CE1 时，求 EF 的长 【分析】（1）连接 OC，欲证明 CD 是O 的切线，只需求得OCD90； （2）证出CEFCFE，则 CECF，再由等腰直角三角形的性质可求得 EF 的长 【解答】（1）证明：连接 OC，如图： AB 为O 的直径， ACB90， A+ABC90， 又OCOB， ABCOCB， CD 是O 的切线， CD
32、OC， OCB+BCD90， BCDA； （2）解：由折叠的性质得：CDEADE， 又BCDA， A+ADEBCD+CDE， 即CEFCFE， CFCE1， ACB90， CEF 是等腰直角三角形， EFCE 24如图，抛物线 yx2+2xc 与 x 轴负半轴，y 轴负半轴分别交于点 A，点 C，OAOC，它的对称轴为直 线 l （1）求抛物线的表达式及顶点坐标 （2）P 是直线 AC 上方对称轴上的一动点，过点 P 作 PQAC 于点 Q，若 PQPO，求点 P 的坐标 【分析】（1）由题意可知 A 的坐标为（c，0），代入解析式即可求得 c 的值，把解析式化成顶点式， 即可求得顶点坐标；
33、（2）先设 P 的坐标为（1，t），则可计算 PO，由直线 AC 的解析式与对称轴直线 x1 可计算出其 交点坐标 D，则可计算 PD，由题意可知PQD 是等腰直角三角形，PD，PQPD，即可算出点 P 的坐标 解：（1）抛物线 yx2+2xc 与 y 轴交于点 C， C（0，c）， OAOC，且 A 点在 x 轴负半轴上， A（c，0）， 把 A（c，0），代入 yx2+2xc 得，c23c0， 解得 c13，c20（舍去）， 抛物线为 yx2+2x3， yx2+2x3（x+1）24， 顶点为（1，4）； （2）抛物线 yx2+2x3 的对称轴为直线 x1， 设点 P（1，t），如图， 则
34、OP， 设直线 AC 的解析式为 ykx+b， 把 A（3，0），C（0，3）代入上式得， ， 解得， 直线 AC 得解析式为 yx3， 取直线 AC 与对称轴直线 x1 的交点为 D， 则 D（1，2）， P 点在直线 AC 的上方， t2， PDt+2， 又AOCO3，AOC90， ACB45， 又PQAC， QDPPQD45， PQDQ， ， 即 t+2， 解得 t12t22 2， 点 P 的坐标为 P（1，2+）或（1，2） 25问题提出 （1）如图 1，在ABC 中，CDAB，Aa，ACb，ABc则 SABC cbsin 问题探究 （2）如图 2，在ABC 中，AB5，AC3，D 为
35、 BC 上一点，且满足BAD30，CAD45设 ADa，ABC 的面积为 S，求 S 与 a 之间的关系式 问题解决 （3）如图 3，矩形 ABCD 是一片试验田的平面示意图，农科人员将试验田分成四部分用于不同作物的种 植，各部分的示意图分别为ABE，CEF，ADF，AEF在试验田划分好之后，为了能够给AEF 部分的试验田进行充分灌溉，农科人员需要从点 F 处修建一条输水管 FG，且满足点 G 在 AE 上，FG AD已知点 E、F 分别在边 BC 和边 CD 上，EAF45，AD120m，AB80m，输水管 FG 的修建 费用为 200 元/米，请你根据以上数据求修建输水管 FG 的最低费用
36、 【分析】（1）在 RtACD 中，运用解直角三角形知识求出 CD，即可解决问题； （2）过点 B 作 BEAD，交 AD 的延长线于点 E，过点 C 作 CFAD 于点 F，通过解直角三角形可求出 BE，CF，则 SABCSABD+SACDADBE+ADCF，从而求得结果； （3） 延长FG与AB交于点Q， 可得SAEFSAGF+SEGFGF （AQ+BQ） 40FG， 则可得FG， 当AEF 的面积最小时，FG 最小，修建费用最低；又 SAEFAEAF，即当 AEAF 最小时，SAEF 最小；为此过点 A 作 AF 的垂线，与 CB 延长线交于点 H，作AEH 的外接圆，记圆心为 O，连接
37、 OA、 OH、OE，过点 O 作 OPCH，通过证明AHBAFD，可得 SAHEAHAEsin45AEAF， 转化为求AHE 面积最小的问题，设O 的半径为 r，求得半径 r 的最小值，即可解决问题 解：（1）在 RtACD 中，CDACsinbsin， SABCABCD cbsin， （2）如图 1，过点 B 作 BEAD，交 AD 的延长线于点 E，过点 C 作 CFAD 于点 F， 在 RtABE 中，BEABsinBAD5sin30， 在 RtACF 中，CFACsinCAD3sin45， SABCSABD+SACD ADBE+ADCFAD（BE+CF）， Sa（+）a； （3）如图
38、 2，延长 FG 与 AB 交于点 Q，根据题意可知： SAEFSAGF+SEGFGFAQ+GFBQGF（AQ+BQ）GFAB40FG， 即 FG， 故当AEF 的面积最小时，FG 最小，进而达到修建费用最低； 由（1）可知 SAEFAEAFsinEAFAEAF， 当 AEAF 最小时，SAEF最小； 过点 A 作 AF 的垂线，与 CB 延长线交于点 H，作AEH 的外接圆，记圆心为 O， 连接 OA、OH、OE，过点 O 作 OPCH， 根据作图可知HABFAD，ABHD90， AHBAFD， ，即 AHAF， FAD+BAE90EAF45，HABFAD， HAB+BAEHAE45， SAHEAHAEsin45 AFAEAEAF， 当AHE 的面积最小时，即满足 AEAF 最小； 设O 的半径为 r，HOE2HAE90， 则 OPr，HEr， SAHEHEAB r8040r， AO+OPAB， r+r80， r80（2）， SAHE最小40 80（2）6400（1）， （AEAF）最小19200（2）， FG最小SAHE最小 19200（2）240（1）， 故修建输水管 FG 的最小费用为 200240（1）48000（1）元
