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2021年3月陕西省西安市莲湖区中考数学模拟试卷(含答案解析)

1、2021 年陕西省西安市莲湖区中考数学模拟试卷(年陕西省西安市莲湖区中考数学模拟试卷(3 月份)月份) 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,计分,计 30 分分.每小题只有每小题只有-一个选项是符合题意的)一个选项是符合题意的) 1计算:(3) 1( ) A3 B3 C D 2如图,平行线 AB,CD 被直线 AE 所截若1105,则2 的度数为( ) A75 B85 C95 D105 3 2021 年 1 月 20 日, 陕西省统计局发布陕西 2020 年经济运行情况 根据地区生产总值统一核算结果, 2020 年全省实现生产总值 26181.86 亿元, 比

2、上年增长 2.2% 将数据 26181.86 亿用科学记数法表示为 ( ) A2.618186104 B26.181861011 C2.6181861011 D2.6181861012 4计算:2a(5a3b)( ) A10a6ab B10a26ab C10a25ab D7a26ab 5已知 y 是关于 x 的函数,函数图象如图,则当 y0 时,自变量 x 的取值范围是( ) Ax0 B1x1 或 x2 Cx1 Dx1 或 1x2 6如图,在由边长均为 1 的小正方形组成的 44 网格中,将连接任意两个格点的线段称作“格点线”, 则“格点线”的长度不可能为( ) A B C D5 7若直线 y

3、kx+b 与直线 y2x+2 平行,且与 x 轴交于点 M(4,0),则该直线的函数关系式为( ) Ay2x+4 By2x8 Cy2x+8 Dy2x4 8如图,在等腰 RtABC 中,ACB90,AC1,以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE,连接 CD,则 CD 的长为( ) A2 B C D 9如图,四边形 ABCD 是O 的内接四边形,若A90,B60,AB2,BC4,则 CD 的 长为( ) A 1 B1 C D3 10已知二次函数 ya(xm)2(a0)的图象经过点 A(1,p),B(3,q),且 pq,则 m 的取值 范围是( ) Am1 Bm1 C1m1 Dm1 二、填空题(共

4、二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 3 分,计分,计 12 分)分) 11请写出一个大于且小于的整数: 12一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放,它们都有一边在直线了 l 上,且有一个公共顶点 O,则 AOB 的度数是 13如图,点 A 在 x 轴正半轴上,B(5,4),四边形 AOCB 为平行四边形,反比例函数 y的图象经过 点 C,交 AB 边于点 D,则点 D 的坐标为 14如图,菱形 ABCD 的边长为 12,ABC60,连接 AC,EFAC垂足为 H,分别交 AD,AB,CB 的延长线于点 E,M,F若 AE:FB1:2,则 CH 的长为 三、解答题(共三、解答题(共

5、11 小题,计小题,计 78 分分.解答应写出过程)解答应写出过程) 15解不等式组: 16解分式方程:+1 17如图,在ABC 中,BC,AD 是 BC 边上的中线请用尺规作图法,求作ABC 的内切圆(保 留作图痕迹,不写作法) 18如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,12,ADEC求证:AB+BECD 19劳动教育是新时代对教育的新要求,是中国特色社会主义教育制度的重要内容,是全面发展教育体系 的重要内容,是大、中、小学必须开展的教育活动某中学为落实劳动教育,组织八年级学生进行了劳 动知识技能竞赛,现随机抽取了部分同学的成绩(百分制),制成不完整的统计图表: 表一 成绩 x x60 6

6、0 x70 70 x80 80 x90 90 x100 人数 1 2 a 8 4 表二 统计量 平均数 中位数 众数 成绩 79.7 b 72 根据以上信息回答下列问题 (1) 若抽取的学生成绩处在 80 x90 这一组的数据如下: 88 87 81 80 82 88 84 86 根据以上数据填空: a ;b (2)在扇形统计图中,表示问卷成绩在 90 x100 这一组的扇形圆心角度数为 (3)已知该校八年级共有学生 500 名若将成绩不少于 80 分的学生称为“劳动达人”,请你估计该校 八年级一共有多少名学生是“劳动达人” 20如图,数学兴趣小组成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度,

7、他们先在点 C 处测得树顶 A 的仰角为 60 然后在坡顶 D 测得树顶 A 的仰角为 30, 已知斜坡 CD 的坡度 (坡面的铅直高度与水平宽度的比) i1:,斜坡 CD10 m,求树 AB 的高度(结果精确到 1m,参考数据:1.41,1.73) 21某商店销售两种品牌的书包,已知 A 品牌书包的单价是 150 元,B 品牌书包的单价是 200 元为迎接 开学季的到来,该商店对这两种品牌的书包给出相应的优惠活动:A 品牌的书包按原价的八折销售,B 品牌的书包购买 10 个以上,前 10 个原价销售,超出 10 个的部分按原价的五折销售 (1)设购买 x 个 A 品牌书包的费用为 y1元,购

8、买 x 个 B 品牌书包的费用为 y2元,请分别求出 y1,y2与 x(x10)的函数关系式 (2)学校准备购买同一品牌的书包(超过 10 个),如何购买更省钱? 22在一个不透明的口袋中装有 4 个依次写有数字 1,2,3,4 的小球,它们除数字外其余都相同,每次摸 球前都将小球摇匀 (1)从中随机摸出一个小球,求上面的数字不小于 3 的概率 (2)从中随机摸出一个球后不放回,再随机摸出一个球请用列表或画树状图的方法,求两次摸出小球 上的数字之和恰好是偶数的概率 23如图,在 RtABC 中,ACB90,以 AB 为直径作O,过点 C 作O 的切线 CD 交 AB 的延长线 于点 D (1)

9、求证:BCDA (2)将ADC 折叠,使 AD 与 DC 边重合,折痕 DE 分别交 AC,BC 于点 E,F当 CE1 时,求 EF 的长 24如图,抛物线 yx2+2xc 与 x 轴负半轴,y 轴负半轴分别交于点 A,点 C,OAOC,它的对称轴为直 线 l (1)求抛物线的表达式及顶点坐标 (2)P 是直线 AC 上方对称轴上的一动点,过点 P 作 PQAC 于点 Q,若 PQPO,求点 P 的坐标 25问题提出 (1)如图 1,在ABC 中,CDAB,Aa,ACb,ABc则 SABC 问题探究 (2)如图 2,在ABC 中,AB5,AC3,D 为 BC 上一点,且满足BAD30,CAD

10、45设 ADa,ABC 的面积为 S,求 S 与 a 之间的关系式 问题解决 (3)如图 3,矩形 ABCD 是一片试验田的平面示意图,农科人员将试验田分成四部分用于不同作物的种 植,各部分的示意图分别为ABE,CEF,ADF,AEF在试验田划分好之后,为了能够给AEF 部分的试验田进行充分灌溉,农科人员需要从点 F 处修建一条输水管 FG,且满足点 G 在 AE 上,FG AD已知点 E、F 分别在边 BC 和边 CD 上,EAF45,AD120m,AB80m,输水管 FG 的修建 费用为 200 元/米,请你根据以上数据求修建输水管 FG 的最低费用 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选

11、择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,计分,计 30 分分.每小题只有每小题只有-一个选项是符合题意的)一个选项是符合题意的) 1计算:(3) 1( ) A3 B3 C D 【分析】直接利用负整数指数幂的性质得出答案 解:(3) 1 故选:D 2如图,平行线 AB,CD 被直线 AE 所截若1105,则2 的度数为( ) A75 B85 C95 D105 【分析】由 ABCD,利用“两直线平行,同旁内角互补”可得出1+2180,再结合1105 即可得出2 的度数 解:ABCD, 1+2180 又1105, 218010575 故选:A 3 2021 年 1 月 20 日, 陕西省统

12、计局发布陕西 2020 年经济运行情况 根据地区生产总值统一核算结果, 2020 年全省实现生产总值 26181.86 亿元, 比上年增长 2.2% 将数据 26181.86 亿用科学记数法表示为 ( ) A2.618186104 B26.181861011 C2.6181861011 D2.6181861012 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把 原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时,n 是正整数;当原数的绝对值1 时,n 是负整数 解:26181.86 亿261818

13、600000002.6181861012 故选:D 4计算:2a(5a3b)( ) A10a6ab B10a26ab C10a25ab D7a26ab 【分析】单项式与多项式相乘的运算法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项, 再把所得的积相加依此即可求解 解:2a(5a3b)10a26ab 故选:B 5已知 y 是关于 x 的函数,函数图象如图,则当 y0 时,自变量 x 的取值范围是( ) Ax0 B1x1 或 x2 Cx1 Dx1 或 1x2 【分析】观察图象和数据即可求出答案 解:y0 时,即 x 轴上方的部分, 自变量 x 的取值范围分两个部分是 x1,1x2 故选:

14、D 6如图,在由边长均为 1 的小正方形组成的 44 网格中,将连接任意两个格点的线段称作“格点线”, 则“格点线”的长度不可能为( ) A B C D5 【分析】根据题意和各个选项中的数据,可以得到哪个数据不可能是“格点线”的长度,从而可以解答 本题 解:,故不可能是“格点线”的长度,故选项 A 符合题意; ,故可能是“格点线”的长度,故选项 B 不符合题意; 3,故可能是“格点线”的长度,故选项 C 不符合题意; 5,故 5 可能是“格点线”的长度,故选项 D 不符合题意; 故选:A 7若直线 ykx+b 与直线 y2x+2 平行,且与 x 轴交于点 M(4,0),则该直线的函数关系式为(

15、 ) Ay2x+4 By2x8 Cy2x+8 Dy2x4 【分析】先根据两直线平行的问题得到 k2,然后根据一次函数图象上点的坐标特征,把(4,0)代 入 y2x+b 求出 b 的值即可 解:直线 ykx+b 与 y2x+2 平行, k2, 点 M(4,0)在直线 y2x+b 上, b8, 所求直线解析式为 y2x+8 故选:C 8如图,在等腰 RtABC 中,ACB90,AC1,以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE,连接 CD,则 CD 的长为( ) A2 B C D 【分析】过点 D 作 DFCB 交 CB 的延长线于点 F,证明ACBDFB 得 DFBFCBAC1,再 根据勾股定理求

16、解即可 解:过点 D 作 DFCB 交 CB 的延长线于点 F,如图, RtABC 是等腰直角三角形, ACCB1,CAB+ABC90, 四边形 ABDE 是正方形, ABD90,ABBD, ABC+DBF90, CABFBD, 在 RtACB 和 RtDFB 中, , RtACBRtDFB(AAS), BFAC,FDCB, BFACFDCB1, CFCB+BF1+12, 在 RtCFD 中,由勾股定理得:CD, 故选:C 9如图,四边形 ABCD 是O 的内接四边形,若A90,B60,AB2,BC4,则 CD 的 长为( ) A 1 B1 C D3 【分析】延长 AD、BC 交于 E,解直角

17、三角形即可得到结论 解:延长 AD、BC 交于 E, A90,B60, DCB90,E30, 在 RtABE 中,BE2AB4, 在 RtCDE 中,CEBEBC44+, DCCE1, 故选:B 10已知二次函数 ya(xm)2(a0)的图象经过点 A(1,p),B(3,q),且 pq,则 m 的取值 范围是( ) Am1 Bm1 C1m1 Dm1 【分析】二次函数 ya(xm)2(a0)开口向上,对称轴为直线 xm,根据抛物线上的点与直线 x m 的距离越小对应的 y 值就越小即可得到 m 的取值范围 解:ya(xm)2(a0), 抛物线开口向上,对称轴为直线 xm, 当抛物线上的点与直线

18、xm 的距离越小,对应的 y 值就越小, A(1,p),B(3,q),且 pq, A 点到直线 xm 的距离小于 B 点到直线 xm 的距离, m1,或 m+13m, 解得 m1, 故选:B 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 3 分,计分,计 12 分)分) 11请写出一个大于且小于的整数: 2(或1 或 0 或 1) 【分析】首先确定和的整数部分,然后在取值范围内确定整数即可,答案不唯一 解:设所求整数为 x, 23, 32, 12, 所求的整数 x 的范围是3x2, 即整数 x 可以是2、1、0、1 故答案为:2、1、0、1(填其中一个即可) 12一个正五边形和一

19、个正六边形按如图方式摆放,它们都有一边在直线了 l 上,且有一个公共顶点 O,则 AOB 的度数是 84 【分析】利用正多边形的性质求出AOE,BOF,EOF 即可解决问题 解:由题意:AOE108,BOF120,OEF72,OFE60, EOF180726048, AOB3601084812084, 故答案为:84 13如图,点 A 在 x 轴正半轴上,B(5,4),四边形 AOCB 为平行四边形,反比例函数 y的图象经过 点 C,交 AB 边于点 D,则点 D 的坐标为 (4,2) 【分析】作 CEOA 于 E,根据平行四边形的性质可知 C 的纵坐标为 4,代入反比例函数解析式即可求 得

20、C 的坐标,从而求得直线 OC 的解析式,根据平行线的性质设直线 AB 的解析式为 y2x+b,根据待定 系数法即可求得解析式,然后与反比例函数解析式联立,解方程组即可求得 D 的坐标 解:作 CEOA 于 E, B(5,4),四边形 AOCB 为平行四边形, C 的纵坐标为 4, 反比例函数 y的图象经过点 C, 4, x2, C(2,4),OABC523, A(3,0), 设直线 OC 为 ykx, 把 C(2,4)代入得,42k,解得 k2, ABOC, 设直线 AB 的解析式为 y2x+b, 代入 A(3,0)解得,b6, 直线 AB 的解析式为 y2x6, 由得或, 点 D 的坐标为

21、(4,2), 故答案为(4,2) 14如图,菱形 ABCD 的边长为 12,ABC60,连接 AC,EFAC垂足为 H,分别交 AD,AB,CB 的延长线于点 E,M,F若 AE:FB1:2,则 CH 的长为 10 【分析】根据菱形的性质得出 ADBC,ABBC12,求出ABC 是等边三角形,根据等边三角形的性 质得出 ACAB12,求出 HMHE,AMEBMF,AHECHF,再根据相似三角形的性质得 出比例式,最后求出答案即可 解:四边形 ABCD 是菱形, ADBC,ABBC12,MAHEAH, EFAC, AHMAHE90, 在AHM 和AHE 中, , AHMAHE(ASA), MHE

22、H, ADBC, AMEBMF, , AE:FB1:2, , , ABC60, ABC 是等边三角形, ACAB12, ADBC, AHECHF, , AC12, , 解得:CH10, 故答案为:10 三、解答题(共三、解答题(共 11 小题,计小题,计 78 分分.解答应写出过程)解答应写出过程) 15解不等式组: 【分析】分别计算出两个不等式的解集,再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可 解:, 解不等式得:x1, 解不等式得:x1 故不等式组的解集为1x1 16解分式方程:+1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式方程的 解 解:去

23、分母得:2(x1)+x2x(x1), 解得:x, 检验:把 x代入 x(x1)得:(1)0, 则 x是分式方程的解 17如图,在ABC 中,BC,AD 是 BC 边上的中线请用尺规作图法,求作ABC 的内切圆(保 留作图痕迹,不写作法) 【分析】作ABC 的角平分线交 AD 于点 O,以 O 为圆心,OD 为半径作O 即可 解:如图,O 即为所求作 18如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,12,ADEC求证:AB+BECD 【分析】由“AAS”可证ABDEDC,可得 ABDE,BDCD,可得结论; 【解答】证明:ABCD, ABDEDC 在ABD 和EDC 中, , ABDEDC(AAS)

24、, ABDE,BDCD, DE+BECD, AB+BECD 19劳动教育是新时代对教育的新要求,是中国特色社会主义教育制度的重要内容,是全面发展教育体系 的重要内容,是大、中、小学必须开展的教育活动某中学为落实劳动教育,组织八年级学生进行了劳 动知识技能竞赛,现随机抽取了部分同学的成绩(百分制),制成不完整的统计图表: 表一 成绩 x x60 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 人数 1 2 a 8 4 表二 统计量 平均数 中位数 众数 成绩 79.7 b 72 根据以上信息回答下列问题 (1) 若抽取的学生成绩处在 80 x90 这一组的数据如下: 88 87 81

25、80 82 88 84 86 根据以上数据填空: a 5 ;b 81.5 (2)在扇形统计图中,表示问卷成绩在 90 x100 这一组的扇形圆心角度数为 72 (3)已知该校八年级共有学生 500 名若将成绩不少于 80 分的学生称为“劳动达人”,请你估计该校 八年级一共有多少名学生是“劳动达人” 【分析】(1)根据 80 x90 这一组的人数和所占的百分比,可以计算出本次抽取的学生人数,然后即 可计算出 a 和 b 的值; (2)根据统计图中的数据,可以计算出问卷成绩在 90 x100 这一组的扇形圆心角度数; (3)根据统计图中的数据,可以计算出该校八年级一共有多少名学生是“劳动达人” 解

26、:(1)本次抽取的学生有:840%20(人), a2012845, 80 x90 这一组的数据按照从小到大排列是:80,81,82,84,86,87,88,88, b(81+82)281.5, 故答案为:5,81.5; (2)问卷成绩在 90 x100 这一组的扇形圆心角度数为:36072, 故答案为:72; (3)500300(名), 即估计该校八年级一共有 300 名学生是“劳动达人” 20如图,数学兴趣小组成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度,他们先在点 C 处测得树顶 A 的仰角为 60 然后在坡顶 D 测得树顶 A 的仰角为 30, 已知斜坡 CD 的坡度 (坡面的铅直高度与

27、水平宽度的比) i1:,斜坡 CD10 m,求树 AB 的高度(结果精确到 1m,参考数据:1.41,1.73) 【分析】首先得出DCB90,再由BDF30可知DBE60,由 DFAE 可得出BGF BCA60,故GBF30,所以DBC30,再由锐角三角函数的定义即可得出结论 解:斜坡 CD 的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比)i1:, tanDCE DCE30 ACB60,DFAE, BGF60 ABC30,DCB90 BDF30, DBF60 DBC30 BC30(m) ABBCsin60301526(m) 答:树 AB 的高度约为 26 米 21某商店销售两种品牌的书包,已知 A 品牌

28、书包的单价是 150 元,B 品牌书包的单价是 200 元为迎接 开学季的到来,该商店对这两种品牌的书包给出相应的优惠活动:A 品牌的书包按原价的八折销售,B 品牌的书包购买 10 个以上,前 10 个原价销售,超出 10 个的部分按原价的五折销售 (1)设购买 x 个 A 品牌书包的费用为 y1元,购买 x 个 B 品牌书包的费用为 y2元,请分别求出 y1,y2与 x(x10)的函数关系式 (2)学校准备购买同一品牌的书包(超过 10 个),如何购买更省钱? 【分析】(1)分别利用当 0 x10 时,当 x10 时,分别得出函数关系式; (2)分别利用当 y1y2时,当 y1y2时,当 y

29、1y2时,求出答案 解:(1)当 x10 时,y11500.8x120 x; 当 x10 时,y220010+2000.5200(x10)100 x+1000; (3)由 x10, 当 y1y2时,120 x100 x+1000, 解得:x50; 当 y1y2时,120 x100 x+1000, 解得:x50; 当 y1y2时,120 x100 x+1000, 解得:x50; 答:若购买 50 个书包,选 A,B 品牌都一样;若购买 50 个以上书包,选 B 品牌划算;若购买书包个数 超过 10 个但小于 50 个,选 A 品牌划算 22在一个不透明的口袋中装有 4 个依次写有数字 1,2,3

30、,4 的小球,它们除数字外其余都相同,每次摸 球前都将小球摇匀 (1)从中随机摸出一个小球,求上面的数字不小于 3 的概率 (2)从中随机摸出一个球后不放回,再随机摸出一个球请用列表或画树状图的方法,求两次摸出小球 上的数字之和恰好是偶数的概率 【分析】(1)直接根据概率公式求解即可; (2)画树状图得出所有等可能的情况数,找出两次摸出的小球上的数字之和恰好是偶数的情况数,然后 根据概率公式即可得出答案 解:(1)从中随机摸出一个小球,上面的数字不小于 3 的概率为; (2)画树状图如下: 共有 12 种等可能结果,两次摸出小球上的数字之和恰好是偶数的结果有 4 种, 两次摸出小球上的数字之和

31、恰好是偶数的概率为 23如图,在 RtABC 中,ACB90,以 AB 为直径作O,过点 C 作O 的切线 CD 交 AB 的延长线 于点 D (1)求证:BCDA (2)将ADC 折叠,使 AD 与 DC 边重合,折痕 DE 分别交 AC,BC 于点 E,F当 CE1 时,求 EF 的长 【分析】(1)连接 OC,欲证明 CD 是O 的切线,只需求得OCD90; (2)证出CEFCFE,则 CECF,再由等腰直角三角形的性质可求得 EF 的长 【解答】(1)证明:连接 OC,如图: AB 为O 的直径, ACB90, A+ABC90, 又OCOB, ABCOCB, CD 是O 的切线, CD

32、OC, OCB+BCD90, BCDA; (2)解:由折叠的性质得:CDEADE, 又BCDA, A+ADEBCD+CDE, 即CEFCFE, CFCE1, ACB90, CEF 是等腰直角三角形, EFCE 24如图,抛物线 yx2+2xc 与 x 轴负半轴,y 轴负半轴分别交于点 A,点 C,OAOC,它的对称轴为直 线 l (1)求抛物线的表达式及顶点坐标 (2)P 是直线 AC 上方对称轴上的一动点,过点 P 作 PQAC 于点 Q,若 PQPO,求点 P 的坐标 【分析】(1)由题意可知 A 的坐标为(c,0),代入解析式即可求得 c 的值,把解析式化成顶点式, 即可求得顶点坐标;

33、(2)先设 P 的坐标为(1,t),则可计算 PO,由直线 AC 的解析式与对称轴直线 x1 可计算出其 交点坐标 D,则可计算 PD,由题意可知PQD 是等腰直角三角形,PD,PQPD,即可算出点 P 的坐标 解:(1)抛物线 yx2+2xc 与 y 轴交于点 C, C(0,c), OAOC,且 A 点在 x 轴负半轴上, A(c,0), 把 A(c,0),代入 yx2+2xc 得,c23c0, 解得 c13,c20(舍去), 抛物线为 yx2+2x3, yx2+2x3(x+1)24, 顶点为(1,4); (2)抛物线 yx2+2x3 的对称轴为直线 x1, 设点 P(1,t),如图, 则

34、OP, 设直线 AC 的解析式为 ykx+b, 把 A(3,0),C(0,3)代入上式得, , 解得, 直线 AC 得解析式为 yx3, 取直线 AC 与对称轴直线 x1 的交点为 D, 则 D(1,2), P 点在直线 AC 的上方, t2, PDt+2, 又AOCO3,AOC90, ACB45, 又PQAC, QDPPQD45, PQDQ, , 即 t+2, 解得 t12t22 2, 点 P 的坐标为 P(1,2+)或(1,2) 25问题提出 (1)如图 1,在ABC 中,CDAB,Aa,ACb,ABc则 SABC cbsin 问题探究 (2)如图 2,在ABC 中,AB5,AC3,D 为

35、 BC 上一点,且满足BAD30,CAD45设 ADa,ABC 的面积为 S,求 S 与 a 之间的关系式 问题解决 (3)如图 3,矩形 ABCD 是一片试验田的平面示意图,农科人员将试验田分成四部分用于不同作物的种 植,各部分的示意图分别为ABE,CEF,ADF,AEF在试验田划分好之后,为了能够给AEF 部分的试验田进行充分灌溉,农科人员需要从点 F 处修建一条输水管 FG,且满足点 G 在 AE 上,FG AD已知点 E、F 分别在边 BC 和边 CD 上,EAF45,AD120m,AB80m,输水管 FG 的修建 费用为 200 元/米,请你根据以上数据求修建输水管 FG 的最低费用

36、 【分析】(1)在 RtACD 中,运用解直角三角形知识求出 CD,即可解决问题; (2)过点 B 作 BEAD,交 AD 的延长线于点 E,过点 C 作 CFAD 于点 F,通过解直角三角形可求出 BE,CF,则 SABCSABD+SACDADBE+ADCF,从而求得结果; (3) 延长FG与AB交于点Q, 可得SAEFSAGF+SEGFGF (AQ+BQ) 40FG, 则可得FG, 当AEF 的面积最小时,FG 最小,修建费用最低;又 SAEFAEAF,即当 AEAF 最小时,SAEF 最小;为此过点 A 作 AF 的垂线,与 CB 延长线交于点 H,作AEH 的外接圆,记圆心为 O,连接

37、 OA、 OH、OE,过点 O 作 OPCH,通过证明AHBAFD,可得 SAHEAHAEsin45AEAF, 转化为求AHE 面积最小的问题,设O 的半径为 r,求得半径 r 的最小值,即可解决问题 解:(1)在 RtACD 中,CDACsinbsin, SABCABCD cbsin, (2)如图 1,过点 B 作 BEAD,交 AD 的延长线于点 E,过点 C 作 CFAD 于点 F, 在 RtABE 中,BEABsinBAD5sin30, 在 RtACF 中,CFACsinCAD3sin45, SABCSABD+SACD ADBE+ADCFAD(BE+CF), Sa(+)a; (3)如图

38、 2,延长 FG 与 AB 交于点 Q,根据题意可知: SAEFSAGF+SEGFGFAQ+GFBQGF(AQ+BQ)GFAB40FG, 即 FG, 故当AEF 的面积最小时,FG 最小,进而达到修建费用最低; 由(1)可知 SAEFAEAFsinEAFAEAF, 当 AEAF 最小时,SAEF最小; 过点 A 作 AF 的垂线,与 CB 延长线交于点 H,作AEH 的外接圆,记圆心为 O, 连接 OA、OH、OE,过点 O 作 OPCH, 根据作图可知HABFAD,ABHD90, AHBAFD, ,即 AHAF, FAD+BAE90EAF45,HABFAD, HAB+BAEHAE45, SAHEAHAEsin45 AFAEAEAF, 当AHE 的面积最小时,即满足 AEAF 最小; 设O 的半径为 r,HOE2HAE90, 则 OPr,HEr, SAHEHEAB r8040r, AO+OPAB, r+r80, r80(2), SAHE最小40 80(2)6400(1), (AEAF)最小19200(2), FG最小SAHE最小 19200(2)240(1), 故修建输水管 FG 的最小费用为 200240(1)48000(1)元