1、2021 年山东省济南市莱芜区（五四制）中考一模数学试题年山东省济南市莱芜区（五四制）中考一模数学试题 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。） 12021 的倒数是（ ） A2021 B2021 C D 2如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A B C D 3截止到 2021 年 1 月 22 日 9 时 30 分， 天问一号探测器已经在轨飞行 182 天，距离火星约 4200000 公里， 4200000 用科学记数法表示应为（ ） A0.42107 B4.2106 C4.2
2、105 D42105 4如图，直线 l 分别与直线 AB、CD 相交于点 E、F，EG 平分BEF 交直线 CD 于点 G，若1BEF 72，则EGF 的度数为（ ） A34 B36 C38 D68 5下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个 A1 B2 C3 D4 6化简（1a）（1） a 的结果是（ ） Aa2 B1 Ca2 D1 7下列运算正确的是（ ） Aa3+a3a6 B （a+b）2a2+b2 C （a5）2a7 D （a+2） （a2）a24 8某班班长统计去年 18 月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本） ，绘制了如图所示 的
3、折线统计图，下列说法错误的是（ ） A阅读课外书本数的众数是 58 B阅读课外书本数的平均数是 56.25 C阅读课外书本数的中位数是 50 D阅读课外书本数的极差是 55 9若实数 k、b 满足 k+b0，且 kb，则一次函数 ykx+b 的图象可能是（ ） A B C D 10如图已知AOB，按照以下步骤作图： 以点 O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB 的两边于 C，D 两点，连接 CD 分别以点 C， D 为圆心， 以大于线段CD 的长为半径作弧， 两弧在AOB 内交于点 E， 连接 CE， DE 连接 OE 交 CD 于点 M 不列结论中错误的是（ ） ACMMD BCEO
4、DEO COCDECD DS四边形OCEDCDOE 11如图，点 A（5a1，2） 、B（8，a）都在反比例函数 y（k0）的图象上，点 P 是直线 yx 上的 一个动点，当 PA+PB 最小时，点 P 坐标是（ ） A （，） B （，） C （3，3） D （4，4） 12如图，抛物线 y2x28x+6 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其下方的部分记作 C1，将 C1向右 平移得 C2，C2与 x 轴交于点 B，D若直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围 是（ ） A1m Bm3 C1m3 Dm1 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3
5、 分，共 18 分。请直接填写答案） 13分解因式：2a32a 14 从3、 4、 5三个数中任取两个不同的数， 作为点的坐标， 则该点在第二象限的概率是 15当 x 时，代数式比代数式的值小 3 16 如图所示， 两个半圆中， 长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切， 则图中阴影部分的面积是 17近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米 10000 元降至每 平方米 8100 元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为 18如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平后再次折叠，使点 A 落在 EF 上的点 A处，得
6、到折痕 BM，BM 与 EF 相交于点 N若直线 BA交直线 CD 于点 O，BC9，AM4， 则 OD 的长为 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 19 （1）计算：（4）0+（cos60） 2| 3|； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解 20学校开通了空中课堂在线学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会成员在校园内随机抽取了部分 学生进行问卷调查，将他们的平台使用情况按 A 级：优秀（每天都用） ，B 级：良好（周末使用） ，C 级： 合格（假期使用） ，D 级：不合格（基本不用）四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条
7、形 统计图 等级 频数 频率 A 6 0.15 B 12 b C c 0.35 D 8 0.2 请根据以上信息完成下列问题： （1）本次调查随机抽取了 名学生；表中 b ，c ； （2）请补全条形统计图； （3）若绘制扇形统计图，则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是 ； （4）若全校有 1800 名学生，请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少 人 21如图，PA 与O 相切于点 A，过点 A 作 ADOP 于点 C，交O 于点 D，连接 PD 交直径 AB 的延长线 于点 E （1）求证：PD 是O 的切线； （2）若O 的半径为 6，DC4，求 PD 的长 22某
8、校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图身高 1.6 米的 小聪做了如下实验：当他在地面 M 处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头 B 处测得 A 的仰角为 30；当他在地面 N 处时， “测温门”停止显示额头温度，此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 58如果 测温门顶部 A 处距地面的高度 AD 为 2.8 米，求小聪在有效测温区间 MN 的长度约为多少米？（保留两 位小数，注：额头到地面的距离以身高计，sin580.85，cos580.53，tan581.60，1.73 ） 23为了加强疫情防控，某学校购进了部分 N95 口罩和一次性医用口罩，已知
9、购买 N95 口罩共花费 2000 元，购买一次性医用口罩共花费 1000 元，购买一次性医用口罩数量是购买 N95 口罩数量的 2.5 倍，且购 买一个 N95 口罩比购买一个一次性医用口罩多花 4 元 （1）求购买一个 N95 口罩、一个一次性医用口罩各需多少元？ （2）该单位决定再次购买 N95 口罩和一次性医用口罩共 3000 个，恰逢该商场对两种口罩的售价进行调 整，N95 口罩售价比第一次购买时降低了 20%，一次性医用口罩售价比第一次购买时降低了 50%，如果 此次购买 N95 口罩和一次性医用口罩的总费用不超过 3250 元，那么该单位至少可购买多少个一次性医 所口罩？ 24如
10、图 1，ABC 和AMN 都是等腰直角三角形，ABC 固定不动，AMN 可以绕着点 A 旋转，旋转角 为 （0360） （1）观察验证：当AMN 绕点 A 旋转到如图 2 的位置时，求证：AMCANB； （2）问题探究：如图 3，连接 BM，分别取 MN、BM、BC 的中点 O、P、Q，连接 OP、PQ、OQ，猜想 OPQ 的形状，并说明理由； （3）问题拓展：若 AC5，AN3，在（2）的条件下，AMN 绕着点 A 在自由旋转过程中，旋转角为 （0360） ，求出OPQ 面积的最大值 25如图 1，抛物线 yax2+bx+c 的顶点坐标为 A（1，2） ，与 x 轴交于点 B（1，0） ，C
11、 两点，与 y 轴交 于点 D，点 P 是抛物线上的动点 （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）如图 2，连接 CD，点 E 在 CD 上，若点 P 在第一象限，且PEC90，求线段 PE 长度的最大 值； （3）如图 3，连接 AB、AC，已知ACB+PCB，是否存在点 P，使得 tan2？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 12021 的倒数是（ ） A2021 B2021 C D 【分析】直接利用倒数的定义得出答案 【解答】解：2021 的倒数是 故选：C 2如图，是由五个相同的小立方体
12、搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形 故选：D 3截止到 2021 年 1 月 22 日 9 时 30 分， 天问一号探测器已经在轨飞行 182 天，距离火星约 4200000 公里， 4200000 用科学记数法表示应为（ ） A0.42107 B4.2106 C4.2105 D42105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，
13、n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：42000004.2106 故选：B 4如图，直线 l 分别与直线 AB、CD 相交于点 E、F，EG 平分BEF 交直线 CD 于点 G，若1BEF 72，则EGF 的度数为（ ） A34 B36 C38 D68 【分析】利用角平分线的性质先求出BEG，再利用平行线的判定和性质得到EGF 的度数 【解答】解：1BEF72， ABCD EGFGEB EG 平分BEF， GEBBEF36 EGFGEB36 故选：B 5下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图
14、形的有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：左起第一个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 第二个图形不是轴对称图形，是中心对称图形； 第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形； 所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有 1 个 故选：A 6化简（1a）（1） a 的结果是（ ） Aa2 B1 Ca2 D1 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式（1a） a a2， 故选：A 7下列运算正确的是（ ） Aa3+a3a6 B （a+b）2a2+b2 C （a5）2a7 D （
15、a+2） （a2）a24 【分析】各式计算得到结果，即可做出判断 【解答】解：A、原式2a3，不符合题意； B、原式a2+2ab+b2，不符合题意； C、原式a10，不符合题意； D、原式a24，符合题意 故选：D 8某班班长统计去年 18 月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本） ，绘制了如图所示 的折线统计图，下列说法错误的是（ ） A阅读课外书本数的众数是 58 B阅读课外书本数的平均数是 56.25 C阅读课外书本数的中位数是 50 D阅读课外书本数的极差是 55 【分析】根据极差的定义，众数的定义，中位数的定义以及平均数的计算方法分别进行计算即可得解 【解答】解：A、5
16、8 出现的次数最多，是 2 次，所以，众数是 58，故本选项不符合题意； B、平均数（36+70+58+42+58+28+78+83）45356.625，故本选项不符合题意； C、按照阅读本数从小到大的顺序排列为：28、36、42、58、58、70、78、83， 中间两个数都是 58，所以，中位数是 58，故本选项符合题意； D、极差832855，故本选项不符合题意 故选：C 9若实数 k、b 满足 k+b0，且 kb，则一次函数 ykx+b 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定 k，b 的取值范围，从而求解 【解答】解：因为实数 k、b 满足 k+b
17、0，且 kb， 所以 k0，b0， 所以它的图象经过一、三、四象限， 故选：A 10如图已知AOB，按照以下步骤作图： 以点 O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB 的两边于 C，D 两点，连接 CD 分别以点 C， D 为圆心， 以大于线段CD 的长为半径作弧， 两弧在AOB 内交于点 E， 连接 CE， DE 连接 OE 交 CD 于点 M 不列结论中错误的是（ ） ACMMD BCEODEO COCDECD DS四边形OCEDCDOE 【分析】根据线段的垂直平分线的判定，全等三角形的性质一一判断即可 【解答】解：由作图可知，OCOC，ECED， OE 垂直平分线段 CD， CMM
18、D， S四边形OCEDCDOE， 在COE 和DOE 中， ， COEDOE（SSS） ， CEODEO， 故 A，B，D 正确， 故选：C 11如图，点 A（5a1，2） 、B（8，a）都在反比例函数 y（k0）的图象上，点 P 是直线 yx 上的 一个动点，当 PA+PB 最小时，点 P 坐标是（ ） A （，） B （，） C （3，3） D （4，4） 【分析】先根据 A，B 都在反比例函数图象上，求出 A，B 坐标，再求出 A 的对称点，利用两点之间，线 段最短来解答即可 【解答】解：A（5a1，2） 、B（8，a）都在反比例函数 y（k0）的图象上， （5a1）28a， a1， A
19、（4，2） ，B（8，1） ， A 关于直线 yx 的对称点 A（2，4） ， 设直线 AB 的函数关系式为：ykx+b， ， k，b5， y， P 为 AB 与直线 yx 的交点， ， ， ， 故选：B 12如图，抛物线 y2x28x+6 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其下方的部分记作 C1，将 C1向右 平移得 C2，C2与 x 轴交于点 B，D若直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围 是（ ） A1m Bm3 C1m3 Dm1 【分析】 根据图象可以判断当直线yx+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点， 求出两个临界值即
20、可 【解答】解：y2x28x+6， 令 y0， 即 2x28x+60， 解得 x1 或 3， 则 A（1，0） ， （3，0） ， 由于将 C1向右平移两个单位得到 C2， 则 C2的解析式为 y2（x2）28（x2）+6（3x5） ， 由图象知当直线 yx+m 在过 B 和与 C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点， 当 yx+m 与 C2相切时， 令 yx+m2x28x+6， 即 2x215x+30m0， 8m150， 解得 m， 当 yx+m过点 B 时， 即 03+m， 解得 m3， 综上，当m3 时，直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点， 故选：B 二填空题二填空
21、题 13分解因式：2a32a 2a（a+1） （a1） 【分析】先提取公因式 2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：2a32a 2a（a21） 2a（a+1） （a1） 故答案为：2a（a+1） （a1） 14从 3、4、5 三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第二象限的概率是 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得 【解答】解：画树状图如下： 共有 6 种等可能的情况数，其中在第二象限的情况数有 2 种， 所以该点在第二象限的概率为 故答案为： 15当 x 时，代数式比代数式的值小 3 【分析】根据题意列出方程，求
22、出方程的解即可得到 x 的值 【解答】解：根据题意得：3， 去分母得：x3x（x1）3（x21） ， 去括号得：x3x23x3x2+3， 解得：x， 经检验 x是分式方程的解 故答案为： 16 如图所示， 两个半圆中， 长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切， 则图中阴影部分的面积是 2 【分析】阴影部分的面积大半圆的面积小半圆的面积过 O 向 AB 作垂线 OE，连接 OB；再根据垂 径定理和勾股定理求解 【解答】解：过 O 向 AB 作垂线，则小圆的半径为 OEr，BEAEAB42 连接 OB，则 OB 为大圆的半径 R， 在 RtOEB 中： 由勾股定理得： R2r2BE2， 图中阴
23、影部分的面积是 （R2r2）BE22 故答案为：2 17近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米 10000 元降至每 平方米 8100 元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为 10% 【分析】设每次降价的百分率为 x，则第一次降价后的单价是原价的 1x，第二次降价后的单价是原价 的（1x）2，根据题意列方程解答即可 【解答】解：设每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得 10000（1x）28100， 解得 x10.1，x21.9（不符合题意，舍去） ， 则降价百分率为 10% 故答案为：10% 18如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合
24、，得到折痕 EF，把纸片展平后再次折叠，使点 A 落在 EF 上的点 A处，得到折痕 BM，BM 与 EF 相交于点 N若直线 BA交直线 CD 于点 O，BC9，AM4， 则 OD 的长为 【分析】连接 AA，先证明ABA为等边三角形，得ABM30，从而求出 AB、CD，再在 RtBOC 中求出 OC，即可得到答案 【解答】解：AA连接 AA，如图： 对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF， AAAB， 把纸片展平后再次折叠，使点 A 落在 EF 上的点 A处，得到折痕 BM， ABAB，ABMABM， ABA为等边三角形， ABABAAAAB60， 又ABCBAM
25、90， ABMABMABC30， AM4， BM2AM8，ABAM4CD， 在直角OBC 中，C90，OBC30， OCBCtanOBC93， ODCDOC43， 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19 （1）计算：（4）0+（cos60） 2| 3|； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解 【分析】 （1）先去掉绝对值，零指数幂，负整数指数幂，三角函数化简，最后用实数的运算即可； （2）分别解出不等式，的解集确定出公共部分即可写出它的所有整数解 【解答】解： （1）（4）0+（cos60） 2| 3| 21+4+3 3； （2）， 解不等式得 x1， 解不等式得 x
26、3， 故原不等式组的解集为1x3， 故它的所有整数解为1，0，1，2 20学校开通了空中课堂在线学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会成员在校园内随机抽取了部分 学生进行问卷调查，将他们的平台使用情况按 A 级：优秀（每天都用） ，B 级：良好（周末使用） ，C 级： 合格（假期使用） ，D 级：不合格（基本不用）四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形 统计图 等级 频数 频率 A 6 0.15 B 12 b C c 0.35 D 8 0.2 请根据以上信息完成下列问题： （1）本次调查随机抽取了 40 名学生；表中 b 0.3 ，c 14 ； （2）请补全条形统计图； （3）若
27、绘制扇形统计图，则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是 72 ； （4）若全校有 1800 名学生，请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少 人 【分析】 （1）根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数，用良好的人数除以总人数求出 b，用总人数 乘以合格的人数所占的百分比求出 c； （2）根据（1）求出合格的人数，再补全统计图即可； （3）用 360乘以“不合格”的人数所占的百分比即可； （4）用总人数乘以“优秀”和“良好”等级的学生所占的百分比即可 【解答】解： （1）本次调查随机抽取的学生数是：60.1540（名） ， b0.3，c0.354014； 故答案为：40，
28、0.3，14； （2）C 级的人数有 14 人，补全统计图如下： （3） “不合格”等级所对应的圆心角的度数是：3600.272 故答案为：72； （4）1800（0.15+0.3）810（人） ， 答：该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有 810 人 21如图，PA 与O 相切于点 A，过点 A 作 ADOP 于点 C，交O 于点 D，连接 PD 交直径 AB 的延长线 于点 E （1）求证：PD 是O 的切线； （2）若O 的半径为 6，DC4，求 PD 的长 【分析】 （1）由切线的性质得OAP90，再证OPDOPA（SSS） ，得ODPOAP90， 即可得出结论； （2
29、）先由勾股定理得 OC2，再证OCDDCP，得，即可求解 【解答】 （1）证明：PA 与O 相切于点 A， PAOA， OAP90， ADOP， ACDC， PDPA， 在OPD 和OPA 中， ， OPDOPA（SSS） ， ODPOAP90， 又OD 是O 的半径， PD 是O 的切线； （2）解：O 的半径为 6， OD6， ADOP， DCPOCD90， OC2，ODC+DOC90， 由（1）得：ODP90， ODC+PDC90， DOCPDC， OCDDCP， ， 即， 解得：PD 22某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图身高 1.6 米的 小
30、聪做了如下实验：当他在地面 M 处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头 B 处测得 A 的仰角为 30；当他在地面 N 处时， “测温门”停止显示额头温度，此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 58如果 测温门顶部 A 处距地面的高度 AD 为 2.8 米，求小聪在有效测温区间 MN 的长度约为多少米？（保留两 位小数，注：额头到地面的距离以身高计，sin580.85，cos580.53，tan581.60，1.73 ） 【分析】延长 BC 交 AD 于点 E，则 AEADDE1.2（米） ，再求出 BE、CE 的长，进而可得结果 【解答】解：如图，延长 BC 交 AD 于点 E， 则 A
31、EADDE2.81.61.2（米） ， 在 RtABE 中，ABE30， BEAE（米） ， 在 RtACE 中，ACE58，tanACEtan581.60， CE0.75（米） ， MNBCBECE0.751.33（米） ， 答：小聪在有效测温区间 MN 的长度约为 1.33 米 23为了加强疫情防控，某学校购进了部分 N95 口罩和一次性医用口罩，已知购买 N95 口罩共花费 2000 元，购买一次性医用口罩共花费 1000 元，购买一次性医用口罩数量是购买 N95 口罩数量的 2.5 倍，且购 买一个 N95 口罩比购买一个一次性医用口罩多花 4 元 （1）求购买一个 N95 口罩、一个
32、一次性医用口罩各需多少元？ （2）该单位决定再次购买 N95 口罩和一次性医用口罩共 3000 个，恰逢该商场对两种口罩的售价进行调 整，N95 口罩售价比第一次购买时降低了 20%，一次性医用口罩售价比第一次购买时降低了 50%，如果 此次购买 N95 口罩和一次性医用口罩的总费用不超过 3250 元，那么该单位至少可购买多少个一次性医 所口罩？ 【分析】 （1）设购买一个一次性医用口罩需 x 元，则购买一个 N95 口罩需（x+4）元，根据题意列出分 式方程进行解答即可； （2）设设购买 N95 口罩 y 个根据题意列出不等式进行解答即可 【解答】解： （1）设购买一个一次性医用口罩需 x
33、 元，则购买一个 N95 口罩需（x+4）元 列方程：2.5， 解得：x1 经检验 x1 是原方程的解， x+45 答：购买一个普通口罩需 1 元，购买一个 N95 口罩需 5 元 （2）设购买一次性医用口罩 y 个则购买 N95 口罩（3000y）个， 依题意得：1（150%）y+5（120%） （3000y）3250 解得：y2500 该单位至少可购买 2500 个一次性医所口罩 24如图 1，ABC 和AMN 都是等腰直角三角形，ABC 固定不动，AMN 可以绕着点 A 旋转，旋转角 为 （0360） （1）观察验证：当AMN 绕点 A 旋转到如图 2 的位置时，求证：AMCANB； （
34、2）问题探究：如图 3，连接 BM，分别取 MN、BM、BC 的中点 O、P、Q，连接 OP、PQ、OQ，猜想 OPQ 的形状，并说明理由； （3）问题拓展：若 AC5，AN3，在（2）的条件下，AMN 绕着点 A 在自由旋转过程中，旋转角为 （0360） ，求出OPQ 面积的最大值 【分析】 （1）根据 SAS 证明三角形全等即可 （2）结论：OPQ 是等腰直角三角形，利用三角形的中位线定理，解决问题即可 （3）求出 CM 的最大值，可得结论 【解答】 （1）证明： CABMAN90， CAMBAN， ACAB，AMAN， CAMBAN（SAS） （2）解：结论：OPQ 是等腰直角三角形 理
35、由：延长 CM 交 BN 于 H，交 AB 于 J CAMBAN， CMBN，ACMABN， AJCBJH， CAJBHJ90， CQQB，MPPB， PQCM，PQCM， MOOM，MPPB， OPBN，OPBN， PQPO， CHBN，OPCH，OPBN， QPPO， QPO90， OPQ 是等腰直角三角形 （3）解：OPQ 是等腰直角三角形，PQCM， CM 的值最大时，OPQ 的面积最大， CMAC+AN， CM8， CM 的最大值为 8， PQ 的最大值为 4， OPQ 的面积的最大值为448 25如图 1，抛物线 yax2+bx+c 的顶点坐标为 A（1，2） ，与 x 轴交于点
36、B（1，0） ，C 两点，与 y 轴交 于点 D，点 P 是抛物线上的动点 （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）如图 2，连接 CD，点 E 在 CD 上，若点 P 在第一象限，且PEC90，求线段 PE 长度的最大 值； （3）如图 3，连接 AB、AC，已知ACB+PCB，是否存在点 P，使得 tan2？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用抛物线顶点坐标已知，将抛物线设为顶点式，代入 B 点，求得抛物线解析式； （2）先由抛物线的解析式，求出抛物线与坐标轴的三个交点 D、B、C，则直角DOC 的各个内角三角 函数值和边长均可求，且直线 CD 的解析式
37、可求，因为 PECD，可以过 P 作 PFx 轴与 F，交 CD 于 H， 则可以证得PEHCOD， 利用相等的角的三角函数值相等这个结论， 得到 PE 与 PH 的数量关系， 设出 P 点坐标，可以得到 H 点坐标，表示出 PH 的长度，继而求得 PE 的长度，得到一个二次函数，根 据 P 的横坐标范围，讨论这个二次函数最值问题，在顶点处取得最值，即可解决 （3）根据题意，可以画图，得到 PC 可以在 x 轴上方和 x 轴下方两种情况，先看 PC 在 x 轴下方，利用 A、B、C 三点坐标，可以证得BAC90，延长 AB 交 CP 于 K 点，则AKC 是一个直角三角形，构 造一线三直角模型
38、，可以求得 CK 的解析式，从而联立 CK 与抛物线解析式，求出交点 P 的横坐标，当 P 在 x 轴上方时， 可以先求出 K 关于 x 轴对称点 K的坐标， 先求出直线 CK的解析式， 再联立直线 CK 与抛物线解析式，求出交点 P 的横坐标 【解答】解： （1）由题可设抛物线解析式为 ya（x1）2+2， 代入点 B，得 4a+20， a， 抛物线解析式为：； （2）如图 1，过 P 作 PFx 轴于 F，交 CD 于 H， PECD， PEHPFC90， PHE+EPHCHF+DCB90， PHECHF， EPHDCB， 令 x0，则 y， D（0，） ， 令 y0，则， 解得 x1 或
39、 3， C（3，0） ， DO，CO3， ， cosEPHcosDCB， 设直线 CD 为 ykx+， 代入点 C，得 k， 直线 CD 为， 设 P（） ，则 H（） ， ， cosEPH， PE， P 在第一象限， 0m3， 时，PE 最大值为； （3）如图 2，当 P 在 x 轴下方时，tanACPtan2， 延长 AB 交 CP 延长线于 K，过 A 作 x 轴平行线，过 K 作 y 轴平行线，两线交于点 Q， 过 C 作 CRAQ 于 R， A（1，2） ，B（1，0） ，C（3，0） ， AB， 同理，AC，BC4， AB2+AC2BC2，ABAC， BAC90， AKQ+QAKQAK+RAC90， AKQRAC， 又AQKCRA90， AQKCRA， ， 又 tanACK， ， 又 ARCR2， QKAQ4， K（3，2） ， 设直线 CK 为 yk1（x3） ，代入点 K， 解得， 直线 CK 为， 联立， 3x24x150， 解得 x或 3， P 的横坐标为， 如图 3，当 P 在 x 轴上方时，K 关于 x 轴的对称点为 K，则 K（3，2） ， 连接 CK交抛物线于点 P， 可设直线 CK为 yk2（x3） ，代入点 K， 解得， 直线 CK为 y 联立， 3x2+4x30， x或 3， P 的横坐标为， 综上，P 的横坐标为或
