2021年山东省济南市莱芜区中考数学模拟试卷(一)含答案解析

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1、2021 年山东省济南市莱芜区(五四制)中考一模数学试题年山东省济南市莱芜区(五四制)中考一模数学试题 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。) 12021 的倒数是( ) A2021 B2021 C D 2如图,是由五个相同的小立方体搭成的几何体,这个几何体的左视图是( ) A B C D 3截止到 2021 年 1 月 22 日 9 时 30 分, 天问一号探测器已经在轨飞行 182 天,距离火星约 4200000 公里, 4200000 用科学记数法表示应为( ) A0.42107 B4.2106 C4.2

2、105 D42105 4如图,直线 l 分别与直线 AB、CD 相交于点 E、F,EG 平分BEF 交直线 CD 于点 G,若1BEF 72,则EGF 的度数为( ) A34 B36 C38 D68 5下列图形是几家电信公司的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )个 A1 B2 C3 D4 6化简(1a)(1) a 的结果是( ) Aa2 B1 Ca2 D1 7下列运算正确的是( ) Aa3+a3a6 B (a+b)2a2+b2 C (a5)2a7 D (a+2) (a2)a24 8某班班长统计去年 18 月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位:本) ,绘制了如图所示 的

3、折线统计图,下列说法错误的是( ) A阅读课外书本数的众数是 58 B阅读课外书本数的平均数是 56.25 C阅读课外书本数的中位数是 50 D阅读课外书本数的极差是 55 9若实数 k、b 满足 k+b0,且 kb,则一次函数 ykx+b 的图象可能是( ) A B C D 10如图已知AOB,按照以下步骤作图: 以点 O 为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交AOB 的两边于 C,D 两点,连接 CD 分别以点 C, D 为圆心, 以大于线段CD 的长为半径作弧, 两弧在AOB 内交于点 E, 连接 CE, DE 连接 OE 交 CD 于点 M 不列结论中错误的是( ) ACMMD BCEO

4、DEO COCDECD DS四边形OCEDCDOE 11如图,点 A(5a1,2) 、B(8,a)都在反比例函数 y(k0)的图象上,点 P 是直线 yx 上的 一个动点,当 PA+PB 最小时,点 P 坐标是( ) A (,) B (,) C (3,3) D (4,4) 12如图,抛物线 y2x28x+6 与 x 轴交于点 A、B,把抛物线在 x 轴及其下方的部分记作 C1,将 C1向右 平移得 C2,C2与 x 轴交于点 B,D若直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点,则 m 的取值范围 是( ) A1m Bm3 C1m3 Dm1 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3

5、 分,共 18 分。请直接填写答案) 13分解因式:2a32a 14 从3、 4、 5三个数中任取两个不同的数, 作为点的坐标, 则该点在第二象限的概率是 15当 x 时,代数式比代数式的值小 3 16 如图所示, 两个半圆中, 长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切, 则图中阴影部分的面积是 17近期随着国家抑制房价新政策的出台,某楼盘房价连续两次下跌,由原来的每平方米 10000 元降至每 平方米 8100 元,设每次降价的百分率相同,则降价百分率为 18如图,对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平后再次折叠,使点 A 落在 EF 上的点 A处,得

6、到折痕 BM,BM 与 EF 相交于点 N若直线 BA交直线 CD 于点 O,BC9,AM4, 则 OD 的长为 三、解答题(本大题共 7 小题,共 66 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 19 (1)计算:(4)0+(cos60) 2| 3|; (2)解不等式组:,并写出它的所有整数解 20学校开通了空中课堂在线学习平台,为了解学生使用情况,该校学生会成员在校园内随机抽取了部分 学生进行问卷调查,将他们的平台使用情况按 A 级:优秀(每天都用) ,B 级:良好(周末使用) ,C 级: 合格(假期使用) ,D 级:不合格(基本不用)四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的统计表和条

7、形 统计图 等级 频数 频率 A 6 0.15 B 12 b C c 0.35 D 8 0.2 请根据以上信息完成下列问题: (1)本次调查随机抽取了 名学生;表中 b ,c ; (2)请补全条形统计图; (3)若绘制扇形统计图,则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是 ; (4)若全校有 1800 名学生,请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少 人 21如图,PA 与O 相切于点 A,过点 A 作 ADOP 于点 C,交O 于点 D,连接 PD 交直径 AB 的延长线 于点 E (1)求证:PD 是O 的切线; (2)若O 的半径为 6,DC4,求 PD 的长 22某

8、校为检测师生体温,在校门安装了某型号的测温门,如图为该“测温门”截面示意图身高 1.6 米的 小聪做了如下实验:当他在地面 M 处时“测温门”开始显示额头温度,此时在额头 B 处测得 A 的仰角为 30;当他在地面 N 处时, “测温门”停止显示额头温度,此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 58如果 测温门顶部 A 处距地面的高度 AD 为 2.8 米,求小聪在有效测温区间 MN 的长度约为多少米?(保留两 位小数,注:额头到地面的距离以身高计,sin580.85,cos580.53,tan581.60,1.73 ) 23为了加强疫情防控,某学校购进了部分 N95 口罩和一次性医用口罩,已知

9、购买 N95 口罩共花费 2000 元,购买一次性医用口罩共花费 1000 元,购买一次性医用口罩数量是购买 N95 口罩数量的 2.5 倍,且购 买一个 N95 口罩比购买一个一次性医用口罩多花 4 元 (1)求购买一个 N95 口罩、一个一次性医用口罩各需多少元? (2)该单位决定再次购买 N95 口罩和一次性医用口罩共 3000 个,恰逢该商场对两种口罩的售价进行调 整,N95 口罩售价比第一次购买时降低了 20%,一次性医用口罩售价比第一次购买时降低了 50%,如果 此次购买 N95 口罩和一次性医用口罩的总费用不超过 3250 元,那么该单位至少可购买多少个一次性医 所口罩? 24如

10、图 1,ABC 和AMN 都是等腰直角三角形,ABC 固定不动,AMN 可以绕着点 A 旋转,旋转角 为 (0360) (1)观察验证:当AMN 绕点 A 旋转到如图 2 的位置时,求证:AMCANB; (2)问题探究:如图 3,连接 BM,分别取 MN、BM、BC 的中点 O、P、Q,连接 OP、PQ、OQ,猜想 OPQ 的形状,并说明理由; (3)问题拓展:若 AC5,AN3,在(2)的条件下,AMN 绕着点 A 在自由旋转过程中,旋转角为 (0360) ,求出OPQ 面积的最大值 25如图 1,抛物线 yax2+bx+c 的顶点坐标为 A(1,2) ,与 x 轴交于点 B(1,0) ,C

11、 两点,与 y 轴交 于点 D,点 P 是抛物线上的动点 (1)求这条抛物线的函数表达式; (2)如图 2,连接 CD,点 E 在 CD 上,若点 P 在第一象限,且PEC90,求线段 PE 长度的最大 值; (3)如图 3,连接 AB、AC,已知ACB+PCB,是否存在点 P,使得 tan2?若存在,求出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 12 小题)小题) 12021 的倒数是( ) A2021 B2021 C D 【分析】直接利用倒数的定义得出答案 【解答】解:2021 的倒数是 故选:C 2如图,是由五个相同的小立方体

12、搭成的几何体,这个几何体的左视图是( ) A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解:从左面看,底层是两个小正方形,上层的左边是一个小正方形 故选:D 3截止到 2021 年 1 月 22 日 9 时 30 分, 天问一号探测器已经在轨飞行 182 天,距离火星约 4200000 公里, 4200000 用科学记数法表示应为( ) A0.42107 B4.2106 C4.2105 D42105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把 原数变成 a 时,小数点移动了多少位,

13、n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时,n 是正整数;当原数的绝对值1 时,n 是负整数 【解答】解:42000004.2106 故选:B 4如图,直线 l 分别与直线 AB、CD 相交于点 E、F,EG 平分BEF 交直线 CD 于点 G,若1BEF 72,则EGF 的度数为( ) A34 B36 C38 D68 【分析】利用角平分线的性质先求出BEG,再利用平行线的判定和性质得到EGF 的度数 【解答】解:1BEF72, ABCD EGFGEB EG 平分BEF, GEBBEF36 EGFGEB36 故选:B 5下列图形是几家电信公司的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图

14、形的有( )个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解:左起第一个图形不是轴对称图形,也不是中心对称图形; 第二个图形不是轴对称图形,是中心对称图形; 第三个图形既是轴对称图形,又是中心对称图形; 第四个图形不是轴对称图形,是中心对称图形; 所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有 1 个 故选:A 6化简(1a)(1) a 的结果是( ) Aa2 B1 Ca2 D1 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解:原式(1a) a a2, 故选:A 7下列运算正确的是( ) Aa3+a3a6 B (a+b)2a2+b2 C (a5)2a7 D (

15、a+2) (a2)a24 【分析】各式计算得到结果,即可做出判断 【解答】解:A、原式2a3,不符合题意; B、原式a2+2ab+b2,不符合题意; C、原式a10,不符合题意; D、原式a24,符合题意 故选:D 8某班班长统计去年 18 月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位:本) ,绘制了如图所示 的折线统计图,下列说法错误的是( ) A阅读课外书本数的众数是 58 B阅读课外书本数的平均数是 56.25 C阅读课外书本数的中位数是 50 D阅读课外书本数的极差是 55 【分析】根据极差的定义,众数的定义,中位数的定义以及平均数的计算方法分别进行计算即可得解 【解答】解:A、5

16、8 出现的次数最多,是 2 次,所以,众数是 58,故本选项不符合题意; B、平均数(36+70+58+42+58+28+78+83)45356.625,故本选项不符合题意; C、按照阅读本数从小到大的顺序排列为:28、36、42、58、58、70、78、83, 中间两个数都是 58,所以,中位数是 58,故本选项符合题意; D、极差832855,故本选项不符合题意 故选:C 9若实数 k、b 满足 k+b0,且 kb,则一次函数 ykx+b 的图象可能是( ) A B C D 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定 k,b 的取值范围,从而求解 【解答】解:因为实数 k、b 满足 k+b

17、0,且 kb, 所以 k0,b0, 所以它的图象经过一、三、四象限, 故选:A 10如图已知AOB,按照以下步骤作图: 以点 O 为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交AOB 的两边于 C,D 两点,连接 CD 分别以点 C, D 为圆心, 以大于线段CD 的长为半径作弧, 两弧在AOB 内交于点 E, 连接 CE, DE 连接 OE 交 CD 于点 M 不列结论中错误的是( ) ACMMD BCEODEO COCDECD DS四边形OCEDCDOE 【分析】根据线段的垂直平分线的判定,全等三角形的性质一一判断即可 【解答】解:由作图可知,OCOC,ECED, OE 垂直平分线段 CD, CMM

18、D, S四边形OCEDCDOE, 在COE 和DOE 中, , COEDOE(SSS) , CEODEO, 故 A,B,D 正确, 故选:C 11如图,点 A(5a1,2) 、B(8,a)都在反比例函数 y(k0)的图象上,点 P 是直线 yx 上的 一个动点,当 PA+PB 最小时,点 P 坐标是( ) A (,) B (,) C (3,3) D (4,4) 【分析】先根据 A,B 都在反比例函数图象上,求出 A,B 坐标,再求出 A 的对称点,利用两点之间,线 段最短来解答即可 【解答】解:A(5a1,2) 、B(8,a)都在反比例函数 y(k0)的图象上, (5a1)28a, a1, A

19、(4,2) ,B(8,1) , A 关于直线 yx 的对称点 A(2,4) , 设直线 AB 的函数关系式为:ykx+b, , k,b5, y, P 为 AB 与直线 yx 的交点, , , , 故选:B 12如图,抛物线 y2x28x+6 与 x 轴交于点 A、B,把抛物线在 x 轴及其下方的部分记作 C1,将 C1向右 平移得 C2,C2与 x 轴交于点 B,D若直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点,则 m 的取值范围 是( ) A1m Bm3 C1m3 Dm1 【分析】 根据图象可以判断当直线yx+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点, 求出两个临界值即

20、可 【解答】解:y2x28x+6, 令 y0, 即 2x28x+60, 解得 x1 或 3, 则 A(1,0) , (3,0) , 由于将 C1向右平移两个单位得到 C2, 则 C2的解析式为 y2(x2)28(x2)+6(3x5) , 由图象知当直线 yx+m 在过 B 和与 C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点, 当 yx+m 与 C2相切时, 令 yx+m2x28x+6, 即 2x215x+30m0, 8m150, 解得 m, 当 yx+m过点 B 时, 即 03+m, 解得 m3, 综上,当m3 时,直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点, 故选:B 二填空题二填空

21、题 13分解因式:2a32a 2a(a+1) (a1) 【分析】先提取公因式 2a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解:2a32a 2a(a21) 2a(a+1) (a1) 故答案为:2a(a+1) (a1) 14从 3、4、5 三个数中任取两个不同的数,作为点的坐标,则该点在第二象限的概率是 【分析】画树状图列出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解可得 【解答】解:画树状图如下: 共有 6 种等可能的情况数,其中在第二象限的情况数有 2 种, 所以该点在第二象限的概率为 故答案为: 15当 x 时,代数式比代数式的值小 3 【分析】根据题意列出方程,求

22、出方程的解即可得到 x 的值 【解答】解:根据题意得:3, 去分母得:x3x(x1)3(x21) , 去括号得:x3x23x3x2+3, 解得:x, 经检验 x是分式方程的解 故答案为: 16 如图所示, 两个半圆中, 长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切, 则图中阴影部分的面积是 2 【分析】阴影部分的面积大半圆的面积小半圆的面积过 O 向 AB 作垂线 OE,连接 OB;再根据垂 径定理和勾股定理求解 【解答】解:过 O 向 AB 作垂线,则小圆的半径为 OEr,BEAEAB42 连接 OB,则 OB 为大圆的半径 R, 在 RtOEB 中: 由勾股定理得: R2r2BE2, 图中阴

23、影部分的面积是 (R2r2)BE22 故答案为:2 17近期随着国家抑制房价新政策的出台,某楼盘房价连续两次下跌,由原来的每平方米 10000 元降至每 平方米 8100 元,设每次降价的百分率相同,则降价百分率为 10% 【分析】设每次降价的百分率为 x,则第一次降价后的单价是原价的 1x,第二次降价后的单价是原价 的(1x)2,根据题意列方程解答即可 【解答】解:设每次降价的百分率为 x,根据题意列方程得 10000(1x)28100, 解得 x10.1,x21.9(不符合题意,舍去) , 则降价百分率为 10% 故答案为:10% 18如图,对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合

24、,得到折痕 EF,把纸片展平后再次折叠,使点 A 落在 EF 上的点 A处,得到折痕 BM,BM 与 EF 相交于点 N若直线 BA交直线 CD 于点 O,BC9,AM4, 则 OD 的长为 【分析】连接 AA,先证明ABA为等边三角形,得ABM30,从而求出 AB、CD,再在 RtBOC 中求出 OC,即可得到答案 【解答】解:AA连接 AA,如图: 对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF, AAAB, 把纸片展平后再次折叠,使点 A 落在 EF 上的点 A处,得到折痕 BM, ABAB,ABMABM, ABA为等边三角形, ABABAAAAB60, 又ABCBAM

25、90, ABMABMABC30, AM4, BM2AM8,ABAM4CD, 在直角OBC 中,C90,OBC30, OCBCtanOBC93, ODCDOC43, 故答案为: 三解答题(共三解答题(共 7 小题)小题) 19 (1)计算:(4)0+(cos60) 2| 3|; (2)解不等式组:,并写出它的所有整数解 【分析】 (1)先去掉绝对值,零指数幂,负整数指数幂,三角函数化简,最后用实数的运算即可; (2)分别解出不等式,的解集确定出公共部分即可写出它的所有整数解 【解答】解: (1)(4)0+(cos60) 2| 3| 21+4+3 3; (2), 解不等式得 x1, 解不等式得 x

26、3, 故原不等式组的解集为1x3, 故它的所有整数解为1,0,1,2 20学校开通了空中课堂在线学习平台,为了解学生使用情况,该校学生会成员在校园内随机抽取了部分 学生进行问卷调查,将他们的平台使用情况按 A 级:优秀(每天都用) ,B 级:良好(周末使用) ,C 级: 合格(假期使用) ,D 级:不合格(基本不用)四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的统计表和条形 统计图 等级 频数 频率 A 6 0.15 B 12 b C c 0.35 D 8 0.2 请根据以上信息完成下列问题: (1)本次调查随机抽取了 40 名学生;表中 b 0.3 ,c 14 ; (2)请补全条形统计图; (3)若

27、绘制扇形统计图,则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是 72 ; (4)若全校有 1800 名学生,请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少 人 【分析】 (1)根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数,用良好的人数除以总人数求出 b,用总人数 乘以合格的人数所占的百分比求出 c; (2)根据(1)求出合格的人数,再补全统计图即可; (3)用 360乘以“不合格”的人数所占的百分比即可; (4)用总人数乘以“优秀”和“良好”等级的学生所占的百分比即可 【解答】解: (1)本次调查随机抽取的学生数是:60.1540(名) , b0.3,c0.354014; 故答案为:40,

28、0.3,14; (2)C 级的人数有 14 人,补全统计图如下: (3) “不合格”等级所对应的圆心角的度数是:3600.272 故答案为:72; (4)1800(0.15+0.3)810(人) , 答:该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有 810 人 21如图,PA 与O 相切于点 A,过点 A 作 ADOP 于点 C,交O 于点 D,连接 PD 交直径 AB 的延长线 于点 E (1)求证:PD 是O 的切线; (2)若O 的半径为 6,DC4,求 PD 的长 【分析】 (1)由切线的性质得OAP90,再证OPDOPA(SSS) ,得ODPOAP90, 即可得出结论; (2

29、)先由勾股定理得 OC2,再证OCDDCP,得,即可求解 【解答】 (1)证明:PA 与O 相切于点 A, PAOA, OAP90, ADOP, ACDC, PDPA, 在OPD 和OPA 中, , OPDOPA(SSS) , ODPOAP90, 又OD 是O 的半径, PD 是O 的切线; (2)解:O 的半径为 6, OD6, ADOP, DCPOCD90, OC2,ODC+DOC90, 由(1)得:ODP90, ODC+PDC90, DOCPDC, OCDDCP, , 即, 解得:PD 22某校为检测师生体温,在校门安装了某型号的测温门,如图为该“测温门”截面示意图身高 1.6 米的 小

30、聪做了如下实验:当他在地面 M 处时“测温门”开始显示额头温度,此时在额头 B 处测得 A 的仰角为 30;当他在地面 N 处时, “测温门”停止显示额头温度,此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 58如果 测温门顶部 A 处距地面的高度 AD 为 2.8 米,求小聪在有效测温区间 MN 的长度约为多少米?(保留两 位小数,注:额头到地面的距离以身高计,sin580.85,cos580.53,tan581.60,1.73 ) 【分析】延长 BC 交 AD 于点 E,则 AEADDE1.2(米) ,再求出 BE、CE 的长,进而可得结果 【解答】解:如图,延长 BC 交 AD 于点 E, 则 A

31、EADDE2.81.61.2(米) , 在 RtABE 中,ABE30, BEAE(米) , 在 RtACE 中,ACE58,tanACEtan581.60, CE0.75(米) , MNBCBECE0.751.33(米) , 答:小聪在有效测温区间 MN 的长度约为 1.33 米 23为了加强疫情防控,某学校购进了部分 N95 口罩和一次性医用口罩,已知购买 N95 口罩共花费 2000 元,购买一次性医用口罩共花费 1000 元,购买一次性医用口罩数量是购买 N95 口罩数量的 2.5 倍,且购 买一个 N95 口罩比购买一个一次性医用口罩多花 4 元 (1)求购买一个 N95 口罩、一个

32、一次性医用口罩各需多少元? (2)该单位决定再次购买 N95 口罩和一次性医用口罩共 3000 个,恰逢该商场对两种口罩的售价进行调 整,N95 口罩售价比第一次购买时降低了 20%,一次性医用口罩售价比第一次购买时降低了 50%,如果 此次购买 N95 口罩和一次性医用口罩的总费用不超过 3250 元,那么该单位至少可购买多少个一次性医 所口罩? 【分析】 (1)设购买一个一次性医用口罩需 x 元,则购买一个 N95 口罩需(x+4)元,根据题意列出分 式方程进行解答即可; (2)设设购买 N95 口罩 y 个根据题意列出不等式进行解答即可 【解答】解: (1)设购买一个一次性医用口罩需 x

33、 元,则购买一个 N95 口罩需(x+4)元 列方程:2.5, 解得:x1 经检验 x1 是原方程的解, x+45 答:购买一个普通口罩需 1 元,购买一个 N95 口罩需 5 元 (2)设购买一次性医用口罩 y 个则购买 N95 口罩(3000y)个, 依题意得:1(150%)y+5(120%) (3000y)3250 解得:y2500 该单位至少可购买 2500 个一次性医所口罩 24如图 1,ABC 和AMN 都是等腰直角三角形,ABC 固定不动,AMN 可以绕着点 A 旋转,旋转角 为 (0360) (1)观察验证:当AMN 绕点 A 旋转到如图 2 的位置时,求证:AMCANB; (

34、2)问题探究:如图 3,连接 BM,分别取 MN、BM、BC 的中点 O、P、Q,连接 OP、PQ、OQ,猜想 OPQ 的形状,并说明理由; (3)问题拓展:若 AC5,AN3,在(2)的条件下,AMN 绕着点 A 在自由旋转过程中,旋转角为 (0360) ,求出OPQ 面积的最大值 【分析】 (1)根据 SAS 证明三角形全等即可 (2)结论:OPQ 是等腰直角三角形,利用三角形的中位线定理,解决问题即可 (3)求出 CM 的最大值,可得结论 【解答】 (1)证明: CABMAN90, CAMBAN, ACAB,AMAN, CAMBAN(SAS) (2)解:结论:OPQ 是等腰直角三角形 理

35、由:延长 CM 交 BN 于 H,交 AB 于 J CAMBAN, CMBN,ACMABN, AJCBJH, CAJBHJ90, CQQB,MPPB, PQCM,PQCM, MOOM,MPPB, OPBN,OPBN, PQPO, CHBN,OPCH,OPBN, QPPO, QPO90, OPQ 是等腰直角三角形 (3)解:OPQ 是等腰直角三角形,PQCM, CM 的值最大时,OPQ 的面积最大, CMAC+AN, CM8, CM 的最大值为 8, PQ 的最大值为 4, OPQ 的面积的最大值为448 25如图 1,抛物线 yax2+bx+c 的顶点坐标为 A(1,2) ,与 x 轴交于点

36、B(1,0) ,C 两点,与 y 轴交 于点 D,点 P 是抛物线上的动点 (1)求这条抛物线的函数表达式; (2)如图 2,连接 CD,点 E 在 CD 上,若点 P 在第一象限,且PEC90,求线段 PE 长度的最大 值; (3)如图 3,连接 AB、AC,已知ACB+PCB,是否存在点 P,使得 tan2?若存在,求出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)利用抛物线顶点坐标已知,将抛物线设为顶点式,代入 B 点,求得抛物线解析式; (2)先由抛物线的解析式,求出抛物线与坐标轴的三个交点 D、B、C,则直角DOC 的各个内角三角 函数值和边长均可求,且直线 CD 的解析式

37、可求,因为 PECD,可以过 P 作 PFx 轴与 F,交 CD 于 H, 则可以证得PEHCOD, 利用相等的角的三角函数值相等这个结论, 得到 PE 与 PH 的数量关系, 设出 P 点坐标,可以得到 H 点坐标,表示出 PH 的长度,继而求得 PE 的长度,得到一个二次函数,根 据 P 的横坐标范围,讨论这个二次函数最值问题,在顶点处取得最值,即可解决 (3)根据题意,可以画图,得到 PC 可以在 x 轴上方和 x 轴下方两种情况,先看 PC 在 x 轴下方,利用 A、B、C 三点坐标,可以证得BAC90,延长 AB 交 CP 于 K 点,则AKC 是一个直角三角形,构 造一线三直角模型

38、,可以求得 CK 的解析式,从而联立 CK 与抛物线解析式,求出交点 P 的横坐标,当 P 在 x 轴上方时, 可以先求出 K 关于 x 轴对称点 K的坐标, 先求出直线 CK的解析式, 再联立直线 CK 与抛物线解析式,求出交点 P 的横坐标 【解答】解: (1)由题可设抛物线解析式为 ya(x1)2+2, 代入点 B,得 4a+20, a, 抛物线解析式为:; (2)如图 1,过 P 作 PFx 轴于 F,交 CD 于 H, PECD, PEHPFC90, PHE+EPHCHF+DCB90, PHECHF, EPHDCB, 令 x0,则 y, D(0,) , 令 y0,则, 解得 x1 或

39、 3, C(3,0) , DO,CO3, , cosEPHcosDCB, 设直线 CD 为 ykx+, 代入点 C,得 k, 直线 CD 为, 设 P() ,则 H() , , cosEPH, PE, P 在第一象限, 0m3, 时,PE 最大值为; (3)如图 2,当 P 在 x 轴下方时,tanACPtan2, 延长 AB 交 CP 延长线于 K,过 A 作 x 轴平行线,过 K 作 y 轴平行线,两线交于点 Q, 过 C 作 CRAQ 于 R, A(1,2) ,B(1,0) ,C(3,0) , AB, 同理,AC,BC4, AB2+AC2BC2,ABAC, BAC90, AKQ+QAKQAK+RAC90, AKQRAC, 又AQKCRA90, AQKCRA, , 又 tanACK, , 又 ARCR2, QKAQ4, K(3,2) , 设直线 CK 为 yk1(x3) ,代入点 K, 解得, 直线 CK 为, 联立, 3x24x150, 解得 x或 3, P 的横坐标为, 如图 3,当 P 在 x 轴上方时,K 关于 x 轴的对称点为 K,则 K(3,2) , 连接 CK交抛物线于点 P, 可设直线 CK为 yk2(x3) ,代入点 K, 解得, 直线 CK为 y 联立, 3x2+4x30, x或 3, P 的横坐标为, 综上,P 的横坐标为或

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