ImageVerifierCode 换一换
格式:DOCX , 页数:29 ,大小:373.61KB ,
资源ID:183636      下载积分:20 金币
快捷下载
登录下载
邮箱/手机:
温馨提示:
快捷下载时,用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)。 如填写123,账号就是123,密码也是123。
特别说明:
请自助下载,系统不会自动发送文件的哦; 如果您已付费,想二次下载,请登录后访问:我的下载记录
支付方式: 支付宝    微信支付   
验证码:   换一换

加入VIP,更优惠
 

温馨提示:由于个人手机设置不同,如果发现不能下载,请复制以下地址【https://www.77wenku.com/d-183636.html】到电脑端继续下载(重复下载不扣费)。

已注册用户请登录:
账号:
密码:
验证码:   换一换
  忘记密码?
三方登录: 微信登录   QQ登录   微博登录 

下载须知

1: 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。
2: 试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。
3: 文件的所有权益归上传用户所有。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 本站仅提供交流平台,并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

版权提示 | 免责声明

本文(2021年山东省济南市莱芜区中考数学模拟试卷(一)含答案解析)为本站会员(争先)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

2021年山东省济南市莱芜区中考数学模拟试卷(一)含答案解析

1、2021 年山东省济南市莱芜区(五四制)中考一模数学试题年山东省济南市莱芜区(五四制)中考一模数学试题 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。) 12021 的倒数是( ) A2021 B2021 C D 2如图,是由五个相同的小立方体搭成的几何体,这个几何体的左视图是( ) A B C D 3截止到 2021 年 1 月 22 日 9 时 30 分, 天问一号探测器已经在轨飞行 182 天,距离火星约 4200000 公里, 4200000 用科学记数法表示应为( ) A0.42107 B4.2106 C4.2

2、105 D42105 4如图,直线 l 分别与直线 AB、CD 相交于点 E、F,EG 平分BEF 交直线 CD 于点 G,若1BEF 72,则EGF 的度数为( ) A34 B36 C38 D68 5下列图形是几家电信公司的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )个 A1 B2 C3 D4 6化简(1a)(1) a 的结果是( ) Aa2 B1 Ca2 D1 7下列运算正确的是( ) Aa3+a3a6 B (a+b)2a2+b2 C (a5)2a7 D (a+2) (a2)a24 8某班班长统计去年 18 月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位:本) ,绘制了如图所示 的

3、折线统计图,下列说法错误的是( ) A阅读课外书本数的众数是 58 B阅读课外书本数的平均数是 56.25 C阅读课外书本数的中位数是 50 D阅读课外书本数的极差是 55 9若实数 k、b 满足 k+b0,且 kb,则一次函数 ykx+b 的图象可能是( ) A B C D 10如图已知AOB,按照以下步骤作图: 以点 O 为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交AOB 的两边于 C,D 两点,连接 CD 分别以点 C, D 为圆心, 以大于线段CD 的长为半径作弧, 两弧在AOB 内交于点 E, 连接 CE, DE 连接 OE 交 CD 于点 M 不列结论中错误的是( ) ACMMD BCEO

4、DEO COCDECD DS四边形OCEDCDOE 11如图,点 A(5a1,2) 、B(8,a)都在反比例函数 y(k0)的图象上,点 P 是直线 yx 上的 一个动点,当 PA+PB 最小时,点 P 坐标是( ) A (,) B (,) C (3,3) D (4,4) 12如图,抛物线 y2x28x+6 与 x 轴交于点 A、B,把抛物线在 x 轴及其下方的部分记作 C1,将 C1向右 平移得 C2,C2与 x 轴交于点 B,D若直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点,则 m 的取值范围 是( ) A1m Bm3 C1m3 Dm1 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3

5、 分,共 18 分。请直接填写答案) 13分解因式:2a32a 14 从3、 4、 5三个数中任取两个不同的数, 作为点的坐标, 则该点在第二象限的概率是 15当 x 时,代数式比代数式的值小 3 16 如图所示, 两个半圆中, 长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切, 则图中阴影部分的面积是 17近期随着国家抑制房价新政策的出台,某楼盘房价连续两次下跌,由原来的每平方米 10000 元降至每 平方米 8100 元,设每次降价的百分率相同,则降价百分率为 18如图,对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平后再次折叠,使点 A 落在 EF 上的点 A处,得

6、到折痕 BM,BM 与 EF 相交于点 N若直线 BA交直线 CD 于点 O,BC9,AM4, 则 OD 的长为 三、解答题(本大题共 7 小题,共 66 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 19 (1)计算:(4)0+(cos60) 2| 3|; (2)解不等式组:,并写出它的所有整数解 20学校开通了空中课堂在线学习平台,为了解学生使用情况,该校学生会成员在校园内随机抽取了部分 学生进行问卷调查,将他们的平台使用情况按 A 级:优秀(每天都用) ,B 级:良好(周末使用) ,C 级: 合格(假期使用) ,D 级:不合格(基本不用)四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的统计表和条

7、形 统计图 等级 频数 频率 A 6 0.15 B 12 b C c 0.35 D 8 0.2 请根据以上信息完成下列问题: (1)本次调查随机抽取了 名学生;表中 b ,c ; (2)请补全条形统计图; (3)若绘制扇形统计图,则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是 ; (4)若全校有 1800 名学生,请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少 人 21如图,PA 与O 相切于点 A,过点 A 作 ADOP 于点 C,交O 于点 D,连接 PD 交直径 AB 的延长线 于点 E (1)求证:PD 是O 的切线; (2)若O 的半径为 6,DC4,求 PD 的长 22某

8、校为检测师生体温,在校门安装了某型号的测温门,如图为该“测温门”截面示意图身高 1.6 米的 小聪做了如下实验:当他在地面 M 处时“测温门”开始显示额头温度,此时在额头 B 处测得 A 的仰角为 30;当他在地面 N 处时, “测温门”停止显示额头温度,此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 58如果 测温门顶部 A 处距地面的高度 AD 为 2.8 米,求小聪在有效测温区间 MN 的长度约为多少米?(保留两 位小数,注:额头到地面的距离以身高计,sin580.85,cos580.53,tan581.60,1.73 ) 23为了加强疫情防控,某学校购进了部分 N95 口罩和一次性医用口罩,已知

9、购买 N95 口罩共花费 2000 元,购买一次性医用口罩共花费 1000 元,购买一次性医用口罩数量是购买 N95 口罩数量的 2.5 倍,且购 买一个 N95 口罩比购买一个一次性医用口罩多花 4 元 (1)求购买一个 N95 口罩、一个一次性医用口罩各需多少元? (2)该单位决定再次购买 N95 口罩和一次性医用口罩共 3000 个,恰逢该商场对两种口罩的售价进行调 整,N95 口罩售价比第一次购买时降低了 20%,一次性医用口罩售价比第一次购买时降低了 50%,如果 此次购买 N95 口罩和一次性医用口罩的总费用不超过 3250 元,那么该单位至少可购买多少个一次性医 所口罩? 24如

10、图 1,ABC 和AMN 都是等腰直角三角形,ABC 固定不动,AMN 可以绕着点 A 旋转,旋转角 为 (0360) (1)观察验证:当AMN 绕点 A 旋转到如图 2 的位置时,求证:AMCANB; (2)问题探究:如图 3,连接 BM,分别取 MN、BM、BC 的中点 O、P、Q,连接 OP、PQ、OQ,猜想 OPQ 的形状,并说明理由; (3)问题拓展:若 AC5,AN3,在(2)的条件下,AMN 绕着点 A 在自由旋转过程中,旋转角为 (0360) ,求出OPQ 面积的最大值 25如图 1,抛物线 yax2+bx+c 的顶点坐标为 A(1,2) ,与 x 轴交于点 B(1,0) ,C

11、 两点,与 y 轴交 于点 D,点 P 是抛物线上的动点 (1)求这条抛物线的函数表达式; (2)如图 2,连接 CD,点 E 在 CD 上,若点 P 在第一象限,且PEC90,求线段 PE 长度的最大 值; (3)如图 3,连接 AB、AC,已知ACB+PCB,是否存在点 P,使得 tan2?若存在,求出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 12 小题)小题) 12021 的倒数是( ) A2021 B2021 C D 【分析】直接利用倒数的定义得出答案 【解答】解:2021 的倒数是 故选:C 2如图,是由五个相同的小立方体

12、搭成的几何体,这个几何体的左视图是( ) A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解:从左面看,底层是两个小正方形,上层的左边是一个小正方形 故选:D 3截止到 2021 年 1 月 22 日 9 时 30 分, 天问一号探测器已经在轨飞行 182 天,距离火星约 4200000 公里, 4200000 用科学记数法表示应为( ) A0.42107 B4.2106 C4.2105 D42105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把 原数变成 a 时,小数点移动了多少位,

13、n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时,n 是正整数;当原数的绝对值1 时,n 是负整数 【解答】解:42000004.2106 故选:B 4如图,直线 l 分别与直线 AB、CD 相交于点 E、F,EG 平分BEF 交直线 CD 于点 G,若1BEF 72,则EGF 的度数为( ) A34 B36 C38 D68 【分析】利用角平分线的性质先求出BEG,再利用平行线的判定和性质得到EGF 的度数 【解答】解:1BEF72, ABCD EGFGEB EG 平分BEF, GEBBEF36 EGFGEB36 故选:B 5下列图形是几家电信公司的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图

14、形的有( )个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解:左起第一个图形不是轴对称图形,也不是中心对称图形; 第二个图形不是轴对称图形,是中心对称图形; 第三个图形既是轴对称图形,又是中心对称图形; 第四个图形不是轴对称图形,是中心对称图形; 所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有 1 个 故选:A 6化简(1a)(1) a 的结果是( ) Aa2 B1 Ca2 D1 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解:原式(1a) a a2, 故选:A 7下列运算正确的是( ) Aa3+a3a6 B (a+b)2a2+b2 C (a5)2a7 D (

15、a+2) (a2)a24 【分析】各式计算得到结果,即可做出判断 【解答】解:A、原式2a3,不符合题意; B、原式a2+2ab+b2,不符合题意; C、原式a10,不符合题意; D、原式a24,符合题意 故选:D 8某班班长统计去年 18 月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位:本) ,绘制了如图所示 的折线统计图,下列说法错误的是( ) A阅读课外书本数的众数是 58 B阅读课外书本数的平均数是 56.25 C阅读课外书本数的中位数是 50 D阅读课外书本数的极差是 55 【分析】根据极差的定义,众数的定义,中位数的定义以及平均数的计算方法分别进行计算即可得解 【解答】解:A、5

16、8 出现的次数最多,是 2 次,所以,众数是 58,故本选项不符合题意; B、平均数(36+70+58+42+58+28+78+83)45356.625,故本选项不符合题意; C、按照阅读本数从小到大的顺序排列为:28、36、42、58、58、70、78、83, 中间两个数都是 58,所以,中位数是 58,故本选项符合题意; D、极差832855,故本选项不符合题意 故选:C 9若实数 k、b 满足 k+b0,且 kb,则一次函数 ykx+b 的图象可能是( ) A B C D 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定 k,b 的取值范围,从而求解 【解答】解:因为实数 k、b 满足 k+b

17、0,且 kb, 所以 k0,b0, 所以它的图象经过一、三、四象限, 故选:A 10如图已知AOB,按照以下步骤作图: 以点 O 为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交AOB 的两边于 C,D 两点,连接 CD 分别以点 C, D 为圆心, 以大于线段CD 的长为半径作弧, 两弧在AOB 内交于点 E, 连接 CE, DE 连接 OE 交 CD 于点 M 不列结论中错误的是( ) ACMMD BCEODEO COCDECD DS四边形OCEDCDOE 【分析】根据线段的垂直平分线的判定,全等三角形的性质一一判断即可 【解答】解:由作图可知,OCOC,ECED, OE 垂直平分线段 CD, CMM

18、D, S四边形OCEDCDOE, 在COE 和DOE 中, , COEDOE(SSS) , CEODEO, 故 A,B,D 正确, 故选:C 11如图,点 A(5a1,2) 、B(8,a)都在反比例函数 y(k0)的图象上,点 P 是直线 yx 上的 一个动点,当 PA+PB 最小时,点 P 坐标是( ) A (,) B (,) C (3,3) D (4,4) 【分析】先根据 A,B 都在反比例函数图象上,求出 A,B 坐标,再求出 A 的对称点,利用两点之间,线 段最短来解答即可 【解答】解:A(5a1,2) 、B(8,a)都在反比例函数 y(k0)的图象上, (5a1)28a, a1, A

19、(4,2) ,B(8,1) , A 关于直线 yx 的对称点 A(2,4) , 设直线 AB 的函数关系式为:ykx+b, , k,b5, y, P 为 AB 与直线 yx 的交点, , , , 故选:B 12如图,抛物线 y2x28x+6 与 x 轴交于点 A、B,把抛物线在 x 轴及其下方的部分记作 C1,将 C1向右 平移得 C2,C2与 x 轴交于点 B,D若直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点,则 m 的取值范围 是( ) A1m Bm3 C1m3 Dm1 【分析】 根据图象可以判断当直线yx+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点, 求出两个临界值即

20、可 【解答】解:y2x28x+6, 令 y0, 即 2x28x+60, 解得 x1 或 3, 则 A(1,0) , (3,0) , 由于将 C1向右平移两个单位得到 C2, 则 C2的解析式为 y2(x2)28(x2)+6(3x5) , 由图象知当直线 yx+m 在过 B 和与 C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点, 当 yx+m 与 C2相切时, 令 yx+m2x28x+6, 即 2x215x+30m0, 8m150, 解得 m, 当 yx+m过点 B 时, 即 03+m, 解得 m3, 综上,当m3 时,直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点, 故选:B 二填空题二填空

21、题 13分解因式:2a32a 2a(a+1) (a1) 【分析】先提取公因式 2a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解:2a32a 2a(a21) 2a(a+1) (a1) 故答案为:2a(a+1) (a1) 14从 3、4、5 三个数中任取两个不同的数,作为点的坐标,则该点在第二象限的概率是 【分析】画树状图列出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解可得 【解答】解:画树状图如下: 共有 6 种等可能的情况数,其中在第二象限的情况数有 2 种, 所以该点在第二象限的概率为 故答案为: 15当 x 时,代数式比代数式的值小 3 【分析】根据题意列出方程,求

22、出方程的解即可得到 x 的值 【解答】解:根据题意得:3, 去分母得:x3x(x1)3(x21) , 去括号得:x3x23x3x2+3, 解得:x, 经检验 x是分式方程的解 故答案为: 16 如图所示, 两个半圆中, 长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切, 则图中阴影部分的面积是 2 【分析】阴影部分的面积大半圆的面积小半圆的面积过 O 向 AB 作垂线 OE,连接 OB;再根据垂 径定理和勾股定理求解 【解答】解:过 O 向 AB 作垂线,则小圆的半径为 OEr,BEAEAB42 连接 OB,则 OB 为大圆的半径 R, 在 RtOEB 中: 由勾股定理得: R2r2BE2, 图中阴

23、影部分的面积是 (R2r2)BE22 故答案为:2 17近期随着国家抑制房价新政策的出台,某楼盘房价连续两次下跌,由原来的每平方米 10000 元降至每 平方米 8100 元,设每次降价的百分率相同,则降价百分率为 10% 【分析】设每次降价的百分率为 x,则第一次降价后的单价是原价的 1x,第二次降价后的单价是原价 的(1x)2,根据题意列方程解答即可 【解答】解:设每次降价的百分率为 x,根据题意列方程得 10000(1x)28100, 解得 x10.1,x21.9(不符合题意,舍去) , 则降价百分率为 10% 故答案为:10% 18如图,对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合

24、,得到折痕 EF,把纸片展平后再次折叠,使点 A 落在 EF 上的点 A处,得到折痕 BM,BM 与 EF 相交于点 N若直线 BA交直线 CD 于点 O,BC9,AM4, 则 OD 的长为 【分析】连接 AA,先证明ABA为等边三角形,得ABM30,从而求出 AB、CD,再在 RtBOC 中求出 OC,即可得到答案 【解答】解:AA连接 AA,如图: 对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF, AAAB, 把纸片展平后再次折叠,使点 A 落在 EF 上的点 A处,得到折痕 BM, ABAB,ABMABM, ABA为等边三角形, ABABAAAAB60, 又ABCBAM

25、90, ABMABMABC30, AM4, BM2AM8,ABAM4CD, 在直角OBC 中,C90,OBC30, OCBCtanOBC93, ODCDOC43, 故答案为: 三解答题(共三解答题(共 7 小题)小题) 19 (1)计算:(4)0+(cos60) 2| 3|; (2)解不等式组:,并写出它的所有整数解 【分析】 (1)先去掉绝对值,零指数幂,负整数指数幂,三角函数化简,最后用实数的运算即可; (2)分别解出不等式,的解集确定出公共部分即可写出它的所有整数解 【解答】解: (1)(4)0+(cos60) 2| 3| 21+4+3 3; (2), 解不等式得 x1, 解不等式得 x

26、3, 故原不等式组的解集为1x3, 故它的所有整数解为1,0,1,2 20学校开通了空中课堂在线学习平台,为了解学生使用情况,该校学生会成员在校园内随机抽取了部分 学生进行问卷调查,将他们的平台使用情况按 A 级:优秀(每天都用) ,B 级:良好(周末使用) ,C 级: 合格(假期使用) ,D 级:不合格(基本不用)四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的统计表和条形 统计图 等级 频数 频率 A 6 0.15 B 12 b C c 0.35 D 8 0.2 请根据以上信息完成下列问题: (1)本次调查随机抽取了 40 名学生;表中 b 0.3 ,c 14 ; (2)请补全条形统计图; (3)若

27、绘制扇形统计图,则“不合格”等级所对应的圆心角的度数是 72 ; (4)若全校有 1800 名学生,请你估计该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少 人 【分析】 (1)根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数,用良好的人数除以总人数求出 b,用总人数 乘以合格的人数所占的百分比求出 c; (2)根据(1)求出合格的人数,再补全统计图即可; (3)用 360乘以“不合格”的人数所占的百分比即可; (4)用总人数乘以“优秀”和“良好”等级的学生所占的百分比即可 【解答】解: (1)本次调查随机抽取的学生数是:60.1540(名) , b0.3,c0.354014; 故答案为:40,

28、0.3,14; (2)C 级的人数有 14 人,补全统计图如下: (3) “不合格”等级所对应的圆心角的度数是:3600.272 故答案为:72; (4)1800(0.15+0.3)810(人) , 答:该校学习平台使用达到“优秀”和“良好”等级的学生共有 810 人 21如图,PA 与O 相切于点 A,过点 A 作 ADOP 于点 C,交O 于点 D,连接 PD 交直径 AB 的延长线 于点 E (1)求证:PD 是O 的切线; (2)若O 的半径为 6,DC4,求 PD 的长 【分析】 (1)由切线的性质得OAP90,再证OPDOPA(SSS) ,得ODPOAP90, 即可得出结论; (2

29、)先由勾股定理得 OC2,再证OCDDCP,得,即可求解 【解答】 (1)证明:PA 与O 相切于点 A, PAOA, OAP90, ADOP, ACDC, PDPA, 在OPD 和OPA 中, , OPDOPA(SSS) , ODPOAP90, 又OD 是O 的半径, PD 是O 的切线; (2)解:O 的半径为 6, OD6, ADOP, DCPOCD90, OC2,ODC+DOC90, 由(1)得:ODP90, ODC+PDC90, DOCPDC, OCDDCP, , 即, 解得:PD 22某校为检测师生体温,在校门安装了某型号的测温门,如图为该“测温门”截面示意图身高 1.6 米的 小

30、聪做了如下实验:当他在地面 M 处时“测温门”开始显示额头温度,此时在额头 B 处测得 A 的仰角为 30;当他在地面 N 处时, “测温门”停止显示额头温度,此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 58如果 测温门顶部 A 处距地面的高度 AD 为 2.8 米,求小聪在有效测温区间 MN 的长度约为多少米?(保留两 位小数,注:额头到地面的距离以身高计,sin580.85,cos580.53,tan581.60,1.73 ) 【分析】延长 BC 交 AD 于点 E,则 AEADDE1.2(米) ,再求出 BE、CE 的长,进而可得结果 【解答】解:如图,延长 BC 交 AD 于点 E, 则 A

31、EADDE2.81.61.2(米) , 在 RtABE 中,ABE30, BEAE(米) , 在 RtACE 中,ACE58,tanACEtan581.60, CE0.75(米) , MNBCBECE0.751.33(米) , 答:小聪在有效测温区间 MN 的长度约为 1.33 米 23为了加强疫情防控,某学校购进了部分 N95 口罩和一次性医用口罩,已知购买 N95 口罩共花费 2000 元,购买一次性医用口罩共花费 1000 元,购买一次性医用口罩数量是购买 N95 口罩数量的 2.5 倍,且购 买一个 N95 口罩比购买一个一次性医用口罩多花 4 元 (1)求购买一个 N95 口罩、一个

32、一次性医用口罩各需多少元? (2)该单位决定再次购买 N95 口罩和一次性医用口罩共 3000 个,恰逢该商场对两种口罩的售价进行调 整,N95 口罩售价比第一次购买时降低了 20%,一次性医用口罩售价比第一次购买时降低了 50%,如果 此次购买 N95 口罩和一次性医用口罩的总费用不超过 3250 元,那么该单位至少可购买多少个一次性医 所口罩? 【分析】 (1)设购买一个一次性医用口罩需 x 元,则购买一个 N95 口罩需(x+4)元,根据题意列出分 式方程进行解答即可; (2)设设购买 N95 口罩 y 个根据题意列出不等式进行解答即可 【解答】解: (1)设购买一个一次性医用口罩需 x

33、 元,则购买一个 N95 口罩需(x+4)元 列方程:2.5, 解得:x1 经检验 x1 是原方程的解, x+45 答:购买一个普通口罩需 1 元,购买一个 N95 口罩需 5 元 (2)设购买一次性医用口罩 y 个则购买 N95 口罩(3000y)个, 依题意得:1(150%)y+5(120%) (3000y)3250 解得:y2500 该单位至少可购买 2500 个一次性医所口罩 24如图 1,ABC 和AMN 都是等腰直角三角形,ABC 固定不动,AMN 可以绕着点 A 旋转,旋转角 为 (0360) (1)观察验证:当AMN 绕点 A 旋转到如图 2 的位置时,求证:AMCANB; (

34、2)问题探究:如图 3,连接 BM,分别取 MN、BM、BC 的中点 O、P、Q,连接 OP、PQ、OQ,猜想 OPQ 的形状,并说明理由; (3)问题拓展:若 AC5,AN3,在(2)的条件下,AMN 绕着点 A 在自由旋转过程中,旋转角为 (0360) ,求出OPQ 面积的最大值 【分析】 (1)根据 SAS 证明三角形全等即可 (2)结论:OPQ 是等腰直角三角形,利用三角形的中位线定理,解决问题即可 (3)求出 CM 的最大值,可得结论 【解答】 (1)证明: CABMAN90, CAMBAN, ACAB,AMAN, CAMBAN(SAS) (2)解:结论:OPQ 是等腰直角三角形 理

35、由:延长 CM 交 BN 于 H,交 AB 于 J CAMBAN, CMBN,ACMABN, AJCBJH, CAJBHJ90, CQQB,MPPB, PQCM,PQCM, MOOM,MPPB, OPBN,OPBN, PQPO, CHBN,OPCH,OPBN, QPPO, QPO90, OPQ 是等腰直角三角形 (3)解:OPQ 是等腰直角三角形,PQCM, CM 的值最大时,OPQ 的面积最大, CMAC+AN, CM8, CM 的最大值为 8, PQ 的最大值为 4, OPQ 的面积的最大值为448 25如图 1,抛物线 yax2+bx+c 的顶点坐标为 A(1,2) ,与 x 轴交于点

36、B(1,0) ,C 两点,与 y 轴交 于点 D,点 P 是抛物线上的动点 (1)求这条抛物线的函数表达式; (2)如图 2,连接 CD,点 E 在 CD 上,若点 P 在第一象限,且PEC90,求线段 PE 长度的最大 值; (3)如图 3,连接 AB、AC,已知ACB+PCB,是否存在点 P,使得 tan2?若存在,求出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)利用抛物线顶点坐标已知,将抛物线设为顶点式,代入 B 点,求得抛物线解析式; (2)先由抛物线的解析式,求出抛物线与坐标轴的三个交点 D、B、C,则直角DOC 的各个内角三角 函数值和边长均可求,且直线 CD 的解析式

37、可求,因为 PECD,可以过 P 作 PFx 轴与 F,交 CD 于 H, 则可以证得PEHCOD, 利用相等的角的三角函数值相等这个结论, 得到 PE 与 PH 的数量关系, 设出 P 点坐标,可以得到 H 点坐标,表示出 PH 的长度,继而求得 PE 的长度,得到一个二次函数,根 据 P 的横坐标范围,讨论这个二次函数最值问题,在顶点处取得最值,即可解决 (3)根据题意,可以画图,得到 PC 可以在 x 轴上方和 x 轴下方两种情况,先看 PC 在 x 轴下方,利用 A、B、C 三点坐标,可以证得BAC90,延长 AB 交 CP 于 K 点,则AKC 是一个直角三角形,构 造一线三直角模型

38、,可以求得 CK 的解析式,从而联立 CK 与抛物线解析式,求出交点 P 的横坐标,当 P 在 x 轴上方时, 可以先求出 K 关于 x 轴对称点 K的坐标, 先求出直线 CK的解析式, 再联立直线 CK 与抛物线解析式,求出交点 P 的横坐标 【解答】解: (1)由题可设抛物线解析式为 ya(x1)2+2, 代入点 B,得 4a+20, a, 抛物线解析式为:; (2)如图 1,过 P 作 PFx 轴于 F,交 CD 于 H, PECD, PEHPFC90, PHE+EPHCHF+DCB90, PHECHF, EPHDCB, 令 x0,则 y, D(0,) , 令 y0,则, 解得 x1 或

39、 3, C(3,0) , DO,CO3, , cosEPHcosDCB, 设直线 CD 为 ykx+, 代入点 C,得 k, 直线 CD 为, 设 P() ,则 H() , , cosEPH, PE, P 在第一象限, 0m3, 时,PE 最大值为; (3)如图 2,当 P 在 x 轴下方时,tanACPtan2, 延长 AB 交 CP 延长线于 K,过 A 作 x 轴平行线,过 K 作 y 轴平行线,两线交于点 Q, 过 C 作 CRAQ 于 R, A(1,2) ,B(1,0) ,C(3,0) , AB, 同理,AC,BC4, AB2+AC2BC2,ABAC, BAC90, AKQ+QAKQAK+RAC90, AKQRAC, 又AQKCRA90, AQKCRA, , 又 tanACK, , 又 ARCR2, QKAQ4, K(3,2) , 设直线 CK 为 yk1(x3) ,代入点 K, 解得, 直线 CK 为, 联立, 3x24x150, 解得 x或 3, P 的横坐标为, 如图 3,当 P 在 x 轴上方时,K 关于 x 轴的对称点为 K,则 K(3,2) , 连接 CK交抛物线于点 P, 可设直线 CK为 yk2(x3) ,代入点 K, 解得, 直线 CK为 y 联立, 3x2+4x30, x或 3, P 的横坐标为, 综上,P 的横坐标为或