1、 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数数 学学 注意事项：注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓 名、考生号填写在答题卡上。 2回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第第卷卷（选择题）（选择题） 一、一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题，每小题 5 5 分，分，共共 4040 分在分在每小题给出每小题给出的的四个选项中
2、四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1已知复数 2i 1 i z （i为虚数单位） ，其共轭复数为z，则z的虚部为（ ） A1 B 3 2 Ci D 3 i 2 2集合 1,22,3 ,MmmR ， 2,31, 1 ,Nnn R ，则MN等于 （ ） A(1,2) B(3,5) C( 1,2) D(3, 5) 3已知一元二次方程 2 0axbxc有两个不同的实数根 12 ,x x，则“ 12 4xx且 12 4xx”的 _是“ 1 2x 且 2 2x ” A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4若 0.7 0.3a ， 0.3
3、0.7b ， 0.3 1.2c ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bcba Cbca Dacb 5把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的纸盒中，则四 个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为（ ） A16 81 B 81 256 C 3 4 D 2 3 6已知 3 2 sin() 4 10 (0)，则 sinc s 2 o sin （ ） A 2 7 21 B 5 16 41 20 C16 41 205 D 2 7 21 7 已知椭圆的方程为 22 22 10 xy ab ab ， 1 F、 2 F为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一
4、点， I为 12 PFF的内心，直线PI与x轴交于点Q，若3PQIQ，则该椭圆的离心率为（ ） A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 2 3 8在三棱锥PABC中，已知4PA，90BAC，1AB ，3AC ，若三棱锥PABC的外接 球的体积为 32 3 ，则三棱锥PABC的体积为（ ） A1 B 2 3 3 C 3 3 D2 二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分在每小题每小题给出给出的选项中，的选项中，有有多项符合题多项符合题 目要求目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2
5、分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9下列说法正确的是（ ） A线性回归方程ybxa $ 对应的直线一定经过点 , x y B5 件产品中有 3 件正品，2 件次品，从中任取 2 件，恰好取到 1 件次品的概率为 3 5 C某中学为了解学生课外体育锻炼时间，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为 100 的样本，已知该校高一高二高三年级学生之比为4:3:3，则应从高二年级中抽取 30 名学生 D “两个事件是对立事件”的充分不必要条件是“两个事件是互斥事件” 10已知函数 2 3 sin cos3sin 2 f xxxx，则下列结论中错误的是（ ） A点 2 ,0 3
6、是 f x的一个对称中心点 B f x的图象是由sin2yx的图象向右平移 3 个单位长度得到 C f x在 2 , 23 上单调递增 D 12 ,x x是方程 3 0 2 f x 的两个解，则 12min 3 xx 11在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，则能确定B为钝角的是（ ） A0AB BC B,A C均为锐角，且sincosAC C,A C均为锐角，且tantantan0ABC D 222 acb 12 已知函数 11 2 l 2 n 2,0 ,0 xx x f x xx ， 若 1234 f xf xf xf x， 且 1234 xxxx， 则（ ） A
7、34 2xx B 12 1x x C 1 11 22 2 1exxe D 11 22 1234 20eexxxx 第第卷卷（非选择题非选择题） 三三、填空题：本大题共、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 20 分分 13已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2468 20aaaa，则 9 S _ 14 54 1 212xx的展开式中含 3 x的项的系数为_ 15已知函数 2 lnf xxx，点P为函数 f x图象上一动点，则P到直线34yx距离的最小值为 _ （注ln20.69） 16 已知正四面体ABCD内接于半径为 3 6 2 的球O中， 在平面BCD
8、内有一动点P， 且满足4 2AP ， 则|BP的最小值是_；直线AP与直线BC所成角的取值范围为_ 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 11 22 nnnn SSSS 2n， 1 2a ， 2 4a ， （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列(21) n na的前n项和 n T 18 （12 分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 3sin3coscbAA （1）求B； （2）若3b，求ABC周长
9、最大时，ABC的面积 19 （12 分）如图，在多面体 111 ABCABC中， 1 A A， 1 B B， 1 C C垂直于底面ABC，且满足 111 :4:2:1A A B B CC ， 1 4ABB BBC，4 3AC （1）求证： 111 ABAC； （2）求二面角 11 BABC的余弦值 20 （12 分）2021 年 4 月 15 日是第 6 个全民国家安全教育日，某社区为增强居民的国家安全意识，举行了 国家安全知识竞赛第一轮比赛共设有四道题，规定，答对第一道题得 1 分，答对第二道题得 2 分，答对 第三道题得 3 分，答对第四道题得 6 分，这 4 道题，任意一道答错扣 2 分
10、每答完一题，分数进行累加， 当答题者累计得分低于2分时，停止答题，淘汰；当答题者累计得分大于等于 4 分时，答题结束进入下一 轮；当四题答完，累计得分低于四分，则答题结束，淘汰出局；当答完四题，累计得分不低于 4 分时，答 题结束，进入下一轮每位答题者都按题号顺序进行答题，直至答题结束假设参赛者甲对第一、二、三、 四题回答正确的概率依次为 3 5 ， 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响 （1）求甲同学能进入下一轮的概率； （2）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望 E 21 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0): xy ab a C
11、 b ，过椭圆右焦点 2 F且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限 交于点P，已知椭圆左焦点为 1 3,0F ，三角形 1 PFO的面积为 3 4 ，不垂直于x轴的直线与椭圆相交 于,A B两点，点M为线段AB的中点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）点 4 3 (,0) 3 Q 总满足AQOBQO ，证明：直线AB过定点 22 （12 分）已知函数 ln ( ) x f xa x （1）若( )f x有两个零点，求a的取值范围； （2）设 1 ( )g xf x x ，若对任意的 0,x，都有 x g xe恒成立，求a的取值范围 答案解析 1. 【答案】B 【解析】因为 2i (1 i)1 3i
12、13 i (1 i) 2i (1 i22i)21 ， 所以它的共轭复数 13 i 22 z ，其虚部为 3 2 ，故选 B 2. 【答案】B 【解析】根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集， 在集合M中，(12 ,23 )mm ； 在集合N中，(21,31)nn ， 要求两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素， 元素是向量，要使的向量相等，只有横标和纵标分别相等， 1 221 2331 mn mn ，解得 1 2 m n ， 此时(3,5)，故选 B 3. 【答案】A 【解析】已知 12 ,x x是一元二次方程 2 0axbxc的两个不同的实数根， 当 1 2x 且 2 2x
13、时，可得 12 4xx， 12 4xx； 当 12 4xx且 12 4xx时，可取 1 10 x ， 2 0.5x ，此时不满足 1 2x 且 2 2x ， 所以“ 1 2x 且 2 2x ”是“ 12 4xx且 12 4xx”的充分不必要条件， 即“ 12 4xx且 12 4xx”的充分不必要条件为“ 1 2x 且 2 2x ” ，故选 A 4. 【答案】B 【解析】函数0.3xy 在 R 上是减函数， 0.70.30 00.30.30.31 ， 又幂函数 0.3 yx在0,上单调递增，0.30.7， 0.30.3 00.30.7 ，所以01ab， 而函数1.2xy 是 R 上增函数， 0.
14、30 1.21.21c ，cba ，故选 B 5 【答案】B 【解析】将四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数为 4 4256n ， 四个球都没有放入相同颜色的纸盒中的基本事件的总数为 4 381m ， 所以四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为 81 256 P ，故选 B 6. 【答案】C 【解析】 3 2 sin() 4 10 ， 3 sincos 5 ， 将两边同时平方得 22 9 sincos2sincos 25 ，则 8 sincos0 25 ， 0，sin0，cos0， 2 41 sincos(sincos)12sincos 5 ， 16 sin22sinco
15、s16 41 25 sincossincossincos2054 sin 2 1 5 7. 【答案】A 【解析】如图，连接 1 IF、 2 IF，I是 12 PFF的内心， 可得 1 IF 、 2 IF 分别是 12 PFF 和 21 PF F 的角平分线， 由于经过点P与 12 PFF的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q， 则PQ为 12 FPF的角平分线，则Q到直线 1 PF、 2 PF的距离相等， 所以 1 2 11 22 PFQ PF Q SPFQF SPFQF ，同理可得 1 1 PIPF IQFQ ， 2 2 PIPF IQF Q ， 由比例关系性质可知 1212 1212 2 2 P
16、IPFPFPFPFaa IQFQF QFFcc 又因为2PIIQ，所以椭圆的离心率 1 2 IQc e aPI ，故选 A 8. 【答案】A 【解析】设球半径为R，则 3 432 33 R ，2R ， 而4PA，所以PA是球的直径，球心O是PA中点， ABAC，所以BC中点E是直角ABC的外心，所以OE 平面ABC， 又AE 平面ABC，所以OEAE， 22 2BCABAC， 1 1 2 AEBC， 2222 213OEOAAE， O是AP中点，所以 111 2221331 332 P ABCO ABCABC VVSOE ， 故选 A 9. 【答案】ABC 【解析】对 A，线性回归方程ybxa
17、 $ 对应的直线一定经过样本中心点 , x y，故 A 正确； 对 B，恰好取到 1 件次品的概率为 11 32 2 5 C C3 C5 ，故 B 正确； 对 C，应从高二年级中抽取 3 10030 433 名学生，故 C 正确； 对 D，若两个事件是互斥事件，则两个事件不一定是对立事件； 若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件， 所以“两个事件是对立事件”的必要不充分条件是“两个事件是互斥事件” ， 故 D 错误， 故选 ABC 10. 【答案】BCD 【解析】 2 311 cos23 sin cos3sinsin23 2222 x f xxxxx ， 所以 13 sin2cos2
18、sin 2 223 f xxxx ， 对于 A：令 2 3 xkkZ，解得 26 k xkZ， 当1k 时， 2 3 x ，所以点 2 ,0 3 是 f x的一个对称中心点，故 A 正确； 对于 B：sin2yx的图象向右平移 3 个单位长度得到的图象的函数解析式为 2 sin 2sin 2 33 yxx ，所以平移得到的图象不是 f x的图象，故 B 错误； 对于 C：当 2 , 23 x 时， 2 2, 33 x ，而函数sinyx在 2 , 3 上单调递减， 故 C 错误； 对于 D：令 3 sin 2 32 x ，解得 22 33 xk或 2 22 33 xkkZ， 即 3 xk或 2
19、 xkkZ，所以 12min 6 xx，故 D 错误， 综上，故选 BCD 11. 【答案】AC 【解析】对于 A：0AB BC，即cos0BA BCBA BCB ，可得cos0B， 又B为三角形的内角，所以B为钝角； 对于 B：,A C均为锐角，sincosAC等价于 sinsin 2 AC ， 又因为sinyx在 0, 2 上单调递增，所以 2 AC， 即 2 AC ， 2 BAC ，故 B 错误； 对于 C：,A C均为锐角，可得tan0A，tan0C ， 又tantantan0ABC，所以tan0B，故 B 为钝角； 对于 D： 222 acb，所以 222 cos0 2 acb B
20、ac ，所以B为锐角，故 D 错误， 综上选 AC 12. 【答案】ABC 【解析】当0 x时， 11 222 xx f x 设函数 222 xx g x ，则有 gxg x， 00g， 2222 2220 xxxx g x ，故 g x是偶函数，且最小值为 0 当0 x时， 2 ln22ln222ln20 xxxx gx ， 所以 g x在0,上单调递增， 又 g x是偶函数，所以 g x在,0上单调递减 把 222 xx g x 的图象向右平移一个单位长度， 得到函数 11 222 xx y 的图象， 故函数 11 222 xx y 的图象关于直线1x 对称， 故可得到函数 f x在0,上
21、的图象 又 1 0 2 f，故函数 f x的图象与y轴的交点为 1 0, 2 作平行于x轴的直线ya， 当 1 0 2 a时，直线ya与函数 f x的图象有四个交点 数形结合可知 34 2xx，故 A 正确； 由 12 f xf x，得 12 lnlnxx， 又根据题意知 12 1xx ，所以 12 lnlnxx， 即 12 lnln0 xx，即 12 ln0 x x ，所以 12 1x x ，故 B 正确； 令 21 1 lnln 2 xx，则 1 1 ln 2 x， 2 1 ln 2 x ， 得 2 1 1 xe ， 1 2 2 xe ， 因此 1 11 22 2 1exxe ，故 C 正
22、确； 又 1 2 1 1ex 时， 12341 1 1 2xxxxx x ， 且函数 1 2yx x 在 1 2, 1 e 上单调递增， 所以 11 22 1234 20eexxxx ，故 D 错误， 故选 ABC 13. 【答案】45 【解析】因为 24685 420aaaaa，所以 5 5a ， 因此 19 95 9 945 2 aa Sa ，故答案为 45 14. 【答案】32 【解析】由题意知：含 3 x项为按x的升幂排列的第 4 项， 3322112233 4554544 C( 2 )C( 2 )C(2 )C( 2 ) C(2 )C(2 )Txxxxxx ， 33333 4 8032
23、02403232Txxxxx ， 该项的系数为32，故答案为32 15. 【答案】 10 5 【解析】 1 2fxx x ，0 x ， 与直线34yx平行的切线斜率 1 32kx x ，解得1x 或 1 2 x ， 当1x 时， 11f，即切点为1,1， 此时点P到直线34yx的距离为 3 1 410 510 d ； 当 1 2 x 时， 11 ln2 24 f ，即切点为 1 1 ,ln2 2 4 ， 此时点P到直线34yx的距离为： 31 11 ln24 ln2 11 4ln21010 24 4 4051010 d ， 故答案为 10 5 16. 【答案】2 32 2， , 3 2 【解析
24、】设 A 在面BCD内的投影为 E，故 E 为三角形 BCD 的中心， 设正四面体ABCD的棱长为x，球O的半径为R 则 233 323 x BEx ， 22 6 3 x AEABBE， 依题可得，球心O在AE上， 2 22 RBEAER，代入数据可得6x ， 则2 3BE ，2 6AE ， 又4 2AP ， 22 2 2PEAPAE， 故P的轨迹为平面 BCD 内以 E 为圆心，2 2为半径的圆， 2 3BE ， , ,B P E三点共线时，且 P 在 BE 之间时，|BP的最小值是2 32 2 以 E 为圆心，BE 所在直线为 x 轴建立如图所示直角坐标系， 0,0,2 6A， 2 3,0
25、,0B， 3,3,0C ， 3, 3,0D ， 设 2 2cos ,2 2sin ,0P，0,2， 故 2 2cos ,2 2sin , 2 6AP， 3 3,3,0BC ， 设直线AP与直线BC所成角为， 6 6cos6 2sin11 1 cossin, 232 24 26 AP BC BC AP ， 1 1 cos, 2 2 ， 又 0, 2 ，故 , 3 2 ， 故答案为2 32 2， , 3 2 17. 【答案】 （1）2n n a ； （2） 1 623 2n n Tn 【解析】 11 222 nnnn SSSSn ， 111 222 nnnnnn SSSSSS 2n， 1 22 n
26、n aan ， 又 21 42aa， 所以数列 n a是以2为首项，2为公比的等比数列， 故数列 n a的通项公式为2n n a （2）据（1）可得(21)(21) 2n n nan， 所以 123 1 23 25 2(21) 2n n Tn ， 231 21 23 2(23) 2(21) 2 nn n Tnn ， 两式相减得 231 2222(21) 22 nn n Tn 21 1 1 2 22(21) 2 1 2 2 n n n ， 化简得 1 623 2n n Tn 18. 【答案】 （1） 3 ； （2） 9 3 4 【解析】 （1） 3sin3coscbAA， 3sinsinsin3
27、cosCBAA， 3sinsinsin3sincosABBABA， 3sincos3sincossinsin3sincosABBABABA， 3cossinBB，tan3B ， 0B， 3 B （2） 222 cos 2 acb B ac ， 据（1）可得 3 B ， 222 1 22 acb ac ， 222 bacac， 2 93acac， 2 2 2 93 24 acac ac ， 当且仅当3ac时等号成立， 即当3ac时，ac取得最大值，即周长取得最大值， 此时 19 3 3 3 sin 234 ABC S 19. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 10 5 【解析】 （1）证明：
28、由题意得 1 4ABBCBB， 1 8A A， 1 2CC ， 1 A A， 1 B B， 1 C C垂直于底面ABC， 1 A AAB， 1 BBAB， 1 BBBC， 1 CCAC， 可得 111 4 2ABAB，所以 222 1111 ABABAA，故 111 ABAB 由4BC ， 1 4BB ， 1 2CC ， 1 BBBC， 1 CCBC，得 11 2 5BC 又4 3AC ，由 1 CCAC，得 1 2 13AC ，所以 222 1111 ABBCAC， 故 111 ABBC 又 11111 ABBCB，因此 1 AB 平面 111 ABC， 因为 11 AC 平面 111 AB
29、C，故 111 ABAC （2） 如图， 以AC的中点O为坐标原点， 分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴， 过点O作平行于 1 BB 且向上的射线为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz 由题意知各点坐标如下： 0, 2 3,0A，2,0,0B， 1 0, 2 3,8A， 1 2,0,4B， 1 0,2 3,2C， 因此 2,2 3,0AB ， 1 0,0,4BB uuu r ， 1 2,2 3,4AB ， 1 0,4 3,2AC 设平面 1 ABB的法向量, ,x y zn， 所以 1 0 0 AB BB n n ，即 30 40 xy z ，则 3,1,0 n； 同理可得，平面 11
30、 ABC的一个法向量 3 3,1, 2 3m， 9 110 cos, 5404 m n m n mn ， 故二面角 11 BABC的余弦值为 10 5 20. 【答案】 （1） 9 40 ； （2）分布列见解析， 3.3E 【解析】用=1,2,3,4 i M i表示甲第 i 个问题回答正确， =1,2,3,4 i N i表示甲第 i 个问题回答错误， 则 1 3 5 P M， 2 1 2 P M， 3 1 3 P M， 4 1 4 P M； 1 2 5 P N， 2 1 2 P N， 3 2 3 P N， 4 3 4 P N （1）记事件 Q：甲同学能进入下一轮的概率，则： 123123412
31、3412341234 P QP M M MP N M M MP M N M MP M M N MP N M N M 3112111311131212121 523523452345 9 402345234 ， 即甲同学能进入下一轮的概率为 9 40 （2）由题意知的可能取值：2，3，4， 12 211 2 525 PP N N； 123123 3113123 3 52352310 PP M M MP M N N； 131 41 5102 P 分布列为 2 3 4 P 0.2 0.3 0.5 2 0.23 0.34 0.53.3E 21. 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2）证明见
32、解析 【解析】 （1）依题可得P的坐标为 2 3, b a ， 1 2 13 3 24 PFO b S a ，可得 2 1 2 b a ， 又 222 abc ， 3c ，解得 2a ， 1b， 故椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （2）证明：依题可得直线AB的斜率存在，设直线AB的直线方程为ykxm， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 00 ,M x y， 由 2 2 1 4 x y ykxm ，可得 222 418440kxkmxm， 22 16(41)0km，即 22 41mk， 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 44 1 4 m x x k ， 因
33、为AQOBQO ，所以 0 AQBQ kk ， 1212 1212 0 4 34 34 34 3 3333 AQBQ yykxmkxm kk xxxx ， 即 1221 4 34 3 ()()()() 33 kxm xkxm x 1212 4 38 3 2()()0 33 kx xmkxxm ， 得 22 4 38 3 2 (44)8()(14)0 33 kmkm mkmk ，化简得3mk ， 直线AB的方程为(3)yk x， 所以，直线AB恒过定点( 3,0) 22. 【答案】 （1）( 1 ,0)； （2）1a 【解析】令 ln ( ) x g x x ，则 2 1 ln ( ) x g
34、x x ， 当0 xe时，( )0g x；当xe时，( )0g x， 所以 g x在0,e上单调递增，在, e 上单调递减， 当0 x时， g x ； 当xe时， 1 g x e ； 当x 时， 0g x ， 所以当 1 0a e ，即 1 0a e ，( )f x有两个零点， ( )f x有两个零点时，a的范围是( 1 ,0) （2）对任意的0 x，不等式( ) x g xe恒成立， ln1 x xex a x 在( ) 0,+?上恒成立， 令 ln1 ( )(0) x xex F xx x ，则 2 2 ln ( ) x x ex F x x ， 令 2 ( )ln x h xx ex，则
35、 2 1 ( )20 x h xxx e x ， ( )h x在( ) 0,+?上为增函数， 又(1)0he， 1 1 2 2 1 110 e e e he ee ， 0 1 ,1x e ，使得 0 0h x，即 0 2 00 ln0 x x ex， 0 0 xx 时， 0h x ， ( )0F x，( )F x在 0 0,x上单调递减； 0 xx时， 0h x ， ( )0F x，( )F x在 0, x 上单调递增， 0 00 min0 0 ln1 ( ) x x ex F xF x x ， 由 0 2 00 ln0 x x ex，可得 00 1 ln 0 0 0000 ln111 lnln xx x x ee xxxx ， 令( ) x t xxe，则 0 0 1 lnt xt x ， 又( )(1)0 x t xxe，( )t x在( ) 0,+?上单调递增， 0 0 1 lnx x ， 00 lnxx ， 0 0 1 x e x ， 0 0 1 x x e， 0 000 min0 00 ln111 ( )1 x x exx F xF x xx ，1a ， 综上所述，满足条件的a的取值范围是1a
