1、试卷第 1 页，总 26 页 20212021 年年南京市南京市中考数学押题卷中考数学押题卷（0101） 一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共6小题，每小题小题，每小题2分，共分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在相应位置上）目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在相应位置上） 1(本题 2 分)若-6-（ ）=-4，则括号内的数是（ ） A-2 B2 C-10 D10 2(本题 2 分)(3)2的平方根是（ ） A3 B3 C3 D3 3(本题 2 分) 31n y 可 写成（
2、） A 31 ()ny B 3 1 () n y C 3n y y D 1 () nn y 4(本题 2 分)学校抽查了 30 名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了条形统计图， 则 30 名学生参加活动的平均次数是（ ） A2 B2.8 C3 D3.3 5(本题 2 分)如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），顶点坐标为（1，n），与 y 轴的交 点在（0，2）与（0，3）之间（包含端点），下列结论：当 x3 时，y0；1a 2 3 ；3n4； 关于 x 的方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根其中正确的有（ ） 试卷第 2 页，总 2
3、6 页 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6(本题 2 分)如图， ACE 是以ABCD 的对角线 AC 为边的等边三角形，点 C 与点 E 关于 x 轴对称.若 E 点 的坐标是（7，33），则 D 点的坐标是 ( ) A(4,0) B( 9 2 ,0) C(5,0) D(11 2 ,0) 二、二、填空题（本大题共填空题（本大题共10小题，每小题小题，每小题2分，共分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置 上）上） 7(本题 2 分)计算： 2 3 + 1 3 =_ 8(本题 2 分)当x满足条件：_时，分式 2 3 x
4、 x 有意义 9 (本题 2 分)在高端材料和芯片制造的核心技术上， 我国与国外的差距很大 面对国外的技术封锁和壁垒， 我们只能自力更生，自主研究，奋起直追当前国际主流的芯片是 0.000000007m，而我国只能够实现 0.000000014m 的芯片量产用科学记数法表示 0.000000014m 是_m 10(本题 2 分)计算：( 54)( 54) 的结果是_ 11(本题 2 分)方程组 22 24 xy xy 的解是_ 试卷第 3 页，总 26 页 12(本题 2 分)方程 32 1xx 的解是_ 13 (本题 2 分)一次函数2yxm 的图象经过点2,3P ， 且与x轴、y轴分别交于
5、点A、B， 则A O B 的面积等于_ 14(本题 2 分)如图，在ABC中，AF平分,BAC AC的垂直平分线交BC于点 ,72 ,18 ,EBFAE 则 C_ 15(本题 2 分)如图，Rt ABC 中，ACB90，A52，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A处，折痕为 CD，则ADB 为_ 16(本题 2 分)把抛物线 2 2yxbxc平移后经过点（1，1）和（-1，-5），则平移后的抛物线解析式 为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共11小题，共小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
6、程或演算步骤）程或演算步骤） 17(本题 7 分)计算 2 (1) a a 2 1a a 试卷第 4 页，总 26 页 18(本题 7 分)解下列方程 （1）2x21=3x （2）（x4）2=2x8 19(本题 8 分)已知，Rt ABC 中，ACB=90，CAB=30分别以 AB、AC 为边，向三角形外作等边 ABD 和等边 ACE （1）如图 1，连接线段 BE、CD求证：BE=CD； （2）如图 2，连接 DE 交 AB 于点 F求证：F 为 DE 中点 20(本题 8 分)解不等式组 30, , 12 1 3 x x x 并利用数轴确定不等式组的解集 试卷第 5 页，总 26 页 21
7、(本题 8 分)某校随机抽取本校部分同学，调查同学了解母亲生日日期的情况，分“知道、不知道、记不 清”三种.下面图、图是根据采集到的数据，绘制的扇形和条形统计图. 请你要根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求本次被调查学生的人数，并补全条形统计图； （2）在图中，求出“不知道”部分所对应的圆心角的度数； （3）若全校共有 1440 名学生，请你估计这所学校有多少名学生知道母亲的生日？ 22(本题 8 分)甲、乙两人进行射击比赛，两人 4 次射击的成绩（单位：环）如下： 甲：8，6，9，9； 乙：7，8，9，8 （1）请将下表补充完整： 平均数 众数 中位数 方差 试卷第 6 页，总 26
8、 页 甲 8 1.5 乙 8 8 （2）谁的成绩较稳定？为什么？ （3）分别从甲、乙两人的成绩中随机各选取一次，则选取的两个成绩之和为 16 环的概率是多少？ 23 (本题 8 分)如图， 在一次空中表演中， 水平飞行的歼10 飞机在点A发现航展观礼台D在俯角为 21 方向上.飞机继续向前飞行了 800 米到达B点.此时测得点D在点B俯角为 45的方向上.请你计算当飞机飞 到D点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CD约为多少米？（结果保留整数， 参考数值：sin210.36，cos210.93，tan210.38） 24(本题 8 分)已知：如图，点 C、D 在 ABE 的边
9、 BE 上，BC=ED，AB=AE 求证：AC=AD 25(本题 8 分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax22ax3a（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD4AC 试卷第 7 页，总 26 页 （1）求点 A 的坐标及直线 l 的函数表达式（其中 k，b 用含 a 的式子表示）； （2）点 E 为直线 l 下方抛物线上一点，当 ADE 的面积的最大值为 25 4 时，求抛物线的函数表达式 26(本题 9 分)如图 1，直线GH分别交 ,AB CD于点 ,E F(点F在点
10、E的右侧)，若 12180 （1）求证:/ABCD； （2）如图 2 所示，点MN、在 ,AB CD之间，且位于,E F的异侧，连MN， 若23MN ，则 ,AEMNFDN三个角之间存在何种数量关系，并说明理由 （3）如图 3 所示,点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左侧）， 试卷第 8 页，总 26 页 连接,MP PN NF,若2,2MPNMPBNFHHFD ,则请直接写出PMH与N之间的数量 27(本题 9 分)早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位 罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题 将军每天从军
11、营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 B 开会，应该怎样走才能使路程最短？ 这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传 至今大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题 如图 2，作 B 关于直线 l 的对称点 B，连结 AB与直线 l 交于点 C，点 C 就是所求的位置 证明：如图 3，在直线 l 上另取任一点 C，连结 AC，BC，BC， 直线 l 是点 B，B的对称轴，点 C，C在 l 上， CB=CB，CB=CB， AC+CB=AC+ = 试卷第 9 页，总 26 页 在 ACB中， ABAC+CB AC+CBAC+C
12、B即 AC+CB 最小 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把 A，B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两 点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中 C 在 AB与 l 的交点上，即 A、C、 B三点共线）本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型 1.简单应用 （1）如图 4，在等边 ABC 中，AB=6，ADBC，E 是 AC 的中点，M 是 AD 上的一点，求 EM+MC 的最小 值 借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B 与 C 关于直线 AD 对称，连结 BM，EM+MC 的最小值 就是线段 的
13、长度，则 EM+MC 的最小值是 ； （2）如图 5，在四边形 ABCD 中，BAD=130，B=D=90，在 BC，CD 上分别找一点 M、N 当 AMN 周长最小时，AMN+ANM= 2.拓展应用 如图 6，是一个港湾，港湾两岸有 A、B 两个码头，AOB=30，OA=1 千米，OB=2 千米，现有一艘货船从 码头 A 出发，根据计划，货船应先停靠 OB 岸 C 处装货，再停靠 OA 岸 D 处装货，最后到达码头 B怎样 安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程。 试卷第 10 页，总 26 页 参考答案参考答案 1A 【解析】解：括号内的数=-6-（-4）=
14、-2 故选：A. 2C 【解析】根据题意分析可知，(3)2= (3) (3) = 3，故 3 的平方根是3，故选 C 3C 【解析】A 中，(y3)n+1=y3n+3，故 A 错误； B 中，（yn）3+1=（yn）4=y4n，故 B 错误； C 中，y y3n=y3n+1，故 C 正确； D 中，（yn）n+1= 2 nn y ，故 D 错误. 故选 C. 4C 【解析】试题分析：（31+52+113+114）30=（3+10+33+44）30=9030=3故 30 名学生参加活动的 平均次数是 3故选 C 5C 【解析】解：轴交于点 A（1，0），顶点坐标为（1，n）， 与 x 轴另一个交
15、点为（3，0）， 当 x3 时，y0 正确； 与 y 轴交点（0，c），与 y 轴的交点在（0，2）与（0，3）之间， 2c3， 试卷第 11 页，总 26 页 x1 是对称轴， 2 b a 1， b2a， 又 c a 3， c3a， 23a3， 1a 2 3 ， 故正确； 当 x1 时 yn， a+b+cn， a2a3a4an， 1a 2 3 ， 8 3 n4， 故不正确； 由 ax2+bx+cn1，可以看做是 yax2+bx+c 与直线 yn1 的交点个数， 抛物线顶点（1，n），yn1 与抛物线一定有两个不同的交点， 关于 x 的方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根， 故正确
16、； 故选 C 6C 试卷第 12 页，总 26 页 【解析】解：如图， 点 C 与点 E 关于 x 轴对称，E 点的坐标是（7，-3 3）， C 的坐标为（7，3 3）， CH=3 3，CE=63， ACE 是以ABCD 的对角线 AC 为边的等边三角形， AC=6 3， AH=9， OH=7， AO=DH=2， OD=5， D 点的坐标是（5，0）， 故答案为（5，0） 71 【解析】试题分析：解：原式=+=1，解本题时，要去掉绝对值符号后再进行运算 83x 【解析】解：x-30,则有3x . 9 8 1.4 10 试卷第 13 页，总 26 页 【解析】解：0.000000014用科学记数
17、法表示为 8 1.4 10， 故答案为： 8 1.4 10 101 【解析】原式541 故答案为 1 11 2 0 x y 【解析】试题解析： 22 24, xy xy 2 得：30y ，即0,y 把0y 代入得：2.x 原方程组的解为： 2 0. x y 故答案为 2 0. x y 12x=3 【解析】两边都乘以 x(x-1)，得 3(x-1)=2x， 解得 x=3. 检验：当 x=3 时，x(x-1) 0, x=3 是原方程的根. 试卷第 14 页，总 26 页 故答案为：x=3. 13 1 4 【解析】一次函数 y=2x+m 的图象经过点 P(2,3)， 3=4+m， 解得 m=1， y
18、=2x1， 当 x=0 时，y=1， 与 y 轴交点 B(0,1)， 当 y=0 时,x= 1 2 ， 与 x 轴交点 A( 1 2 ,0)， AOB 的面积： 1 2 1 1 2 = 1 4 . 故答案为 1 4 . 1424 【解析】解：设,Cx DE是AC的垂直平分线， ,EAEC ,EACCx AF平分,BAC 18 ,FAE 18 ,BAFDAFx 试卷第 15 页，总 26 页 218 ,BACx 72 ,B 由三角形的内角和定理可得： 72+218180,xx 372,x 24,x 24 .C 故答案为：24. 1514 【解析】解：ACB90，A52， B=90-52=38，
19、由折叠可知D AC=A52， ADB=D AC-B=52-38=14， 故答案为：14 16y=2x+3x-4 【解析】设抛物线 2 2yxbxc平移后经过点（1，1）和（-1，-5）的解析式为 2 2yxmxn 21 25 mn mn ， 3 4 m n ， 试卷第 16 页，总 26 页 平移后的抛物线解析式为 2 234yxx 故答案为： 2 234yxx 17 2 a1 【解析】解：原式 2 21aaa aaa ， 2 22 1 aa aa ， 21 11 aa aaa ， 2 a1 ； 18（1）x1= 317 4 ，x2= 317 4 ;（2）x1=4，x2=6 【解析】解： （1
20、）2x21=3x， 2x23x1=0， a=2，b=3，c=1， b24ac=（3）242（1）=170 x= 317317 2 24 x1= 317 4 ，x2= 317 4 （2）（x4）2=2x8， （x4）22（x4）=0， 试卷第 17 页，总 26 页 （x4）（x42）=0 x4=0 或 x6=0， x1=4，x2=6 19(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1） 由 ABD和 ACE是等边三角形， 根据等边三角形的性质得到AB=AD， AC=AE， DAB=EAC=60， 然后给DAB 和EAC 都加上BAC，得到DAC=BAE，利用“SAS“即可得到 DACBAE，最
21、后根据全 等三角形的对应边相等即可得证； （2）作 DGAE，交 AB 于点 G，由等边三角形的EAC=60，加上已知的CAB=30得到FAE=90，然后 根据两直线平行内错角相等得到DGF=90，再根据ACB=90，CAB=30，利用三角形的内角和定理得 到ABC=60，由等边三角形的性质也得到DBG=60，从而得到两角的相等，再由 DB=AB，利用“AAS”证 得 DGBACB，根据全等三角形的对应边相等得到 DG=AC，再由 AEC 为等边三角形得到 AE=AC，等量 代换可得 DG=AE，加上一对对顶角的相等和一对直角的相等根据“AAS”证得 DGFEAF，最后根据全等 三角形的对应边
22、相等即可得证 （1）ABD 和 ACE 是等边三角形， AB=AD，AC=AE，DAB=EAC=60， DAB+BAC=EAC+BAC，即DAC=BAE， 在 DAC 和 BAE 中， DACBAE（SAS）， DC=BE； （2）如图，作 DGAE，交 AB 于点 G， 试卷第 18 页，总 26 页 由EAC=60，CAB=30得：FAE=EAC+CAB=90， DGF=FAE=90， 又ACB=90，CAB=30， ABC=60， 又ABD 为等边三角形，DBG=60，DB=AB， DBG=ABC=60， 在 DGB 和 ACB 中， DGB ACB（AAS）， DG=AC， 又AEC
23、为等边三角形，AE=AC， DG=AE， 在 DGF 和 EAF 中， DGFEAF（AAS）， DF=EF，即 F 为 DE 中点 试卷第 19 页，总 26 页 2034x ，数轴见解析 【解析】 30, , 12 1 3 x x x 由不等式30 x 解得3x 由 12 1 3 x x 得3312xx 得4x ，原不等式组的解集为34x 21（1）本次被调查学生的人数为 90;补条形图见解析；（2）所对应的圆心角的度数为 40；（3）估计 这所学校 1440 名学生中，知道母亲生日的人数为 800 人. 【解析】（1）由“记不清”人数 30，扇形统计图圆心角120 本次被调查学生的人数为
24、 90 “知道”人数为90 30 1050 补条形图 （2）本次被调查“不知道”人数为 10， 所对应的圆心角的度数为 10 36040 90 试卷第 20 页，总 26 页 （3）估计这所学校 1440 名学生中， 知道母亲生日的人数为： 50 1440800 90 （人） 22（1）甲（从左到右）9，8.5；乙（从左到右）8，0.5；（2）乙的成绩较稳定，理由见详解；（3） 1 4 【解析】（1）根据众数与中位数的定义，可得：甲 4 次射击成绩的众数与中位数分别是：9 ，8.5； 根据平均数与方差的定义，可得：乙 4 次射击成绩的平均数与方差分别是：8 ，0.5， 故答案是：甲（从左到右）
25、9 ， 8.5；乙（从左到右） 8 ，0.5； （2）乙的成绩较稳定，理由如下： S甲 2 S乙 2 乙的成绩较稳定； （3）列表如下： 甲 乙 8 6 9 9 7 (8,7) (6,7) (9,7) (9,7) 8 (8,8) (6,8) (9,8) (9,8) 9 (8,9) (6,9) (9,9) (9,9) 8 (8,8) (6,8) (9,8) (9,8) 共有 16 种结果，且每种结果可能性相等，和为 16 有 4 种结果， P（两个成绩之和为16环） 41 164 试卷第 21 页，总 26 页 23竖直高度CD约为 490 米 【解析】解：如图：45CBD90BCDCDCB 2
26、1Atan21 CDCDCD ACABBCABCD 800AB0.38 800 CD CD 490.32490CD 答：竖直高度CD约为 490 米 24通过证明 ADEACB可得 AD=AC 【解析】试题分析： 证明：AB=AE，B=E 在 ADE 和 ACB 中， ADEACB AD=AC 25（1）A（1，0），yaxa；（2）y 2 5 x2 4 5 x 6 5 【解析】详解：（1）令 y=0，则 ax22ax3a=0，解得：x1=1，x2=3 点 A 在点 B 的左侧，A（1，0），如图 1，作 DFx 轴于 F， DFOC， OF OA = CD AC CD=4AC， OF OA
27、= CD AC =4 OA=1，OF=4，D 点的横坐标为 4，代入 y=ax22ax3a 得：y=5a，D（4，5a），把 A、D 坐标代 入 y=kx+b 得 0 45 kb kba ： ，解得： ka ba ，直线 l 的函数表达式为 y=ax+a 试卷第 22 页，总 26 页 （2）如图 2，过点 E 作 EHy 轴，交直线 l 于点 H， 设 E（x，ax22ax3a），则 H（x，ax+a），HE=（ax+a）（ax22ax3a）=ax2+3ax+4a，由 2 23 yaxa yaxaxa ，得 x=1 或 x=4，即点 D 的横坐标为 4，S ADE=S AEH+S DEH=
28、5 2 （ax2+3ax+4a）= 5 2 a（x 3 2 ）2+ 125 8 a，ADE 的面积的最大值为 125 8 a，125 8 a= 25 4 ，解得：a= 2 5 ，抛物线的函 数表达式为 y= 2 5 x2 4 5 x 6 5 26（1）证明过程见解析；（2） 1 2 NAEMNFD ，理由见解析；（3） 1 3 N+PMH=180. 【解析】（1）证明：1=BEF，12180 BEF+2=180 ABCD. （2）解： 1 2 NAEMNFD 设N=2，M=3，AEM=x，NFD=y 过 M 作 MPAB，过 N 作 NQAB 试卷第 23 页，总 26 页 /ABCD，MPA
29、B，NQAB MPNQABCD EMP=x，FNQ=y PMN=3-x，QNM=2-y 3-x=2-y 即=x-y 1 2 NAEMNFD 故答案为 1 2 NAEMNFD （3）解： 1 3 N+PMH=180 过点 M 作 MIAB 交 PN 于 O，过点 N 作 NQCD 交 PN 于 R. 试卷第 24 页，总 26 页 /ABCD，MIAB，NQCD ABMINQCD BPM=PMI MPN=2MPB MPN=2PMI MON=MPN+PMI=3PMI NFH=2HFD RFN=180-NFH-HFD=180-3HFD RFN=HFD PRF=FNP+RFN=FNP+180-3RFM
30、 MON+PRF+RFM=360-OMF 即 3PMI+FNP+180-3RFM+RFM=360-OMF FNP+2PMI-2RFM=180-PMH 3PMI+PNH=180 3PMI+FNP+FNH=180 3RFM+FNH=180 3PMI-3RFM+FNP=0 即RFM-PMI= 1 3 FNP FNP+2PMI-2RFM=FNP-2(RFM-PMI)=180-PMH FNP-2 1 3 FNP=180-PMH 试卷第 25 页，总 26 页 1 3 FNP=180-PMH 即 1 3 N+PMH=180 故答案为 1 3 N+PMH=180 27CB；AB；简单应用：（1）BE；3 3
31、；（2）100；拓展应用：作图见解析，货船行驶的水路最短路 程为5千米 【解析】解：AC+CB=AC+CB=AB， 故答案为：CB；AB； 1.简单应用 （1）由等边三角形的轴对称性可知，B 与 C 关于直线 AD 对称，连结 BM， EM+MC 的最小值就是线段 BE 的长度， BE= 22 633 3 ， 则 EM+MC 的最小值是3 3， 故答案为：BE；3 3； （2）如图 5，作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A，A，连接 AA，交 BC 于 M，交 CD 于 N， 则 AA即为 AMN 的周长最小值， 试卷第 26 页，总 26 页 DAB=130， A+A=50， A=MAA，NAD=A， 且A+MAA=AMN，NAD+A=ANM， AMN+ANM=A+MAA+NAD+A=2（A+A）=250=100， 故答案为：100； 2.拓展应用 如图 6，分别作点 A 关于 OB 的对称点 A，点 B 关于 OA 的对称点 B，连接 AB，交 OB 于 C，交 OA 于 D， 则 C、D 为两岸的装货地点，AB是货船行驶的水路最短路程， 由轴对称的性质可知，OA=OA=1，OB=OB=2，BOA=AOB=30，AOB=AOB=30， AOB=90， AB= 2222 OAOB125 ， 答：货船行驶的水路最短路程为5千米
