1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 4.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 象限角与终边相同的角 . 1 题型二 弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用 . 3 题型三 任意角三角函数的定义及应用. 4 类型一 利用三角函数的定义求值. 4 类型二 判断三角函数值的符号 . 6 类型三 以三角函数定义(三角函数线)为背景的创新题 . 6 题型四 同角三角函数关系式的应用 . 8 类型一 化简与求值 . 8 类型二 sincos，si
2、ncos，sincos 之间的关系问题 . 9 类型三 sin，cos 的齐次式 . 10 题型五 诱导公式的应用 . 11 题型六 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 . 12 二、高效训练突破 . 14 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 象限角与终边相同的角象限角与终边相同的角 【题型要点】【题型要点】(1)终边在某直线上角的求法 4 步骤 数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； 按逆时针方向写出0，2内的角； 再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； 求并集化简集合 (2)判断象限角的 2 种方法 图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断
3、已知角是第几象限角； 转化法：先将已知角化为 k 360 (0360 ，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角 ，再由角 终边所在的象限判断已知角是第几象限角 (3)确定 k， k(kN *)的终边位置 3 步骤 用终边相同角的形式表示出角 的范围； 再写出 k 或 k的范围； 然后根据 k 的可能取值讨论确定 k 或 k的终边所在的位置 【易错提醒】【易错提醒】终边在一条直线上的角之间相差 180 的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差 90 的整数倍 【例【例 1】若角 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 y 3x 上，则角 的取值集 合是( ) A Zk
4、k, 3 2 B Zkk, 3 2 2 C Zkk, 3 2 D Zkk, 3 【答案】D 【解析】因为直线 y3x 的倾斜角是2 3 ，所以终边落在直线 y3x 上的角的取值集合为 Zkk, 3 ，故选 D. 【例【例 2】给出下列四个命题： 3 4 是第二象限角；4 3 是第三象限角；400 是第四象限角；315 是第一象限角 其中正确命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】 ：3 4 是第三象限角，故错误； 4 3 3，所以 4 3 是第三象限角，故正确； 400 360 40 ，所以400 是第四象限角，故正确； 315 360 45 ，所以315 是第一象限角
5、，故正确，故选 C. 题型二题型二 弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用 【题型要点】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略【题型要点】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 【例【例 1】已知扇形的周长是 4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( ) A2 B1 C.1 2 D3 【答案】A 【解析】解法一：设此扇形的半径为 r
6、，弧长为 l，圆心角为 ，则 2rl4，面积 S1 2rl 1 2r(42r)r 2 2r(r1)21，故当 r1 时 S 最大， 这时 l42r2.从而 l r 2 12. 解法二：设扇形圆心角的弧度数为 ， 弧长为 l，则 l2l 4.故 l 4 12 . 又 S1 2lr l2 2 4 12 21 2 8 4 4 8 441. 当且仅当 4 ，即 2 时，S 取最大值 【例 2】(2020 四川乐山、峨眉山二模四川乐山、峨眉山二模)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给 出计算弧田面积所用的经验公式为： 弧田面积1 2(弦 矢矢 2)， 弧田由圆弧和其所对弦所围成， 公式中
7、“弦” 指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为2 3 ，半径长为 4 的弧田(如图所示)，按 照上述公式计算出弧田的面积为_ 【答案】 ：4 32 【解析】 ：由题意可得AOB2 3 ，OA4.在 Rt AOD 中，易得AOD 3，DAO 6，OD 1 2OA 1 2 4 2，可得矢422.由 ADAOsin 34 3 2 2 3，可得弦 AB2AD4 3.所以弧田面积1 2(弦 矢 矢 2)1 2 (4 3 22 2)4 32. 题型三题型三 任意角三角函数的定义及应用任意角三角函数的定义及应用 类型一类型一 利用三角函数的定义求值利用三角函数的定义求值 【题型要点】用
8、定义法求三角函数值的两种情况【题型要点】用定义法求三角函数值的两种情况 已知角 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数的定义求解； 已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角 函数的定义来求解 【例 1】已知角 的终边上一点 P( 3，m)(m0)，且 sin 2m 4 ，求 cos ，tan 的值 【解析】 设 P(x，y)由题设知 x 3，ym， 所以 r2|OP|2( 3)2m2(O 为原点)，r 3m2， 所以 sin m r 2m 4 m 2 2， 所以 r 3m22 2，3m28，解得 m 5. 当
9、 m 5时，r2 2，x 3，y 5， 所以 cos 3 2 2 6 4 ，tan 15 3 ； 当 m 5时，r2 2，x 3，y 5， 所以 cos 3 2 2 6 4 ，tan 15 3 . 【例【例 2】(2020 白银摸底白银摸底)已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，若 A(x,3)是角 终边上一点 且 cos 10 10 ，则 x( ) A3 3 B3 3 C1 D1 【答案】D 【解析】cos 10 10 0 及 A(x,3)是角 终边上一点x0，由三角函数的定义，得 x x29 10 10 ，解得 x 1. 类型二类型二 判断三角函数值的符号判断三角函数值的符号
10、 【题型要点】【题型要点】1.三角函数值符号的记忆口诀三角函数值符号的记忆口诀 一全正、二正弦、三正切、四余弦 2.判断三角函数值符号及角位置的方法判断三角函数值符号及角位置的方法 已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者 的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况 【例 3】 若 sin cos0，则角 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 【答案】D 【解析】由tan sin0，得 1 cos0，cos0，又 sin cos0，所以 sin0，所以 为第四象限角，选 D. 【例【例
11、4】(2020 江西九江一模江西九江一模)若 sin x0，则角 x 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 【答案】D. 【解析】 ：因为1cos x1，且 sin(cos x)0，所以 0cos x1，又 sin x0，所以角 x 为第四象限角，故选 D. 类型三类型三 以三角函数定义以三角函数定义(三角函数线三角函数线)为背景的创新题为背景的创新题 【题型要点】利用单位圆解三角不等式【题型要点】利用单位圆解三角不等式(组组)的一般步骤的一般步骤 用边界值定出角的终边位置； 根据不等式(组)定出角的范围； 求交集，找单位圆中公共的部分； 写出角的表达式 【例 5】
12、如图所示，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0( 2， 2)，角速度为 1，那 么点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( ) 【答案】C 【解析】因为 P0( 2， 2)，所以P0Ox 4. 因为角速度为 1，所以按逆时针方向旋转时间 t 后，得POP0t，所以POxt 4. 由三角函数定义，知点 P 的纵坐标为 2sin 4 t， 因此 4 sin2 td. 令 t0，则2 4 sin2 d. 当 t 4时，d0，故选 C. 【例 6】设 asin1，bcos1，ctan1，则 a，b，c 的大小关系是( ) Aabc Bacb Cbac D
13、bca 【答案】C 【解析】如图 设BOC1，由于 41 2，结合三角函数线的定义有 cos1OC，sin1CB，tan1AD，结合几何关系可得 cos1sin1tan1，即 bac. 题型四题型四 同角三角函数关系式的应用同角三角函数关系式的应用 类型一类型一 化简与求值化简与求值 【题型要点】【题型要点】1应用同角三角函数关系式化简、求值的方法应用同角三角函数关系式化简、求值的方法 (1)利用 sin2cos21 可实现 的正弦、余弦的互化，利用sin costan 可以实现角 的弦切互化. (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方
14、 根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论 【例【例 1】(2020 唐山模拟唐山模拟)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上一点 A(2sin， 3)，则 cos( ) A.1 2 B1 2 C. 3 2 D 3 2 【答案】A 【解析】由任意角三角函数的定义得 tan 3 2sin，即 sin cos 3 2sin，所以 3cos2sin 22(1cos2)整理 得 2cos23cos20，解得 cos1 2或 cos2(舍去) 类型二类型二 sincos，sincos，sincos 之间的关系问题之间的关系问题 【题型要点
15、】【题型要点】sincos，sincos，sincos 之间的关系问题之间的关系问题 对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，知一可求二，若令 sin cos t，则 sin cos t21 2 ，sin cos 2t2(注意根据 的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用 (1)方法：利用(sin cos)21 2sincos 可以知一求二 (2)关注点：根据角 终边的位置确定 sincos，sincos 的符号. 【例【例 2】(2020 四川成都二诊四川成都二诊)已知 为第二象限角，且 sin cos 1 5，则 cos sin ( ) A.7 5 B7 5
16、 C 7 5 D1 5 【答案】B 【解析】 法一： (整体代入法)由 sin cos 1 5两边同时平方， 得 12sin cos 1 25， 则 2sin cos 24 25， 所以(cos sin )212sin cos 124 25 49 25. 因为 为第二象限角，所以 cos sin 7 5.故选 B. 法二：(换元法)sin cos 1 5，令 cos sin t. 由22，得 2sin2 2cos2 1 25t 2，即 21 25t 2， 整理得 t22 1 25 49 25，解得 t 7 5. 因为 为第二象限角，所以 cos sin 0，cos 0，因为(sin cos )
17、212sin cos 1m13 4 7 4，所以 sin cos 7 2 .故选 B. 类型三类型三 sin，cos 的齐次式的齐次式 【题型要点】 【题型要点】 sin，cos 的齐次式的解法的齐次式的解法 (1)常见的结构 sin，cos 的二次齐次式(如 asin2bsincosccos2)的问题常采用“切”代换法求解； sin，cos 的齐次分式 cossin cossin dc ba 的问题常采用分式的基本性质进行变形 (2)巧用“1”的变换：1sin2cos2. 【例【例 4】已知sin 3cos 3cos sin 5，则 cos 21 2sin 2 的值是 ( ) A.3 5 B
18、3 5 C3 D3 【答案】A 【解析】由sin 3cos 3cos sin 5 得 tan 3 3tan 5，可得 tan 2，则 cos 2 1 2sin 2cos 2sin cos cos2sin cos cos2sin2 1tan 1tan2 3 5.故选 A. 题型五题型五 诱导公式的应用诱导公式的应用 【题型要点】【题型要点】(1)诱导公式的两个应用方向与原则 求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了 化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了 (2)应用诱导公式的基本流程 (3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限 (4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两
19、者之差或和为 2的整数倍，可考虑诱导公式. 【例【例 1】(2020 安徽六校教育研究会联考安徽六校教育研究会联考)若 4 sin 5 5 ，那么 4 cos 的值为( ) A.2 5 5 B2 5 5 C. 5 5 D 5 5 【答案】D 【解析】 5 5 4 sin 42 cos 4 cos 【例 2】 若a 6 cos，则 3 2 sin 6 5 cos的值为_ 【答案】0 【解析】 因为a 6 cos 6 cos 6 5 cos. a 6 cos 62 sin 3 2 sin， 所以0 3 2 sin 6 5 cos . 题型六题型六 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用同角三角
20、函数基本关系式和诱导公式的综合应用 【题型要点】同角三角函数关系式和诱导公式综合应用题的解法【题型要点】同角三角函数关系式和诱导公式综合应用题的解法 (1)使用诱导公式把求解的三角函数式化为只含一个角的三角函数式 (2)使用同角三角函数的基本关系式求解该三角函数式的值，求解中注意公式的准确性 【例【例 1】(2020 武威六中第一次阶段性检测武威六中第一次阶段性检测)已知 2coscos 2 3 sin4 1costan 2 sin 2 f. (1)化简 f()； (2)若 3 3，且 f() 1 4，求 的取值范围 【解析】 (1)f()costancos 21 4coscoscos sin
21、cos21 4cos 2sincos 4cos 1 2sin. (2)由已知得1 2sin 1 2， 2k 62k 7 6 ，kZ. 3 3， 6 3. 故 的取值范围为 3 , 6 . 【例【例 2】 】 (2020 江西吉安期末江西吉安期末)已知 tan(2 019)2，则 4 sin 6 sin22 ( ) A2 B2 31 5 C.2 33 5 D3 5 【答案】B. 【解析】 ：因为 tan(2 019)2， 所以 tan 2. 则 4 sin 6 sin22 ( 3sin cos )(sin cos ) 3sin2cos2( 31)sin cos 3sin2cos2（ 31）sin
22、 cos sin2cos2 3tan21（ 31）tan tan2 1 4 312（ 31） 41 2 31 5 .故选 B. 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1若角 的终边经过点 P(1， 3)，则 cos tan 的值为( ) A.12 3 2 B1 3 2 C.1 3 2 D12 3 2 【答案】A. 【解析】 ： 因为角 的终边经过点 P(1， 3)， 则 x1， y 3， r|OP|2， 所以 cos x r 1 2， tan y x 3， 那么 cos tan 12 3 2 ，故选 A. 2点 P(cos2019 ，sin2019 )所在的象限是( ) A第
23、一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】C 【解析】 因为 2019 360 5219 ， 所以 2019 与 219 终边相同， 是第三象限角 所以 cos2019 0， sin2019 0， 所以点 P 在第三象限 3.(2020 湖北八校联考湖北八校联考)已知 sin()1 3，则 2 tan( ) A2 2 B2 2 C. 2 4 D 2 2 【答案】D 【解析】因为 sin()sin1 3，所以 sin 1 3，所以 cos 1sin 22 2 3 ， 所以22 cos sin 2 cos 2 sin 2 tan . 3.计算：sin11 6 cos10 3 ( ) A1
24、 B1 C0 D.1 2 3 2 【答案】A 【解析】sin11 6 cos10 3 3 3cos 6 2sin sin 6cos 3 1 2 1 21. 4已知 sin() 3cos(2)，| 2，则 等于( ) A 6 B 3 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】因为 sin() 3cos(2)，所以sin 3cos，所以 tansin cos 3.又因为| 2，所以 3. 5.已知角 2k 5(kZ)，若角 与角 的终边相同，则 y sin |sin | cos |cos | tan |tan |的值为( ) A1 B1 C3 D3 【答案】B. 【解析】 ：由 2k 5(kZ)及终
25、边相同的角的概念知，角 的终边在第四象限，又角 与角 的终边相 同，所以角 是第四象限角，所以 sin 0，tan 0.所以 y1111. 6.(2020 晋冀鲁豫名校期末联考晋冀鲁豫名校期末联考)若 5 3 2 3 sin ，且 是第三象限角，则 2 2019 cos ( ) A.3 5 B3 5 C.4 5 D4 5 【答案】D. 【解析】 ： 2 3 sin cos 3 5，所以 cos 3 5，因为 是第三象限角，所以 sin 4 5，所以 5 4 sin 2 3 1008cos 2 2019 cos . 7已知 tan()2 3，且 2 , ，则cos（）3sin（） cos（）9s
26、in ( ) A1 5 B3 7 C.1 5 D3 7 【答案】A. 【解析】 ：由 tan()2 3，得 tan 2 3. cos（）3sin（） cos（）9sin cos 3sin cos 9sin 13tan 19tan 12 16 1 5.故选 A. 8已知 2 是第一象限的角，且 sin4cos45 9，那么 tan( ) A. 2 2 B 2 2 C. 2 D 2 【答案】A 【解析】 因为 sin4cos45 9， 所以(sin 2cos2)22sin2cos25 9， 所以 sincos 2 3 ， 所以 sincos sin2cos2 2 3 ，所以 tan tan21 2
27、 3 ，解得 tan 2 2 (tan 2，舍去，这是因为 2 是第一象限的角，所以 tan 为小于 1 的正数) 9(2020 广州模拟广州模拟)当 为第二象限角，且 3 1 22 sin 时， 1sin cos 2sin 2 的值是( ) A1 B1 C 1 D0 【答案】B 【解析】 3 1 22 sin ，cos 2 1 3， 2在第一象限，且 cos 20， 为第一或第二象限角 当 为第一象限角时，cos 1sin2 5 5 ， 则原式 1 sincos 5 2； 当 为第二象限角时，cos 1sin2 5 5 ， 则原式 1 sincos 5 2. 3.是否存在 2 , 2 ， ()0， 使等式 sin(3) 2cos 2 ， 3cos() 2cos()同时 成立？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由 【答案】存在 4， 6满足条件 【解析】 ：假设存在角 ， 满足条件 由已知条件可得 sin 2sin ， 3cos 2cos ， 由22，得 sin23cos22. 所以 sin21 2，所以 sin 2 2 . 因为 2 , 2 ，所以 4. 当 4时，由式知 cos 3 2 ， 又 (0，)，所以 6，此时式成立； 当 4时，由式知 cos 3 2 ，又 (0，)， 所以 6，此时式不成立，故舍去 所以存在 4， 6满足条件
