1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 4.4 函数函数 yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用的图象及三角函数模型的简单应用 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 函数 yAsin(x)的图象及变换 . 1 题型二 求函数 yAsin(x)的解析式 . 3 题型三 三角函数图象与性质的综合应用. 4 类型一 三角函数图象与性质的综合问题 . 4 类型二 函数零点(方程根)问题 . 5 题型四 数学建模 三角函数实际问题. 7 二、高效训练突破 . 8 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 函数函数 y
2、Asin(x)的图象及变换的图象及变换 【题型要点】【题型要点】 (1)yAsin(x)的图象可用“五点法”作简图得到， 可通过变量代换 zx 计算五点坐标 (2)由 ysin x 到 ysin(x)的变换：向左平移 (0，0)个单位长度而非 个单位长度 (3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数， 为负时应先变成正值 【例【例 1】已知函数 y2sin 3 2 x. (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明 y2sin 3 2 x的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到 【解析】 (1)y2sin 3
3、2 x的振幅 A2， 周期 T2 2 ，初相 3. (2)令 X2x 3，则 y2sin(2x 3)2sin X. 列表如下： x 6 12 3 7 12 5 6 X 0 2 3 2 2 ysin X 0 1 0 1 0 y2sin 3 2 x 0 2 0 2 0 描点画出图象，如图所示： (3)法一：把 ysin x 的图象上所有的点向左平移 3个单位长度，得到 ysin 3 x的图象； 再把 ysin 3 x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍(纵坐标不变)， 得到 ysin 3 2 x的图象； 最后把 ysin 3 2 x上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到
4、 y2sin 3 2 x的 图象 法二：将 ysin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1 2倍(纵坐标不变)，得到 ysin 2x 的图象； 再将 ysin 2x 的图象向左平移 6个单位长度，得到 ysin 6 2 xsin 3 2 x的图象； 再将 ysin 3 2 x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变)，即得到 y2sin(2x 3)的图 象 题型二题型二 求函数求函数 yAsin(x)的解析式的解析式 【题型要点】【题型要点】确定 yAsin(x)B(A0，0)的解析式的步骤 (1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm 2 ，BMm 2
5、. (2)求 ，确定函数的周期 T，则 2 T . (3)求 ，常用方法有： 代入法： 把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最 低点代入； 五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时 与 x 轴的交点)为 x0； “第二点”(即图象的“峰点”)为 x 2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点) 为 x； “第四点”(即图象的“谷点”)为 x3 2 ； “第五点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 x2. 【例 1】如图，函数 f(x)Asin(2x)(A0，| 2)的图象过点(0， 3)，
6、则 f(x)的函数解析式为( ) Af(x)2sin(2x 3) Bf(x)2sin(2x 3) Cf(x)2sin(2x 6) Df(x)2sin(2x 6) 【答案】B 【解析】由题意知，A2，函数 f(x)的图象过点(0， 3)，所以 f(0)2sin 3，由|0， 0， 0 2)的部分图象如图所示， 则 f( 3)_. 【答案】 6 2 【解析】由函数的图象可得 A 2，1 4 2 7 12 3，可得 2，则 2 32k(kZ)，又 00，0，| 2)的部分图象如图所示，要使 f(a x)f(ax)0 成立，则 a 的最小正值为( ) A. 12 B 6 C. 4 D 3 【答案】B
7、【解析】由函数图象可得，函数的最大值为 2，即 A2.因为函数图象过点(0，1)，即 f(0)1，所以 sin 1 2，又|11 12 ，即2 11 12 ， 解得 0，故 k1，从而 22 112. 所以 f(x)2sin 6 2 x. 由 f(ax)f(ax)0，得 f(ax)f(ax)，所以该函数图象的对称轴为直线 xa. 令 2a 6n 2(nZ)，解得 a n 2 6(nZ) 要求 a 的最小正值，只需 n0，得 a 6，故选 B. 类型二类型二 函数零点函数零点(方程根方程根)问题问题 【题型要点】【题型要点】巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题 解决与三角函数相关的方程或不
8、等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的 特征确定方程的解或不等式的解集故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键 【例【例 1】(2020 湖南株洲二模湖南株洲二模)若函数 f(x)cos 4 2 xa 8 9 , 0 x恰有三个不同的零点 x1，x2，x3， 则 x1x2x3的取值范围是( ) A. 8 11 , 4 5 B 2 7 , 4 9 C. 8 11 , 4 5 D 2 7 , 4 9 【答案】A 【解析】 由题意得方程 cos 4 2 xa 8 9 , 0 x有三个不同的实数根 画出函数 ycos 4 2 x 8 9 , 0 x的大致图象，如图
9、所示 由图象得，当 2 2 a1 时，方程 cos 4 2 xa 恰好有三个不同的实数根 令 2x 4k，kZ，解得 x 8 k 2 ，kZ. 当 k0 时，x 8. 不妨设 x1x2x3，由题意得点(x1，0)，(x2，0)关于直线 x 8对称， 所以 x1x2 4. 又结合图象可得 x39 8 ，所以5 4 x1x2x30，0)的图象根据以上数据， (1)求函数 f(t)的解析式； (2)求一日(持续 24 小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过 1.25 米的时间 【答案】(1)f(t)1 2cos 6t1；(2)8 小时 【解析】 (1)由表格得 Ab1.5， Ab0.5，解得 A1 2，
10、 b1， 又因为 T12，所以 2 12 6， 故 yf(t)1 2cos 6t1. (2)由题意，令1 2cos 6t11.25. 即 cos 6t 1 2， 又因为 t0，24，所以 6t0，4， 故 0 6t 3或 5 3 6t2 或 2 6t2 3或 2 5 3 6t22， 即 0t2 或 10t12 或 12t14 或 220)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原 来的 a 倍，得到 ycos 2xsin 2x 的图象，则 ，a 的可能取值为( ) A 2，a2 B3 8 ，a2 C3 8 ，a1 2 D 2，a 1 2 【答案】D 【解析】 ： .将函数 ycos xs
11、in x 2cos(x 4)的图象向右平移 (0)个单位长度， 可得 y 2cos(x 4) 的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的 a 倍，得到 y 2cos(1 ax 4)的图象，又 y 2cos( 1 a x 4)cos 2xsin 2x 2cos(2x 4)，所以 1 a2， 4 42k(kZ)，所以 a 1 2，又 0，所以 22k(kN)，结合选项知选 D. 3函数 y2cos(2x 6)的部分图象是( ) 【答案】A. 【解析】 ：由 y2cos(2x 6)可知，函数的最大值为 2，故排除 D；又因为函数图象过点 0 , 6 ，故排除 B； 又因为函数图象过点 2 , 1
12、2 ，故排除 C.故选 A. 4(2020 安徽黄山毕业班第二次质量检测安徽黄山毕业班第二次质量检测)已知 f(x)Asin(x)B 2 , 0, 0 A的部分图象如 图，则 f(x)图象的一个对称中心是( ) A. 1, 6 5 B 0 , 12 C. 1, 12 D 0 , 6 5 【答案】A. 【解析】 ：由题图得 1, 3 为 f(x)图象的一个对称中心，T 4 3 12，所以 T，从而 f(x)图象的对称中心 为 1, 23 k (kZ)，当 k1 时，为 1, 6 5 ，选 A. 5.设 0，函数 ysin(x)()的图象向左平移 3个单位后，得到如图所示的图象，则 ， 的值为 (
13、 ) A2，2 3 B2， 3 C1， 3 D1，2 3 【答案】A 【解析】 ：函数 ysin(x)()的图象向左平移 3个单位后可得 ysin(x 3 )由函数的图象 可知， T 2 3( 6) 2， 所以 T.根据周期公式可得 2， 所以 ysin(2x 2 3 )由图知当 y1 时， x1 2 ( 3 6) 12，所以函数的图象过( 12，1)，所以 sin( 5 6 )1.因为，所以 2 3 .故选 A. 6(2020 河南名校联盟联合调研河南名校联盟联合调研)将函数 g(x)2sin x1 的图象向左平移 3个单位，再将所得图象上所有点 的横坐标变为原来的1 2(纵坐标不变)，得到
14、函数 f(x)的图象，若 f(x1)f(x2)3，且x2x1，则 x12x2 的值为( ) A B 2 C.5 6 D23 12 【答案】D. 【解析】 ：易求得 f(x)2sin 3 2 x1，因为 f(x1)f(x2)3，即 sin 3 2 x1，所以 2x 32k 2 (kZ)，所以 x 12k(kZ)，由x20，| 2)的图象向右平移 6个单位长度后， 可得 ysin 6 x的图象 因为所得函数图象关于 y 轴对称，所以 6 k 2，kZ，解得 6k3 6 ，kZ. 又 f1 2sin( ) sin ，即 sin 1 2，又|0，所以取 k1，可得 min4，所以函数 f(x)的解析式
15、为 f(x)sin 6 4 x.故 选 C. 8(2020 河北衡水中学一调考河北衡水中学一调考)已知函数 f(x)2sin(x)(0)的部分图象如图所示，其中 M(m，0)，N(n， 2)，P(，0)，且 mn0，则 f(x)在下列区间中具有单调性的是( ) A. 4 , 0 B 3 2 , 4 C. 4 3 , 2 D , 3 2 【答案】B. 【解析】 ： 因为 mn0， 所以 m、 n 异号， 根据题意可得 m0， 又 P(， 0)， 所以 T 且3T 4 ， 即 T0)的图象向左平移 4个单位得到函数 g(x)的图象，若函数 g(x)的图象关于直线 x 对称且在区间()， 内单调递增
16、，则 的值为( ) A. 2 B3 2 C. 4 D3 2 【答案】A. 【解析】 ：由题意得 g(x)sin 4 xsin 4 x，因为函数 g(x)的图象关于直线 x 对称且在 区间(， )内单调递增， 所以 2 4 2k， kZ， 22m 2 4， mZ， 2 4 22m， mZ， 因此 k0，k 22m，k2m，k，mZ，从而 0 22m，02m，mZ，即 0m 4，mZ，所以 m 0，k0， 2 ，选 A. 10(2020 新疆乌鲁木齐二检新疆乌鲁木齐二检)若关于 x 的方程(sin xcos x)2cos 2xm 在区间(0， 上有两个不同的实数 根 x1，x2，且|x1x2| 4
17、，则实数 m 的取值范围是( ) A0，2) B0，2 C1， 21 D1， 21) 【答案】A. 【解析】 ：关于 x 的方程(sin xcos x)2cos 2xm 可化为 sin 2xcos 2xm1，即 sin 4 2 xm1 2 . 易知 sin 4 2 xm1 2 在区间(0，上有两个不同的实数根 x1，x2，且|x1x2| 4. 令 2x 4t，即 sin t m1 2 在区间 4 9 , 4 上有两个不同的实数根 t1，t2. 作出 ysin t 4 9 4 t的图象，如图所示， 由|x1x2| 4得|t1t2| 2， 所以 2 2 m1 2 2 2 ， 故 0m0)个单位后得
18、到的图象经过原点，则 的最小值为( ) A. 2 B 4 C. 6 D 12 【答案】B. 【解析】 ：将函数 f(x)sin 4 3 x的图象向左平移 (0)个单位后得到的图象对应的解析式为 ysin3(x ) 4，因为其图象经过原点，所以 sin 4 3 0，所以 3 4k，kZ，解得 k 3 12，kZ， 又 0，所以 的最小值为 3 12 4，故选 B. 13 (2020 湖南衡阳高中毕业联考湖南衡阳高中毕业联考(二二)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度， 再将所得函数图象上的所有 点的横坐标缩短到原来的2 3，得到函数 g(x)Asin(x) 2 , 0, 0 A的图象已知
19、函数 g(x)的部 分图象如图所示，则( ) A函数 f(x)的最小正周期为2 3，最大值为 2 B函数 f(x)的最小正周期为 ，图象关于点 0 , 6 中心对称 C函数 f(x)的最小正周期为2 3，图象关于直线 x 6对称 D函数 f(x)的最小正周期为 ，在区间 3 , 6 上单调递减 【答案】D. 【解析】 ：对于 g(x)，由题图可知，A2，T4 189 2 2 3 ，所以 2 T 3，则 g(x)2sin()3x ， 又由 9 2 g2 可得 62k，kZ，而|0， 函数ycos(x 3)的图象向右平移 3个单位长度后与函数ysin x的图象重合， 则 的最小值为_ 【答案】 ：
20、5 2 【解析】 ：将函数 ycos(x 3)的图象向右平移 3个单位长度，得 ycos(x 3 3)的图象因为所得函数 图象与 ysin x 的图象重合，所以 3 3 3 2 2k(kZ)，解得 7 26k(kZ)，因为 0，所以当 k1 时， 取得最小值5 2. 3.函数 f(x)Asin(x)(A0， 0， 0)的部分图象如图所示， 已知 x1， x2( 2， )， x1x2， 且 f(x1)f(x2)， 则 f(x1x2)_. 【答案】 ：1 【解析】 ：由题意可得 A2，3 4T 3 4 2 11 12 6 3 4，所以 2. 当 x 6时，f(x)2，则 x2 62k 2，kZ，
21、据此可得 2k 6(kZ)，因为 0，令 k0 可得 6，则 f(x)2sin(2x 6)当 x( 2，)时， 7 6 2x 60)的部分图象如图所示，给出以下结论： f(x)的最小正周期为 2； f(x)图象的一条对称轴为直线 x1 2； f(x)在(2k1 4，2k 3 4)，kZ 上是减函数； f(x)的最大值为 A. 则正确的结论为_(填序号) 【答案】 ： 【解析】 ：由题图可知，函数 f(x)的最小正周期 T2 (5 4 1 4)2，故正确；因为函数 f(x)的图象过点( 1 4，0) 和(5 4，0)，所以函数 f(x)图象的对称轴为直线 x 1 2( 1 4 5 4) kT 2
22、 3 4k(kZ)，故直线 x 1 2不是函数 f(x)图象 的对称轴，故不正确；由图可知，当1 4 T 4kTx 1 4 T 4kT(kZ)，即 2k 1 4x2k 3 4(kZ)时，f(x)是减 函数，故正确；若 A0，则最大值是 A，若 A0)部分图象的纸片沿 x 轴折成直二面角，若 A，B 之间的空间距 离为 10，则 f(1)_ 【答案】 ：3 2 【解析】 ：由题设并结合图形可知， AB（ 3）2（ 3）2（T 2） 2 6T 4 2 6 2 2 10，得 2 24，则 2， 所以 f(1) 3sin( 2 5 6 ) 3sin 3 3 2. 6若在区间(n，m)上，函数 f(x)
23、2cos 2x 的图象总在函数 g(x)74 3sin x 的图象的上方，则 mn 的 最大值为_ 【答案】 ：5 3 【解析】 ：根据题意，函数 f(x)2cos 2x 的图象总在函数 g(x)74 3sin x 的图象的上方可以转化为 2cos 2x74 3sin x 恒成立，即 2cos 2x74 3sin x0.根据二倍角公式化简为 4sin2x4 3sin x90 3 2 sin x0， 0， | 2)的图象过点 P( 12， 0)， 图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q( 3， 5) (1)求函数的解析式； (2)求函数 f(x)的单调递增区间 【答案】(1)y5sin(2x 6
24、)；(2)k 6，k 3(kZ) 【解析】 ：(1)依题意得 A5， 周期 T4( 3 12)， 所以 2 2. 故 y5sin(2x)， 又图象过点 P( 12，0)， 所以 5sin( 6)0， 由已知可得 6k，kZ， 因为|0f( 7 12)或 f( 6)0 时，函数 f(x)有且只有一个零点，即 sin 4 3 b3 20)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 2. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函数 g(x)的图象恰好经过点( 3，0)，求当 m 取得最小 值时，g(x)在 6， 7 12上的单调递增区间 【答案】(1
25、)f(x) 3sin(2x 3)；(2) 6， 12和 5 12， 7 12 【解析】 ： (1)函数 f(x)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 2， 得函数 f(x)的最小正周期为 T2 2 2 2，得 1， 故函数 f(x)的解析式为 f(x) 3sin(2x 3) (2)将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函数 g(x) 3sin2(xm) 3 3sin(2x2m 3)的图象， 根据 g(x)的图象恰好经过点( 3，0)， 可得 3sin(2 3 2m 3)0，即 sin(2m 3)0， 所以 2m 3k(kZ)，m k 2 6(kZ)， 因为 m0， 所以当 k0 时，m 取得最小值，且最小值为 6. 此时，g(x) 3sin(2x2 3 ) 因为 x 6， 7 12，所以 2x 2 3 3， 11 6 当 2x2 3 3， 2，即 x 6， 12时，g(x)单调递增， 当 2x2 3 3 2 ，11 6 ，即 x5 12， 7 12时，g(x)单调递增 综上，g(x)在区间 6， 7 12上的单调递增区间是 6， 12和 5 12， 7 12
