1、第 1 页 / 共 21 页 )(无限不循环小数 负有理数 正有理数 无理数 )( ) 3 2 , 2 1 ( ) 3 2 , 2 1 ( )( )3, 2, 1( )3, 2, 1, 0( 无限循环小数有限小数整数 负分数 正分数 小数分数 负整数 自然数 整数 有理数、 实数 专题专题 04 实数和二次根式的运算实数和二次根式的运算 一、实数一、实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数。 2有理数：有限小数或无限循环小数叫做有理数。 3无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如 3 2,7等； （2）有
2、特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如 3 +8 等； （3）有特定结构的数，如 0.1010010001等； （4）某些三角函数，如 sin60 o等。 4.算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“a” 。 0 的算术平方根为 0；从定义可知，只有当 a0 时,a 才有算术平方根。 5平方根：如果一个数 x 的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟） 。即若 x 2=a，则 x 叫 第 2 页 / 共 21 页 做 a 的平方根。 6一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0， ；负数没有平方根。 7一般地，如果一个数 x 的立方
3、等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根） 。 8一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 二、二次根式二、二次根式 1二次根式的定义：形如式子a（a0）叫做二次根式。 （或是说，表示非负数的算术平方根的式子， 叫做二次根式） 。 2二次根式有意义的条件：被开方数0 3.二次根式的性质 （1）是非负数； （2） （a） 2=a （a0） ； （3） aa2 （4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积， 即 = （a0,b0） 。 （5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即 a（a0） a（a0） 0
4、 （a=0） ； 第 3 页 / 共 21 页 = （a0,b0） 。反之， )0, 0(0, 0ba b a b a baabba 三、分母有理化三、分母有理化 1最简二次根式：必须同时满足下列条件： 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； 被开方数中不含分母； 分母中不含根式。 2同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 3分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程， 混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。 4分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。 5有
5、理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为 有理化因式。 6找有理化因式的方法： （1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。如： 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 。 （2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。即的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ，的有理化因式为 四、二次根式的运算四、二次根式的运算 1二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。 一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行： （1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式 第 4 页 / 共 21
6、页 （2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组 （3）合并同类二次根式 2 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即 （0，0） 。 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即 （0，0） 。 【例题【例题 1 1】 （】 （20202020湖州）湖州）数 4 的算术平方根是（ ） A2 B2 C2 D 【答案】A 【解析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果 2 的平方为 4， 4 的算术平方根为 2 【对点练习】【对点练习】 （20202020泰州）泰州）9 的平方根等于 【答案】3 【解析】直
7、接根据平方根的定义进行解答即可 （3） 29， 9 的平方根是3 【例题【例题 2 2】 （】 （20202020台州）台州）无理数在（ ） 第 5 页 / 共 21 页 A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 【答案】B 【解析】由可以得到答案 34 【对点练习】【对点练习】 （20192019甘肃庆阳）甘肃庆阳）下列整数中，与最接近的整数是（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】A 【解析】由于 91016，于是，10 与 9 的距离小于 16 与 10 的距离，可得答案 3 29，4216， 34， 10 与 9 的距离小于 16 与 10 的距离
8、， 与最接近的是 3 【例题【例题 3 3】 （】 （20202020达州）达州）计算：2 2+（ ）2+（ ） 0 【答案】1 【解析】直接利用零指数幂的性质和立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案 原式4+9+151 【对点练习】 （【对点练习】 （20202020 嘉兴模拟）嘉兴模拟）计算： 【答案】5 【解析】运算中注意符号的变化，且非零数的-1 次方就是它的倒数. 第 6 页 / 共 21 页 原式=3+=5. 【点拨】考查实数的运算。 【例题【例题 4 4】 （】 （20202020哈尔滨）哈尔滨）计算6的结果是 【答案】 【解析】原式 【点拨】根据二次根式的性质化简二次
9、根式后，再合并同类二次根式即可 【对点练习】【对点练习】 （20192019山东省聊城市）山东省聊城市）下列各式不成立的是（ ） A B2 C+5 D 【答案】C 【解析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可 3，A选项成立，不符合题意； 2，B选项成立，不符合题意； ，C选项不成立，符合题意； ，D选项成立，不符合题意。 【例题【例题 5 5】 （】 （20202020滨州）滨州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 【答案】x5 【解析】要使二次根式在实数范围内有意义，必须x50， 第 7 页 / 共 21 页 解得：x5， 【点拨】根据二次根式有意义的
10、条件得出x50，求出即可 【对点练习】【对点练习】 （20192019甘肃）甘肃）使得式子有意义的x的取值范围是（ ） Ax4 Bx4 Cx4 Dx4 【答案】D 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案 使得式子有意义，则：4x0， 解得：x4， 即x的取值范围是：x4 【例题【例题 6 6】 （】 （20202020凉山州）凉山州）下列等式成立的是（ ） A9 B|2|2 C （） 12 D （tan451） 01 【答案】C 【解析】根据算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定逐一判断即可得 A9，此选项计算错误； B|2|2，此选项错误； C （） 12，此
11、选项正确； D （tan451） 0无意义，此选项错误； 第 8 页 / 共 21 页 【对点练习】【对点练习】(2019(2019湖南益阳湖南益阳) )观察下列等式： 322(21) 2， 562(32) 2， 7122(43) 2， 请你根据以上规律，写出第 6 个等式 【答案】132() 2 【解析】第n个等式左边的第 1 个数为 2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右 边的式子为() 2(n1 的整数) 写出第 6 个等式为 132() 2 故答案为 132() 2 【例题【例题 7 7】 （】 （20192019山东威海）山东威海）计算（3） 0+ （）
12、 1的结果是（ ） A1+ B1+2 C D1+4 【答案】D 【解析】分别根据零次幂、二次根式的性质以及负指数幂化简即可求解 原式1+1+ 【对点练习】【对点练习】 （20192019广东）广东）先化简，再求值： 4-x x-x 2-x 1 - 2-x x 2 2 ，其中x=2 【答案】1+2. 第 9 页 / 共 21 页 【解析】原式= x-1 x-2 2 2 x -x x -4 = x-1 x-2 x2x-2 x x-1 = x2 x 当x=2，原式= 2 22 = 22 2 2 =1+ 2. 一、选择题一、选择题 1 1 （ （20202020达州）达州）下列各数中，比 3 大比 4
13、 小的无理数是（ ） A3.14 B C D 【答案】C 【解析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解 3，4， A.3.14 是有理数，故此选项不合题意； B.是有理数，故此选项不符合题意； C.是比 3 大比 4 小的无理数，故此选项符合题意； D.比 4 大的无理数，故此选项不合题意； 2.2.（20192019四川省达州市）四川省达州市）下列判断正确的是（ ） A0.5 B若ab0，则ab0 第 10 页 / 共 21 页 C D3a可以表示边长为a的等边三角形的周长 【答案】D 【解析】根据实数的大小比较法则、二次根式的乘除法法则、列代数式
14、的一般步骤判断即可 A.23， 1，本选项错误； B.若ab0，则a0 或b0 或ab0，本选项错误； C.当a0，b0 时，本选项错误； D.3a可以表示边长为a的等边三角形的周长，本选项正确。 3.3.（20192019 湖南常德）湖南常德）下列运算正确的是（ ） A+ B3 C2 D 【答案】D 【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运 算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的 解题途径，往往能事半功倍 根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据分母有理化
15、和二次根式 的性质对D进行判断 A.原式+2，所以A选项错误； B.原式2，所以B选项错误； C.原式2，所以C选项错误； D.原式，所以D选项正确 4.4.（20192019 山东省济宁市山东省济宁市 ）下列计算正确的是（ ） 第 11 页 / 共 21 页 A3 B C6 D0.6 【答案】D 【解析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案 A.3，故此选项错误； B.，故此选项错误； C.6，故此选项错误； D.0.6，正确 5.5.（20192019 湖南益阳）湖南益阳）下列运算正确的是（ ） A2 B （2） 26 C+ D 【答案】D 【解析】根据二次根式的性质以及二次
16、根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可 A.2，故本选项错误； B.12，故本选项错误； C.与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； D.根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确 6.6.（20192019湖北省荆门市）湖北省荆门市）的倒数的平方是（ ） A2 B C2 D 【答案】B 【解析】根据倒数，平方的定义以及二次根式的性质化简即可 第 12 页 / 共 21 页 的倒数的平方为： 二、填空题二、填空题 7 7 （ （20202020河南）河南）请你写出一个大于 1，且小于 3 的无理数是 【答案】（本题答案不唯一） 【解析】根据算术平方根的性质可以把 1 和 3 写成带根号的形式，
17、再进一步写出一个被开方数介于两者之 间的数即可 1，3， 写出一个大于 1 且小于 3 的无理数是 8 8 （ （20202020南充）南充）计算：|1|+2 0 【答案】 【解析】原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值 原式1+1 9 9 （ （20202020自贡）自贡）与2 最接近的自然数是 【答案】2 【解析】根据 3.54，可求 1.522，依此可得与2 最接近的自然数 3.54， 1.522， 与2 最接近的自然数是 2 第 13 页 / 共 21 页 1010 （ （20202020重庆）重庆）计算： （ ） 1 【答案】3 【解析】先计算负整数指数幂和算术平方
18、根，再计算加减可得 原式523 1111 （ （20202020遂宁）遂宁）下列各数 3.1415926，1.212212221， ，2，2020，中，无理数的个数有 个 【答案】3 【解析】根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，找出无理数的 个数在所列实数中，无理数有 1.212212221，2，这 3 个。 1212 （ （20202020宁波）宁波）实数 8 的立方根是 【答案】2 【解析】根据立方根的性质和求法，求出实数 8 的立方根是多少即可 实数 8 的立方根是： 2 1313 （ （20202020凤山县一模）凤山县一模）计算：1 【答案】2 【解析】直
19、接利用二次根式的性质化简进而得出答案 原式312 1414 （ （20202020泰州）泰州）9 的平方根等于 第 14 页 / 共 21 页 【答案】3 【解析】直接根据平方根的定义进行解答即可 （3） 29， 9 的平方根是3 1515 （ （20202020河南）河南）请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数 【答案】 【解析】由于所求无理数大于 1 且小于 2，两数平方得大于 2 小于 4，所以可选其中的任意一个数开平方即 可 大于 1 且小于 2 的无理数是，答案不唯一 1616 （ （20202020遵义）遵义）计算：的结果是 【答案】 【解析】首先化简，然后根据实数的运算法则计算
20、 2 17.17.（20192019山山东省滨州市东省滨州市 ）计算： （） 2| 2|+ 【答案】2+4 【解析】根据二次根式的混合计算解答即可 原式， 故答案为：2+4 18.18.（20192019江苏扬州）江苏扬州）计算： （2） 2018（ +2） 2019的结果是 【答案】+2 第 15 页 / 共 21 页 【解析】先根据积的乘方得到原式（2） （+2） 2018 （ +2） ，然后利用平方差公式计算 原式（2） （+2） 2018 （ +2） （54） 2018 （ +2） +2 故答案为+2 19.(201919.(2019四川绵阳四川绵阳) )单项式x -|a-1|y 与
21、2xy是同类项，则a b=_ 【答案】1 【解析】由题意知-|a-1|=0， a=1，b=1，则a b=（1）1=1，故答案为：1 20.20.（20192019 贵州遵义）贵州遵义）计算 20-53 的结果是 【答案】5 【解析】552-5320-53 21.21.（20192019南南京）京）计算的结果是 【答案】0 【解析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可 原式220 22.22.（20192019 宁夏）宁夏）计算： 1 1 ()22 2 【答案】2 【解析】 1 1 ()222222 2 第 16 页 / 共 21 页 23.23.（20192019广东广州）广
22、东广州）代数式有意义时，x应满足的条件是 【答案】x8 【解析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围 代数式有意义时， x80， 解得：x8 故答案为：x8 2424 （ （20192019山东临沂）山东临沂）一般地，如果x 4a（a0） ，则称 x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两 个它们互为相反数，记为，若10，则m_ 【答案】10 【解析】利用题中四次方根的定义求解 10， m 4104， m10 故答案为：10 25.25.（20192019 山东枣庄）山东枣庄）观察下列各式： 1+1+（1） ， 1+1+（） ， 第 17 页 / 共 21 页 1+1+（） ， 请利用
23、你发现的规律，计算： +， 其结果为 【答案】2018 【解析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可 + 1+（1）+1+（）+1+（） 2018+1+ 2018 三、解答题三、解答题 2626 （ （20202020泸州）泸州）计算：|5|（2020） 0+2cos60+（ ）1 【答案】8 【解析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出 答案 原式51+23 第 18 页 / 共 21 页 51+1+3 8 2727 （ （20202020连云港）连云港）计算（1） 2020+（ ）1 【答案】2 【解析】先计算乘方、负整数指数幂、立方
24、根，再计算加减可得 原式1+542 2828 （ （20202020苏州）苏州）计算：（2） 2（3）0 【答案】见解析。 【解析】根据实数的计算法则进行计算即可，如何不为 0 的 0 次幂为 1 【解析】（2） 2（3）0 41， 3 29 （20202020河南）河南）先化简，再求值： （1），其中a1 【答案】见解析。 【解析】 a1， 第 19 页 / 共 21 页 把a1 代入a111 30 （20202020成都）成都）先化简，再求值： （1），其中x3 【答案】见解析。 【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案 原式 x3， 当x3时， 原式 31 （
25、20202020哈尔滨）哈尔滨）先化简，再求代数式（1）的值，其中x4cos301 【答案】见解析。 【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，把x的值代入得出答案 原式 ， x4cos3014121， 原式 第 20 页 / 共 21 页 32.32.（20192019 贵州遵义）贵州遵义）计算 2sin60+ 31- 8-1-2-3）（ 【答案】3 【解析】sin60= 3 2 ，3-22- 3， 3 8-=-2，代入求值即可 2sin60+ -13 3-2-1- -8 （ ） = 3 22- 3-1 -2 2 （ ） （ ）=3 33.33.（20192019 年陕西
26、省）年陕西省）计算： 22 1 ( 3)3520( ) 2 【答案】见解析。 【解析】对该代数式中的每一项进行化简，然后，进行代数式的化简、合并 22 1 ( 3)3520( ) 2 9(35)2 54 9352 54 103 5 34.34.（20192019 湖北荆州）湖北荆州）已知：a（1） （1）+|1|，b2sin45+（ ） 1，求 ba的算 术平方根 【答案】1 【解析】利用平方差公式和绝对值的计算法则求得a的值，由二次根式的化简，特殊角的三角函数值已经 负整数指数幂求得b的值，代入求值即可 a（1） （1）+|1|3111， 第 21 页 / 共 21 页 b2sin45+（ ） 12 22 ba211 1
