1、 专题专题 10 10 分式方程及其应用分式方程及其应用 1的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” 。 (1)去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); (2)按解整式方程的步骤求出未知数的值; (3)验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程 的根。 【例题【例题 1 1】(2020(2020哈尔滨哈尔滨) )方程 2 :5 = 1 ;2的解为( ) Ax1 Bx5 Cx7 Dx9 【答案】D 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可 【解析】方程
2、的两边同乘(x+5)(x2)得： 2(x2)x5， 解得x9， 经检验，x9 是原方程的解 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨) )方程的解为( ) Ax Bx Cx Dx 【答案】C 【解析】将分式方程化为，即可求解x；同时要进行验根即可求解。 ， ， 2x9x3， x； 将检验x是方程的根， 方程的解为x 【点拨】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键 【例题【例题 2 2】(2020(2020齐齐哈尔齐齐哈尔) )若关于x的分式方程 3 ;2 = 2; +5 的解为正数，则m的取值范围为( ) Am10 Bm10 Cm10 且m6
3、 Dm10 且m6 【答案】D 【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可 【解析】去分母得：3xm+5(x2)， 解得：x= :10 2 ， 由方程的解为正数，得到m+100，且m+104， 则m的范围为m10 且m6， 【对点练习】【对点练习】(2019(2019江苏宿迁江苏宿迁) )关于x的分式方程+1 的解为正数，则a的取值范围是 【答案】a5 且a3 【解析】去分母得：1a+2x2， 解得：x5a， 5a0， 解得：a5， 当x5a2 时，a3 不合题意， 故a5 且a3 【点拨】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围
4、，进而结合分式方程有意义的 条件分析得出答案 【例题【例题 3 3】(2020(2020长沙长沙) )随着 5G网络技术的发展，市场对 5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大 型 5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产 30 万件产品，现在 生产 500 万件产品所需时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时间相同设更新技术前每天生产x万件 产品，依题意得( ) A 400 ;30 = 500 B400 = 500 :30 C400 = 500 ;30 D 400 :30 = 500 【答案】B 【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每
5、天生产(x+30)万件产品，根据工作时间工 作总量工作效率结合现在生产 500 万件产品所需时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时间相同，即 可得出关于x的分式方程，此题得解 【解析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品， 依题意，得：400 = 500 :30 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 吉林长春吉林长春) )为建国 70 周年献礼，某灯具厂计划加工 9000 套彩灯，为尽快完成任务，实 际每天加工彩灯的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前 5 天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯 的数量. 【答案】300 套 【解析】该灯
6、具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为 1.2x套， 由题意得： 90009000 5 1.2xx ， 解得：x=300， 经检验，x=300 是原方程的解，且符合题意。 【点拨】这样考虑理解容易一些：原计划 m 天完成，有 mx=9000，实际(m-5)天完成，有(m-5)2x=9000. 【例题【例题 4 4】(2020(2020 贵州黔西南贵州黔西南) )“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也 给自行车商家带来商机某自行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 8 万元今年该型自行车每辆售价 预计比去年降低 200 元若该型车的销售数
7、量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少 10%，求： (1)A 型自行车去年每辆售价多少元； (2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆， 且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍 已 知，A 型车和 B 型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元，计划 B 型车销售价格为 2400 元，应如何组织进 货才能使这批自行车销售获利最多 【答案】(1) 2000 元；(2) A 型车 20 辆，B 型车 40 辆 【解析】(1)设去年 A 型车每辆售价 x 元，则今年售价每辆为(x200)元，由卖出的数量相同列出方程求解 即可； (2)设今年新进 A 型车 a 辆，则 B
8、 型车(60a)辆，获利 y 元，由条件表示出 y 与 a 之间的关系式，由 a 的 取值范围就可以求出 y 的最大值 【详解】解：(1)设去年 A 型车每辆售价 x 元，则今年售价每辆为(x200)元，由题意，得 8000080000(1 10%) 200 xx ， 解得：x=2000 经检验，x=2000 是原方程的根 答：去年 A 型车每辆售价为 2000 元； (2)设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车(60a)辆，获利 y 元，由题意，得 y=a+(60a)， y=300a+36000 B 型车进货数量不超过 A 型车数量的两倍， 60a2a， a20 y=300a+36000
9、 k=3000， y 随 a 的增大而减小 a=20 时，y最大=30000 元 B 型车的数量为：6020=40 辆 当新进 A 型车 20 辆，B 型车 40 辆时，这批车获利最大 【点拨】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用 【对点练习】【对点练习】(2020(2020广东广东) )某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济” ，每个A类摊位的占地面积比每个 B类摊位的占地面积多2平方米 建A类摊位每平方米的费用为40元， 建B类摊位每平方米的费用为30元 用 60 平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的3 5 (1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ (2
10、)该社区拟建A，B两类摊位共 90 个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的 3 倍求建造这 90 个摊 位的最大费用 【答案】见解析。 【分析】(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据用 60 平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的3 5这个等量关系列出方程即可 (2)设建A摊位a个，则建B摊位(90a)个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的 3 倍”列出不等 式并解答 【解析】(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米， 根据题意得： 60 :2 = 60 3 5， 解得：x3，
11、经检验x3 是原方程的解， 所以 3+25， 答：每个A类摊位占地面积为 5 平方米，每个B类摊位的占地面积为 3 平方米； (2)设建A摊位a个，则建B摊位(90a)个， 由题意得：90a3a， 解得a22.5， 建A类摊位每平方米的费用为 40 元，建B类摊位每平方米的费用为 30 元， 要想使建造这 90 个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值 22 时，费用最大， 此时最大费用为：22405+30(9022)310520， 答：建造这 90 个摊位的最大费用是 10520 元 一、选择题一、选择题 1(2020(2020黑龙江黑龙江) )已知关于x的分式方程 ;2 4=
12、2;的解为正数，则 k的取值范围是( ) A8k0 Bk8 且k2 Ck8 且k2 Dk4 且k2 【答案】B 【分析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k的范围即可 【解析】分式方程 ;2 4= 2;， 去分母得：x4(x2)k， 去括号得：x4x+8k， 解得：x= :8 3 ， 由分式方程的解为正数，得到:8 3 0，且:8 3 2， 解得：k8 且k2 2(2020(2020泸州泸州) )已知关于x的分式方程 ;1 +2= 3 1;的解为非负数，则正整数 m的所有个数为( ) A3 B4 C5 D6 【答案】B 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得
13、不等式，解不等式，可得 答案 【解析】去分母，得：m+2(x1)3， 移项、合并，得：x= 5; 2 ， 分式方程的解为非负数， 5m0 且5; 2 1， 解得：m5 且m3， 正整数解有 1，2，4，5 共 4 个. 3(2020(2020成都成都) )已知x2 是分式方程 + ;3 ;1 =1 的解，那么实数k的值为( ) A3 B4 C5 D6 【答案】B 【分析】把x2 代入分式方程计算即可求出k的值 【解析】把x2 代入分式方程得： 2 11， 解得：k4 4.(20194.(2019广东省广州市广东省广州市) )甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做 8 个，甲做 120
14、个所用的时间 与乙做 150 个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是( ) A B C D 【答案】 【解析】设甲每小时做x个零件，根据甲做 120 个所用的时间与乙做 150 个所用的时间相等得出方程解答 即可 设甲每小时做x个零件，可得： 5.5.(2019(2019 黑龙东地区黑龙东地区) )已知关于x的分式方程 2 1 3 xm x 的解是非正数，则m的取值范围是( ) Am3 Bm3 Cm3 Dm3 【答案】A 【解析】知识点是分式方程的增根。 由 2 1 3 xm x 得 x=m-3， 方程的解是非正数， m-30，m3. 当 x-3=0 即 x=3 时，3=m-
15、3，m=6， m=6 不在 m3 内，m3.故选 A. 6.(20196.(2019 山东淄博山东淄博) )解分式方程2 时，去分母变形正确的是( ) A1+x12(x2) B1x12(x2) C1+x1+2(2x)D1x12(x2) 【答案】D 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果 去分母得：1x12(x2) 7.(20197.(2019广西贵港广西贵港) )若分式的值等于 0，则x的值为( ) A1B0C1D1 【答案】D 【解析】化简分式x10 即可求解。 x10， x1； 经检验：x1 是原分式方程的解。 8.8.( (20192019湖北湖北十堰十堰) )十堰即将跨入高
16、铁时代，钢轨铺设任务也将完成现还有 6000 米的钢轨需要铺设，为 确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设 20 米，就能提前 15 天完成任务设原计划每天铺设 钢轨x米，则根据题意所列的方程是( ) A15 B15 C20 D20 【答案】A 【解析】考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程 设原计划每天铺设钢轨x米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设 20 米，就能提前 15 天完成任务可 列方程 设原计划每天铺设钢轨x米，可得： 9. (20199. (2019山东省济宁市山东省济宁市) )世界文化遗产 “三孔” 景区已经完成 5G基站布设，“孔夫
17、子家” 自此有了 5G网络 5G 网络峰值速率为 4G网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 500 兆数据，5G网络比 4G网络快 45 秒，求 这两种网络的峰值速率设 4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是( ) A45B45 C45D45 【答案】A 【解析】由实际问题抽象出分式方程直接利用 5G网络比 4G网络快 45 秒得出等式进而得出答案 设 4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是： 45 10.(201910.(2019江苏苏州江苏苏州) )小明 5 元买售价相同的软面笔记本，小丽用 24 元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱 恰好用完)，已
18、知每本硬面笔记本比软面笔记本贵 3 元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记 本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为( ) A15 24 3xx B15 24 3xx C 1524 3xx D 1524 3xx 【答案】A 【解析】考察分式方程的应用，简单题型。找到等量关系为两人买的笔记本数量 1524 3xx 二、填空题二、填空题 11(2020(2020徐州徐州) )方程9 = 8 ;1的解为 【答案】x9 【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可 【解析】去分母得： 9(x1)8x 9x98x x9 检验：把x9 代入x(x1)0， 所以x9 是原方程的解 12(2020(20
19、20盐城盐城) )分式方程;1 =0 的解为x 【答案】1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解 【解析】分式方程;1 =0， 去分母得：x10， 解得：x1， 经检验x1 是分式方程的解 13(2020(2020广元广元) )关于x的分式方程 2;1 +20 的解为正数，则m的取值范围是 【答案】m2 且m0 【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的 范围 【解析】去分母得：m+4x20， 解得：x= 2; 4 ， 关于x的分式方程 2;1 +20 的解是正数， 2; 4 0， m2，
20、 2x10， 2 2; 4 10， m0， m的取值范围是m2 且m0 14.(201914.(2019甘肃甘肃) )分式方程的解为 【答案】x 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解 去分母得：3x+65x+5， 解得：x， 经检验x是分式方程的解 15.(201915.(2019山东省滨州市山东省滨州市) )方程+1的解是 【答案】x1 【解析】本题考查了解分式方程(1)解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程 求解，(2)解分式方程一定注意要验根 去分母，得x3+x23， 移项、合并，得 2x2， 解得x1， 检
21、验：当x1 时，x20， 所以，原方程的解为x1 16.(201916.(2019 湖北黄石湖北黄石) )分式方程：1 的解为 【答案】x1 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解 去分母得：4xx 24x，即 x 23x40， 解得：x4 或x1， 经检验x4 是增根，分式方程的解为x1 17.(201917.(2019 四川巴中四川巴中) )若关于x的分式方程+2m有增根，则m的值为 【答案】1 【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x 20，得到x2，然后代入化为整式方程的方程算出m
22、的值 方程两边都乘x2，得x2m2m(x2) 原方程有增根， 最简公分母x20， 解得x2， 当x2 时，m1 故m的值是 1 18.(201918.(2019江苏宿迁江苏宿迁) )关于x的分式方程+1 的解为正数，则a的取值范围是 【答案】a5 且a3 【解析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的 条件分析得出答案 去分母得：1a+2x2， 解得：x5a， 5a0， 解得：a5， 当x5a2 时，a3 不合题意， 故a5 且a3 19.(201919.(2019贵贵州省安顺市州省安顺市)某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达 36 万千
23、克， 为了满足市场需 求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的 1.5 倍，总产量比原计划增加了 9 万千克， 种植亩数减少了 20 亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克， 则改良后平均每亩产量为 1.5x万千克，根据题意列方程为 【答案】 20 【解析】设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为 1.5x万千克， 依题意，得：20 故答案为：20 20. (201920. (2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) )甲乙两辆汽车同时从 A地出发,开往相距 200km的 B地,甲,乙两车的速度之比是4:5, 结果乙车比甲车早 30 分钟到
24、达 B 地,则甲车速度为_km/h. 【答案】80 【解析】分式方程的应用。 设甲车速度为 4x,乙车速度为 5x,根据题意得: 2002001 452xx , 解之,得 x20,甲车速度为 4x80. 三、解答题三、解答题 21(2020(2020湘潭湘潭) )解分式方程： 3 ;1 +2= ;1 【答案】见解析。 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解 【解析】 3 ;1 + 2 = ;1 去分母得，3+2(x1)x， 解得，x1， 经检验，x1 是原方程的解 所以，原方程的解为：x1 22(2020(2020陕西陕西) )解分式方程：
25、;2 3 ;2 =1 【答案】见解析。 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解 【解析】方程;2 3 ;2 =1， 去分母得：x 24x+43xx22x， 解得：x= 4 5， 经检验x= 4 5是分式方程的解 24(2020(2020牡丹江牡丹江)某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少 20 元，用 700 元购 进A种书包的个数是用 450 元购进B种书包个数的 2 倍，A种书包每个标价是 90 元，B种书包每个标价是 130 元请解答下列问题： (1)A，B两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进B种书包
26、的个数比A种书包的 2 倍还多 5 个，且A种书包不少于 18 个，购进A，B两种书 包的总费用不超过 5450 元，则该商场有哪几种进货方案？ (3)该商场按(2)中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出 5 个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全 部售出，其中两种书包共有 4 个样品，每种样品都打五折，商场仍获利 1370 元请直接写出赠送的书包和 样品中，B种书包各有几个？ 【答案】见解析。 【分析】(1)设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为(x+20)元，根据数量总价单价结 合用 700 元购进A种书包的个数是用 450 元购进B种书包个数的 2 倍，即可得出关于x的分式方
27、程，解之 经检验后即可得出结论； (2)设该商场购进m个A种书包，则购进(2m+5)个B种书包，根据购进A，B两种书包的总费用不超过 5450 元且A种书包不少于 18 个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m 为正整数即可得出各进货方案； (3)设销售利润为w元，根据总利润销售每个书包的利润销售数量，即可得出w关于m的函数关系式， 利用一次函数的性质可得出获得利润最大的进货方案，设赠送的书包中B种书包有a个，样品中B种书包 有b个，则赠送的书包中A种书包有(5a)个，样品中A种书包有(4b)个，根据利润销售收入成本， 即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，
28、b，(5a)，(4b)均为正整数，即可求出结论 【解析】(1)设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为(x+20)元， 依题意，得：700 =2 450 :20， 解得：x70， 经检验，x70 是原方程的解，且符合题意， x+2090 答：每个A种书包的进价为 70 元，每个B种书包的进价为 90 元 (2)设该商场购进m个A种书包，则购进(2m+5)个B种书包， 依题意，得： 18 70 + 90(2 + 5) 5450， 解得：18m20 又m为正整数， m可以为 18，19，20， 该商场有 3 种进货方案，方案 1：购买 18 个A种书包，41 个B种书包；方案 2：购买
29、19 个A种书包，43 个B种书包；方案 3：购买 20 个A种书包，45 个B种书包 (3)设销售利润为w元，则w(9070)m+(13090)(2m+5)100m+200 k1000， w随m的增大而增大， 当m20 时，w取得最大值，此时 2m+545 设赠送的书包中B种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有(5a)个，样品中A 种书包有(4b)个， 依题意，得：9020(5a)(4b)+0.590(4b)+130(45ab)+0.5130b70209045 1370， b102a a，b，(5a)，(4b)均为正整数， = 4 = 2 答：赠送的书包中B种书包有 4 个，样品中B种书包有 2 个
