1、20212021 中考三轮查漏补缺：二次函数的实际应用中考三轮查漏补缺：二次函数的实际应用 一、选择题一、选择题 1. 某种服装的销售利润 y(万元)与销售数量 x(万件)之间满足函数解析式 y2x24x5，则 利润的( ) A最大值为 5 万元 B最大值为 7 万元 C最小值为 5 万元 D最小值为 7 万元 2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立如图所示的平 面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 yx24x(单位：米)的一部分，则水喷出的最 大高度是( ) A4 米 B3 米 C2 米 D1 米 3. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 A
2、BCD，其中C120 .若新建墙 BC 与 CD 的总长为 12 m，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是( ) A18 m2 B18 3 m2 C24 3 m2 D.45 3 2 m2 4. 如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线 y=- 1 400(x-80) 2+16，桥拱与桥墩 AC 的 交点 C 恰好在水面 CD 处，有 ACx 轴，若 OA=10 米，则桥面离水面的高度 AC 为 ( ) A.16 9 40米 B.17 4 米 C.16 7 40米 D.15 4 米 5. 从地
3、面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位:m)与小球运动时间 t(单位: s)之间的函数关 系如图所示.下列结论: 小球在空中经过的路程是 40 m; 小球抛出 3 秒后，速度越来越快; 小球抛出 3 秒时速度为 0; 小球的高度 h=30 m 时，t=1.5 s. 其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 6. 如图，铅球运动员掷铅球的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数解析式是 y 1 12x 22 3x 5 3，则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A6 m B12 m C8 m D10 m 7. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮， 球沿一条抛物线运动
4、， 当球运动 的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮筐内已知篮圈中心距离地面 高度为 3.05 m，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( ) A此抛物线的解析式是 y1 5x 23.5 B篮圈中心的坐标是(4，3.05) C此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D篮球出手时离地面的高度是 2 m 8. 如图，将一个小球从斜坡上的点 O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数 y4x1 2x 2 刻 画，斜坡可以用一次函数 y1 2x 刻画，下列结论错误的是( ) A当小球抛出高度达到 7.5 m 时，小球距点 O 的水平距离为 3 m B小球
5、距点 O 的水平距离超过 4 m 后呈下降趋势 C小球落地点距点 O 的水平距离为 7 m D小球距点 O 的水平距离为 2.5 m 和 5.5 m 时的高度相同 二、填空题二、填空题 9. 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价 为 a 元，则可卖出(35010a)件但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的 40%，若商店 想获得最大利润，则每件商品的价格应定为_元 10. 如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开.已知篱 笆的总长为 900 m(篱笆的厚度忽略不计)， 当 AB= m 时， 矩形土地
6、 ABCD 的面积最大. 11. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两个 小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后 1.1 秒时达到相同的最大离地高度， 第一个小球抛出后 t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则 t= . 12. 某大学生利用业余时间销售一种进价为 60 元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文 化衫的相关信息如下： (1)月销量 y(件)与售价 x(元/件)的关系满足 y2x400； (2)工商部门限制售价 x 满足 70 x150(计算月利润时不考虑其他成本) 给出下列结论： 这种文化衫的月销量最小为 100 件
7、； 这种文化衫的月销量最大为 260 件； 销售这种文化衫的月利润最小为 2600 元； 销售这种文化衫的月利润最大为 9000 元 其中正确的是_(把所有正确结论的序号都填上) 13. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所 示的三处各留 1 m 宽的门已知计划中的材料可建墙体总长为 27 m，则能建成的饲养室总占 地面积最大为_m2. 14. 某电商销售一款夏季时装，进价 40 元/件，售价 110 元/件，每天销售 20 件，每销售一件需 缴纳电商平台推广费用 a 元(a0)未来 30 天，这款时装将开展“每天降价 1 元”的夏令促销活 动，即从
8、第 1 天起每天的单价均比前一天降 1 元通过市场调研发现，该时装单价每降 1 元， 每天销量增加 4 件在这 30 天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数 t(t 为 正整数 )的增大而增大，a 的取值范围应为_ 15. 飞机着落后滑行的距离 s(单位：米)关于滑行时间 t(单位：秒)的函数解析式是 s60t3 2t 2， 则飞机着落后滑行的最长时间为_秒 16. 如图，小明的父亲在相距 2 m 的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千拴绳子的地方距 地面高度都是 2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 m 的小明距较近的那棵树 0.5 m 时，头部刚好接触 到绳子，
9、则绳子的最低点到地面的距离为_m. 三、解答题三、解答题 17. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分如图，甲在 O 点正上 方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间满足函数表达式 ya(x 4)2h.已知点 O 与球网的水平距离为 5 m，球网的高度为 1.55 m. (1)当 a 1 24时，求 h 的值，通过计算判断此球能否过网 (2)若甲发球过网后， 羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7 m， 离地面的高度为12 5 m 的 Q 处时， 乙扣球成功，求 a 的值 18. 有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度 BM
10、为 3 米，跨度 OA 为 6 米，以 OA 所在 直线为 x 轴，O 为原点建立平面直角坐标系(如图所示) (1)请你直接写出 O，A，M 三点的坐标； (2)一艘小船上平放着一些宽 2 米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，则这些 木板最高可堆放多少米(最底层木板与水面在同一平面，不考虑船的高度)? 19. 一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶， 该茶叶的成本价是80元/kg， 销售单价不低于120元/kg， 且不高于 180 元/kg.经销一段时间后得到如下数据： 销售单价 x(元/kg) 120 130 180 每天销量 y(kg) 100 95 70 设 y 与 x 的关系是我们
11、所学过的某一种函数关系 (1)直接写出 y 与 x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围； (2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？ 20. 已知一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形 ABCD 的三边组成，隧道的最大高度为 4.9 米，AB10 米，BC2.4 米，现把隧道横断面放在如图所示的平面直角坐标系中，有一辆 高为 4 米，宽为 2 米的装有集装箱的汽车要通过该隧道，如果不考虑其他因素，汽车的右侧至 少离开隧道石壁多少米才不至于碰到隧道顶部？ 21. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为 80 m 的围网 在水库中围成了如图所
12、示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设 BC 的 长度为 x m，矩形区域 ABCD 的面积为 y m2. (1)求 y 与 x 之间的函数解析式，并注明自变量 x 的取值范围； (2)当 x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 22. 如图，用一块长为 50 cm，宽为 30 cm 的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四 个角各截去一个相同的小正方形，设小正方形的边长为 x cm. (1)盒子底面的长 AB_ cm，宽 BC_ cm.(用含 x 的代数式表示) (2)若做成的盒子的底面积为 300 cm2，求该盒子的容积 (3)该盒子的侧面积S(cm2)是否存在最大值？若
13、存在， 求出此时x的值及S的最大值； 若不存在， 说明理由. 23. 九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第 x 天(1x90，且 x 为整数)的 售价与销售量的相关信息如下，已知商品的进价为 30 元/件，设该商品的售价为 y(单位：元/ 件)，每天的销售量为 p(单位：件)，每天的销售利润为 w(单位：元) 时间 x(天) 1 30 60 90 每天销售量 p(件) 198 140 80 20 (1)求出 w 与 x 的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润； (3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于 5600 元？请
14、直接写出结果 24. 宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在 14 天内完成已知每件产品的出厂价为 60 元工人甲第 x 天生产的产品数量为 y 件，y 与 x 满足如下关系：y 7.5x（0 x4）， 5x10（4x14）. (1)工人甲第几天生产的产品数量为 70 件？ (2)设第 x 天生产的产品成本为 P 元/件，P 与 x 之间的函数图象如图.工人甲第 x 天创造的利润 为 W 元，求 W 与 x 之间的函数解析式，并求出第几天时，工人甲所创造的利润最大，最大利 润是多少. 答案答案 一、选择题一、选择题 1. 【答案】【答案】B 2. 【答案】【答案】A 解析 y(x24x4
15、)4(x2)24，水喷出的最大高度是 4 米 3. 【答案】【答案】C 解析 如图，过点 C 作 CEAB 于点 E， 则四边形 ADCE 为矩形，DCECEB90 ， 则BCEBCDDCE30 . 设 CDAEx m，则 BC(12x)m. 在 Rt CBE 中，CEB90 ，BCE30 ， BE1 2BC(6 1 2x)m， ADCE BC2BE2(6 3 3 2 x)m，ABAEBEx61 2x( 1 2x6)m， 梯形 ABCD 的面积1 2(CDAB) CE 1 2(x 1 2x6) (6 3 3 2 x) 3 3 8 x23 3x18 3 3 3 8 (x4)224 3. 当 x4
16、 时，S最大24 3. 即 CD 的长为 4 m 时，梯形储料场 ABCD 的面积最大为 24 3 m2.故选 C. 4. 【答案】【答案】B 解析ACx 轴，OA=10 米， 点 C 的横坐标为-10. 当 x=-10 时，y=- 1 400(x-80) 2+16=- 1 400 (-10-80) 2+16=-17 4 ， C(-10，- 17 4 )， 桥面离水面的高度 AC 为17 4 米. 故选 B. 5. 【答案】【答案】D 解析由图象知小球在空中达到的最大高度是 40 m，故错误; 小球抛出 3 秒后，速度越来越快，故正确; 小球抛出 3 秒时达到最高点即速度为 0，故正确; 设函
17、数解析式为:h=a(t-3)2+40， 把 O(0，0)代入得 0=a(0-3)2+40，解得 a=-40 9 ， 函数解析式为 h=-40 9 (t-3)2+40. 把 h=30 代入解析式得，30=-40 9 (t-3)2+40，解得 t=4.5 或 t=1.5， 小球的高度 h=30 m 时，t=1.5 s 或 4.5 s，故错误，故选 D. 6. 【答案】【答案】D 解析 把 y0 代入 y 1 12x 22 3x 5 3，得 1 12x 22 3x 5 30， 解得 x110，x22.又x0，x10. 故选 D. 7. 【答案】【答案】A 解析 抛物线的顶点坐标为(0，3.5)， 可
18、设抛物线的函数解析式为 yax23.5. 篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，3.05a 1.523.5.解得 a1 5.y 1 5x 23.5.可见选 项 A 正确 由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项 B 错误 由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项 C 错误 将 x2.5 代入抛物线的解析式，得 y1 5 (2.5) 23.52.25，这次跳投时，球出手处 离地面 2.25 m 可见选项 D 错误 故选 A. 8. 【答案】【答案】A 解析 令 y7.5，得 4x1 2x 27.5.解得 x13，x25.可见选项 A 错误 由 y4x1 2x 2
19、得 y1 2(x4) 28， 对称轴为直线 x4， 当 x4 时， y 随 x 的增大而减小， 选项 B 正确 联立y4x1 2x 2与y1 2x， 解得 x0， y0 或 x7， y7 2. 抛物线与直线的交点坐标为(0， 0)， 7，7 2 ， 可见选项 C 正确 由对称性可知选项 D 正确 综上所述，只有选项 A 中的结论是错误的，故选 A. 二、填空题二、填空题 9. 【答案】【答案】28 解析 设商店所获利润为 y 元根据题意，得 y(a21)(35010a)10a2560a735010(a28)2490， 即当 a28 时，可获得最大利润 又 21 (140%)21 1.429.4
20、，而 2829.4，所以 a28 符合要求 故商店应把每件商品的价格定为 28 元，此时可获得最大利润 10. 【答案】【答案】150 解析设 AB=x m，矩形土地 ABCD 的面积为 y m2，由题意，得 y=x 900-3 2 =-3 2(x-150) 2+33750，-3 20，该函数图象开口向下，当 x=150 时，该函数有最大值. 即 AB=150 m 时，矩形土地 ABCD 的面积最大. 11. 【答案】【答案】1.6 解析设各自抛出后 1.1 秒时达到相同的最大离地高度 h，则第一个小球的离 地高度 y=a(t-1.1)2+h(a0)， 由题意 a(t-1.1)2+h=a(t-
21、1-1.1)2+h， 解得 t=1.6. 故第一个小球抛出后 1.6 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同. 12. 【答案】【答案】 解析 由题意知，当 70 x150 时，y2x400， 20，y 随 x 的增大而减小， 当 x150 时，y 取得最小值，最小值为 100，故正确； 当 x70 时，y 取得最大值，最大值为 260，故正确； 设销售这种文化衫的月利润为 W 元， 则 W(x60)(2x400)2(x130)29800， 70 x150， 当 x70 时，W 取得最小值，最小值为2(70130)298002600，故正确； 当 x130 时，W 取得最大值，最大值为 9800
22、，故错误 故答案为. 13. 【答案】【答案】75 解析 设与墙垂直的一边的长为 x m，则与墙平行的一边的长为 27(3x1) 2(303x)m.因此饲养室总占地面积 Sx(303x)3x230 x， 当 x 30 2 （3）5 时，S 最大，S最大值3 5230 575.故能建成的饲养室总占地面积最大为 75 m2. 14. 【答案】【答案】0a5 【解析】设未来 30 天每天获得的利润为 y，y(11040t)(204t)(20 4t)a 化简，得 y4t2(2604a)t140020a，每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天 数 t(t 为整数)的增大而增大，则（2604a） 2（4）
23、30，解得 a5，又a0，a 的取值范围是 0a5. 15. 【答案】【答案】20 解析 滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标s60t3 2t 23 2(t20) 2 600，当 t20 时，s 的最大值为 600. 16. 【答案】【答案】0.5 解析 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐标原点建立平面 直角坐标系，则抛物线的解析式可设为 yax2h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(0.5，1)，于是求得 a2， h0.5. 三、解答题三、解答题 17. 【答案】【答案】 【思维教练】(1)将点 P 坐标代入解析式求出 h 的值，当抛物线到达球网位置的时候，对比抛 物
24、线与球网的高度判断是否能过网；(2)球能过网说明抛物线过点(0，1)和点(7，12 5 )，代入抛物 线解析式求解即可 解：(1)把(0，1)代入 y 1 24(x4) 2h，得 h5 3.(2 分) 把 x5 代入 y 1 24(x4) 25 3，得 y 1 24(54) 25 31.625. 1.6251.55. 此球能过网；(4 分) (2)把(0，1)，(7，12 5 )代入 ya(x4)2h，得 16ah1， 9ah12 5 ，解得 a1 5， h21 5 . a1 5.(8 分) 18. 【答案】【答案】 解：(1)O(0，0)，A(6，0)，M(3，3) (2)设抛物线的函数解析
25、式为 ya(x3)23.因为抛物线过点(0，0)，所以 0a(03)23，解 得 a1 3， 所以 y1 3(x3) 23. 要使木板堆放最高，根据题意，得点 B 应是木板宽 CD 的中点(如图所示)，把 x2 代入 y 1 3(x3) 23，得 y8 3，所以这些木板最高可堆放 8 3米 19. 【答案】【答案】 解：(1)y1 2x160，120 x180.(3 分) (2)设销售利润为 W 元，则 Wy(x80)(1 2x160)(x80)，(4 分) 即 W1 2x 2200 x128001 2(x200) 27200.(5 分) 1 20， 当 x200 时，W 随 x 的增大而增大
26、， 又 120 x180， 当 x180 时，W 取最大值， 此时，W1 2(180200) 272007000. 答：当销售单价为 180 元时，销售利润最大，最大利润是 7000 元(8 分) 20. 【答案】【答案】 解：由题意，知 AB10 米，BC2.4 米， C(10，0)，B(10，2.4)，A(0，2.4) 由题意，知抛物线的顶点坐标为(5，2.5) 设抛物线的解析式为 ya(x5)22.5. 将(10，0)代入解析式， 得 0a(105)22.5， 解得 a 1 10， y 1 10(x5) 22.51 10 x 2x. 此公路为双向公路，当汽车高为 4 米时，在抛物线隧道中
27、对应的纵坐标 y42.41.6， 由 1.6 1 10 x 2x， 解得 x12，x28. 故汽车要通过隧道，其右侧至少要离开隧道石壁 2 米才不至于碰到隧道顶部 21. 【答案】【答案】 解：(1)三块矩形区域的面积相等，矩形 AEFD 的面积是矩形 BCFE 的面积的 2 倍，AE 2BE.设 BEa，则 AE2a，8a2x80，a1 4x10，3a 3 4x30，y( 3 4x 30)x3 4x 230 x.a1 4x100，x40，则 y 3 4x 230 x(0 x40) (2)y3 4x 230 x3 4(x20) 2300(0 x40)，且二次项系数为3 40，当 x20 时，
28、y 有最大值，最大值是 300. 22. 【答案】【答案】 解：(1)(502x) (302x) (2)依题意，得(502x)(302x)300， 整理，得 x240 x3000， 解得 x110，x230(不符合题意，舍去) 当 x10 时，盒子的容积300 103000(cm3) (3)存在 盒子的侧面积 S2x(502x)2x(302x)100 x4x260 x4x28x2160 x 8(x220 x)8(x10)21008(x10)2800， 当 x10 时，S 有最大值，最大值为 800. 23. 【答案】【答案】 解： (1)当 0 x50 时， 设商品的售价 y 与时间 x 的函
29、数关系式为 ykxb(k、 b 为常数且 k0)， ykxb 经过点(0，40)，(50，90)， b40 50kb90， 解得 k1 b40， yx40， y 与 x 的函数关系式为： y x40 （0 x50，且x为整数） 90 （50 x90，且x为整数），(2 分) 由数据可知每天的销售量 p 与时间 x 成一次函数关系 设每天的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 pmxn(m，n 为常数，且 m0)， pmxn 过点(60，80)，(30，140)， 60mn80 30mn140，解得 m2 n200 ， p2x200(0 x90，且 x 为整数)，(3 分) 当 0 x50 时
30、， w(y30) p (x4030)(2x200)， 2x2180 x2000， 当 50 x90 时， w(9030) (2x200) 120 x12000， 综上所述，每天的销售利润 w 与时间 x 的函数关系式是： w 2x2180 x2000 （0 x50，且x为整数） 120 x12000 （50 x90，且x为整数）.(5 分) (2)当 0 x50 时， w2x2180 x2000 2(x45)26050， a20 且 0 x50， x45 时，w最大6050(元)，(6 分) 当 50 x90 时， w120 x12000， k1200， w 随 x 增大而减小 x50 时，w
31、最大6000(元)， 60506000， x45 时，w最大6050(元)， 即销售第 45 天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是 6050 元(8 分) (3)24 天(10 分) 【解法提示】当 0 x50，若 w 不低于 5600 元， 则 w2x2180 x20005600，解得 30 x60， 30 x50； 当 50 x90 时，若 w 不低于 5600 元， 则 w120 x120005600，解得 x160 3 ， 50 x160 3 ， 综合可得 30 x160 3 ， 从第 30 天到第 53 天共有 24 天利润不低于 5600 元 24. 【答案】【答案】 解：(1
32、)令 7.5x70，则 x28 3 4，不符合题意， 5x1070，解得 x12. 答：工人甲第 12 天生产的产品数量为 70 件 (2)由函数图象知，当 0 x4 时，P40； 当 4x14 时，设 Pkxb. 将(4，40)，(14，50)代入，得 4kb40， 14kb50， 解得 k1， b36. Px36. 当 0 x4 时，W(6040) 7.5x150 x， W 随 x 的增大而增大， 当 x4 时，W最大600； 当 4x14 时，W(60 x36)(5x10)5x2110 x2405(x11)2845， 当 x11 时，W最大845. 845600， 当 x11 时，W 取得最大值，最大值为 845. 综上，W 与 x 之间的函数解析式为 W 150 x（0 x4）， 5x2110 x240（4x14）； 第 11 天时，工人甲所创造的利润最大，最大利润是 845 元
