1、2021 年中考数学一轮复习年中考数学一轮复习二次函数优生辅导训练二次函数优生辅导训练 1如图，抛物线 yax2+bx+4 交 y 轴于点 A，交过点 A 且平行于 x 轴的直线于另一点 B，交 x 轴于 C，D 两 点（点 C 在点 D 右边） ，对称轴为直线 x，连接 AC，AD，BC若点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落 在线段 OC 上，下列结论中错误的是（ ） A点 B 坐标为（5，4） BABAD Ca DOCOD16 2如图，二次函数 ya（x+1）2+k 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B 两点，下列说法错误的是（ ） Aa0 B图象的对称轴为直线 x1 C点 B 的坐
2、标为（1，0） D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 3已知（3，y1） ， （2，y2） ， （1，y3）是抛物线 y3x212x+m 上的点，则（ ） Ay3y2y1 By3y1y2 Cy2y3y1 Dy1y3y2 4在平面直角坐标系中，将抛物线 yx2（m1）x+m（m1）沿 y 轴向下平移 3 个单位则平移后得 到的抛物线的顶点一定在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5若一次函数 y（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数 yax2ax（ ） A有最大值 B有最大值 C有最小值 D有最小值 6二次函数 yx22x+1 配方后，结果正确的是（ ）
3、Ay（x+1）2+2 By（x1）2+2 Cy（x+1）22 Dy（x1）22 7抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，对称轴是直线 x1，其部分图象如图 所示，则此抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是（ ） A （，0） B （3，0） C （，0） D （2，0） 8巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为 1 米的喷水管最大高度为 3 米，此 时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（ ） A B C D 9一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离 为 2.
4、5m 时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮筐内已知篮圈中心距离地面高度为 3.05m，在如图所 示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A此抛物线的解析式是 yx2+3.5 B篮圈中心的坐标是（4，3.05） C此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D篮球出手时离地面的高度是 2m 10已知方程 ax2+bx+cy0（a0、b、c 为常数） ，请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形 式则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数 11若直线 ym（m 为常数）与函数 y的图象恒有三个不同的交点，则常数 m 的取值范围 是 12当1x3 时，二次函数 yx24x+5 有最大值
5、m，则 m 13已知二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的 y 与 x 的部分对应值如下表： x 5 4 2 0 2 y 6 0 6 4 6 下列结论： a0； 当 x2 时，函数最小值为6； 若点（8，y1） ，点（8，y2）在二次函数图象上，则 y1y2； 方程 ax2+bx+c5 有两个不相等的实数根 其中，正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填上） 14已知函数 y（x1）2图象上两点 A（2，y1） ，B（a，y2） ，其中 a2，则 y1与 y2的大小关系是 y1 y2（填“” 、 “”或“” ） 15将抛物线 yax2+bx1 向上平移 3 个单位长度后
6、，经过点（2，5） ，则 8a4b11 的值是 16在二次函数 yax2+bx+c（a0）中，已知 b 是 a、c 的比例中项，且当 x0 时 y4，那么 y 的最值 为 （并要求指明是最大值还是最小值） 17已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，1 ） ，那么这个二次函数的解析式可以 是 （只需写一个） 18函数 yasinxcosx+bsinx+bcosx+c 运用换元法可以化简为：将 设为 t，则化简为 友情提 醒：sin2x1cos2x 19抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ，对称轴为 x 1，则当 y0 时，x 的
7、取值范围是 20有这样一个问题：探究函数 yx2+的图象与性质 小东根据学习函数的经验，对函数 yx2+的图象与性质进行了探究 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数 yx2+的自变量 x 的取值范围是 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值 x 3 2 1 1 2 3 y m 求 m 的值； （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点，画出 该函数的图象； （4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，） ，结合函数的图象，写出该 函数的其它性质（一条即可） 21在平面直角坐标系 xOy 中，M（x1，y1） ，N
8、（x2，y2）为抛物线 yax2+bx+c（a0）上任意两点，其 中 x1x2 （1）若抛物线的对称轴为 x1，当 x1，x2为何值时，y1y2c； （2）设抛物线的对称轴为 xt，若对于 x1+x23，都有 y1y2，求 t 的取值范围 22在平面直角坐标系中，设二次函数 y1x2+bx+a，y2ax2+bx+1（a，b 是实数，a0） （1）若函数 y1的对称轴为直线 x3，且函数 y1的图象经过点（a，b） ，求函数 y1的表达式 （2）若函数 y1的图象经过点（r，0） ，其中 r0，求证：函数 y2的图象经过点（，0） （3）设函数 y1和函数 y2的最小值分别为 m 和 n，若 m
9、+n0，求 m，n 的值 23已知抛物线 yax2+bx+1 经过点（1，2） ， （2，13） （1）求 a，b 的值 （2）若（5，y1） ， （m，y2）是抛物线上不同的两点，且 y212y1，求 m 的值 24已知抛物线 L：ymx28x+3m 与 x 轴相交于 A 和 B（1，0）两点，并与 y 轴相交于点 C抛物线 L 与 L 关于坐标原点对称，点 A、B 在 L上的对应点分别为 A、B （1）求抛物线 L 的函数表达式； （2）在抛物线 L上是否存在点 P，使得PAA 的面积等于CBB 的面积？若存在，求点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 25如图，二次函数 yx2+bx 的
10、图象与 x 轴正半轴交于点 A，平行于 x 轴的直线 l 与该抛物线交于 B、C 两 点（点 B 位于点 C 左侧） ，与抛物线对称轴交于点 D（2，3） （1）求 b 的值； （2）设 P、Q 是 x 轴上的点（点 P 位于点 Q 左侧） ，四边形 PBCQ 为平行四边形过点 P、Q 分别作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P（x1，y1） 、Q（x2，y2） 若|y1y2|2，求 x1、x2的值 26根据下列要求，解答相关问题 （1）请补全以下求不等式2x24x0 的解集的过程 构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数 y2x24x；并在下面的坐标系中（见图 1） 画出二次函数 y2x
11、24x 的图象（只画出图象即可） 求得界点，标示所需；当 y0 时，求得方程2x24x0 的解为 ；并用锯齿线标示出函数 y 2x24x 图象中 y0 的部分 借助图象，写出解集；由所标示图象，可得不等式2x24x0 的解集为 （2）利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式 x22x+14 的解集 构造函数，画出图象 求得界点，标示所需 借助图象，写出解集 （3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于 x 的不等式 ax2+bx+c0（a0）的解集 参考答案参考答案 1解：抛物线 yax2+bx+4 交 y 轴于点 A， A（0，4） ， 对称轴为直线 x，A
12、Bx 轴， B（5，4） 故 A 无误； 如图，过点 B 作 BEx 轴于点 E， 则 BE4，AB5， ABx 轴， BACACO， 点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上， ACOACB， BACACB， BCAB5， 在 RtBCE 中，由勾股定理得：EC3， C（8，0） ， 对称轴为直线 x， D（3，0） 在 RtADO 中，OA4，OD3， AD5， ABAD， 故 B 无误； 设 yax2+bx+4a（x+3） （x8） ， 将 A（0，4）代入得：4a（0+3） （08） ， a， 故 C 无误； OC8，OD3， OCOD24， 故 D 错误 综上，错误的只
13、有 D 故选：D 2解：观察图象可知 a0，由抛物线的解析式可知对称轴 x1， A（3，0） ，A，B 关于 x1 对称， B（1，0） ， 故 A，B，C 正确， 当1x0 时，y 随 x 的增大而减小， 选项 D 错误 故选：D 3解：抛物线的对称轴为直线 x2， a30， x2 时，函数值最大， 又3 到2 的距离比 1 到2 的距离小， y3y1y2 故选：B 4解：yx2（m1）x+m（x）2+m， 该抛物线顶点坐标是（，m） ， 将其沿 y 轴向下平移 3 个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m3） ， m1， m10， 0， m310， 点（，m3）在第四象限； 故选：D 5解：
14、一次函数 y（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限， a+10 且 a0， 1a0， 二次函数 yax2ax 有最大值， 故选：B 6解：yx22x+1，（x2+2x）+1，（x2+2x）+1+1+1y（x+1）2+2 故选：A 7解：设抛物线与 x 轴交点横坐标分别为 x1、x2，且 x1x2， 根据两个交点关于对称轴直线 x1 对称可知：x1+x22， 即 x212，得 x23， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0） ， 故选：B 8解：根据图象知： 抛物线开口向下，顶点（，3） ， 答案 B、D 不符合 把点（0，1）代入答案 A、C 检验，该点满足 C 故选：C 9解：A、抛物
15、线的顶点坐标为（0，3.5） ， 可设抛物线的函数关系式为 yax2+3.5 篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05a1.52+3.5， a， yx2+3.5 故本选项正确； B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05） ， 故本选项错误； C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5） ， 故本选项错误； D、设这次跳投时，球出手处离地面 hm， 因为（1）中求得 y0.2x2+3.5， 当 x2.5 时， h0.2（2.5）2+3.52.25（m） 这次跳投时，球出手处离地面 2.25m 故本选项错误 故选：A 10解：整理得函数表达式为 yx2x
16、，成立的条件是 a0，c0，是二次函数 故答案为：yx2x；a0，c0；二次 11解：分段函数 y的图象如图： 故要使直线 ym（m 为常数）与函数 y的图象恒有三个不同的交点，常数 m 的取值范围 为 0m2， 故答案为：0m2 12解：二次函数 yx24x+5（x2）2+1， 该函数开口向上，对称轴为 x2， 当1x3 时，二次函数 yx24x+5 有最大值 m， 当 x1 时，该函数取得最大值，此时 m（12）2+110， 故答案为：10 13解：将（4，0） （0，4） （2，6）代入 yax2+bx+c 得， ，解得， 抛物线的关系式为 yx2+3x4， a10，因此正确； 对称轴为
17、 x，即当 x时，函数的值最小，因此不正确； 把（8，y1） （8，y2）代入关系式得，y16424436，y264+24484，因此正确； 方程 ax2+bx+c5， 也就是 x2+3x45， 即方程 x2+3x+10， 由 b24ac9450 可得 x2+3x+1 0 有两个不相等的实数根，因此正确； 正确的结论有：， 故答案为： 14解：函数 y（x1）2， 函数的对称轴是直线 x1，开口向下， 函数图象上两点 A（2，y1） ，B（a，y2） ，a2， y1y2， 故答案为： 15解：将抛物线 yax2+bx1 向上平移 3 个单位长度后， 表达式为：yax2+bx+2， 经过点（2，
18、5） ，代入得：4a2b3， 则 8a4b112（4a2b）1123115， 故答案为：5 16解：当 x0 时 y4，代入原式得：4c， 又b 是 a、c 的比例中项， b2ac0， a0， y 有最大值， y最大值c（4）3 故答案为：y最大值3 17解：抛物线的顶点坐标为（0，1） ， 该抛武线的解析式为 yax21， 又二次函数的图象开口向上， a0， 这个二次函数的解析式可以是 y2x21， 故答案为：y2x21 18解：sin2x+cos2x1， sin2x+cos2x+2sinxcosx1+2sinxcosx， （sinx+cosx）21+2sinxcosx， sinxcosx（
19、sinx+cosx）212， 设 sinx+cosx 为 t， 则 yasinxcosx+bsinx+bcosx+c t2+bt+c 故填空答案：sinx+cosx，yt2+bt+c 19解：抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ，对称轴为 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， 由图象可知，当 y0 时，x 的取值范围是3x1 故答案为：3x1 20解： （1）x0， （2）令 x3， y32+ +； m； （3）如图 （4）该函数的其它性质： 该函数没有最大值； 该函数在 x0 处断开； 该函数没有最小值； 该函数图象没有经过第四象限 故答案
20、为该函数没有最大值 21解： （1）由题意 y1y2c， x10， 对称轴 x1， M，N 关于 x1 对称， x22， x10，x22 时，y1y2c （2）当 x1t 时，恒成立 当 x1x2t 时，恒不成立 当 x1tx2t 时，抛物线的对称轴为 xt，若对于 x1+x23，都有 y1y2， 当 x1+x23，且 y1y2时，对称轴 x， 满足条件的值为：t 22解： （1）由题意，得到3，解得 b6， 函数 y1的图象经过（a，6） ， a26a+a6， 解得 a2 或 a3， 函数 y1x26x+2 或 y1x26x+3 （2）函数 y1的图象经过点（r，0） ，其中 r0， r2+
21、br+a0， 1+0， 即 a（）2+b+10， 是方程 ax2+bx+10 的根， 即函数 y2的图象经过点（，0） （3）由题意 a0，m，n， m+n0， +0， （4ab2） （a+1）0， a+10， 4ab20， mn0 23解： （1）把点（1，2） ， （2，13）代入 yax2+bx+1 得， 解得：； （2）由（1）得函数解析式为 yx24x+1， 把 x5 代入 yx24x+1 得，y16， y212y16， y1y2，且对称轴为直线 x2， m451 24解： （1）将 B（1，0）代入 ymx28x+3m，得 m+8+3m0 解之，得 m2 抛物线 L 的函数表达式为
22、 y2x28x6 （2）存在，在 L 中，令 x0，则 y6， C（0，6） 令 y0，则2x28x60 解之，得 x1 或 x3 A（3，0） 抛物线 L与 L 关于坐标原点对称， A（3，0） ，B（1，0） ， AA6，BB2，OC6 设 L上的点 P 在 L 上的对应点为 P，P的纵坐标为 n， 由对称性，可得 SPAASPAA要使 SPAASCBB，则， |n|2，n2 令 y2，则2x28x62 解之，得 x2 令 y2，则2x28x62 解之，得或P的坐标为（2，2） ，或 由对称性，可得 P 的坐标为（2，2） ， （，2）或（，2） 25解： （1）直线与抛物线的对称轴交于点
23、 D（2，3） ， 故抛物线的对称轴为 x2，即b2，解得：b4， （2）b4 抛物线的表达式为：yx24x； 把 y3 代入 yx24x 并解得 x1 或 3， 故点 B、C 的坐标分别为（1，3） 、 （3，3） ，则 BC2， 四边形 PBCQ 为平行四边形， PQBC2，故 x2x12， 又y1x124x1，y2x224x2，|y1y2|2， 故|（x124x1）（x224x2）|2，|x1+x24|1 x1+x25 或 x1+x23， 由，解得； 由，解得 26解： （1）y2x24x2x（x+2） ，则该抛物线与 x 轴交点的坐标分别是（0，0） ， （2，0） ，且抛 物线开口方向向下，所以其大致图象如图（1）所示： 根据图示知，不等式2x24x0 的解集为2x0 故答案是：x10，x22；2x0； （2）构造函数 yx22x+1，画出图象，如图（2）所示； 当 y4 时，方程 x22x+14 的解为 x11，x23； 由图（2）知，不等式 x22x+14 的解集是1x3； （3）当 b24ac0 时，关于 x 的不等式 ax2+bx+c0（a0）的解集是 x或 x 当 b24ac0 时，关于 x 的不等式 ax2+bx+c0（a0）的解集是 x； 当 b24ac0 时，关于 x 的不等式 ax2+bx+c0（a0）的解集是全体实数
