1、第 1 页，共 26 页 2021年河南省中考数学全真模拟试卷（年河南省中考数学全真模拟试卷（四四） 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 下列算式中，运算结果为负数的是( ) A. (2) B. | 2| C. 22 D. (2)2 2. 科学家使用冷冻电子显微技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，即0.000 000 000 22米，将 0.000 000 000 22用科学记数法表示为( ) A. 0.22 10;9 B. 2.2 10;10 C. 22 10;11 D. 22 10;8 3. 如图，三角板的直角顶点落在长方形纸片的一边上若1 = 35，则2
2、的 度数是( ) A. 35 B. 45 C. 55 D. 65 4. 下列运算正确的是( ) A. 1 3 = 2 3 B. 3 (2) = 6 C. (5 1)(5 + 1) = 4 D. (2 1) = 3 1 5. 如图所示的几何体，它的俯视图是( ) A. B. C. D. 6. 若关于 x的一元二次方程2 2 1 = 0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是( ) A. 1 B. 1且 0 C. 1且 0 D. 0)与 有公共点时，k 的取值范围是( ) A. 2 3 B. 3 6 C. 2 6 D. 3 4 二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分） 11. 计算：2;
3、1+ (3)0=_ 12. 不等式组4 6 0 9 3 0的所有整数解的积是_ 13. 在一个口袋中有 4个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回， 再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是_ 第 3 页，共 26 页 14. 如图， 是 的内接正三角形， 的半径为 2，则图中阴影部分的面积 是_ 15. 如图，在矩形 ABCD中， = 1， = ，点 E 在边 BC上，且 = 3 5.连接 AE，将 沿 AE折 叠，若点 B的对应点落在矩形 ABCD的边上，则 a的值为_ 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75.0 分） 16. 先
4、化简，再求值，其中 = 2 (2 ;1 :1) 2:6:9 2;1 17. 如图，AB 是 的直径，弦 AC与 BD交于点 E，且 = ，连接 AD，BC (1)求证： ； (2)若 ， = 4，则弦 AC的长为_； (3)在(2)的条件下，延长 AB 至点 P，使 = 2，连接.则直线 PC与 的位置关系是_ 第 4 页，共 26 页 18. 某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级 m名学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘 制如下不完整的频数分布表和扇形统计图 组别 体重(千克) 人数 A 37.5 42.5 10 B 42.5 47.5 n C 47.5 52.5 40 D 52
5、.5 57.5 20 E 57.5 62.5 10 请根据图表信息回答下列问题： (1)填空： =_， =_， 在扇形统计图中， C组所在扇形的圆心角的度数等于_ 度； (2)若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替(例如：A 组数据中间值为 40千克)，则被调查学生 的平均体重是多少千克？ (3)如果该校七年级有 1000 名学生，请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人？ 19. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动， 我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图小 明同学为测量宣传牌的高度 AB，他站在距离教学楼底部 E处 6米远的地面 C处，测得宣传牌的底部 B 的仰角
6、为60， 同时测得教学楼窗户D处的仰角为30(、 B、 D、 E在同一直线上).然后， 小明沿坡度 = 1： 1.5的斜坡从 C走到 F处，此时 DF正好与地面 CE 平行 (1)求点 F到直线 CE的距离(结果保留根号)； (2)若小明在 F处又测得宣传牌顶部 A 的仰角为45，求宣传牌的 高度(结果精确到0.1米，2 1.41，3 1.73) 第 5 页，共 26 页 20. 某经销商 3 月份用 18000元购进一批 T恤衫售完后，4月份用 39000元购进一批相同的 T 恤衫，数量是 3 月份的 2倍，但每件进价涨了 10元 (1)4月份进了这批 T 恤衫多少件？ (2)4月份，经销商
7、将这批 T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价 180元甲店按标价卖出 a 件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出 a 件，然后将 b件按标价九折售出，再将剩 余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同 用含 a 的代数式表示 b 已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值 21. 在初中阶段的函数学习中， 我们经历了“确定函数的表达式-利用函数图象研究其性质一一运用函数解 决问题“的学习过程在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象同时， 我们也学习了绝对值的意义| = ( 0) ( 0) 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面
8、的问题在函数 = | 3| + 中，当 = 2时， = 4；当 = 0时， = 1 (1)求这个函数的表达式； (2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函数的一条性质； (3)已知函 = 1 2 3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式| 3| + 1 2 3 的解集 第 6 页，共 26 页 22. 如图， 与 是等边三角形， 连接AD， 取AD的中点P， 连接BP并延长至点M， 使 = ， 连接 AM，EM，AE，将 绕点 C顺时针旋转 (1)观察猜想 在图中，当点 D在 BC上，点 E在 AC上时，AE与 AM的数量关系是_， =_； (
9、2)探究证明 将 绕点 C 顺时针旋转至图的位置，(1)中的结论是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成 立，请说明理由； (3)拓展应用 若 = 1 2，将 由图位置绕点 C 顺时针旋转(0 360)，当 = 3时，请直接写 出的值 第 7 页，共 26 页 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2+ + ( 0)与 y轴交于点 D，与抛物线交于点 P，与直线 BC 交于点 M，记 = ，试 求 m 的最大值及此时点 P的坐标； (3)在(2)的条件下，点 Q 是 x 轴上的一个动点，点 N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点 Q、N， 使得以 P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形
10、？如果存在，请求出点 N的坐标；如果不存在，请说明 理由 第 8 页，共 26 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：A、(2) = 2，错误； B、| 2| = 2，错误； C、22= 4，正确； D、(2)2= 4，错误； 故选：C 本题涉及相反数、绝对值、乘方等知识点在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算 此题考查了相反数、绝对值、乘方等知识点注意22和(2)2的区别是关键 2.【答案】B 【解析】解：将0.000 000 00022用科学记数法表示为2.2 10;10 故选：B 绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示， 一般形式为 10;， 与较大数的科学记数法
11、不同的是其 所使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 10;，其中1 | 0，即(2)2 4 (1) 0， 解得 1且 0 的取值范围为 1且 0 故选：B 根据一元二次方程的定义和的意义得到 0且 0，即(2)2 4 (1) 0，然后解不等式即可得 到 k的取值范围 本题考查了一元二次方程2+ + = 0( 0)的根的判别式= 2 4：当 0，方程有两个不相等 的实数根； 当= 0， 方程有两个相等的实数根； 当 0)与 有公共点时， 则为过 D 点时，k 最大，过 A 或 C时 k最小， 当过 D时， = 2
12、3 = 6， 过 C 时， = 1 3 = 3， 第 13 页，共 26 页 过 A 时， = 1 2 = 2， 所以当当双曲线 = ( 0)与 有公共点时，k的取值范围是2 6， 故选 C 11.【答案】3 2 【解析】解：原式= 1 2 + 1 = 3 2 故答案为：3 2 直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 12.【答案】6 【解析】解：解不等式得 3 2 3 ， 3 2 3 2 3 ，再求出不等数组的整数解为 2，3即可 本题考查一元一次不等式组的解；熟练掌握一元一次不等式组的解法，能准确求出整数解是解题的关键
13、13.【答案】2 3 【解析】解：画树状图为： 共有 12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为 8， 所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率= 8 12 = 2 3 第 14 页，共 26 页 故答案为2 3 先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数，然后 根据概率公式求解 本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率 14.【答案】4 3 【解析】解： 是等边三角形， = 60， 根据圆
14、周角定理可得 = 2 = 120， 阴影部分的面积是1202 2 360 = 4 3， 故答案为：4 3 根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可 本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的 关键 15.【答案】5 3或 5 3 【解析】 【分析】 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变 化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质进行分类讨论与 数形结合是解题的关键 分两种情况：点落在 AD 边上，根据矩形与折叠的性质
15、易得 = ，即可求出 a的值；点落在 CD 边上，证明 ，根据相似三角形对应边成比例即可求出 a的值 【解答】 解：分两种情况： 当点落在 AD 边上时，如图 1 第 15 页，共 26 页 四边形 ABCD是矩形， = = 90， 将 沿 AE 折叠，点 B 的对应点落在 AD 边上， = = 1 2 = 45， = ， 3 5 = 1， = 5 3； 当点落在 CD 边上时，如图 2 四边形 ABCD是矩形， = = = = 90， = = 将 沿 AE 折叠，点 B 的对应点落在 CD 边上， = = 90， = = 1， = = 3 5， = 2 2= 1 2， = = 3 5 = 2
16、 5. 在 与 中， = = 90 = = 90 ， ， = ，即 1;2 2 5 = 1 3 5， 解得1= 5 3 ，2= 0(舍去) 第 16 页，共 26 页 综上，所求 a的值为5 3或 5 3 故答案为5 3或 5 3 16.【答案】解：原式= (2:2 :1 ;1 :1) 2:6:9 2;1 = + 3 + 1 ( + 1)( 1) ( + 3)2 = ;1 :3， 当 = 2时，原式= 1 5 【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可 本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键 17.【答案】(1)证明： 是 的直径， = = 90 = ，AB
17、 为公共边， ()； (2)23； (3)相切 【解析】 【分析】 本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形， 正确的识别图形是解题的关键 (1)根据圆周角定理得到 = = 90.根据全等三角形的判定定理即可得到结论； (2)连接 OC， 根据垂径定理得到 = .根据全等三角形的性质得到 = ， 推出 为等边三角形， 解直角三角形即可得到结论； (3)根据直角三角形的性质得到 = 1 2.求得 = 90.根据切线的判定定理即可得到结论 【解答】 解：(1)见答案； (2)解：如图，连接 OC， 第 17 页，共 26 页 是 的半径， ， =
18、由(1)得 ， = ， = ， = = ， = = = 60， = ， 为等边三角形， = 60， 在 中， = sin = 4 3 2 = 23； (3)解：由(2)可得 = cos = 4 1 2 = 2， = 2， = 2， = 1 2 = 90 是 的半径 是 的切线 即直线 PC和 的位置关系是相切 故答案为23，相切 18.【答案】解：(1)100 ；20； 144； (2)被抽取同学的平均体重为： 1 100(40 10 + 45 20 + 50 40 + 55 20 + 60 10) = 50(千克) 答：被抽取同学的平均体重为 50千克 (3)1000 30% = 300(人
19、) 答：七年级学生体重低于47.5千克的学生大约有 300人 【解析】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的 信息是解决问题的关键频数分布表能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的 第 18 页，共 26 页 百分比大小 (1)由频数分布表和扇形统计图可知， = 100， = 20，圆心角为 40 100 360 = 144； (2)各组体重值的中间值乘以各组人数，再求和，除以总人数即可得到答案； (3)由题可知， 有10 + 20 = 30名体重低于47.5千克的学生， 然后根据1000 30% = 300人， 便可得出结果 【
20、解答】 解：(1) = 20 20% = 100， = 100 10 40 20 10 = 20， = 40 100 360 = 144； 故答案为 100；20；144； (2)见答案 (3)见答案 19.【答案】解：(1)过点 F作 于 G， 依题意知/，/， = 90； 四边形 DEFG 是矩形； = ； 在 中， = tan； = 6 30= 23 (米)； 点 F 到地面的距离为23 米； (2) 斜坡 CF = 1：1.5 中， = 1.5 = 23 1.5 = 33， = = 33+ 6 在 中， = tan = 6 60= 63 = + = 33+ 6 + 23 63 = 6
21、3 4.3 (米) 答：宣传牌的高度约为4.3米 第 19 页，共 26 页 【解析】(1)过点 F作 于 G，依题意知/，/， = 90；得到四边形 DEFG 是矩 形；根据矩形的性质得到 = ；解直角三角形即可得到结论； (2)解直角三角形即可得到结论 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题 的关键 20.【答案】解：(1)设 3月份购进 x 件 T恤衫， 18000 + 10 = 39000 2 ， 解得， = 150， 经检验， = 150是原分式方程的解， 则2 = 300， 答：4 月份进了这批 T 恤衫 300 件； (2)每
22、件 T 恤衫的进价为：39000 300 = 130(元)， (180 130) + (180 0.8 130)(150 ) = (180 130) + (180 0.9 130) + (180 0.7 130)(150 ) 化简，得 = 150; 2 ； 设乙店的利润为 w 元， = (180 130) + (180 0.9 130) + (180 0.7 130)(150 ) = 54 + 36 600 = 54 + 36 150; 2 600 = 36 + 2100， 乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量， ， 即 150; 2 ， 解得， 50， 当 = 50时，w取得最大值，此时
23、 = 3900， 答：乙店利润的最大值是 3900元 【解析】(1)根据 4 月份用 39000元购进一批相同的 T恤衫，数量是 3 月份的 2倍，可以得到相应的分式方 程，从而可以求得 4 月份进了这批 T 恤衫多少件； (2)根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于 a、b 的方程，然后化简，即可用含 a 的代数式表示 b； 第 20 页，共 26 页 根据题意，可以得到利润与 a的函数关系式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，可 以得到 a的取值范围，从而可以求得乙店利润的最大值 本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方 程的
24、知识解答，注意分式方程要检验 21.【答案】解：(1) 在函数 = | 3| + 中，当 = 2时， = 4；当 = 0时， = 1， |2 3| + = 4 | 3| + = 1 ，得 = 3 2 = 4 ， 这个函数的表达式是 = | 3 2 3| 4； (2) = | 3 2 3| 4， = 3 2 7 ( 2) 3 2 1 ( 2时，y 随 x 的增大而增大(答案不唯一)； (3)由函数图象可得， 不等式| 3| + 1 2 3的解集是1 4 【解析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利 用一次函数的性质和数形结合的思想解答 (1)根据在
25、函数 = | 3| + 中，当 = 2时， = 4；当 = 0时， = 1，可以求得该函数的表达式； (2)根据(1)中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质； (3)根据图象可以直接写出所求不等式的解集 第 21 页，共 26 页 22.【答案】 = 60 【解析】解：(1)如图 1 中， 是等边三角形， = 60， = ， = ， 四边形 ABDM是平行四边形， = = 60， 是等边三角形， = 60， = = 60， 是等边三角形， = ， = 60， 故答案为： = ，60； (2)结论仍然成立， 理由如下：如图 2中，设 AE 交 BD于 O，AC交 BD于 K，连接 DM
26、 ， 都是等边三角形， 第 22 页，共 26 页 = ， = ， = ， = ， ()， = ， = ， = ， = = 60， = ， = ， 四边形 ABDM是平行四边形， = ，/， = = 60， = (3)设 = ，则 = = 2， = 3， 2= 2+ 2， = 90 如图 3 中，当点 D在 AC的中点时，满足条件，此时 = 60 如图 4 中，当点 E 落在 BC的中点时，满足条件，此时 = 300 综上所述，满足条件的的值为60或300 (1)由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形ABDM是平行四边形， 可得 = = 60， 第 23 页，共 26 页 可证 是等边
27、三角形，可求解； (2)由“SAS”可证 ，可得 = ， = ，可得 = = 60，通过证明 四边形 ABDM是平行四边形， 可得 = = ， /， 由平行线的性质可得 = = 60 (3)利用勾股定理的逆定理证明 = 90，分两种情形分别求解即可 本题几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理等 知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题 23.【答案】解：(1)因为抛物线 = 2+ + 经过(2,0)、(4,0)两点， 所以可以假设 = ( + 2)( 4)， = 2， = 2， (0,4)，代入抛物线的解析式得到 = 1 2，
28、 = 1 2( + 2)( 4)或 = 1 2 2 + + 4或 = 1 2( 1) 2 + 9 4 (2)如图 1 中，由题意，点 P在 y轴的右侧，作 轴于 E，交 BC 于 F /， ， = = ， 直线 = + 1( 0)与 y轴交于点 D，则(0,1)， 的解析式为 = + 4， 设(, 1 2 2 + + 4)，则(, + 4)， = 1 2 2 + + 4 ( + 4) = 1 2( 2) 2 + 2， 第 24 页，共 26 页 = = 1 6( 2) 2 + 2 3， 1 6 0， 当 = 2时，m有最大值，最大值为2 3，此时(2,4) (3)存在这样的点 Q、N，使得以
29、P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形 当 DP是矩形的边时，有两种情形， a、如图2 1中，四边形 DQNP是矩形时， 有(2)可知(2,4)，代入 = + 1中，得到 = 3 2， 直线 DP 的解析式为 = 3 2 + 1，可得(0,1)，( 2 3,0)， 由 可得 = ， 2= ， 1 = 2 3 ， = 3 2， (3 2,0) 根据矩形的性质，将点 P向右平移3 2个单位，向下平移 1个单位得到点 N， (2 + 3 2,4 1)，即( 7 2,3) b、如图2 2中，四边形 PDNQ是矩形时， 第 25 页，共 26 页 直线 PD 的解析式为 = 3 2 + 1， ， 直线 P
30、Q 的解析式为 = 2 3 + 16 3 ， (8,0)， 根据矩形的性质可知，将点 D 向右平移 6 个单位，向下平移 4 个单位得到点 N， (0 + 6,1 4)，即(6,3) 当 DP是对角线时，设(,0)，则2= 2+ 1，2= ( 2)2+ 42，2= 13， 是直角顶点， 2+ 2= 2， 2+ 1 + ( 2)2+ 16 = 13， 整理得2 2 + 4 = 0，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的点 N坐标为(7 2,3)或(6,3) 【解析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质相似三角形的判定和性质、矩形的 判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属 于中考压轴题 (1)因为抛物线 = 2+ + 经过(2,0)、(4,0)两点，所以可以假设 = ( + 2)( 4)，求出点 C 坐标代入求出 a 即可； (2)由 ，可得 = = ，根据关于 m关于 x 的二次函数，利用二次函数的性质即可解决 问题； (3)存在这样的点 Q、N，使得以 P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形分两种情形分别求解即可：当 第 26 页，共 26 页 DP 是矩形的边时，有两种情形；当 DP 是对角线时
