1、2021 年河南省中招数学模拟试卷（二）年河南省中招数学模拟试卷（二） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1 （3 分）3 的相反数是（ ） A3 B3 C D 2 （3 分）下列运算中，正确的是（ ） Ax2+2x23x4 Bx2x3x5 C （x3）2x5 D （xy）2x2y 3 （3 分）已知：如图，OA，OB 是O 的两条半径，AOB100，点 C 在O 上，则ACB 的度数为 （ ） A45 B35 C60 D50 4 （3 分）如图，有 5 个完全相同
2、的小正方体组合成一个立方体图形，它的俯视图是（ ） A B C D 5 （3 分）某中学组织全区优秀九年级毕业生参加学校冬令营，一共有 x 名学生，分成 y 个学习小组若每 组 10 人，则还差 5 人；若每组 9 人，还余下 3 人若求冬令营学生的人数，所列的方程组为（ ） A B C D 6 （3 分）某校开展“疫情防控小卫士”活动，从学生会“督查部”的 4 名学生（2 男 2 女）中随机选两名 进行督导每日一次体温测量，恰好选中男女学生各一名的概率是（ ） A B C D 7 （3 分）不等式组的解集是 x4，那么 m 的取值范围是（ ） Am3 Bm3 Cm3 Dm3 8 （3 分）对
3、于二次函数 yx24x+5，以下说法正确的是（ ） Ax1 时，y 随 x 的增大而增大 Bx5 或 x1 时，y0 CA（4，y1） ，B（，y2）在 yx24x+5 的图象上，则 y1y2 D此二次函数的最大值为 8 9 （3 分）如图，CD 是ABC 的边 AB 上的中线，将线段 AD 绕点 D 顺时针旋转 90后，点 A 的对应点 E 恰好落在 AC 边上，若 AD，BC，则 CE 的长为（ ） A B C D1 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是菱形，ABx 轴，点 B 的坐标为（4，1） ，BAD 60，垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发，沿 x
4、轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度向右平移，设直线 l 与菱形 ABCD 的两边分别交于点 M，N（点 N 在点 M 的上方） ，连接 OM，ON，若OMN 的面积为 S， 直线 l 的运动时间为 t 秒（0t6） ，则 S 与 t 的函数图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11（3 分） 据报道， 郑州市私家车拥有量近 4500000 辆 将数据 4500000 用科学记数法表示为 12 （3 分）计算 13 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 2mx23x+10 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围 是 14
5、 （3 分）如图，在正方形 ABCD 外作等腰直角三角形 CDE，CED90，DECE，连接 BE，则 tan DEB 15 （3 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB4，BC4，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AD 边上的一个 动点，将AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到AEF，连接 AC，AD，则当ADC 是以 AD 为腰的等腰三 角形时，FD 的长是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （+），其中 a+1 17 （9 分）距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级 1512 名学生周末在家体育锻炼
6、的情况，在初 三年级随机抽取了 18 名男生和 18 名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下 数据（单位：分钟） 男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105 女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72 统计数据，并制作了如下统计表： 时间 x 0 x30 30 x60 60 x90 90 x 男生 2 5 7 4 女生 1 5 9 3 分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示 平均数 中位数 众数 方差 男生 66
7、.7 a 70 617.3 女生 69.7 70.5 b 547.2 （1）请将上面的表格补充完整：a ，b ； （2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在 90 分钟以 上（不包含 90 分钟）的同学约有多少人？ （3）王老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条 支持王老师观点的理由 18 （9 分）疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回 家如图，一条笔直的街道 DC，在街道 C 处的正上方 A 处有一架无人机，该无人机在 A 处测得俯角为 45的街道 B 处有人聚
8、集，然后沿平行于街道 DC 的方向再向前飞行 60 米到达 E 处，在 E 处测得俯角 为 37的街道 D 处也有人聚集 已知两处聚集点 B、 D 之间的距离为 120 米， 求无人机飞行的高度 AC（参 考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75，1.414 ） 19 （9 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象交于 A，B 两点，一次函数与坐标轴 交于 C，D 两点，且点 C，D 是线段 AB 的三等分点，OD4，tanDCO （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求AOB 的面积 20 （9 分）甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一
9、辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发 1.5 小时，如图，线段 OA 表示货车离甲地的距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系；折线 BCD 表示轿车离甲地的距离 y（千米）与时间 x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； （2）求线段 CD 对应的函数表达式； （3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距 15 千米 21 （10 分）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为 16 元，每月销售量 y（万件）与销售单 价 x（元）之间的函数关系如表所示： 销售单价 x （元） 25 30 35 40 每月销售量y
10、（万件） 50 40 30 20 （1）求每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）设每月的利润为 W（万元） ，当销售单价为多少元时，厂商每月获得的总利润为 480 万元？ （3） 如果厂商每月的制造成本不超过 480 万元， 那么当销售单价为多少元时， 厂商每月获得的利润最大？ 最大利润为多少万元？ 22 （10 分）如图 1，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 B，且 OAOB，在 x 轴上有一动点 D（m，0） （0m4） ，过点 D 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C，交抛物线于点 E， （1）求抛物线的函数表达
11、式 （2）当点 C 是 DE 的中点时，求出 m 的值 （3）在（2）的条件下，将线段 OD 绕点 O 逆时针旋转得到 OD，旋转角为 （090） ，连接 DA、DB，直接写出 DA+DB 的最小值 23 （11 分）定义：长宽比为：1（n 为正整数）的矩形称为矩形下面，我们通过折叠的方式折出一 个矩形，如图 a 所示 操作 1： 将正方形 ABEF 沿过点 A 的直线折叠， 使折叠后的点 B 落在对角线 AE 上的点 G 处， 折痕为 AH 操作 2：将 FE 沿过点 G 的直线折叠，使点 F、点 E 分别落在边 AF，BE 上，折痕为 CD则四边形 ABCD 为矩形 （1）证明：四边形 A
12、BCD 为矩形； （2）点 M 是边 AB 上一动点 如图 b，O 是对角线 AC 的中点，若点 N 在边 BC 上，OMON，连接 MN求 tanOMN 的值； 若 AMAD，点 N 在边 BC 上，当DMN 的周长最小时，求的值； 连接 CM，作 BRCM，垂足为 R若 AB2，则 DR 的最小值 2021 年河南省中招数学模拟试卷（二）年河南省中招数学模拟试卷（二） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1 （3 分）3 的相
13、反数是（ ） A3 B3 C D 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数为相反数 【解答】解：3 的相反数是 3 故选：A 【点评】本题考查了相反数的意义只有符号不同的两个数为相反数，0 的相反数是 0 2 （3 分）下列运算中，正确的是（ ） Ax2+2x23x4 Bx2x3x5 C （x3）2x5 D （xy）2x2y 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐 一判断即可 【解答】解：Ax2+2x23x2，故本选项不合题意； Bx2x3x5，故本选项符合题意； C （x3）2x6，故本选项不合题意； D （xy）2x2y2，故本选项
14、不合题意 故选：B 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是 解答本题的关键 3 （3 分）已知：如图，OA，OB 是O 的两条半径，AOB100，点 C 在O 上，则ACB 的度数为 （ ） A45 B35 C60 D50 【分析】根据圆周角定理即可解答 【解答】解：OA，OB 是O 的两条半径，AOB100， 由圆周角定理得，ACBAOB50， 故选：D 【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半 4 （3 分）如图，有 5 个完全相同的小正方体组合成一个立方体图形，它的俯视
15、图是（ ） A B C D 【分析】俯视图是从物体上面观看得到的图形，结合图形即可得出答案 【解答】解：从上面看可得到一个有 4 个小正方形组成的大正方形 故选：A 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，属于基础题 5 （3 分）某中学组织全区优秀九年级毕业生参加学校冬令营，一共有 x 名学生，分成 y 个学习小组若每 组 10 人，则还差 5 人；若每组 9 人，还余下 3 人若求冬令营学生的人数，所列的方程组为（ ） A B C D 【分析】相应的关系式为：10组数+5实际人数；9组数3实际人数，即可列出方程 【解答】解：每组 10 人时，实际人数可表示为 10
16、y5；每组 9 人时，实际人数可表示为 9y+3； 可列方程组为：， 故选：C 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到两种分组方法得到的总人数的关系是解决本题的 关键 6 （3 分）某校开展“疫情防控小卫士”活动，从学生会“督查部”的 4 名学生（2 男 2 女）中随机选两名 进行督导每日一次体温测量，恰好选中男女学生各一名的概率是（ ） A B C D 【分析】 先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数， 再找出符合条件的结果数， 然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，恰好选中男女学生各一名的结果有 8 个， 恰好选中男女学生各一名的概率为
17、， 故选：C 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出 符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率 7 （3 分）不等式组的解集是 x4，那么 m 的取值范围是（ ） Am3 Bm3 Cm3 Dm3 【分析】不等式组中两不等式整理后，根据已知解集确定出 m 的范围即可 【解答】解：不等式组整理得：， 不等式组的解集为 x4， m+14， 解得：m3 故选：D 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键 8 （3 分）对于二次函数 yx24x+5，以下说法正确的是（ ） Ax1
18、 时，y 随 x 的增大而增大 Bx5 或 x1 时，y0 CA（4，y1） ，B（，y2）在 yx24x+5 的图象上，则 y1y2 D此二次函数的最大值为 8 【分析】yx24x+5 的对称轴为 x2，x2 时，y 随 x 的增大而增大；当5x1 时，y0； 点 A 到对称轴的距离大于点 B 到对称轴的距离，则 y1y2；当 x2 时，y 有最大值 9； 【解答】解：yx24x+5 的对称轴为 x2， x2 时，y 随 x 的增大而增大；A 不正确； x24x+50 时的两个根为 x5，x1， 当5x1 时，y0；B 不正确； 42，2， 点 A 到对称轴的距离大于点 B 到对称轴的距离，
19、 y1y2；C 正确； 当 x2 时，y 有最大值 9；D 不正确； 故选：C 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键 9 （3 分）如图，CD 是ABC 的边 AB 上的中线，将线段 AD 绕点 D 顺时针旋转 90后，点 A 的对应点 E 恰好落在 AC 边上，若 AD，BC，则 CE 的长为（ ） A B C D1 【分析】由旋转可知：ADE 是等腰直角三角形，连接 BE 发现 BEAC，运用勾股定理求出 CE 的长 【解答】解：因为 AD 绕点 D 顺时针旋转 90后，点 A 的对应点 E 恰好落在 AC 边上， 所以ADE 是等腰直角三角形，
20、所以 AB，AE2，A45， 若作 BHAC 于 H， 则 AH2， 所以 E 和 H 重合， 所以 BEAC， 在 RtBCE 中， CE， 故选：D 【点评】本题考查旋转的性质和等腰直角三角形的判定，关键是证出 BEAC 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是菱形，ABx 轴，点 B 的坐标为（4，1） ，BAD 60，垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度向右平移，设直线 l 与菱形 ABCD 的两边分别交于点 M，N（点 N 在点 M 的上方） ，连接 OM，ON，若OMN 的面积为 S， 直线 l 的运动时间为
21、t 秒（0t6） ，则 S 与 t 的函数图象大致是（ ） A B C D 【分析】StMN，分段求出 MN 的长度即可 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，点 B 的坐标为（4，1） ，BAD60，则点 C 的横坐标为 6， StMN， 当 0t2 时，MNAMtan60t， St2，为开口向上的二次函数； 当 2t4 时，MN 为常数， 故 S 对应的函数表达式为一次函数； 同理可得：当 4t6 时，MN（6t） ， S（t2+6t） ，为开口向下的二次函数； 故选：C 【点评】本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函 数的图象，含 30 度角的
22、直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计 算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11（3 分） 据报道， 郑州市私家车拥有量近 4500000 辆 将数据 4500000 用科学记数法表示为 4.5106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：数 4500000 用科学记
23、数法表示为：4.5106 故答案为：4.5106 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12 （3 分）计算 0 【分析】直接利用二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式99 0 故答案为：0 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 13 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 2mx23x+10 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 m 且 m0 【分析】根据根的判别式符号和一元二次方程的定义解答 【解答】解：根据题意得（3）
24、242m10 且 2m0， 解得 m且 m0， 所以实数 m 的取值范围为是 m且 m0 故答案为 m且 m0 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题 型 14 （3 分）如图，在正方形 ABCD 外作等腰直角三角形 CDE，CED90，DECE，连接 BE，则 tan DEB 2 【分析】根据四边形 ABCD 是正方形，连接对角线 BD，可以得到BDC45，根据CED90， DECE，可以得到EDC45，所以BDE90，在 RtBDE 中即可求出 tanDEB 的值 【解答】解：如图，连接 BD， 四边形 ABCD 是正方形， BDC45，
25、BDCD 又CDE 是等腰直角三角形，CED90，DECE， EDC45，CDDE， BDEBDC+EDC45+4590，DECD， tanDEB2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了解直角三角形，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，其中，把DEB 放在 直角三角形中是解题的关键 15 （3 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB4，BC4，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AD 边上的一个 动点，将AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到AEF，连接 AC，AD，则当ADC 是以 AD 为腰的等腰三 角形时，FD 的长是 4或 3 【分析】存在两种情况：当 ADDC，连接 ED，勾股定理
26、求得 ED 的长，可判断 E，A，D 三点共 线，根据勾股定理即可得到结论；当 ADAC，证明 AEAF 是正方形，于是得到结论 【解答】解：当 ADDC 时，如图 1，连接 ED， 点 E 是 AB 的中点，AB4，BC4，四边形 ABCD 是矩形， ADBC4，A90， DE6， 将AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到AEF， AEAE2， ADDCAB4， DEAE+AD6， 点 E，A，D 三点共线， A90， FAEFAD90， 设 AFx，则 AFx，FD4x， 在 RtFAD 中，42+x2（4x）2， 解得：x， FD3； 当 ADAC 时，如图 2， ADAC， 点 A在线段
27、 CD 的垂直平分线上， 点 A在线段 AB 的垂直平分线上， 点 E 是 AB 的中点， EA是 AB 的垂直平分线， AEA90， 将AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到AEF， AEAF90，AFFA， 四边形 AEAF 是正方形， AFAE2， DF42， 故答案为：42 或 3 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题） ，矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分 类讨论思想的运用是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （+），其中 a+1 【分析】首先化简（+），然后把 a+1 代入化简
28、后的算式，求出算式的值是 多少即可 【解答】解： （+） 当 a+1 时， 原式1+ 【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的 化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式 17 （9 分）距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级 1512 名学生周末在家体育锻炼的情况，在初 三年级随机抽取了 18 名男生和 18 名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下 数据（单位：分钟） 男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105
29、 女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72 统计数据，并制作了如下统计表： 时间 x 0 x30 30 x60 60 x90 90 x 男生 2 5 7 4 女生 1 5 9 3 分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示 平均数 中位数 众数 方差 男生 66.7 a 70 617.3 女生 69.7 70.5 b 547.2 （1）请将上面的表格补充完整：a 68.5 ，b 69 和 88 ； （2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在 90 分钟以 上（不包含 9
30、0 分钟）的同学约有多少人？ （3）王老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条 支持王老师观点的理由 【分析】 （1）根据中位数和众数的定义即可得出 a、b 的值； （2）求出男女生锻炼时间超过 90 分钟的人数所占的百分比，用 1512 去乘这个百分比即可； （3）通过比较男女生的中位数、平均数得出理由 【解答】解： （1）将男生数据从小到大排列后，处在第 9、10 位的两个数的平均数为68.5，因 此中位数 a68.5， 女生数据出现次数最多的是 69 和 88，因此众数是 69 和 88，即 b69 和 88 故答案为：68.5，69 和 88
31、； （2）据表格，可得锻炼时间在 90 分钟以上的男生有 4 人，女生有 3 人，1512294（人） ， 答：初三年级锻炼时间在 90 分钟以上的同学有 294 人 （3）理由一：因为 69.766.7，所以女生锻炼时间的平均时间更长，因此女生周末做得更好 理由二： 因为 70.568.5， 所以锻炼时间排序后在中间位置的女生比男生更好， 因此女生周末做得更好 【点评】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、极差的意义和计算方法，理解各个统计量的意 义，是正确计算的前提，样本估计总体是统计常用的方法 18 （9 分）疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规
32、劝居民回 家如图，一条笔直的街道 DC，在街道 C 处的正上方 A 处有一架无人机，该无人机在 A 处测得俯角为 45的街道 B 处有人聚集，然后沿平行于街道 DC 的方向再向前飞行 60 米到达 E 处，在 E 处测得俯角 为 37的街道 D 处也有人聚集 已知两处聚集点 B、 D 之间的距离为 120 米， 求无人机飞行的高度 AC（参 考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75，1.414 ） 【分析】过点 E 作 EMDC 于 M设 BMx 米则 ACBCEM（60+x）米DM（120+x）米， 得出 tanD，解出 x 即可得出答案 【解答】解：如图，过点 E 作
33、 EMDC 于 M AECD ABCBAE45 BCAC，EMDC， ACEM， 四边形 AEMC 为矩形 CMAE60 米 设 BMx 米 则 ACBCEM（60+x）米DM（120+x）米 在 RtEDM 中， D37 tanD， 解得：x120， AC60+x60+120180 （米） 飞机高度为 180 米 答：无人机飞行的高度 AC 为 180 米 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数 的定义是解题的关键 19 （9 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象交于 A，B 两点，一次函数与坐标轴 交于 C，D 两点
34、，且点 C，D 是线段 AB 的三等分点，OD4，tanDCO （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求AOB 的面积 【分析】 （1）利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式； （2）利用面积和可得AOB 的面积 【解答】解： （1）OD4，tanDCO， ， OC6， D（0，4） ，C（6，0） ， 把 D（0，4） ，C（6，0）代入 ykx+b 中得：，解得：， 一次函数的解析式为：yx+4； 过 A 作 AEx 轴于 E， 点 C、D 刚好是线段 AB 的三等分点， ACCDBD， 在AEC 和DOC 中， ， AECDOC（AAS） ， ECOC6，AEOD4， A（
35、12，4） ， 反比例函数 y的图象过 A 点， m12（4）48， 反比例函数的解析式为：y； （2）同理得：B（6，8） ， SAOBSBOC+SACO |yB|+|yA| + 36 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及解直角三角形的应用，解决问题的关键 是掌握待定系数法求函数解析式的方法 20 （9 分）甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发 1.5 小时，如图，线段 OA 表示货车离甲地的距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系；折线 BCD 表示轿车离甲地的距离 y（千米）与时间 x（时）之间的函数关系，请根
36、据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； （2）求线段 CD 对应的函数表达式； （3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距 15 千米 【分析】 （1）根据函数图象中的数据，可以得到货车的速度和轿车到达乙地的时间，然后即可计算出轿 车到达乙地时，货车与甲地的距离； （2）根据函数图象中的数据，可以得到线段 CD 对应的函数表达式； （3）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距 15 千 米 【解答】解： （1）由图象可得， 货车的速度为 300560（千米/小时） ， 则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是 604.527
37、0（千米） ， 即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是 270 千米； （2）设线段 CD 对应的函数表达式是 ykx+b， 点 C（2.5，80） ，点 D（4.5，300） ， ， 解得， 即线段 CD 对应的函数表达式是 y110 x195（2.5x4.5） ； （3）当 x2.5 时，两车之间的距离为：602.58070， 7015， 在轿车行进过程，两车相距 15 千米时间是在 2.54.5 之间， 由图象可得，线段 OA 对应的函数解析式为 y60 x， 则|60 x（110 x195）|15， 解得 x13.6，x24.2， 轿车比货车晚出发 1.5 小时，3.61.52.1（小时
38、） ，4.21.52.7（小时） ， 在轿车行进过程，轿车行驶 2.1 小时或 2.7 小时，两车相距 15 千米， 答：在轿车行进过程，轿车行驶 2.1 小时或 2.7 小时，两车相距 15 千米 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思 想解答 21 （10 分）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为 16 元，每月销售量 y（万件）与销售单 价 x（元）之间的函数关系如表所示： 销售单价 x （元） 25 30 35 40 每月销售量y （万件） 50 40 30 20 （1）求每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的函数
39、关系式； （2）设每月的利润为 W（万元） ，当销售单价为多少元时，厂商每月获得的总利润为 480 万元？ （3） 如果厂商每月的制造成本不超过 480 万元， 那么当销售单价为多少元时， 厂商每月获得的利润最大？ 最大利润为多少万元？ 【分析】 （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据利润销售量（销售单价成本） ，代入代数式求出函数关系式，令利润 W480，求出 x 的值； （3）根据厂商每月的制造成本不超过 480 万元，以及成本价 16 元，得出销售单价的取值范围，进而得 出最大利润 【解答】解： （1）由表格中数据可得：y 与 x 之间的函数关系式为：ykx+b， 把（
40、30，40） ， （40，20）代入得： ， 解得：， 故 y 与 x 之间的函数关系式为：y2x+100； （2）由题意得， Wy（x16） （2x+100） （x16） 2x2+132x+1600； 当 W480 时， 2x2+132x1600480， 解得：x126，x240 答：当销售单价为 26 元或 40 元时，厂商每月获得的总利润为 480 万元； （3）厂商每月的制造成本不超过 480 万元，每件制造成本为 16 元， 每月的生产量为：小于等于30（万件） ， y2x+10030， 解得：x35， W2x2+132x16002（x33）2+578， 图象开口向下，对称轴右侧 W
41、 随 x 的增大而减小， x35 时，W 最大为：2（3533）2+578570（万元） 答：当销售单价为 35 元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为 570 万元 【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用 增减性求出最值 22 （10 分）如图 1，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 B，且 OAOB，在 x 轴上有一动点 D（m，0） （0m4） ，过点 D 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C，交抛物线于点 E， （1）求抛物线的函数表达式 （2）当点 C 是 DE 的中点时，求出 m 的值
42、 （3）在（2）的条件下，将线段 OD 绕点 O 逆时针旋转得到 OD，旋转角为 （090） ，连接 DA、DB，直接写出 DA+DB 的最小值 【分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）求出直线 AB 的解析式，可得 E（m，m2+m+4） ，C（m，m+4） 表示出 EC 的长，根据 EC CD 可得出关于 m 的方程，解方程求出 m 的值即可； （3）在 y 轴上取一点 M使得 OM1，连接 AM，在 AM上取一点 D使得 ODOD证明 MODDOB，即可求解 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 B，且 OA
43、OB， B（0，4） ， 将点 B、A 的坐标代入抛物线 yx2+bx+c 得， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为 yx2+x+4； （2）设直线 AB 的解析式为 ykx+b，将点 B、A 的坐标代入得， ， 解得：， 直线 AB 的解析式为 yx+4， 过点 D（m，0） （0m4）作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C，交抛物线于点 E， E（m，m2+m+4） ，C（m，m+4） ECm2+m+4（m+4）m2+2m 点 C 是 DE 的中点， m2+2mm+4 解得：m12，m24（舍去） ， m2； （3）如图，由（2）可知 D（2，0） ，在 y 轴上取一点 M使得 OM1，连
44、接 AM，在 AM上取一 点 D使得 ODOD OD2，OMOB144， OD2OMOB， ， BODMOD， MODDOB， MDBD DA+DBDA+MDAM，此时 DA+DB 最小（两点间线段最短，A、M、D 共线时） ， DA+DB 的最小值AM， DA+DB 的最小值 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求出函数解析式，矩形的判定，相似三角形的判定 和性质，最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段的最小值 23 （11 分）定义：长宽比为：1（n 为正整数）的矩形称为矩形下面，我们通过折叠的方式折出一 个矩形，如图 a 所示 操作 1： 将正方形 ABEF 沿
45、过点 A 的直线折叠， 使折叠后的点 B 落在对角线 AE 上的点 G 处， 折痕为 AH 操作 2：将 FE 沿过点 G 的直线折叠，使点 F、点 E 分别落在边 AF，BE 上，折痕为 CD则四边形 ABCD 为矩形 （1）证明：四边形 ABCD 为矩形； （2）点 M 是边 AB 上一动点 如图 b，O 是对角线 AC 的中点，若点 N 在边 BC 上，OMON，连接 MN求 tanOMN 的值； 若 AMAD，点 N 在边 BC 上，当DMN 的周长最小时，求的值； 连接 CM，作 BRCM，垂足为 R若 AB2，则 DR 的最小值 2 【分析】 （1）先判断出DAG45，进而判断出四
46、边形 ABCD 是矩形，再求出 AB：AD 的值，即可得 出结论； （2）如图 b，先判断出四边形 BQOP 是矩形，进而得出，再判断出 RtQONRt POM，进而判断出 ，即可得出结论； 作 M 关于直线 BC 对称的点 P，则DMN 的周长最小，判断出，得出 ABCDa进而 得出 BPBMABAM（1）a即可得出结论； 先求出 BCAD2，再判断出点 R 是 BC 为直径的圆上，即可得出结论 【解答】证明： （1）设正方形 ABEF 的边长为 a， AE 是正方形 ABEF 的对角线， DAG45， 由折叠性质可知 AGABa，FDCADC90， 则四边形 ABCD 为矩形， ADG 是
47、等腰直角三角形 ADDG， AB：ADa：1 四边形 ABCD 为矩形； （2）解：如图 b，作 OPAB，OQBC，垂足分别为 P，Q 四边形 ABCD 是矩形，B90， 四边形 BQOP 是矩形 POQ90，OPBC，OQAB ， O 为 AC 中点， OPBC，OQAB MON90， QONPOM RtQONRtPOM tanOMN 解：如图 c，作 M 关于直线 BC 对称的点 P，连接 DP 交 BC 于点 N，连接 MN 则DMN 的周长最小， DCAP， ， 设 AMADa，则 ABCDa BPBMABAM（1）a 2+， 如备用图， 四边形 ABCD 为矩形，AB2， BCAD2， BRCM， 点 R 在以 BC 为直径的圆上，记 BC 的中点为 I， CIBC1， DR 最小12 故答案为：2 【点评】此题相似形综合题，主要考查了新定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质和 判定，利用对称性和垂线段最短确定出最小值是解本题的关键
