1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（5） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1 （5 分）已知集合 2 |230Ax xx ， |Bx xa，若 |1ABx axa，则(a ) A2 B1 C0 D1 2 （5 分）欧拉恒等式：10 i e 被数学家们惊叹为“上帝创造的等式” 该等式将数学中几个重要的数： 自然对数的底数e、圆周率、虚数单位i、自然数 1 和 0 完美地结合在一起，它是在欧拉公式：
2、cossin () i eiR 中，令得到的根据欧拉公式， 2i e在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）数列 n a是等比数列，首项为 1，前三项和为 7，则前五项和等于( ) A31 B61 C31 或 61 D31 或 81 4 （5 分）已知双曲线 22 22 1 yx ab 的一条渐近线的倾斜角为 3 ，则该双曲线的离心率为( ) A 1 2 B 3 2 C 2 3 3 D2 5 （5 分）已知a，b都大于零且不等于 1，则“log1 ab ”是“(1)(1)0ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充
3、分也不必要条件 6 （5 分）接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施根据实验数据，人在接种某种 病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有 4 人接种了这种疫苗，则最多 1 人被感染的概率为( ) A 512 625 B 256 625 C 113 625 D 1 625 7 （5 分）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，直线l过F与抛物线交于A、B两点，且点A在第一象限， | 3|AFBF，则直线l的斜率为( ) A3 B 3 3 C1 D2 8 （5 分）设数列 n x满足 2 1 2 nnn xxx ， * nN，且对于任意 1 0 x ，都存在正整数n使得 n xm，则
4、实数 m的最大值为( ) A1 5 2 B1 5 2 C2 D3 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）若 3 sin 23 ，(0, )，则( ) A 1 cos 3 B 2 sin 3 C 62 3 sin() 246 D 2 36 sin() 246 10 （5 分）已知数列 n a是等比数列，下列结论正确的为
5、( ) A若 12 0a a ，则 23 0a a B若 13 0aa，则 12 0aa C若 21 0aa，则 132 2aaa D若 12 0a a ，则 2123 ()()0aaaa 11（5 分） 南宋数学家杨辉所著的 详解九章算法商功 中出现了如图所示的形状， 后人称为 “三角垛” “三 角垛”的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，设各层球数构成一个数列 n a，则( ) A 4 12a B 1 1 nn aan C 100 5050a D 12 2 nnn aaa 12 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F，G分别是棱 11 AD
6、，BC， 11 C D的中点，则下列 结论正确的是( ) AFG 平面 1 ABC BEF 平面 11 ABC D C/ /FG平面 11 BB D D D/ /EG平面 1 ACD 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）函数 3 ( )(21)f xxx的图象在点(1，f（1）)处的切线的斜率为 14 （5 分）能使“函数( )|1|f xx x在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为0，2 ” 是真命题的一个区间I为 15 （5 分）已知抛物线 2 :6C yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直
7、线PF与C的一个交点， 若3FPFQ，则|QF的值是 16 （5 分）已知AB为抛物线 2 4xy的一条长度为 8 的弦，当弦AB的中点离x轴最近时，直线AB的斜率 为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，5bc，sin1cA ，点D是AC中点， BDAB，求c和ABC 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 2 6a ， 1 1 1 2 nn Sa （1）证明：数列1 n S 为等比数列，并
8、求出 n S； （2）求数列 1 n a 的前n项和 n T 19 （12 分）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，1CACB， 1 2AA ，D，E分别是棱 1 CC， 1 AA的中 点，EBAD （1）证明： 1 BCEC； （2）求二面角 1 ADBB的余弦值 20 （12 分）现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为(01)pp若甲、乙两个足球队共 打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为( )f p，当 0 pp时，( )f p取得最大值 （1）求 0 p； （2）设 0 pp，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得 奖励 5 万元，
9、平局双方都将获得奖励 1 万元，败方将无奖励经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙 队获得奖励总额之差为X万元，求X的分布列及其数学期望 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(1) xy Cab ab 长轴的顶点与双曲线 22 2 :1 4 xy D b 实轴的顶点相同，且C的 右焦点F到D的渐近线的距离为 21 7 （1）求C与D的方程； （2）若直线l的倾斜角是直线( 52)yx的倾斜角的 2 倍，且l经过点F，l与C交于A，B两点，与D 交于M，N两点，求 | | AB MN 22 （12 分）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率， 曲
10、线的曲率定义如下：若( )fx是( )f x的导函数，( )fx是( )fx的导函数，则曲线( )yf x在点(x，( )f x 处的曲率 3 2 2 |( )| (1( ) ) fx K fx 已知函数( )cos(1)(0 x f xaelnxbxa，0)b ，若0a ，则曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的曲率 为 2 2 （1）求b； （2）若函数( )f x存在零点，求a的取值范围； （3）已知1.09831.099ln， 0.048 1.050e， 0.045 0.956e，证明：1.141.15ln 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（5）答案）答案
11、 1解： | 13Axx ， |Bx xa， |1ABx axa， 13a ，解得2a 故选：A 2解：欧拉公式：cossin () i eiR 中 根据欧拉公式， 2 cos2sin2 i ei，因为cos20，sin20， 所以 2i e在复平面内对应的点在第二象限， 故选：B 3解：由题意得 2 17qq， 解得3q 或2q ， 当3q 时，前五项和为139278161， 当2q 时，前五项和为12481631 故选：C 4解：双曲线 22 22 1 yx ab 的一条渐近线的倾斜角为 3 ， 它的斜率：3， 所以3 a b ，所以 2222 333abca， 解得 2 3 3 c e
12、a 故选：C 5解：a，b都大于零且不等于 1，log1log aa ba ， 若01a时，则10ab，所以(1)(1)0ab， 若1a 时，则1ba，所以(1)(1)0ab， 所以“log1 ab ”可以推出“(1)(1)0ab” ，满足充分性； 因为(1)(1)0ab，所以1a ，1b 或01a，01b， 只能推出log0 ab ，不能推出log1 ab ，不满足必要性； 所以“log1 ab ”是“(1)(1)0ab”的充分不必要条件 故选：A 6 解 ： 由 题 意 可 得 随 机 变 量 服 从 二 项 分 布(4,0.2)BN， 则 最 多 1 人 被 感 染 的 概 率 为 13
13、0 44 (1 0.8) (0.8)0.8CC 4 512 625 ， 故选：A 7解：A在第一象限，且| |AFBF，直线l的斜率k存在，且0k ， 设直线l的方程为(1)yk x， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 1 0 x ， 2 0 x ， 联立 2 (1) 4 yk x yx ，得 2222 (24)0k xkxk， 12 2 4 2xx k ， 12 1xx， | 3|AFBF， 12 13(1)xx ，即 12 32xx， 由解得， 1 3x ， 2 1 3 x ， 代入中，得 2 14 32 3k ，3k （舍负） ， 3k 故选：A 8解：数列 n x
14、满足 2 1 2 nnn xxx ， * nN，且对于任意 1 0 x ，都存在正整数n使得 n xm， 若数列 n x是递增数列，则 2 1 23 nnnnn xxxxx 或0 n x ， 存在正整数n使得 n xm， 故需3m，此时m的最大值为 3， 若数列 n x是递减数列，则 2 1 203 nnnnn xxxxx ， 存在正整数n使得 n xm， 故需0m，此时m的最大值为 0， 综上可得：m的最大值为 3， 故选：D 9解： 3 sin 23 ，(0, )， (0,) 22 ， 2 6 cos1 223 sin 则 22 31 cos1212() 233 sin ，故A正确； 36
15、2 2 sin2sincos2 22333 ，故B错误； sin()sincoscossin 242424 326262 3 32326 ，故C正确； sin()sincoscossin 242424 326262 3 32326 ，故D错误 故选：AC 10解：数列 n a是等比数列， 对于A， 12 0a a ，即 2 1 0a q ，可得0q ，则 23 231 0a aa q，故A正确； 对于B， 2 131(1 )0aaaq，可得 1 0a ，由于 121(1 )aaaq，当1q 时， 12 0aa，当1q时， 12 0aa，故B不正确； 对于C， 21 0aa， 可得1q ， 所以
16、 22 13211 2(1 2)(1)0aaaaqqaq， 故 132 2aaa，C正确； 对于D，由 12 0a a ，可得 2 1 0a q，可得0q ，所以 2222 212311 ()()(1)()(1)0aaaaa qqqa q q， 故D不正确 故选：AC 11解：由题意可知， 1 1a ， 21 212aa ， 32 3123aa ， 1 123 nn aann ， 故 (1) 123 2 n n n an ， 所以 4 4(41) 10 2 a ，故选项A错误； 因为 1 1 nn aan ，故选项B正确； 因为 100 100(1001) 5050 2 a ，故选项C正确；
17、因为 1 2(1)(2) n ann ， 2 (1)(2)(3) 4 nn n nnn a a ，所以 12 2 nnn aaa ，故选项D错误 故选：BC 12解：设正方体的棱长为 2，以D为坐标原点，分别以DA，DC， 1 DD所在直线为x，y，z轴 建立空间直角坐标系， 则(1E，0，2)，(1F，2，0)，(0G，1，2)，(2A，0，0)， 1(2 B，2，2)，(0D，0，0)， ( 1, 1,2)FG ，(0,2, 2)EF ， 1 (0,2,2)AB ，(2,0,0)DA， 1 2420FG AB ，FG与 1 AB不垂直，则FG 平面 1 ABC错误，故A错误； 1 440E
18、F AB，0EF DA， 1 EFAB，EFAD，有 1 ABADA， EF平面 11 ABC D，故B正确； 取 11 BC中点H，连接FH，GH，可得 1 / /FHBB， FH 平面 11 BB D D， 1 BB 平面 11 BB D D，得/ /FH平面 11 BB D D，同理/ /GH平面 11 BB D D， 又FHGHH，平面/ /FGH平面 11 BB D D，则/ /FG平面 11 BB D D，故C正确； 连接 11 AC，可得 11/ / ACAC，又 11 / /EGAC，/ /EGAC， AC 平面 1 ACD，EG平面 1 ACD，/ /EG平面 1 ACD，故
19、D正确 故选：BCD 13解：函数 3 ( )(21)f xxx， 所以 32 ( )(21)3 (21)2fxxxx， 故 f （1）275481 故答案为：81 14解： (1),1 ( )|1| (1),1 x xx f xx x xx x ， 其图像如图所示， 易得 11 ( ) 24 f，f（1）0，f（2）2， 结合图像可知，函数在区间 1 ,2 2 上符合条件 故答案为： 1 ,2 2 15解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N， 3FPFQ， 2 3 NQ MF ， 又|3MFp，| 2NQ， | |NQQF，| 2QF 故答案为：2 16解：由题意得抛物线的准
20、线方程为:1l y ，过A作 1 AAl于 1 A，过B作 1 BBl于 1 B， 设弦AB的中点为M，过M作 1 MMl于 1 M，则 111 2| |MMAABB， 设抛物线的焦点为F，则|AFBFAB，即 11 | |8AABBAFBF（当且仅当A，B，F三点 共线时等号成立） ， 所以 111 | 2|8AABBMM，解得 1 |4MM， 即弦AB的中点到x轴的最短距离为：413 所以点M的纵坐标为 0 (x，3)， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，(0,1)F， 2 11 4xy， 2 22 4xy， 所以直线AB的斜率 01212 120 3 1 420 xy
21、yxx k xxx ， 0 2x ，此时1k ， 当弦AB的中点离x轴最近时，直线AB的斜率为1， 故答案为：1 17解：Rt ABD中， 22 2222 44 bc BDADABc， 所以 2 c BD ， 所以 5 sin 5 BD A AD ， 又因为sin1cA ， 所以5c ， 由55bcc， 因为 5 sin 5 A，A为锐角， 所以 2 52 5 cos1() 55 A ， ABC中，由余弦定理得 22 2 5 5( 5)25510 5 a ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，即 510 sin5 5 ABC ， 所以 2 sin 2 ABC， 因为(, ) 2 ABC
22、， 所以 3 4 ABC 18 （1）证明： 1 1 1 2 nn Sa ， 1 1 ()1 2 nnn SSS ， 1 13(1) nn SS ， 又 2 6a ， 12 1 14 2 Sa ， 1 130S ， 数列1 n S 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，且13n n S ， 31 n n S； （2）解：由（1）可得： 1 1 131 2 n nn Sa ， 1 2 3n n a ， 1 2 3(2) n n an ， 又 1 4a ， 1 4,1 23,2 nn n a n ， 1 1 ,1 1 4 1 ,2 23 n n n a n ， 当1n 时， 1 1 4 T ， 当
23、2n时， 1 1 123 11 1( ) 11111111 33 1 4224 3 1 3 n n n n T aaaa ， 综上， 1 11 243 n n T 19 （1）证明：连结EC，在直线棱柱 111 ABCABC中，因为D，E分别是棱 1 CC， 1 AA的中点， 所以 1 / /C DEA，且 1 C DEA， 所以四边形 1 EADC是平行四边形，故 1/ / ECAD， 又因为EBAD，所以 1 EBEC， 因为1CACB， 11 2AACC， 所以 1 2ECEC，因此 222 11 ECECCC， 所以 1 ECEC，又因为EBECE，EB，EC 平面ECB， 所以 1
24、EC 平面ECB，因为BC 平面ECB， 所以 1 BCEC； （2）解：因为 1 CC 平面ABC，BC 平面ABC，所以 1 CCBC， 由（1）可知， 1 BCEC，又因为 11 CCECC， 1 CC， 1 EC 平面 11 A ACC， 所以BC 平面 11 A ACC，又CA 平面 11 A ACC，故BCCA， 所以CB，CA， 1 CC两两垂直， 建立空间直角坐标系如图所示， 则(1A，0，0)，(0B，1，0)，(0D，0，1)， 1(0 B，1，2)， 所以 1 (0,1,1),( 1,0,1)DBAD ， 设平面 1 ADB的一个法向量为( , , )nx y z， 则有
25、 1 0 0 n DByz n ADxz ， 令1x ，则1y ，1z ，故(1, 1,1)n ， 因为x轴平面 1 DB B， 所以取平面 1 DB B的一个法向量为(1,0,0)m ， 所以 13 cos, |33 n m n m n m ， 又因为二面角 1 ADBB是锐二面角， 所以二面角 1 ADBB的余弦值为 3 3 20解： （1） 2222222 4 11 ( )(1)6(1)6() 24 f pC ppppp， 因为当01p，所以当 1 2 p 时，( )f p取得最大值，则 0 1 2 p ； （2）因为 0 1 2 pp，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率
26、的两倍， 所以每场球赛甲队输的概率为 1 3 ，两队平局的概率为 1 6 ， 当甲连赢两场时，10X ，且 111 (10) 224 P X ， 当甲赢一场平一场时，5X ，且 111 (5)2 266 P X ， 当甲赢一场输一场或两队连平两场时，0X ，且 111113 (0)2 236636 P X ， 当 甲 输 一 场 平 一 场 时 ，5X ， 且 111 (5 )2 369 P X ， 当 甲 连 输 两 场 时 ，10X ， 且 111 (10) 339 P X ， 所以X的分布列为： X 10 5 0 5 10 P 1 4 1 6 13 36 1 9 1 9 故X的数学期望为
27、 1113115 ()1050510 4636993 E X 21解： （1）因为椭圆C长轴的顶点与双曲线D实轴的顶点相同， 所以2a ， 双曲线D的渐近线为 2 b yx ，即20bxy， 所以右焦点( ,0)F c到渐近线20bxy的距离为 2 |21 7 4 bc b ， 又 222 abc， 由解得 2 3b ， 2 1c ， 所以椭圆的方程为 22 1 43 xy ，双曲线的方程为 22 1 43 xy （2）设直线( 52)yx倾斜角为，则tan52， 所以 2 2 2tan2( 52)1 tan2 121( 52)tan ， 所以直线l的方程为 1 (1) 2 yx， 设 1 (
28、A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (M x， 3) y， 4 (N x， 4) y， 联立 22 1 (1) 2 1 43 yx xy ，得 2 42110 xx， 所以 12 1 2 xx， 12 11 4 x x ， 所以 222 121212 1115 |1|1()4111 444 ABkxxkxxx x， 联立 22 1 (1) 2 1 43 yx xy ，得 2 22130 xx， 所以 34 1xx ， 34 13 2 x x ， 所以 222 343434 13 15 |1|1()41126 42 MNkxxkxxx x， 所以 15 |15 4 |63 15
29、 2 AB MN 22 （1）解：( )cos(1) x f xaelnxbx，若0a ，则( )cos(1)f xlnxbx ， 1 ( )sin(1)fxbx x ， 2 1 ( )cos(1)fxbx x ， 因为曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的曲率为 2 2 ， 所以 33 22 22 |(1)|1|1|2 22 2 (1 (1) )1( 1) fbb K f ， 又0b ，所以1b （2）解：由（1）可得( )cos(1) x f xaelnxx， 若函数( )f x存在零点，则方程( )cos(1)0 x f xaelnxx在(0,)上有解， 即 1 cos(1) x l
30、nxx ae e 在(0,)上有解， 1 ( ) x g xex ， 1 ( )1 x g xe ，当01x时，( )0g x，( )g x单调递减， 当1x 时，( )0g x，( )g x单调递增， 所以( )g xg（1）0，当且仅当1x 时取等号， 从而 111 1cos(1) xlnx exelnxxlnx 厖?，当且仅当1x 时取等号， 所以 1 cos(1) ( )1 x lnxx h x e ，当且仅当1x 时等号成立， 当0 x 时，( )h x ， 所以1ae，解得 1 a e ， 即实数a的取值范围是0， 1 e （3）证明：由（2）得 1 1 x elnx ， 则 1 0.048 3 1.0501131 1.0990.1 3 eelnlnlnlnln ，则1.150ln， 又 3 1 0.045 3 1 1.0981310.956lnlnlnlnee ，则1.1421.14ln， 所以1.141.15ln
