2021年中考数学分类专题突破10 垂径定理实际应用(含答案解析)

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1、专题专题 10 10 垂径定理实际应用垂径定理实际应用 一选择题 1一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示,其中有水部分水面宽 0.8 米,最深处水深 0.2 米,则 此输水管道的直径是( ) A0.5 B1 C2 D4 解:设半径为 r,过 O 作 OEAB 交 AB 于点 D,连接 OA、OB, 则 ADAB 0.80.4 米, 设 OAr,则 ODrDEr0.2, 在 Rt OAD 中, OA2AD2+OD2,即 r20.42+(r0.2)2,解得 r0.5 米, 故此输水管道的直径2r2 0.51 米 故选:B 2如图,圆弧形桥拱的跨度 AB12 米,拱高 CD4 米,则拱桥的半径

2、为( ) A6.5 米 B9 米 C13 米 D15 米 解:根据垂径定理的推论,知此圆的圆心在 CD 所在的直线上,设圆心是 O 连接 OA根据垂径定理,得 AD6 设圆的半径是 r,根据勾股定理,得 r236+(r4)2,解得 r6.5 故选:A 3将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如图所示,已 知水杯内径(图中小圆的直径)是 8cm,水的最大深度是 2cm,则杯底有水部分的面积是( ) A(4)cm 2 B(8)cm 2 C(4)cm 2 D(2)cm 2 解:作 ODAB 于 C,交小O 于 D,则 CD2,ACBC, OAOD4,CD2,

3、OC2, 在 RT AOC 中,sinOAC, OAC30 , AOB120 , AC 2, AB4, 杯底有水部分的面积S扇形S AOB 2(4)cm2 故选:A 4如图所示,某宾馆大厅要铺圆环形的地毯,工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦 AB 的长,就计算 出了圆环的面积,若测量得 AB 的长为 20 米,则圆环的面积为( ) A10 平方米 B10 平方米 C100 平方米 D100 平方米 解:过 O 作 OCAB 于 C,连 OA,如图, ACBC,而 AB20, AC10, AB 与小圆相切, OC 为小圆的半径, 圆环的面积OA2OC2 (OA2OC2) AC2 100(平方米

4、) 故选:D 5九章算术是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学专著,标志着中国古代数学形成了完整 的体系“圆材埋壁”是九章算术中的一个问题“今有圆材埋在壁中,不知大小以锯锯之,深一寸, 锯道长一尺,问径几何?”朱老师根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口深为 1 寸,锯道 AB1 尺(1 尺10 寸),则该圆材的直径为( ) A26 寸 B25 寸 C13 寸 D寸 解:设圆心为 O,过 O 作 OCAB 于 C,交O 于 D,连接 OA, ACAB 105, 设O 的半径为 r 寸, 在 Rt ACO 中,OCr1,OAr, 则有 r252+(r1)2, 解得 r13, O

5、的直径为 26 寸, 故选:A 6如图,MN 所在的直线垂直平分线段 AB,利用这样的工具,可以找到圆形工件的圆心如果使用此工具 找到圆心,最少使用次数为( ) A1 B2 C3 D4 解:如图所示, 根据垂径定理的推论,两个直径的交点即为圆心 故选:B 7为了测量一个铁球的直径,将该铁球放入工件槽内,测得的有关数据如图所示(单位:cm),则该铁球 的直径为( ) A12cm B10cm C8cm D6cm 解:连接 AB、CD 交于点 D, 由题意得,OCAB, 则 ADDBAB4, 设圆的半径为 Rcm,则 OD(R2)cm, 在 Rt AOD 中,OA2AD2+OD2,即 R242+(R

6、2)2, 解得,R5, 则该铁球的直径为 10cm, 故选:B 8我们研究过的图形中,圆的任何一对平行切线的距离总是相等的,所以圆是“等宽曲线”除了圆以外, 还有一些几何图形也是“等宽曲线”, 如勒洛三角形 (如图 1) , 它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心, 以边长为半径,在另两个顶点间画一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形图 2 是等宽的勒洛三角形和 圆形滚木的截面图 有如下四个结论: 勒洛三角形是中心对称图形; 图 1 中,点 A 到上任意一点的距离都相等; 图 2 中,勒洛三角形的周长与圆的周长相等; 使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西,会发生上下抖动 上述结论中,所有正确结论的序

7、号是( ) A B C D 解:勒洛三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故错误; 图 1 中,点 A 到上任意一点的距离都相等,正确; 、设等边三角形 DEF 的边长为 a, 勒洛三角形的周长3a,圆的周长a, 勒洛三角形的周长与圆的周长相等,故正确 夹在平行线之间的莱洛三角形无论怎么滚动,平行线间的距离始终不变,使用截面是勒洛三角形的滚 木来搬运东西,不会发生上下抖动,故错误, 故选:B 9如图,是一个单心圆隧道的截面,若路面 AB 宽为 20 米,净高 CD 为 14 米,则此隧道单心圆的半径 OA 是( ) A10 B C D14 解:设圆的半径是 R ODAB, ADAB10 在直角

8、三角形 AOD 中,根据勾股定理得 R2(14R)2+100, 解得 R 故选:B 10如图 1,把圆形井盖卡在角尺角的两边互相垂直,一边有刻度)之间,即圆与两条直角边相切,现将 角尺向右平移 10cm, 如图 2, OA 边与圆的两个交点对应 CD 的长为 40cm, 则可知井盖的直径是 ( ) A25cm B30cm C50cm D60cm 解:作辅助线如下所示: 设井盖的直径为 2xcm, 则 BE10cm,BD(x10)cm,BC20cm,CDxcm, 在 Rt BCD 中,根据勾股定理得:CD2BC2+BD2, 代入得:x2202+(x10)2, 解得:x25, 则井盖的直径是 50

9、cm 故选:C 二填空题 11如图为一个半径为 3m 的圆形会议室区域,其中放有四个宽为 1m 的长方形会议桌,这些会议桌均有两 个顶点在圆形边上,另两个顶点紧靠相邻桌子的顶点,则每个会议桌的长为 m 解:设圆心是 O,连接 OA,OB,作 OC 于 BC 垂直 设长方形的长是 2xm, 在直角 OAD 中,AOD45 ,ADxm, 则 ODADxm, 在直角 OBC 中,OC, OCODCD1, x1, 解得:x(负值舍去), 则 2x1+ 故答案是:1+ 12一块圆形宣传标志牌如图所示,点 A,B,C 在O 上,CD 垂直平分 AB 于点 D,现测得 AB8dm, DC2dm,则圆形标志牌

10、的半径为 解:连接 OA,OD, 点 A,B,C 在O 上,CD 垂直平分 AB 于点 DAB8dm,DC2dm, AD4dm, 设圆形标志牌的半径为 r,可得:r242+(r2)2, 解得:r5, 故答案为:5dm 13如图,某下水道的横截面是圆形的,水面 CD 的宽度为 2 米,F 是线段 CD 的中点,EF 经过圆心 O 交 O 于点 E,EF3 米,则O 直径的长是 米 解:如图,连接 OC, F 是弦 CD 的中点,EF 过圆心 O, EFCD CFFD CD2, CF1, 设 OCx,则 OF3x, 在 Rt COF 中,根据勾股定理,得 12+(3x)2x2 解得 x, O 的直

11、径为 故答案为: 14如图,在残破的圆形工件上量得一条弦 BC16,的中点 D 到 BC 的距离 ED4,则这个圆形工件的 半径是 解:DEBC,DE 平分弧 BC, 圆心在直线 DE 上, 设圆心为 O,如图,连结 OB,设圆的半径为 R,则 OERDER4, OEBC, BECEBC 168, 在 Rt OEB 中,OB2BE2+OE2,即 R282+(R4)2,解得 R10, 即这个圆形工件的半径是 10 故答案为:10 15现在很多家庭都使用折叠型西餐桌来节省空间,两边翻开后成圆形桌面(如图 1)餐桌两边 AB 和 CD 平行且相等(如图 2),小华用皮带尺量出 AC2 米,AB1 米

12、,那么桌面翻成圆桌后,桌子面积会增 加 平方米(结果保留 ) 解:将圆形补全,设圆心为 O,连接 DO,过点 O 作 OEAD 于点 E, 由题意可得出:DABABC90 , AC2 米,AB1 米, ACB30 , 餐桌两边 AB 和 CD 平行且相等, C130 , EOAOm, AE , AD , 1D30 , AOD120 , S弓形AD面积 S扇形AODS AOD , , 桌面翻成圆桌后,桌子面积会增加()平方米 故答案为: 16小帅家的新房子刚装修完,便遇到罕见的大雨,于是他向爸爸提议给窗户安上遮雨罩如图 1 所示的 是他了解的一款雨罩它的侧面如图 2 所示,其中顶部圆弧 AB 的

13、圆心 O 在整直边缘 D 上,另一条圆弧 BC 的圆心 O在水平边缘 DC 的廷长线上,其圆心角为 90 ,BEAD 于点 E,则根据所标示的尺寸(单 位:c)可求出弧 AB 所在圆的半径 AO 的长度为 cm 解:连接 BO1,易知 BE60cm,AE50cm 设弧 AB 的半径为 Rcm,则 O1BRcm,O1E(R50)cm 在 Rt O1BE 中,由勾股定理得:O1B2BE2+O1E2, 即 R2602+(R50)2, 解得:R61 故答案为:61 三解答题 17如图,是一张盾构隧道断面结构图隧道内部为以 O 为圆心,AB 为直径的圆隧道内部共分为三层, 上层为排烟道, 中间为行车隧道

14、, 下层为服务层 点 A 到顶棚的距离为 1.6m, 顶棚到路面的距离是 6.4m, 点 B 到路面的距离为 4.0m请求出路面 CD 的宽度(精确到 0.1m) 解:如图,连接 OC,AB 交 CD 于 E, 由题意知:AB1.6+6.4+412, 所以 OCOB6, OEOBBE642, 由题意可知:ABCD, AB 过 O, CD2CE, 在 Rt OCE 中,由勾股定理得:CE4, CD2CE811.3m, 所以路面 CD 的宽度为 11.3m 18一辆装满货物的卡车,高 2.5 米,宽 1.6 米,要开进厂门形状如图所示的某工厂,问这辆卡车能否通过 厂门(厂门上方为半圆形拱门)?说明

15、你的理由 解:这辆卡车能通过厂门理由如下: 如图 M,N 为卡车的宽度,过 M,N 作 AB 的垂线交半圆于 C,D,过 O 作 OECD,E 为垂足, 则 CDMN1.6m,AB2m, 由作法得,CEDE0.8m, 又OCOA1m, 在 Rt OCE 中,OE0.6(m), CM2.3+0.62.9m2.5m 所以这辆卡车能通过厂门 19木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径 r用角尺的较短边紧靠O,角尺的顶点 B(B90 ), 并使较长边与O 相切于点 C (1)如图,ABr,较短边 AB8cm,读得 BC 长为 12cm,则该圆的半径 r 为多少? (2) 如果 AB8cm, 假设角尺的

16、边 BC 足够长, 若读得 BC 长为 acm, 则用含 a 的代数式表示 r 为 解:(1)如图 1,连接 OC、OA,作 ADOC,垂足为 D则 ODr8 在 Rt AOD 中,r2(r8)2+122 解得:r13; 答:该圆的半径 r 为 13; (2)如图 2,易知,0r8 时,ra; 当 r8 时, 如图 1:连接 OC,连接 OA,过点 A 作 ADOC 于点 D, BC 与O 相切于点 C, OCBC, 则四边形 ABCD 是矩形,即 ADBC,CDAB 在 Rt AOD 中,OA2OD2+AD2, 即:r2(r8)2+a2, 整理得:ra2+4 故答案为:0r8 时,ra;当

17、r8 时,ra 2+4 20图 1 是某奢侈品牌的香水瓶从正面看上去(如图 2),它可以近似看作O 割去两个弓形后余下的部 分与矩形 ABCD 组合而成的图形(点 B、C 在O 上),其中 BCEF;从侧面看,它是扁平的,厚度为 1.3cm (1)已知O 的半径为 2.6cm,BC2cm,AB3.02cm,EF3.12cm,求香水瓶的高度 h (2)用一张长 22cm、宽 19cm 的矩形硬纸板按照如图 3 进行裁剪,将实线部分折叠制作成一个底面积为 SMNPQ9cm2的有盖盒子(接缝处忽略不计)请你计算这个盒子的高度,并且判断上述香水瓶能否装入 这个盒子里 解:(1)作 OGBC 于 G,延长 GO 交 EF 于 H,连接 BO、EO EFBC, OHEF, BGBC,EH EF GO2.4;OH 2.08, h2.4+2.08+3.027.5cm (2)设盒子的高为 xcm 由题意:(222x)9 解得 x8 或 12.5(舍弃), MQ6,MN1.5 2.6 25.26;1.31.5;7.58, 能装入盒子

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