1、考数学考前考数学考前 3030 天回归课本知识技法精细过（五天回归课本知识技法精细过（五） 第一节第一节 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 一、必记 3 个知识点 1向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有_又有_ 的量；向量的大小叫做向量的 _(或_) 平面向量是自由向量 零向量 长度为_的向量；其方 向是任意的 记作_ 单位向量 长度等于_的向量 非零向量 a 的单位向量为a |a| 平行向量 方向_或_ 的非零向量 共线向量 10_的向量又叫 做共线向量 0 与任一向量 _或共线 相等向量 长度_且方向 _的向量 相反向量 长度_且方向 _的向量 0 的相反向量为
2、 0 2.向量的表示方法 (1)字母表示法：如 a，AB 等 (2)几何表示法：用一条_表示向量 3向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 _法则 _法则 (1)交换律： ab_. (2)结合律： (ab)c _. 减法 求a与b的相反向量 b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 21_法则 aba(b) 数乘 求实数 与向量 a 的积 的运算 (1)|a| 22_. (2)当 0 时，a 与 a 的 方向 23_；当 0 时，a 与 a 的方向 24 _；当 0 时，a 25_ (a) 26 _； ()a 27 _； (ab) 28 _. 二、必
3、明 3 个易误点 1作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点 2在向量共线的充要条件中易忽视“a0”，否则 可能不存在，也可能有无数个 3要注意向量共线与三点共线的区别与联系 三、技法 1. 向量有关概念的 5 个关键点 (1)向量：方向、长度 (2)非零共线向量：方向相同或相反 (3)单位向量：长度是一个单位长度 (4)零向量：方向没有限制，长度是 0. (5)相等向量：方向相同且长度相等. 2. 平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解 (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中 位线等性质，把
4、未知向量用已知向量表示出来求解 3利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置 (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式 (3)比较、观察可知所求. 4. 共线向量定理的应用 (1)证明向量共线，对于向量 a，b，若存在实数 ，使 ab，则 a 与 b 共线 (2)证明三点共线，若存在实数 ，使AB AC，则 A，B，C 三点共线 (3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 提醒 证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点. 参考答案参考答案 大小 方向 模 长度 零 0 1 个单位长度 相同
5、相反 方向相同或相反 平行 相等 相同 相等 相反 有向线段 三角形 平行四边形 ba a(bc) 21三角形 22 |a| 23 相同 24 相反 250 26 a 27aa 28ab 第二节第二节 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 一、必记 3 个知识点 1平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一 对实数 1，2，使 a_. 我们把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_. 2平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴_的两个单位_i、j 作为基底， 对于平面内的一个
6、向量 a，有且只有一对实数 x，y，使得 a_，则有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作_，其中 x，y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上的坐标，a(x，y)叫做向量 a 的坐标 表示，相等的向量其_相同，_相同的向量是相等向量 3平面向量的坐标运算 (1)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB 10_，|AB | _. (2)已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_，ab_，a _，ab(b0)的充要条件是_. (3)非零向量 a(x，y)的单位向量为_或_. (4)a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab_. 二、必明 3 个易误点 1若 a、b 为非零向量
7、，当 ab 时，a，b 的夹角为 0 或 180 ，求解时容易忽视其中一种情形而导致 出错 2要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既 有方向也有大小的信息 3若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1 x2 y1 y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，应 表示为 x1y2x2y10. 三、技法 1. 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数 乘运算 (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论
8、表示成向量的 形式，再通过向量的运算来解决. 2. 求解向量坐标运算问题的一般思路 (1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全 代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算 (2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线 段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用 (3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐 标，再用待定系数法求出系数. 3. 利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一
9、个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量 为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a，即可得到所求向量. 4. 平平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若 a(x1，y1)，b(x2， y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1”解题比较方便 (2)利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量 (3)三点共线问题A，B，C 三点共线等价于AB 与AC共线
10、. 参考答案 不共线 1 1 e 22 e 基底 同向 向量 xiyj a(x，y) 坐标 坐标 ( 2 x 1 x， 2 y 1 y) 22 2121 ()()xxyy ( 1 x 2 x， 1 y 2 y) ( 1 x 2 x， 1 y 2 y) ( 1 x， 1 y) 1 x 2 y 2 x 1 y0 a |a| 22 1 xy (x，y) 1 x 2 x且 1 y 2 y 第三节第三节 平面向量的数量积与应用举例平面向量的数量积与应用举例 一、必记 4 个知识点 1平面向量的数量积的定义 (1)已知两个_a、b，过 O 点作OA a，OB b，则AOB(0 180 )叫做向量 a 与
11、b 的_. 很显然， 当且仅当两非零向量 a、 b 同方向时， _， 当且仅当 a、 b 反方向时， _， 特别地，0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题 (2)如果 a，b 的夹角为 90 ，则称 a 与 b 垂直，记作_. (3)a，b 是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数|a| |b| cos 叫做 a 与 b 的数量积记作 a b，即 a b _. 规定 0 a0. 当 ab 时，90 ，这时_0. (4)a b 的几何意义 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的_. 2向量数量积的性质 (1)如果 e 是单位向量，则 a ee a_. (2)ab_且 a b0_.(a
12、，b 为非零向量) (3)a a_，|a| _. (4)cosa，b_. (5)|a b|_|a|b|. 3数量积的运算律 (1)交换律 a b_. (2)分配律(ab) c_. (3)对 R，(a b)_. 4数量积的坐标运算 设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 (1)a b_. (2)ab 21_. (3)|a| 22_. (4)cosa，b 23_. 二、必明 2 个易误点 1若 a，b，c 是实数，则 abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，若向量 a，b，c 满足 a ba c(a0)，则不一定有 bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量 2数量
13、积运算不适合结合律，即(a b) ca (b c) 三、技法 1. 平面向量数量积应用的技巧 求两向量的夹角，cos a b |a| |b|，要注意 0， 两向量垂直的应用.两非零向量垂直的充要条件是：aba b0|ab|ab|. 求向量的模的方法 公式法：利用|a| a a及(a b)2|a|2 2a b|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算 几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利 用余弦定理等方法求解. 2. 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函 数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向 量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等. 参考答案 非零向量 夹角 0 180 ab |a|b|cos a b 投影的乘积 |a|cosa，e a b0 ab |a|2 a a a b |a| |b| b a a cb c (a)b a(b) 1 122 aba b 21 1 122 aba b0 22 22 12 aa 23 1 122 2222 1212 aba b aabb
