1、高考数学考前高考数学考前 30 天回归课本知识技法精细过（六） ：数列天回归课本知识技法精细过（六） ：数列 第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 一、必记 5 个知识点 1数列的有关概念 概念 含义 数列 按照_排列的一列数 数列的项 数列中的_ 数列的通项 数列an的第 n 项 an 通项公式 数列an的第 n 项 an与 n 之间的关系能用公式_表示， 这个公式叫做数列的通项公式 前 n 项和 数列an中，Sn_叫做数列的前 n 项和 2.数列的表示方法 列表法 列表格表示 n 与 an的对应关系 图象法 把点_画在平面直角坐标系中 公 式 法 通项 公式 把数列的
2、通项使用_表示的方法 递推 公式 使用初始值 a1和 an1f(an)或 a1， a2和 an1f(an， an1)等表示数列的方法 3.an与 Sn的关系 若数列an的前 n 项和为 Sn， 则 an ，n1， ，n2. 4数列的分类 单调性 递增数列 nN*，_ 递减数列 nN*，_ 常数列 nN*，an1an 摆动数列 从第 2 项起， 有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数 列 周期性 周期数列 nN*，存在正整数常数 k，ankan 5.常见数列的通项公式 自然数列：(1,2,3,4，) ann； 奇数列：(1,3,5,7，) an2n1； 偶数列：(2,4,6,8，) a
3、n2n； 平方数列：(1,4,9,16，) ann2； 2 的乘方数列：(2,4,8,16，) an2n； 倒数列： 1，1 2， 1 3， 1 4， an 1 n； 乘积数列：(2,6,12,20，) 可化为(12,23,34,45，) ann(n1)； 重复数串列：(9,99,999,9999，) an10n1； (0.9,0.99,0.999,0.9999，) an110 n； 符号调整数列：(1,1，1,1，) an(1)n. 二、必明 2 个易误点 1数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数” 的排列顺序有关 2项与项数是两个不同的概念，数
4、列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置 序号 三、技法 1. 由数列的前几项求数列通项公式的策略 (1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归 纳、联想，具体如下： 分式中分子、分母的特征； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征； 各项符号特征等 (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思 想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n 1 来 调整. 2. 已知 Sn求 an的三个步骤 (1)先利用 a1S1求出 a1. (2)用
5、n1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系， 利用 anSnSn1(n2)便可求出当 n2 时 an的表达式 (3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式 合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写 3. 典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 an1anf(n) 累加法 a11，an1an2n an1anf(n) 累乘法 a11，an 1 an 2n an1AanB (A0,1，B0) 化为等 比数列 a11，an12an1 an1 Aan BanA 化为等 差数列 a11，an1 2an an2 参考答案参考答案 一
6、定顺序 每一个数 anf(n) a1a2an (n，an) 公式 S1 SnSn1 an1an an1k，m，kN*) (3)若 mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则 am an_a2k. (4)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，|an|， 1 an ，a2n，an bn， an bn (0)仍然是等 比数列 (5)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，则 an，ank，an2k，an3k，为等比数 列，公比为 qk. 5和的性质 (1)SmnSnqnSm. (2)若等比数列an共 2k(kN*)项，则S 偶 S奇q. (3)公比不为1 的等比数列an的前
7、n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，_仍成等比数列，其公 比为 qn，当公比为1 时，Sn，S2nSn，_不一定构成等比数列 6等比数列an的单调性 (1)满足 a10， q1 或 a10， 0q0， 0q1 或 a11 时，an是_数列 (3)当 a10， q1 时，an为_数列 (4)当 q0，则logaan(a0 且 a1)是以 logaa1为首项，logaq 为公差的等差数列 若公比不为 1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 qn. 4牢记与等比数列前 n 项和 Sn相关的几个结论 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列
8、an中，公比为 q. 若共有 2n 项，则 S偶：S奇q； 若共有 2n1 项，则 S奇S偶a1a2n 1q 1q (q1 且 q1)，S 奇a1 S偶 q. (2)分段求和：SnmSnqnSmqnSn mSn Sm (q 为公比). 参考答案 前一项 同一个常数 常数 a n1 an qG2ab ana1qn 1 na1 a 11q n 1q a 1anq 1q ap aq S3nS2n S3nS2n 递增 递减 常 第四节第四节 数列求和数列求和 一、必记 6 个知识点 1公式法求和 使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差等比数列的求和方法 2裂项相消法求和 把数列的通项
9、拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法 3错位相减法求和 (1)适用的数列：anbn，其中数列an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q1 的等比数列 (2)方法：设 Sna1b1a2b2anbn(*)， 则 qSna1b2a2b3an1bnanbn1(*)， (*)(*)得：(1q)Sna1b1d(b2b3bn)anbn1，就转化为根据公式可求的和 4倒序相加法求和 如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项之和， 可把正着写与倒着写的两个式 子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，例如等差数列的前 n 项 和公式即
10、是用此法推导的 5分组求和法求和 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化 求和法，分别求和而后相加减例如已知 an2n(2n1)，求 Sn. 6并项求和法求和 把数列中的若干项结合到一起，形成一个新的可求和的数列，此时，数列中的项可能正、负相间出现 或呈现周期性形如 an(1)nf(n)类型，可采用两个项合并求解例如：Sn100299298297222 12(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5050. 二、必明 2 个易误点 1使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切
11、不可漏写未被消 去的项，未被消去的项有前后对称的特点 2在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解 三、技法 1. 分组转化法求和的常见类型 (1)若 anbn cn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前 n 项和 (2)通项公式为 an bn，n为奇数，cn，n为偶数 的数列， 其中数列bn， cn是等比数列或等差数列， 可采用分组求和法求和 提醒 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意 在含有字母的数列中对字母的讨论. 2. 掌握解题“3 步骤” 3注意解题“3 关键” (1)
12、要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形 (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn” 的表达式 (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比 q1 和 q1 两种情况求解 4谨防解题“2 失误” (1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号 (2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的 n1 项和当作 n 项和. 5. 常见的裂项方法(其中 n 为正整数) 数列 裂项方法 1 nnk (k 为非零常数) 1 nnk 1 k 1 n 1 nk 1 4n21 1 4n21 1 2 1 2n1 1 2n1 1 nn1n2 1 2 1 nn1 1 n1n2 1 n nk 1 n nk 1 k( nk n) loga 11 n a0，a1 loga 11 n loga(n1)logan
