1、高考数学考前高考数学考前 30 天回归课本知识技法精细过（七）天回归课本知识技法精细过（七）不等式不等式 第一节第一节 不等关系与不等式不等关系与不等式 一、必记 4 个知识点 1实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)ab_. (2)abab0. (3)ab_.(双向性) (2)传递性：ab，bc_.(单向性) (3)可加性：abacbc.(双向性) (4)同向可加性：ab，cd_.(单向性) (5)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0_.(单向性) (7)乘方法则：ab0anbn(nN，n1)(单向性) (8)开方法则：ab0nanb(nN，n2)(单向性) 3倒数性质 (
2、1)ab0，则 a 1 b.(双向性) (2)a0b1 ab0,0c b d. (4)0axb 或 axb01 b 1 xb0，m0，则 (1)b a bm am(bm0) (2)a b am bm； a b0) 二、必明 2 个易误点 1在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如 ab，bcabac2bc2；若无 c0 这个 条件，abac2bc2就是错误结论(当 c0 时，取“”) 三、技法 1. 用作差法比较两个实数大小的四步曲 2. 不等式性质应用问题的 3 大常见类型及解题策略 (1)利用不等式性质比较大小熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质 成立的前提条
3、件 (2)与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断 pq 和 qp 是否正确，要注意特殊值法的应用 (3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法. 3. 利用不等式性质求范围 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运 算求得整体范围 (2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围. 参考答案 ab0 ab0 bc acbd acbd 第二节第二节 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 一、必记 2 个知识点 1一元二次不等式的特征 一元二次不等式的二次项(最高次项)系数
4、不等于 0. 2一元二次不等式的解法 判别式 b24ac 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两不等实根 x1，x2，(x1x2) 有两相等实根 x1x2 b 2a 没有实根 ax2bxc 0(a0) 的解集 _ _ _ ax2bxc0 (a0)的解集 _ _ _ 二、必明 2 个易误点 1二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形， 以便确定解集的形式 2当 0(a0)的解集为 R 还是 . 三、技法 1. 解一元二次不等式的 4 个步骤 2. 含参数一元二次不等式求解步骤 (1)讨论二
5、次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向 (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与 x 轴交点的个数 (3)当 0 时，讨论相应一元二次方程两根的大小 (4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集. 3. 一元二次不等式在 R 上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2bxc0 a0，0，0 ax2bxc0 a0，0 ax2bxc0 a0 的点 (3)满足 AxByC0 或 AxByC0 时，区域为直线 AxByC0 的上方 (2)当 B(AxByC)0(a0) 2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个， 也可能有无数多
6、个，也可能没有 三、技法 1. 平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积： 首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从 而再作出平面区域； 对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积 公式直接求解若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可 (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解. 2. 求目标函数的最值 3 步骤 (1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移将 l 平行移动，以
7、确定最优解的对应点的位置； (3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值 3常见的 3 类目标函数 (1)截距型：形如 zaxby. 求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：ya bx z b，通过求直线的截距 z b的最值 间接求出 z 的最值 (2)距离型：形如 z(xa)2(yb)2. (3)斜率型：形如 zyb xa. 提醒 注意转化的等价性及几何意义. 4. 解线性规划应用题 3 步骤 (1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题 (2)求解解这个纯数学的线性规划问题 (3)作答将数学问题的答案还原为实际问
8、题的答案 5求解线性规划应用题的 3个注意点 (1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号 (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数 x，y 的取值范围，特别注意分析 x，y 是否是整数、是 否是非负数等 (3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式. 第四节第四节 基本不等式基本不等式 一、必记 3 个知识点 1基本不等式 abab 2 (1)基本不等式成立的条件：_. (2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号 (3)两个平均数：ab 2 称为正数 a，b 的_， ab称为正数 a，b 的_. 2几个重要不等式 (1)a2b2_(a，bR) (2)
9、ab_(a，bR) (3) ab 2 2_(a，bR) (4)b a a b_(a b0) (5) 2 1 a 1 b abab 2 a2b2 2 (a0，b0) 3利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p， 那么当且仅当_时， xy有最小值是_(简记： “积定和最小”) (2)如果和 xy 是定值 s， 那么当且仅当_时， xy 有最大值是_(简记： “和定积最大”) 二、必明 2 个易误点 1求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件 2多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性 三、技法 1. 配凑法的技巧，以整式为
10、基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；变形的目 的是配凑出和或积为定值 2. 常值代换法：根据已知条件或其变形确定定值(常数)，再把其变形为 1，再把“1”的表达式与所求最值 的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式 3. 消元法：根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解. 4. 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式 证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已 知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“
11、1”的代换， 另外，解题时要时刻注意等号能否取到. 5. 利用基本不等式求解含参数的不等式的策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围 (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的 转化. 参考答案 a0，b0 ab 算术平均数 几何平均数 2ab ab 2 2 a 2b2 2 2 xy 2 p xy s 2 4 第五节第五节 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 一、必记知识点 二、必明 1 个易误点 演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式 的规范性
12、三、技法 1. 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：找两类 对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；找对应元素的对应关 系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等. 2. 归纳推理问题的常见类型及解题策略 常见类型 解题策略 与数字有关的等式 的推理 观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解 与式子有关的推理 观察每个式子的特点，找到规律后可解 与图形变化有关的 推理 合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其 真伪性 3. 运用三段论时的注意事项 用三段论写演绎推理的过程，关键是明
13、确大前提、小前提，大前提提供了一个一般性的原理，在演绎 推理的过程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有将二者结合起来才能得到完整的 三段论一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提. 参考答案 归纳推理 全部对象 部分 个别 类比推理 这些特征 由特殊到特殊 一般原理 对象 特殊问题 一般 特殊 第六节第六节 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 一、必记 3 个知识点 1综合法 一般地，利用_，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论成 立，这种证明方法叫做综合法 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表
14、示为： PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ 2分析法 一般地，从要_出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明的方法叫做分析法 用 Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为： QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件 3反证法 一般地，假设_，经过正确的推理，最后得出_，因此说明_，从而 证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 二、必明 2 个易误点 1用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要 证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论 P，再说明所要证明的数
15、学问题成立 2利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的 三、技法 1. 利用分析法证明问题的思路 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已 证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证 2分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往 采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法. 3. 4. 反证法证明问题的一般步骤 (1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立(否定
16、结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的定义、公理、 定理及明显的事实矛盾或自相矛盾(推导矛盾) (3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而 肯定了原命题成立(命题成立) 参考答案 已知条件和某些数学定义、公理、定理等 推理论证 证明的结论 充分条件 原命题不成立 矛盾 假设错误 第七节第七节 数学归纳法数学归纳法 一、必记 3 个知识点 1归纳法 由一系列有限的特殊事例得出_的推理方法叫归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事 物的全体或部分可分为_归纳法和_归纳法 2数学归纳法 数学归纳法：
17、 一个与自然数相关的命题， 如果： (1)当 n 取第 1 个值 n0时命题成立； (2)假设当 nk， (kN ，且 kn0)时，命题成立的前提下，推出当 nk1 时命题也成立，那么可以断定这个命题对于 n 取第 1 个值后面的所有正整数成立 3数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值_时，命题成立 (2)(归纳递推)假设_(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立 二、必明 2 个易误点 应用数学归纳法时应注意两点： 1数学归纳法证题时，误把第一个值 n0认为是 1，如证明多边形内角和定理
18、(n2) 时，初始值 n0 3. 2数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：必须利用归纳假设作基础；证明中可利用综 合法、分析法、反证法等方法；解题时要搞清从 nk 到 nk1 增加了哪些项或减少了哪些项 三、技法 1. 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值 n0的取值并验证 nn0时等式成立 (2)由 nk 证明 nk1 时，弄清左边增加的项，且必须用上假设. 2. 数学归纳法证明与 n 有关的不等式两种常见形式 一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式往往 要先对 n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个 n 值开始都成立的结论， 常用数学归纳法证明 注意 用数学归纳法证明不等式的关键是由 nk 时成立得 nk1 时成立， 主要方法有： (1)放缩法； (2)利用基本不等式；(3)作差比较法等. 3.“归纳猜想证明”的一般环节 参考答案 一般结论 完全 不完全 nn0 nk nk1
