1、高考数学考前高考数学考前 3030 天回归课本知识技法精细过（三）天回归课本知识技法精细过（三） 第一节第一节 变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算 一、必记 5 个知识点 1平均变化率及瞬时变化率 (1)f(x)从 x1到 x2的平均变化率是：y x_. (2)f(x)在 xx0处的瞬时变化率是：lim x0 y x_. 2导数的概念 (1)f(x)在 xx0处的导数就是 f(x)在 xx0处的_，记作|0或 f(x0)，即 f(x0) lim x0 fx0 xfx0 x . (2)当把上式中的 x0看作变量 x 时，f(x)即为 f(x)的导函数，简称导数，即 yf(x) _.
2、 3导数的几何意义 函数 f(x)在 xx0处的导数就是_，即曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的 切线的斜率 kf(x0)，切线方程为_. 4基本初等函数的导数公式 (1)C_(C 为常数) (2)(xn)_(nQ*) (3)(sin x)_，(cos x)_. (4)(ex)_，(ax)_. (5)(ln x)_，(logax)_. 5导数运算法则 (1)f(x) g(x)_. (2)f(x) g(x)_. (3) fx gx fxgxfxgx gx2 (g(x)0) 二、必明 3 个易误点 1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 2 求曲线切线时，
3、要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别， 前者只有一条， 而后者包括了前者 3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别 三、技法 1. 注意 求导之前， 应利用代数、 三角恒等式等变形对函数进行化简， 然后求导， 这样可以减少运算量， 提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则， 减少运算量. 2. 导数几何意义的应用及解决 (1)已知切点 A(x0，y0)求斜率 k，即求该点处的导数值 kf(x0) (2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1)，即解方程 f(x1)k. (3)求过某点 M(x1
4、，y1)的切线方程时，需设出切点 A(x0，f(x0)，则切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)，再把 点 M(x1，y1)代入切线方程，求 x0. (4)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点 P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解 提醒 当切线方程中 x(或 y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点. 3. 利用导数求函数的单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式 f(x)0 或 f(x)0( 为实参数)对任意的 xD 恒成立，求参数 的取值范围利用导数解决此类问题可 以运用分离参数法 (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如
5、果是二次不等式恒成立的问题，可 以考虑二次项系数与判别式的方法(a0，0 或 a0，0)求解. 11. 判断函数零点个数的 3 种方法 直接法 令 f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数 画图法 转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数 定理法 利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决 参考答案参考答案 fx2fx1 x2x1 lim x0 fx0 xfx0 x 瞬时变化率 lim x0 fxxfx x 曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率 yy0f(x0)(xx0) 0 nxn 1 cos x sin x ex axln a 1 x 1 xln a f(x) g
6、(x) f(x)g(x)f(x)g(x) 第二节第二节 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 一、必记 3 个知识点 1函数的导数与单调性的关系 函数 yf(x)在某个区间内可导： (1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内_. (2)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内_. (3)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内_. 2函数的极值与导数 (1)函数的极小值与极小值点 若函数 f(x)在点 xa 处的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值_， 而且在 xa 附近 的左侧_，右侧_，则 a 点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值 (2)函数的极大值与极
7、大值点 若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值_， 左侧_； 右侧_，则 b 点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值 3函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条 10_的曲线，那么它必有最大值和最小值 (2)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 ()求函数 yf(x)在(a，b)内的_. ()将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是 最小值 二、必明 2 个易误点 1求函数极值时，误把导数为 0 的点作为极值点；极值
8、点的导数一定为 0，但是导数为 0 的点不一定 是极值点 2易混极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念 参考答案参考答案 单调递增 单调递减 不具备单调性 都小 f(x)0 f(x)0 都大 f(x)0 f(x)0 连续不断 极值 第三节第三节 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 一、必记 6 个知识点 1定积分的定义及相关概念 一般地，如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0 x1xi1xixnb，将区间a，b 等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点 i(i1,2，n)，作和式 i1 n f(i)x i1 n ba n f(i
9、)，当 n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作 a bf(x)dx. 在 a bf(x)dx 中，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间_叫做积分区间，函数 f(x)叫做被 积函数，x 叫做_，_叫做被积式 2定积分的几何意义 f(x) a bf(x)dx 的几何意义 f(x)0 表示由直线_，_，y0 及曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积 f(x)0 表示由直线_，_，y0 及曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在a，b 上有正有负 表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于 x 轴 下方的曲边梯形的面积 3.定
10、积分的性质 (1) a bkf(x)dx_(k 为常数) (2) a bf1(x) f2(x)dx_. (3) 10_ a cf(x)dx c bf(x)dx(其中 acb) 4微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么 a bf(x)dx_，这个结 论叫做微积分基本定理，又叫牛顿莱布尼茨公式 5定积分与曲线梯形面积的关系 (1) (2) (3) (4) 设阴影部分的面积为 S. (1)S a bf(x)dx. (2)S_. (3)S_. (4)S a bf(x)dx a bg(x)dx a bf(x)g(x)dx. 6定积分与变速直线运动的路
11、程及变力做功间的关系 (1)s_；(2)W_. 二、必明 4 个易误点 1被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分 2若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量 3定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限 4定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负 三、技法 1. 求定积分的 4 大常用方法 2. 利用定积分求平面图形面积的 4 步骤 (1)根据题意画出图形 (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限 (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和 (4)计算定积分，写出答案. 3. 定积分在物理中的两个应用 (1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为 vv(t)，那么从时刻 ta 到 tb 所经过的路程 s a bv(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 xa 移动到 xb 时，力 F(x)所做的功 是 W a bF(x)dx. 参考答案 a，b 积分变量 f(x)dx xa xb xa xb k a bf(x)dx a bf1(x)dx a bf2(x)dx a bf(x)dx F(b)F(a) a bf(x)dx a cf(x)dx c bf(x)dx a bv(t)dt a bF(x)dx
