1、高考数学考前高考数学考前 30 天回归课本知识技法精细过（十三）天回归课本知识技法精细过（十三） 第第一一节节 随机事件的概率随机事件的概率 一、必记 4 个知识点 1随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下，_的事件，叫做相对于条件 S 的必然事件，简称必然事件 (2)在条件 S 下，_的事件，叫做相对于条件 S 的不可能事件，简称不可能事件 (3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件，简称确定事件 (4)在条件 S 下， _的事件， 叫做相对于条件 S 的随机事件， 简称随机事件 2频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n
2、次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例_为事件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的_fn(A)稳定在某个 _上，把这个_记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率 3事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B_事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) _(或 AB) 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当 A 发生或事件 B 发生， 称此 事件为事件 A 与事件 B 的 10_(或和事件) AB(或 AB) 交事件 (积事件)
3、 若某事件发生当且仅当_且 _发生， 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事 件 AB(或 AB) 互斥事件 若 AB 为不可能事件，则事件 A 与事件 B 互斥 AB 对立事件 若 AB 为不可能事件，AB 为必然条件，那么称事件 A 与事件 B 互为对 立事件 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：_. (2)必然事件的概率 P(E)_. (3)不可能事件的概率 P(F)_. (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)_. 若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)_. 二、必明 3 个易误点 1正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件
4、是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立 事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件 2从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交，事件 A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集 3需准确理解题意，特留心“至多”，“至少”，“不少于”等语句的含义 三、技法 1. 互斥、对立事件的判别方法 (1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件 (2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件. 2. 计算简单随机事件频率或概率的解题思路 (1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数 (2)由频率
5、公式得所求，由频率估计概率. 3. 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： 一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和； 二是间接法， 先求该事件的对立事件的概率， 再由 P(A)1P(A )求解 当题目涉及“至多”、 “至少” 时，多考虑间接法. 参考答案 一定会发生 一定不会发生 可能发生也可能不发生 fn(A)nA n 频率 常数 常数 包含 BA 并事件 事件 A 发生 事件 B 0P(A)1 1 0 P(A)P(B) 1P(B) 第第二二节节 古典概型古典概型 一、必记 3 个知识点 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是_的 (2)任何事件(除不可能事
6、件)都可以表示成_的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 (1)试验中所有可能出现的基本事件_. (2)每个基本事件出现的可能性_. 3古典概型的概率公式 一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件 A 包含的结果 有 m 个，那么事件 A 的概率为 P(A)_. 二、必明 2 个易误点 1古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件数和事件发生数时，他们 是否是等可能的 2概率的一般加法公式：P(AB)P(A)P(B)P(AB) 公式使用中要注意：(1)公式的作用是求 AB 的概率，当 AB时，A、
7、B 互斥，此时 P(AB)0， 所以 P(AB)P(A)P(B)；(2)要计算 P(AB)，需要求 P(A)、P(B)，更重要的是把握事件 AB，并求其 概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一 三、技法 1. 基本事件个数的确定方法 (1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型 (2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法. 2. 与平面几何有关概率的求法 (1)结合几何图形的结构特征，找到符合条件的基本事件总数 (2)根据事件的几何特征求出其基本事件数 (3)代入古典概型公式 3求较复杂事件的概率问题的方法 (1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，
8、再利用互斥事件的概率加法公式求解 (2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解. 4. 解决与古典概型结合的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事 件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 参考答案 互斥 基本事件 有限 相等 m n 第第三三节节 几何概型几何概型 一、必记 2 个知识点 1几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_(_或_)成比例， 则称这 样的概率模型为几何概率模型，简称为_. 2在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P(A) _. 二、必明 2 个易误点 1计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如
9、时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题 2几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果 三、技法 1. 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点，点的活动 范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧 长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比. 2. 与体积有关的几何概型 对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体 的体积计算. 3.几何概型与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路 利用平面几何、解
10、析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算 出其面积，进而代入公式求概率 4几何概型与线性规划交汇问题的解题思路 先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率 5几何概型与定积分交汇问题的解题思路 先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公 式求概率. 参考答案 长度 面积 体积 几何概型 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 第第四四节节 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 一、必记 3 个知识点 1离散型随机变量的分布列 如果随机试验的结
11、果可以用一个_来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一 列出，这样的随机变量叫做_. 2离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地， 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， ， xi， ， xn， X 取每一个值 xi(i1,2， ， n)的概率 P(Xxi)pi，则表 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 称为离散型随机变量 X 的_， 简称为 X 的_.有时为了表达简单， 也用等式_表示 X 的分布列 (2)离散型随机变量的分布列的性质 pi0，i1,2，n； i1 n pi1. 3常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布： 若随机变量 X 服
12、从两点分布，即其分布列为 X 0 1 P 1p p ，其中 p_称为成功概率 (2)超几何分布列： 在含有 M 件次品数的 N 件产品中，任取 n 件，其中含有 X 件次品，则事件Xk发生的概率为：P(X k) n k n m n N C C (k0,1,2，m)，其中 m_，且_，则称分布列为超 几何分布列 X 0 1 m P 00n MN M n N C C C C1MCn 1 NM CnN Cm MC nm NM CnN 二、必明 2 个易误点 1分布列的结构为两行，第一行为随机变量 X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量 X 的值的 事件发生的概率看每一列，实际上是：上为“事件”
13、，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个 反映其结果的实数表示的每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率 2要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误 三、技法 1. 离散型随机变量分布列 (1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数 (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其 依据是互斥事件的概率加法公式. 2. 离散型随机变量分布列的求解步骤 (1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义 (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对
14、应的概率 (3)画表格：按规范要求形式写出分布列 (4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确 提醒：求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的 和. 3. 随机变量是否服从超几何分布的判断 (1)若随机变量 X 服从超几何分布，则满足如下条件：该试验是不放回地抽取 n 个；随机变量 X 表示 抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然 (2)一般地，设有 N 件产品，其中次品和正品分别为 M1件，M2件(M1，M2N)，从中任取 n(nN)件产 品，用 X，Y 分别表示取出的 n 件产品中次品和正品的件数，则随机变量 X 服从参数为 N，M1，n 的
15、超几何 分布，随机变量 Y 服从参数为 N，M2，n 的超几何分布 4求超几何分布的分布列的步骤 第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数 N，M，n 的值； 第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步，用表格的形式列出分布列. 参考答案 变量 离散型随机变量 概率分布列 分布列 P(Xxi)pi，i1,2，n P(X1) minM，n nN，MN，n、M、NN* 第第五五节节 二项分布、正态分布及其应用二项分布、正态分布及其应用 一、必记 3 个知识点 1条件概率的定义 设 A，B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)_为在事件 A 发生的条
16、件下，事件 B 发生的概 率 2条件概率的性质 (1)条件概率具有一般概率的性质，即 0P(B|A)1； (2)如果 B，C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)_P(C|A) 3相互独立事件的定义及性质 (1)定义：设 A，B 是两个事件，若 P(AB)_，则称事件 A 与事件 B 相互独立 (2)性质：若事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立 4独立重复试验概率公式 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，若用 Ai(i1,2，n)表示第 i 次试验结果， 则 P(A1A2A3An)_. 5二项分布的定义 在 n 次独立重复
17、试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(Xk) _，k0,1,2，n.此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 XB(N，p)，并称 p 为成功概 率 6正态曲线的定义 函数 ，(x) 1 2e x2 2a2 ，x(，)，其中实数 和 (0)为参数，称 ，(x)的图象为正态 分布密度曲线，简称正态曲线 7正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量 X 满足 P(aXb) a b，(x)dx，则称随机变量 X 服从正态分 布，记作 N(，2) 8正态曲线的特点 (1)曲线位于 x 轴的上方，与 x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，
18、它关于直线 x 对称； (3)曲线在 x 处达到峰值 1 2； (4)曲线与 x 轴之间的面积为 1； (5)当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿着 x 轴平移； (6)当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲 线越“矮胖”，表示总体的分布越分散 93 原则 (1)P(X)0.682 7； (2)P(2X2)0.954 5； (3)P(3X3)0.997 3. 二、必明 2 个易误点 1独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验 中某事件发生的概率相等注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用
19、对立事件 2二项分布要注意确定成功概率 三、技法 1. 条件概率的 2 种求法 (1)定义法 先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)PAB PA ，求 P(B|A) (2)基本事件法 当基本事件适合有限性和等可能性时， 可借助古典概型概率公式， 先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)， 再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)nAB nA . 2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算 (3)独立重复试验是
20、相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只 要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立 事件的概率公式计算更简单一样. 3. 独立重复实验与二项分布 独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一 次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的 二项分布满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的；各次试验中的事件是相互独立 的每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发 生的次数. 参
21、考答案 PAB PA P(B|A) P(A)P(B) P(A1)P(A2)P(A3)P(An) Cknpk(1p)n k 第第六六节节 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 一、必记 6 个知识点 1离散型随机变量 X 的分布列 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 2.离散型随机变量 X 的均值与方差 均值(数学期望) 方差 计算 公式 E(X) _ D(X) _ _ 作用 反映了离散型随机变量取值的 _ 刻画了随机变量 X 与其均值 E(X) 的_ 标准 差 方差的算术平方根 DX为随机 变量 X 的标准差 3.均值与方差的性质 (1)E(aXb)_(a，
22、b 为常数) (2)D(aXb)_(a，b 为常数) 4两点分布的均值与方差 若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)_. 5二项分布的均值与方差 若随机变量 X 服从参数为 n， p 的二项分布， 即 XB(n， p)， 则 E(X)_， D(X)_. 6两个常用结论 (1)均值与方差的关系 D(X)E(X2)E2(X) (2)超几何分布的均值 若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X)nM N . 二、必明 2 个易误点 1两点分布，二项分布，超几何分布的均值与方差的计算公式容易记混淆，准确记忆公式是解题的必 要条件 2在实际问题中注意深刻理解题意，准确判断实
23、际问题是何种类型的分布是解题的关键 三、技法 1. 求离散型随机变量均值的方法步骤 (1)理解 的意义，写出 可能取的全部值； (2)求 取每个值的概率； (3)写出 的分布列； (4)由均值的定义求 E(). 2. 解决二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤 第一步，先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：对立性：一次试验中只有两种结果“成功” 和“不成功”，而且有且仅有一个发生；重复性：试验在相同条件下独立重复地进行 n 次，保证每一次 试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布 第二步，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立
24、事件的概率计算公式计算出试验 中“成功”“不成功”的概率分别是多少 第三步，根据二项分布的分布列 P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0,1,2，n)列出相应的分布列. 3. 均值与方差的实际应用 利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量 X 的期望的意义在于描述随 机变量的平均水平，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况 品种的优劣、 仪器的好坏、 预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关 (1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量 X1，X2的期望，当 E(X1)E(X2)时，不应误 认为它们一样好，需要用 D(X1)，
25、D(X2)来比较这两个随机变量的偏离程度，稳定者就更好 (2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近 (3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求时， 一般先计算期望， 若相等， 则由方差确定哪一个更好 若 E(X1)与 E(X2)比较接近，且期望较大者(此时期望表示较好的方面，如利润、产量)的方差较小，显然该变量 更好；若 E(X1)与 E(X2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即是选择较理想的 平均水平还是选择较稳定的. 参考答案 x1p1x2p2xipixnpn i1 n (xiE(X)2pi 平均水平 平均偏离程度 aE(X)b a2D(X) p(1p) np np(1p)
