2021年河南省名校联考中考数学模拟试卷(一)含答案解析

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1、2021 年河南省名校联考中考数学模拟试卷(一)年河南省名校联考中考数学模拟试卷(一) 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的。分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的。 1下列各数中,比1 小的数( ) A0 B C D 2随着我国经济的快速发展,我国交通工具的发展也越来越多元化,为人们的出行和生活都带来极大便 利河南即将迎来一条新建的城际铁路郑登洛城际铁路,其个长约为 175 公里,沿途共设 12 个站点, 项目总投资 206.6 亿元将数据“206.6 亿”用科学记数法可表示为( ) A206.6108 B2

2、0.661010 C2.0661011 D2.0661010 3如图是正方体的一种展开图,其每个面上标有一个汉字,则在原正方体中,与“不”字所在面相对的面 上的汉字是( ) A百 B如 C一 D见 4下列运算正确的是( ) A3a+2b5ab B (b2a) (2a+b)b24a2 C (3x)26x2 D2x23x36x6 5某校九年级 A,B,C 三个班的一次数学测试成绩(满分 100 分)的统计量如下表: 统计量 班级 平均数 方差 A 班 92.95 38.89 B 班 92.95 47.52 C 班 92.15 39.96 已知 A,B,C 三个班人数相同,请根据如表数据,判断哪个班

3、的成绩较好且更稳定( ) AA 班 BB 班 CC 班 D无法判断 6 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式 购物方式的改变给快递行业带来了商机, 也带来了挑战 为 了提高效率,某快递公司研发了快递机器人专门负责分拣包裹,已知单个机器人比人工(一个人)每小 时多分拣 100 个,单个机器人分拣 9000 个包裹和人工(一个人)分拣 6000 个包裹所用时间相同设人 工(一个人)每小时分拣 x 个包裹,则可列方程为( ) A B C D 7已知直线 ykx(k0,k 为常数)与双曲线 y(k10,k1为常数)没有交点,若点 A(2,y1) ,B (4,y2)和 C(1,y3)均在双曲线 y上,

4、则 y1,y2,y3的大小关系为( ) Ay2y3y1 By2y1y3 Cy1y2y3 Dy3y1y2 8在一次联欢晚会上,某班进行以下游戏,准备两个不透明的袋子和 7 个小球(大小、形状完全一样) , 一个袋子里放置 3 个小球,球面上分别写着“好” “运” “来” ,另一个袋子里放置 4 个小球,球面上分别 写着“新” “年” “好” “运” 现从两个袋子里各随机抽取一个球,球面上的字可以组成“好运”字样的 获得一等奖,则获得一等奖的概率为( ) A B C D 9如图,在 RtBCD 中,B90,点 D(3,0) ,C(0,4) ,分别以点 B 和点 C 为圆心,大于BC 的长为半径作弧

5、,两弧交于 E,F 两点,作直线 EF,交 CD 于点 H,交 BC 于点 G若BCD45, 则点 G 的坐标为( ) A (,) B (,) C (,) D (,) 10如图 1,在平行四边形 ABCD 中,点 O 为对角线 AC 的中点,连接 OD,动点 P 从点 B 出发,沿折线 BAAOODDC 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动,连接 CP设点 P 的运动时间为 x(单位:s) , CP 的长度为 y,图 2 为 y 随 x 的变化而变化的函数图象,则四边形 ABCD 的面积为( ) A15 B24 C28 D30 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 15 分)

6、分) 11如图,面积分别为 5 和 10 的两个长方形,通过剪、拼后恰好组成一个正方形,并且正方形的边长为 a, 则 a2 的整数部分为 12如图,l1l2,AEBE若1130,则2 的度数为 13关于 x 的一元二次方程 ax24xb 有两个实数根,其中 a,b 分别表示菱形 ABCD 两条对角线的长度, 则菱形 ABCD 面积的最大值为 14如图,在菱形 ABCD 中,ABC120,AB4,将菱形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30,此时点 B, C,D 的对应点分别为 B,C,D,则图中阴影部分的面积为 15如图,在矩形 ABCD 中,AB12,BC9,点 E,F 分别为边 AB,CD

7、 上的动点,且 BE2FD连接 BD、 EF交于点H 连接AH, 过点A作AGEF于点G, 连接BG, 则BG的最小值为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 8 个小题,满分个小题,满分 75 分)分) 16 (8 分)先化简,再求值: (x2),其中 x 的值从不等式组的整数解 中任意选取一个 17 (9 分)为了解学生的课外阅读情况某校从七、八年级学生中各随机抽取了 20 名学生进行一周阅读时 长情况的调查,并对调查结果进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息(时长为整数) a七年级 20 名学生的一周阅读时长(单位:h)统计如下: 3,2,2,3,3,4,4,5,3,5,5,3,6

8、,3,5,1,5,6,3,7 b八年级 20 名学生的一周阅读时长条形统计图如下: c七、八年级抽取学生的一周阅读时长的统计量如下表所示: 统计量 年级 平均数 众数 中位数 七年级 3.9 m s 八年级 3.65 n t 根据以上信息,解答下列问题: (1)表格中的 m ,n ,s ,t (2)补全八年级 20 名学生一周阅读时长条形统计图 (3)请判断该校七、八年级中哪个年级学生的一周阅读情况较好,并说明理由 (4)若该校七年级有 600 名学生,八年级有 800 名学生,请估计该校七年级和八年级学生一周阅读时长 在 5h 及以上的总人数 18 (9 分) “青山绿水,生态农业” 某地需

9、引水修建水库,既可蓄水灌溉,又可美化环境据了解,水库 C 修建在水源 A 的正东方向,在水源 A 的北偏东 75方向有一古迹 B,B 与 A 相距 14km,其中水库 C 在古迹 B 的东南方向 (1)若在水源 A 与水库 C 之间修建一条水渠,求该水渠的最短长度 (2)在古迹 B 的西南方向 5km 处有一古墓群,为了保护文物,不破坏古墓,在古墓群周围 1km 范围内 不得进行任何土工作业, 判断按照 (1) 中的方式修建水渠是否合理, 并说明理由(结果保留一位小数 参 考数据:sin150.26,cos150.97,1.41) 19 (9 分)建设新农村,绿色好家园为了减少冬季居民取暖带来

10、的环境污染,国家特推出煤改电工程某 学校准备安装一批柜式空调(A 型)和挂壁式空调(B 型) 经市场调查发现,3 台 A 型空调和 2 台 B 型 空调共需 21000 元;1 台 A 型空调和 4 台 B 型空调共需 17000 元 (1)求 A 型空调和 B 型空调的单价 (2)为响应国家号召,有两家商场分别推出了优惠套餐甲商场:A 型空调和 B 型空调均打八折出售; 乙商场: A 型空调打九折出售, B 型空调打七折出售 已知某学校需要购买 A 型空调和 B 型空调共 16 台, 则该学校选择在哪家商场购买更划算? 20 (9 分)与圆相关的定理,我们在初中阶段已经学习了很多例如:垂径定

11、理、圆周角定理和切线长定 理等实际上,与圆相关的定理还有很多,比如下面的定理:若内接于圆的四边形的对角线互相垂直, 则圆心到一边的距离等于这条边所对的边的一半,如下给出了不完整的“已知” ,请补充完整,并证明 已知:四边形 ABCD 是O 的内接四边形, ,过点 O 作 OEAD 于点 E 求证:BC2OE 21 (10 分)如图,已知抛物线 yax22x3 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B 和点 C,且 OAOB,点 P 是对称轴右侧的抛物线上一动点,连接 CP 交直线 AB 于点 E (1)求抛物线与直线 AB 的解析式 (2)设点 P 的横坐标为 m,当 1m2 时,求点 P

12、在移动过程中点 E 的纵坐标的取值范围 22 (10 分)某数学兴趣小组根据学习函数的经验,对函数 yx2+的图象及其性质进行了探究,下 面是其探究过程 (1)函数解析式探究 函数 yx2+的自变量 x 的取值范围为 (2)函数图象探究 列表如下: x 2 1 0 1 3 4 5 6 y 2 m 其中,m 的值为 如图, 在平面直角坐标系中, 描出了上表中以各组对应值为坐标的点, 根据描出的点已画出部分图象, 请补全函数图象 根据函数图象,写出该函数的一条性质 (3)函数性质应用 当 x2 时,y2,当且仅当 x 时,函数有最小值 小明用代数的方法进行了证明: x2, x20 x2+()22+

13、()2+2()2+2 当且仅当时,函数有最小值,即当 x3 时,x2+ (4)解决问题 在 RtABC 中,若三角形的面积是 1,则三角形的两直角边之和最小为 23 (11 分)在等边三角形 ABC 中,AB4,D 为 AB 的中点连接 CD,E,F 分别为 BC,CD 的中点,将 CEF 绕点 C 逆时针旋转,记旋转角为 ,直线 DF 和直线 BE 交于点 G (1)如图 1,线段 DF 和线段 BE 的数量关系是 ,直线 DF 与直线 BE 相交所成的 较小角的度数是 (2)将图 1 中的CEF 绕点 C 逆时针旋转到图 2 所示位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立?若成 立,请仅就图

14、2 的情形给出证明;若不成立,请说明理由 (3)在(2)的条件下,当以点 C,F,E,G 为顶点的四边形是矩形时,请直接写出 DF 的长 2021 年河南省名校联考中考数学模拟试卷(一)年河南省名校联考中考数学模拟试卷(一) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的。分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的。 1下列各数中,比1 小的数( ) A0 B C D 【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小,再得出答案即可 【解答】解:0,01, 选项 A、D 不符合题意, |,|

15、1|1,|, 1, 1, 比1 小的数是 故选:C 2随着我国经济的快速发展,我国交通工具的发展也越来越多元化,为人们的出行和生活都带来极大便 利河南即将迎来一条新建的城际铁路郑登洛城际铁路,其个长约为 175 公里,沿途共设 12 个站点, 项目总投资 206.6 亿元将数据“206.6 亿”用科学记数法可表示为( ) A206.6108 B20.661010 C2.0661011 D2.0661010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把 原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1

16、0 时,n 是正整数;当原数的绝对值1 时,n 是负整数 【解答】解:206.6 亿206600000002.0661010 故选:D 3如图是正方体的一种展开图,其每个面上标有一个汉字,则在原正方体中,与“不”字所在面相对的面 上的汉字是( ) A百 B如 C一 D见 【分析】根据正方体的表面展开图的特征进行计算即可 【解答】解:根据正方体的表面展开图的“相间、Z 端是对面”可知, “百”与“一”是对面, “闻”与“如”是对面, “不”与“见”是对面, 故选:D 4下列运算正确的是( ) A3a+2b5ab B (b2a) (2a+b)b24a2 C (3x)26x2 D2x23x36x6

17、【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、平方差公式及单项式乘法法则分别进行计算,最后确定答案 即可 【解答】解:选项 A:3a 和 2b 不是同类项,不能合并,不符合题意; 选项 B: (b2a) (2a+b)(b2a) (b+2a)b24a2,符合题意; 选项 C: (3x)29x2,不符合题意; 选项 D:2x23x36x5,不符合题意; 故选:B 5某校九年级 A,B,C 三个班的一次数学测试成绩(满分 100 分)的统计量如下表: 统计量 班级 平均数 方差 A 班 92.95 38.89 B 班 92.95 47.52 C 班 92.15 39.96 已知 A,B,C 三个班人数相同,

18、请根据如表数据,判断哪个班的成绩较好且更稳定( ) AA 班 BB 班 CC 班 D无法判断 【分析】根据平均数、方差的意义进行判断即可 【解答】解:由于 A 班平均数为 92.95,较 C 班高,而方差为 38.89,较 B 班小,稳定, 所以成绩好且稳定的是 A 班, 故选:A 6 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式 购物方式的改变给快递行业带来了商机, 也带来了挑战 为 了提高效率,某快递公司研发了快递机器人专门负责分拣包裹,已知单个机器人比人工(一个人)每小 时多分拣 100 个,单个机器人分拣 9000 个包裹和人工(一个人)分拣 6000 个包裹所用时间相同设人 工(一个人)每

19、小时分拣 x 个包裹,则可列方程为( ) A B C D 【分析】 根据单个机器人比人工 (一个人) 每小时多分拣 100 个, 单个机器人分拣 9000 个包裹和人工 (一 个人)分拣 6000 个包裹所用时间相同,可以列出相应的分式方程,从而可以解答本题 【解答】解:由题意可得, , 故选:A 7已知直线 ykx(k0,k 为常数)与双曲线 y(k10,k1为常数)没有交点,若点 A(2,y1) ,B (4,y2)和 C(1,y3)均在双曲线 y上,则 y1,y2,y3的大小关系为( ) Ay2y3y1 By2y1y3 Cy1y2y3 Dy3y1y2 【分析】由题意 k10,可知反比函数在

20、每个象限内,y 随 x 的增大而增大,A(2,y1) 、C(1,y3)在 第四象限内,B(4,y2)在第二象限内,分别判断即可 【解答】解:直线 ykx(k0,k 为常数)经过一,三象限,线 ykx(k0,k 为常数)与双曲线 y (k10,k1为常数)没有交点, 双曲线 y(k10,k1为常数)在二、四象限, 反比函数在每个象限内,y 随 x 的增大而增大, A(2,y1) 、C(1,y3)在第四象限,B(4,y2)在第二象限, 21, 0y1y3,y20, y2y1y3, 故选:B 8在一次联欢晚会上,某班进行以下游戏,准备两个不透明的袋子和 7 个小球(大小、形状完全一样) , 一个袋子

21、里放置 3 个小球,球面上分别写着“好” “运” “来” ,另一个袋子里放置 4 个小球,球面上分别 写着“新” “年” “好” “运” 现从两个袋子里各随机抽取一个球,球面上的字可以组成“好运”字样的 获得一等奖,则获得一等奖的概率为( ) A B C D 【分析】画树状图,共有 12 个等可能的结果,其中获得一等奖的结果有 2 个,再由概率公式求解即可 【解答】解:画树状图如图: 共有 12 个等可能的结果,其中获得一等奖的结果有 2 个, 获得一等奖的概率为, 故选:C 9如图,在 RtBCD 中,B90,点 D(3,0) ,C(0,4) ,分别以点 B 和点 C 为圆心,大于BC 的长

22、为半径作弧,两弧交于 E,F 两点,作直线 EF,交 CD 于点 H,交 BC 于点 G若BCD45, 则点 G 的坐标为( ) A (,) B (,) C (,) D (,) 【分析】 过点 B 作 BNx 轴于 N, 过点 C 作 CMBN 交 NB 的延长线于 M 证明CMBNBD (AAS) , 推出 CMBN,BMDN,设 B(x,y) ,则 CMx,NBy,构建方程组,解决问题即可 【解答】解:过点 B 作 BNx 轴于 N,过点 C 作 CMBN 交 NB 的延长线于 M 由作图可知,EF 垂直平分线段 BC, 点 G 是 BC 的中点, CBDCMBBND90, CBM+NBD

23、90,NBD+BDN90, CBMBDN, DCB45, BCBD, 在CMB 和BND 中, , CMBNBD(AAS) , CMBN,BMDN, 设 B(x,y) ,则 CMx,NBy, D(3,0) ,C(0,4) , BM4y,ND3x, xy,4y3x, x,y, B(,) , 点 G(,) 故选:D 10如图 1,在平行四边形 ABCD 中,点 O 为对角线 AC 的中点,连接 OD,动点 P 从点 B 出发,沿折线 BAAOODDC 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动,连接 CP设点 P 的运动时间为 x(单位:s) , CP 的长度为 y,图 2 为 y 随 x 的变化而变化

24、的函数图象,则四边形 ABCD 的面积为( ) A15 B24 C28 D30 【分析】根据题意可得 ABa,AB+AOa+5,据此可得 AO5,同理可得 OD4,进而得出 CD+AB 15456,由平行四边形的性质可得 ABCD3,由勾股定理的逆定理可得CDO 是直角三角形, 再根据三角形的面积公式计算即可 【解答】解:由题意,可知当点 P 运动到点 A 时,点 P 运动了 as, AB1aa, 当点 P 运动到点 O 时,点 P 运动了(a+5)s, 即 AB+AOa+5, AO5, 同理,可得 ODa+9(a+5)4, CD+AB15456, 四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD3

25、, 在CDO 中, CO2CD2+OD2, COD 是直角三角形, , AOCO, SACD2SCOD12, SABCD2SACD21224 故选:B 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 11如图,面积分别为 5 和 10 的两个长方形,通过剪、拼后恰好组成一个正方形,并且正方形的边长为 a, 则 a2 的整数部分为 1 【分析】根据正方形的边长,进行估算,可得结论 【解答】解:拼剪后的正方形的面积5+1015, a, 的整数部分是 3, a22 的整数部分是 1, 故答案为:1 12如图,l1l2,AEBE若1130,则2 的度数为 140 【分析】根据平

26、角的定义得出350,由三角形外角的性质得出4,根据平行线的性质得出2 4 即可 【解答】解:如图, 1130, 3180150, AEBE 43+90140, l1l2, 24140 故答案为:140 13关于 x 的一元二次方程 ax24xb 有两个实数根,其中 a,b 分别表示菱形 ABCD 两条对角线的长度, 则菱形 ABCD 面积的最大值为 2 【分析】根据题意得到164ab0,求得 ab4,进而根据菱形的面积公式得到ab2 【解答】解:方程 ax24xb 化为 ax2,4x+b0, 关于 x 的一元二次方程 ax24xb 有两个实数根, 164ab0, ab4, a,b 分别表示菱形

27、 ABCD 两条对角线的长度, 菱形 ABCD 面积ab2, 菱形 ABCD 面积的最大值为 2, 故答案为 2 14如图,在菱形 ABCD 中,ABC120,AB4,将菱形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30,此时点 B, C,D 的对应点分别为 B,C,D,则图中阴影部分的面积为 8 【分析】连接 CD,BC,BD,BD 交 AC 于 O,过 D作 DWAD 于 W,根据菱形的性质得出 AB ADDCBC4,DACBAC,AOB90,ADBC,求出DAB60,DACBAC 30, 根据旋转的性质得出DAD30, A、 D、 C三点共线, A、 B、 C 三点共线, ACAC, ADAD4

28、,求出 BOAB2,AO2,同理 DW2,求出 AC2AO4, 根据阴影部分的面积ADC的面积+ABC 的面积+扇形 CAC 的面积扇形 DAB 的面积求出 答案即可 【解答】解:连接 CD,BC,BD,BD 交 AC 于 O,过 D作 DWAD 于 W, 四边形 ABCD 是菱形, ABADDCBC4,DACBAC,AOB90,ADBC, DAB+ABC180, ABC120, DAB60, DACBAC30, 菱形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30,此时点 B,C,D 的对应点分别为 B,C,D, DAD30,A、D、C三点共线,A、B、C 三点共线,ACAC,ADAD4, AOB90

29、,AB4,CAB30, BOAB2,AO2,同理可得:DW2, AC2AO4, 阴影部分的面积ADC的面积+ABC 的面积+扇形 CAC 的面积扇形 DAB 的面积, 阴影部分的面积 S+ 8, 故答案为:8 15如图,在矩形 ABCD 中,AB12,BC9,点 E,F 分别为边 AB,CD 上的动点,且 BE2FD连接 BD、 EF 交于点 H 连接 AH, 过点 A 作 AGEF 于点 G, 连接 BG, 则 BG 的最小值为 【分析】先证得 BH2DH,推出点 G 在以 AH 为直径的圆上,设 AH 的中点为 O,连接 GO,当 B,G, O 三点共线时,BC 最小,此时 BGBOOG,

30、过点 O 作 MNAB 分别交 BC 于点 M,交 AD 于点 N, 交 BD 于点 P,根据三角形的中位线即可得到 OPAB6,BPPHHD进而得到 BPBD从 而得到 BMANBC3,MPCD4则 MO10,ON2利用勾股定理求得 AO、BO,即可根 据 BGBOOGBOAO 求得 BG 的最小值 【解答】解:BEDF, , BH2DH, AGEF, 点 C 在以 AH 为直径的圆上, 设 AH 中点为 O,连接 GO,如图所示 则 BGBOOG 当 B,G,O 三点共线时,BC 最小,此时 BGBOOG, 过点 O 作 MNAB 分别交 BC 于点 M,交 AD 于点 N,交 BD 于点

31、 P, OAOH, OP 为ABH 的中位线, OPAB6,BPPHHD BPBD MNABCD, BMANBC3,MPCD4 MO10,ON2 在 RAON 中,AO 在 RtBOM 中,BO, BGBOOGBOAO, 故答案为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 8 个小题,满分个小题,满分 75 分)分) 16 (8 分)先化简,再求值: (x2),其中 x 的值从不等式组的整数解 中任意选取一个 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再解不等式组求出其整数解,再结合分式有 意义的条件选择合适的 x 的值代入计算即可 【解答】解:原式 (x+2) 1(x+2)2 x2

32、4x3, 解不等式组得2x2, 不等式组的整数解为2、1、0、1, 要使分式有意义,则 x2, x1、0、1, 当 x1 时,原式1+430; 当 x0 时,原式3; 当 x1 时,原式1438 17 (9 分)为了解学生的课外阅读情况某校从七、八年级学生中各随机抽取了 20 名学生进行一周阅读时 长情况的调查,并对调查结果进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息(时长为整数) a七年级 20 名学生的一周阅读时长(单位:h)统计如下: 3,2,2,3,3,4,4,5,3,5,5,3,6,3,5,1,5,6,3,7 b八年级 20 名学生的一周阅读时长条形统计图如下: c七、八年级抽取学生的一

33、周阅读时长的统计量如下表所示: 统计量 年级 平均数 众数 中位数 七年级 3.9 m s 八年级 3.65 n t 根据以上信息,解答下列问题: (1)表格中的 m 3 ,n 3 ,s 3.5 ,t 3.5 (2)补全八年级 20 名学生一周阅读时长条形统计图 (3)请判断该校七、八年级中哪个年级学生的一周阅读情况较好,并说明理由 (4)若该校七年级有 600 名学生,八年级有 800 名学生,请估计该校七年级和八年级学生一周阅读时长 在 5h 及以上的总人数 【分析】 (1)根据中位数、众数的意义求解即可; (2)求出八年级阅读时间为 4 小时的频数即可; (3)根据平均数解析判断即可;

34、(4)分别求出七、八年级阅读时间在 5 小时以上的人数即可 【解答】解: (1)七年级学生阅读时长出现次数最多的是 3 小时,共出现 7 次,因此众数是 3 小时,即 m3, 将七年级这 20 名学生的阅读时间从小到大排列,处在中间位置的两个数的平均数为3.5,因此中 位数是 3.5,即 s3.5, 八年级学生阅读时间为 4 小时的人数为 202353214(人) ,阅读时间出现次数最多的是 3 小时,共出现 5 次,因此众数是 3,即 n3, 将八年级这 20 名学生的阅读时间从小到大排列,处在中间位置的两个数的平均数为3.5,因此中 位数是 3.5,即 t3.5, 故答案为:3,3,3.5

35、,3.5; (2)八年级学生阅读时间为 4 小时的人数为 202353214(人) ,补全条形统计图如图所 示: (3) 七年级学生较好, 理由为: 七八年级学生的中位数、 众数都相等, 但七年级的平均数比八年级的高, 因此七年级学生的阅读情况较好; (4)600+800480(人) , 答:该校七年级 600 名,八年级 800 名学生中一周阅读时长在 5h 及以上的总人数为 480 人 18 (9 分) “青山绿水,生态农业” 某地需引水修建水库,既可蓄水灌溉,又可美化环境据了解,水库 C 修建在水源 A 的正东方向,在水源 A 的北偏东 75方向有一古迹 B,B 与 A 相距 14km,

36、其中水库 C 在古迹 B 的东南方向 (1)若在水源 A 与水库 C 之间修建一条水渠,求该水渠的最短长度 (2)在古迹 B 的西南方向 5km 处有一古墓群,为了保护文物,不破坏古墓,在古墓群周围 1km 范围内 不得进行任何土工作业, 判断按照 (1) 中的方式修建水渠是否合理, 并说明理由(结果保留一位小数 参 考数据:sin150.26,cos150.97,1.41) 【分析】 (1)过点 B 作 BDAC 于 D,利用三角函数得出 BD,进而得出 AC 即可; (2)过点 B 作 BEBC 于 E,利用三角函数得出 BE,进而解答即可 【解答】解: (1)点 B 作 BDAC 于 D

37、, 由题意得,BAD15,DBCDCB45,AB14km,BDDC, 在 RtADB 中,BDABsin15140.263.64(km) ,ADABcos15140.9713.58(km) , CDBD3.64(km) , ACAD+DC13.58+3.6417.2(km) , 根据“两点之间,线段最短” ,可知线段 AC 的长即为所求, 答:该水渠的最短长度约为 17.2km; (2)按照(1)中的方式修建水渠不合理,理由如下: 过点 B 作 BEBC 于 E, 由(1)知,DCB45,CD3.64km, CD2CD7.28(km) , BECEsin455.1(km) , 5.150.1(

38、km) , 0.1km1km, 有破坏文物的可能,即按照(1)中的方式不合理 19 (9 分)建设新农村,绿色好家园为了减少冬季居民取暖带来的环境污染,国家特推出煤改电工程某 学校准备安装一批柜式空调(A 型)和挂壁式空调(B 型) 经市场调查发现,3 台 A 型空调和 2 台 B 型 空调共需 21000 元;1 台 A 型空调和 4 台 B 型空调共需 17000 元 (1)求 A 型空调和 B 型空调的单价 (2)为响应国家号召,有两家商场分别推出了优惠套餐甲商场:A 型空调和 B 型空调均打八折出售; 乙商场: A 型空调打九折出售, B 型空调打七折出售 已知某学校需要购买 A 型空

39、调和 B 型空调共 16 台, 则该学校选择在哪家商场购买更划算? 【分析】 (1)设 A 型空调的单价为 x 元,B 型空调的单价为 y 元,根据“3 台 A 型空调和 2 台 B 型空调 共需 21000 元;1 台 A 型空调和 4 台 B 型空调共需 17000 元” ,即可得出关于 x,y 的二元一次方程组, 解之即可得出结论; (2)设购买 A 型空调 m(0m16,且 m 为整数)台,则购买 B 型空调(16m)台,设在甲商场购 买共需 w甲元, 在乙商场购买共需 w乙元, 利用总价单价数量, 可用含 m 的代数式表示出 w甲, w乙, 分 w甲w乙,w甲w乙和 w甲w乙三种情况

40、,求出 m 的取值范围(或 m 的值) ,此题得解 【解答】解: (1)设 A 型空调的单价为 x 元,B 型空调的单价为 y 元, 依题意得:, 解得: 答:A 型空调的单价为 5000 元,B 型空调的单价为 3000 元 (2)设购买 A 型空调 m(0m16,且 m 为整数)台,则购买 B 型空调(16m)台,设在甲商场购 买共需 w甲元,在乙商场购买共需 w乙元, 根据题意得:w甲50000.8m+30000.8(16m)1600m+38400;w乙50000.9m+30000.7(16 m)2400m+33600 当 w甲w乙时,16000m+384002400m+33600, 解

41、得:m6; 当 w甲w乙时,16000m+384002400m+33600, 解得:m6; 当 w甲w乙时,16000m+384002400m+33600, 解得:m6 答:当 0m6 时,选择乙商场购买更划算;当 m6 时,选择甲、乙两商场所需费用一样;当 6m 16 时,选择甲商场购买更划算 20 (9 分)与圆相关的定理,我们在初中阶段已经学习了很多例如:垂径定理、圆周角定理和切线长定 理等实际上,与圆相关的定理还有很多,比如下面的定理:若内接于圆的四边形的对角线互相垂直, 则圆心到一边的距离等于这条边所对的边的一半,如下给出了不完整的“已知” ,请补充完整,并证明 已知:四边形 ABC

42、D 是O 的内接四边形, ACBD ,过点 O 作 OEAD 于点 E 求证:BC2OE 【分析】利用直径所对的圆周角是直角,以及等角对等弦,先求出 DF,再求出 BCDF 即可 【解答】证明:连接 AO 并延长交O 于点 F,连接 DF,如图所示, AF 为O 直径, ADF90,即 ADFD, 又OEAD, OEFD, AOOF, AEED, OE 是ADF 的中位线, DF2OE, AFD+DAFABD+BAC90,AFDABD, DAFBAC, FDBC, BC2OE 21 (10 分)如图,已知抛物线 yax22x3 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B 和点 C,且 OAOB

43、,点 P 是对称轴右侧的抛物线上一动点,连接 CP 交直线 AB 于点 E (1)求抛物线与直线 AB 的解析式 (2)设点 P 的横坐标为 m,当 1m2 时,求点 P 在移动过程中点 E 的纵坐标的取值范围 【分析】 (1)根据题意求得 B 的坐标,代入解析式即可求得 a 的值,即可得到抛物线的解析式,根据待 定系数法即可求得直线 AB 的解析式; (2)求得 P 的坐标,然后解析式联立求得 E 的坐标,根据图象即可求得点 E 的纵坐标的取值范围 【解答】解: (1)当 x0 时,yax22x33,则 A(0,3) , OA3, OAOB3, B(3,0) , 把点 B(3,0)代入抛物线

44、 yax22x3 中,得 9a630, 解得 a1, 抛物线的解析式为 yx22x3, 设直线 AB 的解析式为 ykx+b(k0) , 将点 A(0,3) ,B(3,0)代人 ykx+b 中,得, , 直线 AB 的解析式为 yx3; (2)当 m1 时,将 x1 代入 yx22x3,得 y4,即 P(1,4) , 此时对应的直线 CP 的解析式为 y2x2, 由解得, E(,) , 当 m2 时,将 x2 代入 yx22x3得 y3,即 P(2,3) , 此时对应的直线 CP 的解析式为 yx1, 联立,解得, E(1,2) , 由图象,可知当 1m2 时,点 E 的纵坐标随 m 的增大而

45、增大, 点 E 的纵坐标的取值范围为y2 22 (10 分)某数学兴趣小组根据学习函数的经验,对函数 yx2+的图象及其性质进行了探究,下 面是其探究过程 (1)函数解析式探究 函数 yx2+的自变量 x 的取值范围为 x2 (2)函数图象探究 列表如下: x 2 1 0 1 3 4 5 6 y 2 m 其中,m 的值为 2 如图, 在平面直角坐标系中, 描出了上表中以各组对应值为坐标的点, 根据描出的点已画出部分图象, 请补全函数图象 根据函数图象,写出该函数的一条性质 x1 时,y 随 x 的增大而增大;当 1x2 时 y 随 x 的增大 而减小(答案不唯一) (3)函数性质应用 当 x2

46、 时,y2,当且仅当 x 3 时,函数有最小值 2 小明用代数的方法进行了证明: x2, x20 x2+()22+()2+2()2+2 当且仅当时,函数有最小值,即当 x3 时,x2+ 2 (4)解决问题 在 RtABC 中,若三角形的面积是 1,则三角形的两直角边之和最小为 2 【分析】 (1)由分母 x20,即可得到答案; (2)将 x3 代入函数解析式即可得到答案; 用平滑的曲线连接所描的点即可画出图象; 可以从增减性、对称性、最值等角度进行描述; (3)数形结合即可得到答案; (4)利用材料中提供的方法构造完全平方公式即可求出最值 【解答】解: (1)x20, x2, 函数 yx2+的

47、自变量 x 的取值范围为 x2, 故答案为:x2; (2)把 x3 代入 yx2+得,y32+2, m2, 故答案为:m2; 如图所示: x1 时,y 随 x 的增大而增大;当 1x2 时 y 随 x 的增大而减小(答案不唯一) ; (3)由图象可知,当 x3 时,函数有最小值 2, 把 x3 时代入 x2+得值为 2, 故答案为:3,2,2; (4)RtABC 的面积是 1, 设 RtABC 一条直角边为 a,则另一条直角边为, +, 两直角边之和最小为 2, 故答案为 2 23 (11 分)在等边三角形 ABC 中,AB4,D 为 AB 的中点连接 CD,E,F 分别为 BC,CD 的中点,将 CEF 绕点 C 逆时针旋转,记旋转角为 ,直线 DF 和直线 BE 交于点 G (1)如图 1,线段 DF 和线段 BE 的数量关系是 DFBE ,直线 DF 与直线 BE 相交所成的较小角 的度数是 30 (2)将图 1 中的CEF 绕点 C 逆时针旋转到图 2 所示位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立?若成 立,请仅就图 2 的情形给出证明;若不成立,请说明理由 (3)在(2)的条件下,当以点 C,F,E,G 为顶点的四边形是矩形时,请直接写出 DF 的长 【分析】 (1)根据等边三角形的性质可得 RtBCD,根据含 30角的直角

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