1、2021 年河南省名校联考中考数学模拟试卷（一）年河南省名校联考中考数学模拟试卷（一） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1下列各数中，比1 小的数（ ） A0 B C D 2随着我国经济的快速发展，我国交通工具的发展也越来越多元化，为人们的出行和生活都带来极大便 利河南即将迎来一条新建的城际铁路郑登洛城际铁路，其个长约为 175 公里，沿途共设 12 个站点， 项目总投资 206.6 亿元将数据“206.6 亿”用科学记数法可表示为（ ） A206.6108 B2
2、0.661010 C2.0661011 D2.0661010 3如图是正方体的一种展开图，其每个面上标有一个汉字，则在原正方体中，与“不”字所在面相对的面 上的汉字是（ ） A百 B如 C一 D见 4下列运算正确的是（ ） A3a+2b5ab B （b2a） （2a+b）b24a2 C （3x）26x2 D2x23x36x6 5某校九年级 A，B，C 三个班的一次数学测试成绩（满分 100 分）的统计量如下表： 统计量 班级 平均数 方差 A 班 92.95 38.89 B 班 92.95 47.52 C 班 92.15 39.96 已知 A，B，C 三个班人数相同，请根据如表数据，判断哪个班
3、的成绩较好且更稳定（ ） AA 班 BB 班 CC 班 D无法判断 6 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式 购物方式的改变给快递行业带来了商机， 也带来了挑战 为 了提高效率，某快递公司研发了快递机器人专门负责分拣包裹，已知单个机器人比人工（一个人）每小 时多分拣 100 个，单个机器人分拣 9000 个包裹和人工（一个人）分拣 6000 个包裹所用时间相同设人 工（一个人）每小时分拣 x 个包裹，则可列方程为（ ） A B C D 7已知直线 ykx（k0，k 为常数）与双曲线 y（k10，k1为常数）没有交点，若点 A（2，y1） ，B （4，y2）和 C（1，y3）均在双曲线 y上，
4、则 y1，y2，y3的大小关系为（ ） Ay2y3y1 By2y1y3 Cy1y2y3 Dy3y1y2 8在一次联欢晚会上，某班进行以下游戏，准备两个不透明的袋子和 7 个小球（大小、形状完全一样） ， 一个袋子里放置 3 个小球，球面上分别写着“好” “运” “来” ，另一个袋子里放置 4 个小球，球面上分别 写着“新” “年” “好” “运” 现从两个袋子里各随机抽取一个球，球面上的字可以组成“好运”字样的 获得一等奖，则获得一等奖的概率为（ ） A B C D 9如图，在 RtBCD 中，B90，点 D（3，0） ，C（0，4） ，分别以点 B 和点 C 为圆心，大于BC 的长为半径作弧
5、，两弧交于 E，F 两点，作直线 EF，交 CD 于点 H，交 BC 于点 G若BCD45， 则点 G 的坐标为（ ） A （，） B （，） C （，） D （，） 10如图 1，在平行四边形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 的中点，连接 OD，动点 P 从点 B 出发，沿折线 BAAOODDC 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，连接 CP设点 P 的运动时间为 x（单位：s） ， CP 的长度为 y，图 2 为 y 随 x 的变化而变化的函数图象，则四边形 ABCD 的面积为（ ） A15 B24 C28 D30 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）
6、分） 11如图，面积分别为 5 和 10 的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为 a， 则 a2 的整数部分为 12如图，l1l2，AEBE若1130，则2 的度数为 13关于 x 的一元二次方程 ax24xb 有两个实数根，其中 a，b 分别表示菱形 ABCD 两条对角线的长度， 则菱形 ABCD 面积的最大值为 14如图，在菱形 ABCD 中，ABC120，AB4，将菱形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30，此时点 B， C，D 的对应点分别为 B，C，D，则图中阴影部分的面积为 15如图，在矩形 ABCD 中，AB12，BC9，点 E，F 分别为边 AB，CD
7、 上的动点，且 BE2FD连接 BD、 EF交于点H 连接AH， 过点A作AGEF于点G， 连接BG， 则BG的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （x2），其中 x 的值从不等式组的整数解 中任意选取一个 17 （9 分）为了解学生的课外阅读情况某校从七、八年级学生中各随机抽取了 20 名学生进行一周阅读时 长情况的调查，并对调查结果进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息（时长为整数） a七年级 20 名学生的一周阅读时长（单位：h）统计如下： 3，2，2，3，3，4，4，5，3，5，5，3，6
8、，3，5，1，5，6，3，7 b八年级 20 名学生的一周阅读时长条形统计图如下： c七、八年级抽取学生的一周阅读时长的统计量如下表所示： 统计量 年级 平均数 众数 中位数 七年级 3.9 m s 八年级 3.65 n t 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的 m ，n ，s ，t （2）补全八年级 20 名学生一周阅读时长条形统计图 （3）请判断该校七、八年级中哪个年级学生的一周阅读情况较好，并说明理由 （4）若该校七年级有 600 名学生，八年级有 800 名学生，请估计该校七年级和八年级学生一周阅读时长 在 5h 及以上的总人数 18 （9 分） “青山绿水，生态农业” 某地需
9、引水修建水库，既可蓄水灌溉，又可美化环境据了解，水库 C 修建在水源 A 的正东方向，在水源 A 的北偏东 75方向有一古迹 B，B 与 A 相距 14km，其中水库 C 在古迹 B 的东南方向 （1）若在水源 A 与水库 C 之间修建一条水渠，求该水渠的最短长度 （2）在古迹 B 的西南方向 5km 处有一古墓群，为了保护文物，不破坏古墓，在古墓群周围 1km 范围内 不得进行任何土工作业， 判断按照 （1） 中的方式修建水渠是否合理， 并说明理由（结果保留一位小数 参 考数据：sin150.26，cos150.97，1.41） 19 （9 分）建设新农村，绿色好家园为了减少冬季居民取暖带来
10、的环境污染，国家特推出煤改电工程某 学校准备安装一批柜式空调（A 型）和挂壁式空调（B 型） 经市场调查发现，3 台 A 型空调和 2 台 B 型 空调共需 21000 元；1 台 A 型空调和 4 台 B 型空调共需 17000 元 （1）求 A 型空调和 B 型空调的单价 （2）为响应国家号召，有两家商场分别推出了优惠套餐甲商场：A 型空调和 B 型空调均打八折出售； 乙商场： A 型空调打九折出售， B 型空调打七折出售 已知某学校需要购买 A 型空调和 B 型空调共 16 台， 则该学校选择在哪家商场购买更划算？ 20 （9 分）与圆相关的定理，我们在初中阶段已经学习了很多例如：垂径定
11、理、圆周角定理和切线长定 理等实际上，与圆相关的定理还有很多，比如下面的定理：若内接于圆的四边形的对角线互相垂直， 则圆心到一边的距离等于这条边所对的边的一半，如下给出了不完整的“已知” ，请补充完整，并证明 已知：四边形 ABCD 是O 的内接四边形， ，过点 O 作 OEAD 于点 E 求证：BC2OE 21 （10 分）如图，已知抛物线 yax22x3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B 和点 C，且 OAOB，点 P 是对称轴右侧的抛物线上一动点，连接 CP 交直线 AB 于点 E （1）求抛物线与直线 AB 的解析式 （2）设点 P 的横坐标为 m，当 1m2 时，求点 P
12、在移动过程中点 E 的纵坐标的取值范围 22 （10 分）某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数 yx2+的图象及其性质进行了探究，下 面是其探究过程 （1）函数解析式探究 函数 yx2+的自变量 x 的取值范围为 （2）函数图象探究 列表如下： x 2 1 0 1 3 4 5 6 y 2 m 其中，m 的值为 如图， 在平面直角坐标系中， 描出了上表中以各组对应值为坐标的点， 根据描出的点已画出部分图象， 请补全函数图象 根据函数图象，写出该函数的一条性质 （3）函数性质应用 当 x2 时，y2，当且仅当 x 时，函数有最小值 小明用代数的方法进行了证明： x2， x20 x2+（）22+
13、（）2+2（）2+2 当且仅当时，函数有最小值，即当 x3 时，x2+ （4）解决问题 在 RtABC 中，若三角形的面积是 1，则三角形的两直角边之和最小为 23 （11 分）在等边三角形 ABC 中，AB4，D 为 AB 的中点连接 CD，E，F 分别为 BC，CD 的中点，将 CEF 绕点 C 逆时针旋转，记旋转角为 ，直线 DF 和直线 BE 交于点 G （1）如图 1，线段 DF 和线段 BE 的数量关系是 ，直线 DF 与直线 BE 相交所成的 较小角的度数是 （2）将图 1 中的CEF 绕点 C 逆时针旋转到图 2 所示位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成 立，请仅就图
14、2 的情形给出证明；若不成立，请说明理由 （3）在（2）的条件下，当以点 C，F，E，G 为顶点的四边形是矩形时，请直接写出 DF 的长 2021 年河南省名校联考中考数学模拟试卷（一）年河南省名校联考中考数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1下列各数中，比1 小的数（ ） A0 B C D 【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可 【解答】解：0，01， 选项 A、D 不符合题意， |，|
15、1|1，|， 1， 1， 比1 小的数是 故选：C 2随着我国经济的快速发展，我国交通工具的发展也越来越多元化，为人们的出行和生活都带来极大便 利河南即将迎来一条新建的城际铁路郑登洛城际铁路，其个长约为 175 公里，沿途共设 12 个站点， 项目总投资 206.6 亿元将数据“206.6 亿”用科学记数法可表示为（ ） A206.6108 B20.661010 C2.0661011 D2.0661010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1
16、0 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：206.6 亿206600000002.0661010 故选：D 3如图是正方体的一种展开图，其每个面上标有一个汉字，则在原正方体中，与“不”字所在面相对的面 上的汉字是（ ） A百 B如 C一 D见 【分析】根据正方体的表面展开图的特征进行计算即可 【解答】解：根据正方体的表面展开图的“相间、Z 端是对面”可知， “百”与“一”是对面， “闻”与“如”是对面， “不”与“见”是对面， 故选：D 4下列运算正确的是（ ） A3a+2b5ab B （b2a） （2a+b）b24a2 C （3x）26x2 D2x23x36x6
17、【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、平方差公式及单项式乘法法则分别进行计算，最后确定答案 即可 【解答】解：选项 A：3a 和 2b 不是同类项，不能合并，不符合题意； 选项 B： （b2a） （2a+b）（b2a） （b+2a）b24a2，符合题意； 选项 C： （3x）29x2，不符合题意； 选项 D：2x23x36x5，不符合题意； 故选：B 5某校九年级 A，B，C 三个班的一次数学测试成绩（满分 100 分）的统计量如下表： 统计量 班级 平均数 方差 A 班 92.95 38.89 B 班 92.95 47.52 C 班 92.15 39.96 已知 A，B，C 三个班人数相同，
18、请根据如表数据，判断哪个班的成绩较好且更稳定（ ） AA 班 BB 班 CC 班 D无法判断 【分析】根据平均数、方差的意义进行判断即可 【解答】解：由于 A 班平均数为 92.95，较 C 班高，而方差为 38.89，较 B 班小，稳定， 所以成绩好且稳定的是 A 班， 故选：A 6 网上购物已经成为人们常用的一种购物方式 购物方式的改变给快递行业带来了商机， 也带来了挑战 为 了提高效率，某快递公司研发了快递机器人专门负责分拣包裹，已知单个机器人比人工（一个人）每小 时多分拣 100 个，单个机器人分拣 9000 个包裹和人工（一个人）分拣 6000 个包裹所用时间相同设人 工（一个人）每
19、小时分拣 x 个包裹，则可列方程为（ ） A B C D 【分析】 根据单个机器人比人工 （一个人） 每小时多分拣 100 个， 单个机器人分拣 9000 个包裹和人工 （一 个人）分拣 6000 个包裹所用时间相同，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A 7已知直线 ykx（k0，k 为常数）与双曲线 y（k10，k1为常数）没有交点，若点 A（2，y1） ，B （4，y2）和 C（1，y3）均在双曲线 y上，则 y1，y2，y3的大小关系为（ ） Ay2y3y1 By2y1y3 Cy1y2y3 Dy3y1y2 【分析】由题意 k10，可知反比函数在
20、每个象限内，y 随 x 的增大而增大，A（2，y1） 、C（1，y3）在 第四象限内，B（4，y2）在第二象限内，分别判断即可 【解答】解：直线 ykx（k0，k 为常数）经过一，三象限，线 ykx（k0，k 为常数）与双曲线 y （k10，k1为常数）没有交点， 双曲线 y（k10，k1为常数）在二、四象限， 反比函数在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， A（2，y1） 、C（1，y3）在第四象限，B（4，y2）在第二象限， 21， 0y1y3，y20， y2y1y3， 故选：B 8在一次联欢晚会上，某班进行以下游戏，准备两个不透明的袋子和 7 个小球（大小、形状完全一样） ， 一个袋子
21、里放置 3 个小球，球面上分别写着“好” “运” “来” ，另一个袋子里放置 4 个小球，球面上分别 写着“新” “年” “好” “运” 现从两个袋子里各随机抽取一个球，球面上的字可以组成“好运”字样的 获得一等奖，则获得一等奖的概率为（ ） A B C D 【分析】画树状图，共有 12 个等可能的结果，其中获得一等奖的结果有 2 个，再由概率公式求解即可 【解答】解：画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，其中获得一等奖的结果有 2 个， 获得一等奖的概率为， 故选：C 9如图，在 RtBCD 中，B90，点 D（3，0） ，C（0，4） ，分别以点 B 和点 C 为圆心，大于BC 的长
22、为半径作弧，两弧交于 E，F 两点，作直线 EF，交 CD 于点 H，交 BC 于点 G若BCD45， 则点 G 的坐标为（ ） A （，） B （，） C （，） D （，） 【分析】 过点 B 作 BNx 轴于 N， 过点 C 作 CMBN 交 NB 的延长线于 M 证明CMBNBD （AAS） ， 推出 CMBN，BMDN，设 B（x，y） ，则 CMx，NBy，构建方程组，解决问题即可 【解答】解：过点 B 作 BNx 轴于 N，过点 C 作 CMBN 交 NB 的延长线于 M 由作图可知，EF 垂直平分线段 BC， 点 G 是 BC 的中点， CBDCMBBND90， CBM+NBD
23、90，NBD+BDN90， CBMBDN， DCB45， BCBD， 在CMB 和BND 中， ， CMBNBD（AAS） ， CMBN，BMDN， 设 B（x，y） ，则 CMx，NBy， D（3，0） ，C（0，4） ， BM4y，ND3x， xy，4y3x， x，y， B（，） ， 点 G（，） 故选：D 10如图 1，在平行四边形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 的中点，连接 OD，动点 P 从点 B 出发，沿折线 BAAOODDC 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，连接 CP设点 P 的运动时间为 x（单位：s） ， CP 的长度为 y，图 2 为 y 随 x 的变化而变化
24、的函数图象，则四边形 ABCD 的面积为（ ） A15 B24 C28 D30 【分析】根据题意可得 ABa，AB+AOa+5，据此可得 AO5，同理可得 OD4，进而得出 CD+AB 15456，由平行四边形的性质可得 ABCD3，由勾股定理的逆定理可得CDO 是直角三角形， 再根据三角形的面积公式计算即可 【解答】解：由题意，可知当点 P 运动到点 A 时，点 P 运动了 as， AB1aa， 当点 P 运动到点 O 时，点 P 运动了（a+5）s， 即 AB+AOa+5， AO5， 同理，可得 ODa+9（a+5）4， CD+AB15456， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD3
25、， 在CDO 中， CO2CD2+OD2， COD 是直角三角形， ， AOCO， SACD2SCOD12， SABCD2SACD21224 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11如图，面积分别为 5 和 10 的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为 a， 则 a2 的整数部分为 1 【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论 【解答】解：拼剪后的正方形的面积5+1015， a， 的整数部分是 3， a22 的整数部分是 1， 故答案为：1 12如图，l1l2，AEBE若1130，则2 的度数为 140 【分析】根据平
26、角的定义得出350，由三角形外角的性质得出4，根据平行线的性质得出2 4 即可 【解答】解：如图， 1130， 3180150， AEBE 43+90140， l1l2， 24140 故答案为：140 13关于 x 的一元二次方程 ax24xb 有两个实数根，其中 a，b 分别表示菱形 ABCD 两条对角线的长度， 则菱形 ABCD 面积的最大值为 2 【分析】根据题意得到164ab0，求得 ab4，进而根据菱形的面积公式得到ab2 【解答】解：方程 ax24xb 化为 ax2，4x+b0， 关于 x 的一元二次方程 ax24xb 有两个实数根， 164ab0， ab4， a，b 分别表示菱形
27、 ABCD 两条对角线的长度， 菱形 ABCD 面积ab2， 菱形 ABCD 面积的最大值为 2， 故答案为 2 14如图，在菱形 ABCD 中，ABC120，AB4，将菱形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30，此时点 B， C，D 的对应点分别为 B，C，D，则图中阴影部分的面积为 8 【分析】连接 CD，BC，BD，BD 交 AC 于 O，过 D作 DWAD 于 W，根据菱形的性质得出 AB ADDCBC4，DACBAC，AOB90，ADBC，求出DAB60，DACBAC 30， 根据旋转的性质得出DAD30， A、 D、 C三点共线， A、 B、 C 三点共线， ACAC， ADAD4
28、，求出 BOAB2，AO2，同理 DW2，求出 AC2AO4， 根据阴影部分的面积ADC的面积+ABC 的面积+扇形 CAC 的面积扇形 DAB 的面积求出 答案即可 【解答】解：连接 CD，BC，BD，BD 交 AC 于 O，过 D作 DWAD 于 W， 四边形 ABCD 是菱形， ABADDCBC4，DACBAC，AOB90，ADBC， DAB+ABC180， ABC120， DAB60， DACBAC30， 菱形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30，此时点 B，C，D 的对应点分别为 B，C，D， DAD30，A、D、C三点共线，A、B、C 三点共线，ACAC，ADAD4， AOB90
29、，AB4，CAB30， BOAB2，AO2，同理可得：DW2， AC2AO4， 阴影部分的面积ADC的面积+ABC 的面积+扇形 CAC 的面积扇形 DAB 的面积， 阴影部分的面积 S+ 8， 故答案为：8 15如图，在矩形 ABCD 中，AB12，BC9，点 E，F 分别为边 AB，CD 上的动点，且 BE2FD连接 BD、 EF 交于点 H 连接 AH， 过点 A 作 AGEF 于点 G， 连接 BG， 则 BG 的最小值为 【分析】先证得 BH2DH，推出点 G 在以 AH 为直径的圆上，设 AH 的中点为 O，连接 GO，当 B，G， O 三点共线时，BC 最小，此时 BGBOOG，
30、过点 O 作 MNAB 分别交 BC 于点 M，交 AD 于点 N， 交 BD 于点 P，根据三角形的中位线即可得到 OPAB6，BPPHHD进而得到 BPBD从 而得到 BMANBC3，MPCD4则 MO10，ON2利用勾股定理求得 AO、BO，即可根 据 BGBOOGBOAO 求得 BG 的最小值 【解答】解：BEDF， ， BH2DH， AGEF， 点 C 在以 AH 为直径的圆上， 设 AH 中点为 O，连接 GO，如图所示 则 BGBOOG 当 B，G，O 三点共线时，BC 最小，此时 BGBOOG， 过点 O 作 MNAB 分别交 BC 于点 M，交 AD 于点 N，交 BD 于点
31、 P， OAOH， OP 为ABH 的中位线， OPAB6，BPPHHD BPBD MNABCD， BMANBC3，MPCD4 MO10，ON2 在 RAON 中，AO 在 RtBOM 中，BO， BGBOOGBOAO， 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （x2），其中 x 的值从不等式组的整数解 中任意选取一个 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出其整数解，再结合分式有 意义的条件选择合适的 x 的值代入计算即可 【解答】解：原式 （x+2） 1（x+2）2 x2
32、4x3， 解不等式组得2x2， 不等式组的整数解为2、1、0、1， 要使分式有意义，则 x2， x1、0、1， 当 x1 时，原式1+430； 当 x0 时，原式3； 当 x1 时，原式1438 17 （9 分）为了解学生的课外阅读情况某校从七、八年级学生中各随机抽取了 20 名学生进行一周阅读时 长情况的调查，并对调查结果进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息（时长为整数） a七年级 20 名学生的一周阅读时长（单位：h）统计如下： 3，2，2，3，3，4，4，5，3，5，5，3，6，3，5，1，5，6，3，7 b八年级 20 名学生的一周阅读时长条形统计图如下： c七、八年级抽取学生的一
33、周阅读时长的统计量如下表所示： 统计量 年级 平均数 众数 中位数 七年级 3.9 m s 八年级 3.65 n t 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的 m 3 ，n 3 ，s 3.5 ，t 3.5 （2）补全八年级 20 名学生一周阅读时长条形统计图 （3）请判断该校七、八年级中哪个年级学生的一周阅读情况较好，并说明理由 （4）若该校七年级有 600 名学生，八年级有 800 名学生，请估计该校七年级和八年级学生一周阅读时长 在 5h 及以上的总人数 【分析】 （1）根据中位数、众数的意义求解即可； （2）求出八年级阅读时间为 4 小时的频数即可； （3）根据平均数解析判断即可；
34、（4）分别求出七、八年级阅读时间在 5 小时以上的人数即可 【解答】解： （1）七年级学生阅读时长出现次数最多的是 3 小时，共出现 7 次，因此众数是 3 小时，即 m3， 将七年级这 20 名学生的阅读时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为3.5，因此中 位数是 3.5，即 s3.5， 八年级学生阅读时间为 4 小时的人数为 202353214（人） ，阅读时间出现次数最多的是 3 小时，共出现 5 次，因此众数是 3，即 n3， 将八年级这 20 名学生的阅读时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为3.5，因此中 位数是 3.5，即 t3.5， 故答案为：3，3，3.5
35、，3.5； （2）八年级学生阅读时间为 4 小时的人数为 202353214（人） ，补全条形统计图如图所 示： （3） 七年级学生较好， 理由为： 七八年级学生的中位数、 众数都相等， 但七年级的平均数比八年级的高， 因此七年级学生的阅读情况较好； （4）600+800480（人） ， 答：该校七年级 600 名，八年级 800 名学生中一周阅读时长在 5h 及以上的总人数为 480 人 18 （9 分） “青山绿水，生态农业” 某地需引水修建水库，既可蓄水灌溉，又可美化环境据了解，水库 C 修建在水源 A 的正东方向，在水源 A 的北偏东 75方向有一古迹 B，B 与 A 相距 14km，
36、其中水库 C 在古迹 B 的东南方向 （1）若在水源 A 与水库 C 之间修建一条水渠，求该水渠的最短长度 （2）在古迹 B 的西南方向 5km 处有一古墓群，为了保护文物，不破坏古墓，在古墓群周围 1km 范围内 不得进行任何土工作业， 判断按照 （1） 中的方式修建水渠是否合理， 并说明理由（结果保留一位小数 参 考数据：sin150.26，cos150.97，1.41） 【分析】 （1）过点 B 作 BDAC 于 D，利用三角函数得出 BD，进而得出 AC 即可； （2）过点 B 作 BEBC 于 E，利用三角函数得出 BE，进而解答即可 【解答】解： （1）点 B 作 BDAC 于 D
37、， 由题意得，BAD15，DBCDCB45，AB14km，BDDC， 在 RtADB 中，BDABsin15140.263.64（km） ，ADABcos15140.9713.58（km） ， CDBD3.64（km） ， ACAD+DC13.58+3.6417.2（km） ， 根据“两点之间，线段最短” ，可知线段 AC 的长即为所求， 答：该水渠的最短长度约为 17.2km； （2）按照（1）中的方式修建水渠不合理，理由如下： 过点 B 作 BEBC 于 E， 由（1）知，DCB45，CD3.64km， CD2CD7.28（km） ， BECEsin455.1（km） ， 5.150.1（
38、km） ， 0.1km1km， 有破坏文物的可能，即按照（1）中的方式不合理 19 （9 分）建设新农村，绿色好家园为了减少冬季居民取暖带来的环境污染，国家特推出煤改电工程某 学校准备安装一批柜式空调（A 型）和挂壁式空调（B 型） 经市场调查发现，3 台 A 型空调和 2 台 B 型 空调共需 21000 元；1 台 A 型空调和 4 台 B 型空调共需 17000 元 （1）求 A 型空调和 B 型空调的单价 （2）为响应国家号召，有两家商场分别推出了优惠套餐甲商场：A 型空调和 B 型空调均打八折出售； 乙商场： A 型空调打九折出售， B 型空调打七折出售 已知某学校需要购买 A 型空
39、调和 B 型空调共 16 台， 则该学校选择在哪家商场购买更划算？ 【分析】 （1）设 A 型空调的单价为 x 元，B 型空调的单价为 y 元，根据“3 台 A 型空调和 2 台 B 型空调 共需 21000 元；1 台 A 型空调和 4 台 B 型空调共需 17000 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组， 解之即可得出结论； （2）设购买 A 型空调 m（0m16，且 m 为整数）台，则购买 B 型空调（16m）台，设在甲商场购 买共需 w甲元， 在乙商场购买共需 w乙元， 利用总价单价数量， 可用含 m 的代数式表示出 w甲， w乙， 分 w甲w乙，w甲w乙和 w甲w乙三种情况
40、，求出 m 的取值范围（或 m 的值） ，此题得解 【解答】解： （1）设 A 型空调的单价为 x 元，B 型空调的单价为 y 元， 依题意得：， 解得： 答：A 型空调的单价为 5000 元，B 型空调的单价为 3000 元 （2）设购买 A 型空调 m（0m16，且 m 为整数）台，则购买 B 型空调（16m）台，设在甲商场购 买共需 w甲元，在乙商场购买共需 w乙元， 根据题意得：w甲50000.8m+30000.8（16m）1600m+38400；w乙50000.9m+30000.7（16 m）2400m+33600 当 w甲w乙时，16000m+384002400m+33600， 解
41、得：m6； 当 w甲w乙时，16000m+384002400m+33600， 解得：m6； 当 w甲w乙时，16000m+384002400m+33600， 解得：m6 答：当 0m6 时，选择乙商场购买更划算；当 m6 时，选择甲、乙两商场所需费用一样；当 6m 16 时，选择甲商场购买更划算 20 （9 分）与圆相关的定理，我们在初中阶段已经学习了很多例如：垂径定理、圆周角定理和切线长定 理等实际上，与圆相关的定理还有很多，比如下面的定理：若内接于圆的四边形的对角线互相垂直， 则圆心到一边的距离等于这条边所对的边的一半，如下给出了不完整的“已知” ，请补充完整，并证明 已知：四边形 ABC
42、D 是O 的内接四边形， ACBD ，过点 O 作 OEAD 于点 E 求证：BC2OE 【分析】利用直径所对的圆周角是直角，以及等角对等弦，先求出 DF，再求出 BCDF 即可 【解答】证明：连接 AO 并延长交O 于点 F，连接 DF，如图所示， AF 为O 直径， ADF90，即 ADFD， 又OEAD， OEFD， AOOF， AEED， OE 是ADF 的中位线， DF2OE， AFD+DAFABD+BAC90，AFDABD， DAFBAC， FDBC， BC2OE 21 （10 分）如图，已知抛物线 yax22x3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B 和点 C，且 OAOB
43、，点 P 是对称轴右侧的抛物线上一动点，连接 CP 交直线 AB 于点 E （1）求抛物线与直线 AB 的解析式 （2）设点 P 的横坐标为 m，当 1m2 时，求点 P 在移动过程中点 E 的纵坐标的取值范围 【分析】 （1）根据题意求得 B 的坐标，代入解析式即可求得 a 的值，即可得到抛物线的解析式，根据待 定系数法即可求得直线 AB 的解析式； （2）求得 P 的坐标，然后解析式联立求得 E 的坐标，根据图象即可求得点 E 的纵坐标的取值范围 【解答】解： （1）当 x0 时，yax22x33，则 A（0，3） ， OA3， OAOB3， B（3，0） ， 把点 B（3，0）代入抛物线
44、 yax22x3 中，得 9a630， 解得 a1， 抛物线的解析式为 yx22x3， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b（k0） ， 将点 A（0，3） ，B（3，0）代人 ykx+b 中，得， ， 直线 AB 的解析式为 yx3； （2）当 m1 时，将 x1 代入 yx22x3，得 y4，即 P（1，4） ， 此时对应的直线 CP 的解析式为 y2x2， 由解得， E（，） ， 当 m2 时，将 x2 代入 yx22x3得 y3，即 P（2，3） ， 此时对应的直线 CP 的解析式为 yx1， 联立，解得， E（1，2） ， 由图象，可知当 1m2 时，点 E 的纵坐标随 m 的增大而
45、增大， 点 E 的纵坐标的取值范围为y2 22 （10 分）某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数 yx2+的图象及其性质进行了探究，下 面是其探究过程 （1）函数解析式探究 函数 yx2+的自变量 x 的取值范围为 x2 （2）函数图象探究 列表如下： x 2 1 0 1 3 4 5 6 y 2 m 其中，m 的值为 2 如图， 在平面直角坐标系中， 描出了上表中以各组对应值为坐标的点， 根据描出的点已画出部分图象， 请补全函数图象 根据函数图象，写出该函数的一条性质 x1 时，y 随 x 的增大而增大；当 1x2 时 y 随 x 的增大 而减小（答案不唯一） （3）函数性质应用 当 x2
46、 时，y2，当且仅当 x 3 时，函数有最小值 2 小明用代数的方法进行了证明： x2， x20 x2+（）22+（）2+2（）2+2 当且仅当时，函数有最小值，即当 x3 时，x2+ 2 （4）解决问题 在 RtABC 中，若三角形的面积是 1，则三角形的两直角边之和最小为 2 【分析】 （1）由分母 x20，即可得到答案； （2）将 x3 代入函数解析式即可得到答案； 用平滑的曲线连接所描的点即可画出图象； 可以从增减性、对称性、最值等角度进行描述； （3）数形结合即可得到答案； （4）利用材料中提供的方法构造完全平方公式即可求出最值 【解答】解： （1）x20， x2， 函数 yx2+的
47、自变量 x 的取值范围为 x2， 故答案为：x2； （2）把 x3 代入 yx2+得，y32+2， m2， 故答案为：m2； 如图所示： x1 时，y 随 x 的增大而增大；当 1x2 时 y 随 x 的增大而减小（答案不唯一） ； （3）由图象可知，当 x3 时，函数有最小值 2， 把 x3 时代入 x2+得值为 2， 故答案为：3，2，2； （4）RtABC 的面积是 1， 设 RtABC 一条直角边为 a，则另一条直角边为， +， 两直角边之和最小为 2， 故答案为 2 23 （11 分）在等边三角形 ABC 中，AB4，D 为 AB 的中点连接 CD，E，F 分别为 BC，CD 的中点，将 CEF 绕点 C 逆时针旋转，记旋转角为 ，直线 DF 和直线 BE 交于点 G （1）如图 1，线段 DF 和线段 BE 的数量关系是 DFBE ，直线 DF 与直线 BE 相交所成的较小角 的度数是 30 （2）将图 1 中的CEF 绕点 C 逆时针旋转到图 2 所示位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成 立，请仅就图 2 的情形给出证明；若不成立，请说明理由 （3）在（2）的条件下，当以点 C，F，E，G 为顶点的四边形是矩形时，请直接写出 DF 的长 【分析】 （1）根据等边三角形的性质可得 RtBCD，根据含 30角的直角