1、20212021 年中考年中考数学数学统一命题的省自治区压轴模拟试卷统一命题的省自治区压轴模拟试卷 20212021 年中考年中考数学数学压轴模拟试卷压轴模拟试卷 0101（吉林省专用）（吉林省专用） （满分（满分 120120 分，答题时间分，答题时间 120120 分钟）分钟） 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 2 2 分，共分，共 1212 分）分） 1.6 的相反数是（ ） A. 6 B. 1 6 C. 6 D. 1 6 【答案】C 【解析】根据相反数的定义，即可解答 6 的相反数是：6 2. 今年 6 月 13 日是我国第四个文化和自然遗产日目前我国世界遗产总数居世界首位
2、，其中自然 遗产总面积约 68000km2将 68000 用科学记数法表示为（ ） A6.8104 B6.8105 C0.68105 D0.68106 【答案】A 【解析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值是易错 点，由于 68000 有 5 位，所以可以确定 n514 680006.8104 3. 围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（ ） A长方体 B圆柱体 C球体 D圆锥体 【答案】A 【解析】根据平面与曲面的概念判断即可 A六个面都是平面，故本选项正确； B侧面不是平面，故本选项错误； C球面不是平面，故本选项错误； D侧面不是
3、平面，故本选项错误. 4.下列运算正确的是（ ） A. 236 aaa B. 3 25 aa C. 22 (2 )2aa D. 32 aaa 【答案】D 【解析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方逐项判断即可 A 232 35 aaaa ，此项错误 B 2 3 236 aaa ，此项错误 C 22 (2 )4aa，此项错误 D 323 2 aaaa ，此项正确 5. 如果一个多边形的每一个外角都是 36，那么这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】本题考查了多边形外角与边数的关系，利用外角求正多边形的边数的方法，熟练掌握多边 形外角和公式是
4、解决问题的关键 根据多边形的外角的性质，边数等于 360除以每一个外角的度数 一个多边形的每个外角都是 36，n=36036=10 6. 如图，AB 为O 的直径，点 C，点 D 是O 上的两点，连接 CA，CD，AD若CAB40， 则ADC 的度数是（ ） A110 B130 C140 D160 【答案】B 【解析】连接 BC，如图，利用圆周角定理得到ACB90，则B50，然后利用圆的内接四 边形的性质求ADC 的度数 如图，连接 BC， AB 为O 的直径， ACB90， B90CAB904050， B+ADC180， ADC18050130 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3
5、分，共分，共 2424 分）分） 7.分解因式： 2 aab =_ 【答案】a（ab） 【解析】本题考查因式分解-提公因式法 2 aab =a（ab） 8. 不等式 3（1x）24x 的解为_。 【答案】x1 【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可 得答案 去括号，得：33x24x， 移项，得：3x+4x23， 合并，得：x1 9. 若关于 x 的一元二次方程（x+2）2n 有实数根，则 n 的取值范围是 【答案】n0 【分析】将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 n 的一元一 次不等式，解之即可得出 n 的取值范围
6、（利用偶次方的非负性也可以找出 n 的取值范围） 【解析】原方程可变形为 x2+4x+4n0 该方程有实数根， 4241（4n）0， 解得：n0 10. 我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长 一托折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿， 绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长x尺则符合题意的方 程为_。 【答案】1 2x（x5）5 【分析】设绳索长x尺，则竿长（x5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺”， 即可得出关于x的一元一次方程，此题得解 【解析】设绳索长x尺
7、，则竿长（x5）尺， 依题意，得：1 2x（x5）5 11. 如图，两直线交于点 O，若1+276，则1 度 【答案】38 【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案 【解析】两直线交于点 O， 12， 1+276， 138 12.如图，/ABCDEF若 1 2 AC CE ，5BD，则DF _ 【答案】10 【解析】根据平行线分线段成比例得到 ACBD CEDF ，由条件即可算出 DF的值 /ABCDEF， ACBD CEDF ， 又 1 2 AC CE ，5BD， 51 2DF ， 10DF 13. 如图，在 RtABC 中，ACB90，AB4，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且
8、DB2AD， AE3EC，连接 BE，CD，相交于点 O，则ABO 面积最大值为 【解析】8 3 【分析】 过点D作DFAE， 根据平行线分线段成比例定理可得则 = = 2 3， 根据已知 = 1 3， 可 得 DO2OC，C 在以 AB 为直径的圆上，设圆心为 G，当 CGAB 时，ABC 的面积最大为：1 2 4 28，即可求出此时ABO 的最大面积 【解析】如图，过点 D 作 DFAE， 则 = = 2 3， = 1 3， DF2EC， DO2OC， DO= 2 3DC， SADO= 2 3SADC，SBDO= 2 3SBDC， SABO= 2 3SABC， ACB90， C 在以 AB
9、 为直径的圆上，设圆心为 G， 当 CGAB 时，ABC 的面积最大为：1 2 424， 此时ABO 的面积最大为：2 3 4= 8 3 14.如图，在四边形ABCD中，ABCB，ADCD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫 做“筝形”，筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O以点B为圆心，BO长为半径画弧，分 别交AB，BC于点E，F，若30ABDACD，1AD ，则EF的长为_（结果保 留） 【答案】 2 【解析】根据题意，求出 OB 的长；根据弧长的公式，代入数据，即可求解 由题意知：ABCB，ADCD， ABC和ADC是等腰三角形，ACBD 30ABDACD，1AD OD= 1 2
10、，OA= 3 2 OB= 3 2 ABD=30， 3 2 r EBF=60， EF = 60 2 360 rp 13 322 p p=? 故答案为 2 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 15.先化简，再求值： 2 (1)(1) 1aaa，其中7a 【答案】3a，3 7 【解析】分别依据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，然后将7a 代入即 可 原式= 22 211aaaa =3a 将7a 代入 原式=3 7 【点睛】本题考查整式的混合运算，二次根式的化简求值熟练掌握完全平方公式和单项式乘多项 式法则是解决此题的关键 16. 某工厂生
11、产某种产品，3 月份的产量为 5000 件，4 月份的产量为 10000 件用简单随机抽样的 方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统 计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）已知检测综合得分大于 70 分的产 品为合格产品 （1）求 4 月份生产的该产品抽样检测的合格率； （2）在 3 月份和 4 月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？ 【答案】见解析。 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）分别求 3 月份生产的产品中，不合格的件数和 4 月份生产的产品中，不合格的件数比较即可得 到结论 解：（1）（132
12、+160+200）（8+132+160+200）100%98.4%， 答：4 月份生产的该产品抽样检测的合格率为 98.4%； （2）估计 4 月份生产的产品中，不合格的件数多， 理由：3 月份生产的产品中，不合格的件数为 50002%100， 4 月份生产的产品中，不合格的件数为 10000（198.4%）160， 100160， 估计 4 月份生产的产品中，不合格的件数多 17. 某社区拟建 A，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 A 类摊位的占地面积比每个 B 类摊位的占 地面积多 2 平方米建 A 类摊位每平方米的费用为 40 元，建 B 类摊位每平方米的费用为 30 元用 60 平
13、方米建 A 类摊位的个数恰好是用同样面积建 B 类摊位个数的3 5求每个 A，B 类摊位占地面积 各为多少平方米？ 【答案】见解析。 【解析】设每个 B 类摊位的占地面积为 x 平方米，则每个 A 类摊位占地面积为（x+2）平方米， 根据题意得： 60 +2 = 60 3 5， 解得：x3， 经检验 x3 是原方程的解， 所以 3+25， 答：每个 A 类摊位占地面积为 5 平方米，每个 B 类摊位的占地面积为 3 平方米. 18. 如图，在ABC 中，ACB90，点 E 在 AC 的延长线上，EDAB 于点 D，若 BCED，求 证：CEDB 【答案】见解析。 【解析】由“AAS”可证ABC
14、AED，可得 AEAB，ACAD，由线段的和差关系可得结论 证明：EDAB， ADEACB90，AA，BCDE， ABCAED（AAS）， AEAB，ACAD， CEBD 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 7 7 分，共分，共 2828 分）分） 19. 图 1、图 2 是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AC 的两个端点均在小正方形的顶点上 （1）如图 1，点 P 在小正方形的顶点上，在图 1 中作出点 P 关于直线 AC 的对称点 Q，连接 AQ、 QC、CP、PA，并直接写出四边形 AQCP 的周长； （2）在图 2 中画出一个以线段 AC 为
15、对角线、面积为 6 的矩形 ABCD，且点 B 和点 D 均在小正方 形的顶点上 【答案】见解析 【解析】（1）如图 1 所示：四边形 AQCP 即为所求，它的周长为：4=4； （2）如图 2 所示：四边形 ABCD 即为所求 20. 如图，垂直于水平面的 5G 信号塔 AB 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点处，某测量员从山脚 C 点 出发沿水平方向前行 78 米到 D 点（点 A，B，C 在同一直线上），再沿斜坡 DE 方向前行 78 米到 E 点（点 A，B，C，D，E 在同一平面内），在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的仰角为 43，悬崖 BC 的高为 144.5 米，斜坡 DE
16、的坡度（或坡比）i1：2.4，求信号塔 AB 的高度（结果精确到 1m）。 （参考数据：sin430.68，cos430.73，tan430.93） 【答案】25 米 【解析】过点 E 作 EFDC 交 DC 的延长线于点 F，过点 E 作 EMAC 于点 M， 斜坡 DE 的坡度（或坡比）i1：2.4，DECD78 米， 设 EFx，则 DF2.4x 在 RtDEF 中， EF2+DF2DE2，即 x2+（2.4x）2782， 解得 x30， EF30 米，DF72 米， CFDF+DC72+78150 米 EMAC，ACCD，EFCD， 四边形 EFCM是矩形， EMCF150 米，CME
17、F30 米 在 RtAEM 中， AEM43， AMEMtan431500.93139.5 米， ACAM+CM139.5+30169.5 米 ABACBC169.5144.525 米 21. 如图，一次函数 y= 1 2x+1 的图象与反比例函数 y= 的图象相交于 A（2，m）和 B 两点 （1）求反比例函数的解析式； （2）求点 B 的坐标 【答案】见解析。 【分析】 （1）将点 A 坐标代入一次函数解析式可求 m 的值，再将点 A 坐标代入反比例函数解析式， 可求解； （2）联立方程组可求解 【解析】（1）一次函数 y= 1 2x+1 的图象过点 A（2，m）， m= 1 2 2+12
18、， 点 A（2，2）， 反比例函数 y= 的图象经过点 A（2，2）， k224， 反比例函数的解析式为：y= 4 ； （2）联立方程组可得： = 1 2 + 1 = 4 ， 解得： 1= 4 1= 1或 2= 2 2= 2， 点 B（4，1） 22. 某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了 解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级，随机抽取 了 120 名学生的有效问卷，数据整理如下： 等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 人数（人） 24 72 18 x （1）求 x 的值； （2）若该校有学生 180
19、0 人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类 知识的学生共有多少人？ 【答案】见解析。 【分析】（1）根据四个等级的人数之和为 120 求出 x 的值； （2）用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例 【解析】（1）x120（24+72+18）6； （2）1800 24+72 120 =1440（人）， 答：根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有 1440 人 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 8 8 分，共分，共 1616 分）分） 23.某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工
20、作，当停止工作时，油箱中油量为 5L在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示 （1）机器每分钟加油量为_L，机器工作的过程中每分钟耗油量为_L （2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围 （3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值 【答案】（1）3，0.5；（2） 1 35 2 yx ，1060 x；（3）5 或 40 【解析】（1）根据10min加油量为30L即可得；根据60min时剩余油量为5L即可得； （2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得； （3）先求出机器加油过程中的y关于x的函数解析式，再求出15y 时，两
21、个函数对应的 x 的值即 可 【详解】（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为 30 3( ) 10 L 机器工作的过程中每分钟耗油量为 305 0.5( ) 60 10 L 故答案为：3，0.5； （2）由函数图象得：当10minx 时，机器油箱加满，并开始工作；当60minx时，机器停止 工作 则自变量x的取值范围为1060 x，且机器工作时的函数图象经过点(10,30),(60,5) 设机器工作时y关于x的函数解析式y kxb 将点(10,30),(60,5)代入得： 1030 605 kb kb 解得 1 2 35 k b 则机器工作时y关于x的函数解析式 1 35 2 yx ； （3）
22、设机器加油过程中的y关于x的函数解析式y ax 将点(10,30)代入得：1030a 解得3a 则机器加油过程中的y关于x的函数解析式 3yx 油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况： 在机器加油过程中 当 30 15 2 y 时，315x ，解得5x 在机器工作过程中 当 30 15 2 y 时， 1 3515 2 x，解得40 x 综上，油箱中油量为油箱容积的一半时x的值为 5 或 40 【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函 数图象中正确获取信息是解题关键 24. 一个问题解决往往经历发现猜想探索归纳问题解决的过程，下面结合一道几何题
23、来体 验一下. （发现猜想）（1）如图，已知AOB70 ，AOD100 ，OC 为BOD的角平分线，则AOC 的度数为 ；. （探索归纳）（2）如图，AOBm，AODn，OC为BOD的角平分线. 猜想AOC的度数 （用含 m、n 的代数式表示），并说明理由. （问题解决）（3）如图，若AOB20 ，AOC90 ，AOD120 .若射线 OB绕点 O以每秒 20 逆时针旋转，射线 OC绕点 O以每秒 10 顺时针旋转，射线 OD绕点 O 每秒 30 顺时针旋转，三 条射线同时旋转，当一条射线与直线 OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射 线是另外两条射线夹角的角平分线？ 【答
24、案】见解析。 【解析】（1）85 ； （2）AOBm，AODn，BODnm OC为BOD 的角平分线 BOC AOC+m （3）设经过的时间为 x秒， 则DOA120 30 x；COA90 10 x；BOA20 +20 x； 当在 x 之前，OC 为 OB，OD的角平分线；3020 x7030 x，x14（舍）； 当 x 在 和 2 之间，OD为 OC，OB的角平分线；30+20 x10050 x，x2； 当 x 在 2和 之间，OB 为 OC，OD 的角平分线；7030 x100+50 x，x3； 当 x 在 和 4 之间，OC 为 OB，OD 的角平分线；70+30 x30+20 x，x4
25、4. 答：经过，4 秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线. 【点拨】本题考查了角平分线的性质，一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握角平分线 的性质，理清各个角之间存在的数量关系，根据数量关系列出方程. 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 1010 分，共分，共 2020 分）分） 25. 如图 1，Rt ABC 中，ACB90 ，AC6 cm，BC8 cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以 每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4 cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0t2），连接 PQ （1）
26、若 BPQ 与 ABC 相似，求 t 的值； （2）如图 2，连接 AQ、CP，若 AQCP，求 t 的值； （3）试证明：PQ 的中点在 ABC 的一条中位线上 图 1 图 2 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析】 BPQ 与 ABC 有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程 作 PDBC 于 D，动点 P、Q 的速度，暗含了 BDCQ PQ 的中点 H 在哪条中位线上？画两个不同时刻 P、Q、H 的位置，一目了然 （1）Rt ABC 中，AC6，BC8，所以 AB10 BPQ 与 ABC 相似，存在两种情况： 如果 BPBA BQBC ，那么 510 848 t t 解
27、得 t1 如果 BPBC BQBA ，那么 58 8410 t t 解得 32 41 t 图 3 图 4 （2）作 PDBC，垂足为 D 在 Rt BPD 中，BP5t，cosB 4 5 ，所以 BDBPcosB4t，PD3t 当 AQCP 时， ACQCDP 所以 ACCD QCPD ，即 684 43 t tt 解得 7 8 t 图 5 图 6 （3）如图 4，过 PQ 的中点 H 作 BC 的垂线，垂足为 F，交 AB 于 E 由于 H 是 PQ 的中点，HF/PD，所以 F 是 QD 的中点 又因为 BDCQ4t，所以 BFCF 因此 F 是 BC 的中点，E 是 AB 的中点 所以
28、PQ 的中点 H 在 ABC 的中位线 EF 上 26. 已知抛物线 2 2yaxaxc过点1,0A 和0,3C，与 x轴交于另一点 B，顶点为 D （1）求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标； （2）如图 1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EFBC，垂足为 F，EMx轴，垂足为 M， 交BC于点 G当BGCF时，求EFG的面积； （3） 如图2，AC与BD的延长线交于点H， 在x轴上方的抛物线上是否存在点P， 使O P BA H B ？ 若存在，求出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】（1） 2 yx2x3 ， (1,4)D ；（2）1 EFG S；（3）存在， 1(0,3),
29、 P 2 15 55 , 22 P , 3 15 55 , 22 P 【解析】（1）利用待定系数法求出 a 的值即可得到解析式，进而得到顶点 D坐标； （2）先求出 BC的解析式3yx ，再设直线 EF的解析式为yxb,设点 E的坐标为 2 ,23mmm ，联立方程求出点 F，G的坐标，根据 22 BGCF列出关于 m的方程并求解， 然后求得 G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3） 过点 A 作 ANHB， 先求得直线 BD， AN 的解析式， 得到 H， N的坐标， 进而得到45H ， 设点 2 ,23p nnn ， 过点P作PRx轴于点R， 在x轴上作点S使得RS=PR， 证明O
30、PSOPB， 根据相似三角形对应边成比例得到关于 n 的方程，求得后即可得到点 P 的坐标 详解】（1）把点 A（-1，0），C（0，3）代入 2 2yaxaxc中， 20 3 aac c ， 解得 1 3 a c ， 2 23yxx ， 当1 2 b x a 时，y=4， (1,4)D （2） 2 23yxx 令0,1,yx 或 x=3 (3,0)B 设 BC的解析式为(0)ykxbk 将点(0,3),(3,0)CB代入，得 3 30 b kb ， 解得 1 3 k b ， 3yx EFCB 设直线 EF的解析式为yxb,设点 E 的坐标为 2 ,23mmm ， 将点 E坐标代入yxb中，得
31、 2 3bmm ， 2 3yxmm 2 3 3 yx yxmm 2 2 2 6 2 mm x mm y 22 6 , 22 mmmm F 把 x=m代入3yx ( ,3)G mm BGCF 22 BGCF 即 22 22 22 (3)(3) 22 mmmm mm 解得 m=2或 m=-3 点 E是 BC上方抛物线上的点 m=-3 舍去 点 (2,3),(1,2)(2,1)EFG， 22 112EF 22 112FG 1 221 2 EFG S （3）过点 A作 ANHB， 点 (1,4),(3,0)DB 26 DB yx 点( 1,0)A ，点 (0,3)C 33 AC yx 3 26 yx
32、yx 3 5 24 5 x y 3 24 , 55 H 设 1 2 AN yxb，把（-1，0）代入，得 b= 1 2 11 22 yx 11 22 26 yx yx 11 5 8 5 x y 11 8 , 5 5 N 22 2 118 1 55 AN 22 168 55 22 2 5 8 5 16 HN ANHN 45H 设点 2 ,23p nnn 过点 P 作 PRx 轴于点 R，在 x 轴上作点 S 使得 RS=PR 45RSP 且点 S 的坐标为 2 33,0nn 若45OPBAHB 在OPS和OPB中， POSPOB OSPOPB OPSOPB OPOS OBOP 2 OPOB OS 2222 (1) (3)323)nnnnn （ 0n 或 15 2 n 1(0,3) P 2 15 55 , 22 P 3 15 55 , 22 P 【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第 3 问的解题关键在 于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解
