1、2017-2018 学年吉林省吉林高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共 12 个小题，每小题 5 分，合计 60 分，每题只有一个正确的选项！）1 （5 分）在ABC 中， a=18，B=60 ，C=75，则 b=（ ）A6 B9 C4 D92 （5 分）不等式（x+5） （1 x）8 的解集是（ ）Ax |x1 或 x5 Bx|x3 或 x1 Cx|5x1Dx |3x13 （5 分）已知焦点在 y 轴上，对称轴为坐标轴的椭圆，半短轴长为 3，焦距为4，则该椭圆的标准方程为（ ）A B C D4 （5 分）等比数列a n中， a1a2a3=3，a 10a11a12=24，则 a13a1
2、4a15=（ ）A48 B72 C144 D1925 （5 分）在ABC 中， sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，则角 C 等于（ ）A30 B60 C120 D1506 （5 分）已知 x0，y0，且 + =2，则 x+y 的最小值为（ ）A6 B7 C8 D97 （5 分）已知两定点 F1（0，5） ，F 2（0，5） ，平面内动点 P 到 F1、F 2 的距离之差的绝对值是 6，则点 P 的轨迹方程为（ ）A B C D8 （5 分）在ABC 中， A=60，AB=4，S ABC =2 ，则 BC 边等于（ ）A2 B2 C D39 （5 分）已知数列a n满足 a1
3、=1，a n+1=an+2n，则 a10=（ ）A1024 B1023 C2048 D204710 （5 分）已知命题 p：xR ，使 tanx=1，其中正确的是（ ）Ap：x R，使 tanx 1 Bp：x R，使 tanx1C p：xR，使 tanx1 Dp：x R，使 tanx111 （5 分）在平面直角坐标系中，A（ 2，3） ，B（ 3， 2） ，沿 x 轴把直角坐标系折成 60的二面角，则 AB 的长为（ ）A B2 C3 D4二、填空题（共 4 个小题，每个小题 6 分，合计 24 分，要求：答案书写时规范、标准 ）12 （5 分）已知 x、y 满足约束条件 ，则 z=2x+4y
4、 的最小值是 13 （5 分）函数 y= 的定义域为 R，则 k 的取值范围 14 （5 分）已知点 P 到点 F（0，1）的距离比它到直线 y=5 的距离小 4，若点P 的轨迹与直线 x4y+2=0 的交点为 A、B ，则线段 AB 的中点坐标为 15 （5 分）一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；在ABC 中， “B=60” 是“ A，B，C 三个角成等差数列”的充要条件 是 的充要条件；“am 2bm 2”是“ab” 的充分必要条件以上说法中，判断正确的有 三、解答题（共 6 个小题，每小题 10 分，合计 70 分要求：书写规范，步骤清晰，按步骤赋分，没有过程，不给评分）16
5、（10 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且b2a2=c（bc ） ，a=4，（1）若 b= ，求 B；（2）若ABC 面积为 4 ，求 b 与 c 的值17 （12 分）已知命题 p：实数 x 满足 x24ax+3a20，其中 a0；命题 q：实数x 满足 x2x60，若p 是q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围18 （12 分）已知等差数列a n中，a 7=9，S 7=42（1）求 a15 与 S20（2）数列c n中 cn=2nan，求数列c n的前 n 项和 Tn19 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sn=n2+5n（1）
6、证明数列a n是等差数列；（2）求数列 的前 n 项和 Tn20 （12 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，若抛物线y2=4x 的焦点与椭圆一个焦点重合（1）求椭圆的标准方程（2）若直线 m 椭圆左焦点 F1 且斜率为 1，交椭圆于 A、B 两点，求弦长|AB|21 （12 分）如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，OA底面 ABCD，OA=2，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线 MN平面 OCD；（2）求异面直线 AC 与 MD 所成角的大小；（3）求直线 AC
7、与平面 OCD 所成角的余弦值2017-2018 学年吉林省吉林高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 个小题，每小题 5 分，合计 60 分，每题只有一个正确的选项！）1 （5 分）在ABC 中， a=18，B=60 ，C=75，则 b=（ ）A6 B9 C4 D9【解答】解：在ABC 中，a=18，B=60 ，C=75 ，A=45，由正弦定理 = 得： b= = =9 ，故选：C2 （5 分）不等式（x+5） （1 x）8 的解集是（ ）Ax |x1 或 x5 Bx|x3 或 x1 Cx|5x1Dx |3x1【解答】解：（x+5） （ 1x）8，（x+3） （
8、x+1）0，解得：3x1，故选：D3 （5 分）已知焦点在 y 轴上，对称轴为坐标轴的椭圆，半短轴长为 3，焦距为4，则该椭圆的标准方程为（ ）A B C D【解答】解：根据题意，要求椭圆的半短轴长为 3，焦距为 4，即 b=3，2c=4，解可得 b=3，c=2；则 a= = ，又由椭圆的焦点在 y 轴上，则椭圆的方程为 + =1；故选：D4 （5 分）等比数列a n中， a1a2a3=3，a 10a11a12=24，则 a13a14a15=（ ）A48 B72 C144 D192【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 1a2a3=3，a 10a11a12=24，（q 9） 3= =8，
9、解得： q9=2则 a13a14a15=q36a1a2a3=243=48，故选：A5 （5 分）在ABC 中， sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，则角 C 等于（ ）A30 B60 C120 D150【解答】解：sin 2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，由正弦定理可得，a 2+b2+ab=c2，由余弦定理可得，cosC= = = ，由 C（0， 180） ，可得： C=120故选：C6 （5 分）已知 x0，y0，且 + =2，则 x+y 的最小值为（ ）A6 B7 C8 D9【解答】解：x0，y0，且 + =2， + =1，x+y=（x+y ） （ + ）
10、=5+ + 5+2 =5+3=8，当且仅当 y=3x=6 时取等号故选：C7 （5 分）已知两定点 F1（0，5） ，F 2（0，5） ，平面内动点 P 到 F1、F 2 的距离之差的绝对值是 6，则点 P 的轨迹方程为（ ）A B C D【解答】解：根据题意，两定点 F1（0，5） ，F 2（ 0，5） ，则|F 1F2|=10，若动点 P 到 F1、F 2 的距离之差的绝对值是 6，则有 610，则 P 的轨迹是以 F1（0，5） ，F 2（0，5）为焦点的双曲线，其中 c=5，a=3 ，则 b= =4，则双曲线的方程为： =1；故选：C8 （5 分）在ABC 中， A=60，AB=4，S
11、 ABC =2 ，则 BC 边等于（ ）A2 B2 C D3【解答】解：A=60，AB=4，S ABC =2 = ABACsinA= ，AC=2，由余弦定理可得：BC= = =2 故选：B9 （5 分）已知数列a n满足 a1=1，a n+1=an+2n，则 a10=（ ）A1024 B1023 C2048 D2047【解答】解：数列a n满足 a1=1，a n+1=an+2n，a n=a1+（a 2a1）+（a nan1）=1+2 1+22+2n1= =2n1 （nN *） a 10=2101=1023故选 B10 （5 分）已知命题 p：xR ，使 tanx=1，其中正确的是（ ）Ap：x
12、 R，使 tanx 1 Bp：x R，使 tanx1C p：xR，使 tanx1 Dp：x R，使 tanx1【解答】解：命题“ xR，使 tanx=1”是特称命题命题的否定为：xR ，使 tanx1 故选 C11 （5 分）在平面直角坐标系中，A（ 2，3） ，B（ 3， 2） ，沿 x 轴把直角坐标系折成 60的二面角，则 AB 的长为（ ）A B2 C3 D4【解答】解：如图，A（2，3） ，B（3， 2） ，作 ACx 轴于 C，BDx 轴于 D，则 C（ 2，0） ，D （3，0） ， ， ， ，沿 x 轴把坐标平面折成 60的二面角， ， =60，且 ， = =32 即 AB 的长
13、为 故选：D二、填空题（共 4 个小题，每个小题 6 分，合计 24 分，要求：答案书写时规范、标准 ）12 （5 分）已知 x、y 满足约束条件 ，则 z=2x+4y 的最小值是 6 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=2x+4y 得 y= x+ ，平移直线 y= x+ ，由图象可知当直线 y= x+ 经过点 A 时，直线 y= x+ 的截距最小，此时 z 最小，由 ，解得 ，即 A（3， 3） ，此时 z=23+4（3）= 6，故答案为：613 （5 分）函数 y= 的定义域为 R，则 k 的取值范围 0，2 【解答】解：要使函数 y= 的定义域为 R，则 kx24kx+6
14、0 对任意 xR 恒成立当 k=0 时，不等式化为 60 恒成立；当 k0 时，则 ，解得 0k2综上，k 的取值范围是0，2故答案为：0，214 （5 分）已知点 P 到点 F（0，1）的距离比它到直线 y=5 的距离小 4，若点P 的轨迹与直线 x4y+2=0 的交点为 A、B ，则线段 AB 的中点坐标为 （ ， ） 【解答】解：点 P 到 F（0，1）的距离比它到直线 y=5 的距离小 4，点 P 在直线 l 的上方，点 P 到 F（0，1）的距离与它到直线 y=1 的距离相等点 M 的轨迹 C 是以 F 为焦点，y=1 为准线的抛物线，曲线 C 的方程为 x2=4y，设 A（x 1，
15、y 1） ，B（x 2，y 2） ，AB 的中点为（x 0，y 0）将直线 x4y+2=0 代入 x2=4y，可得 x2=x+2，解得 x1=2 或 x2=1，则 y1=1 或 y2= ，x 0= （21 ）= ，y 0= （1+ ）= ，AB 的中点为（ ， ） ，故答案为：（ ， ）15 （5 分）一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；在ABC 中， “B=60” 是“ A，B，C 三个角成等差数列”的充要条件 是 的充要条件；“am 2bm 2”是“ab” 的充分必要条件以上说法中，判断正确的有 【解答】解：对于，一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，它们同真同假，故正确；对于，
16、在ABC 中，若B=60，则A +C=120=2B，即A，B，C三个角成等差数列，充分性成立；反之，在ABC 中，若A，B ，C 三个角成等差数列，则 2B=A+C，即 3B=A+C+B=180 ，B=60，必要性成立；在ABC 中， “B=60” 是“ A，B，C 三个角成等差数列”的充要条件，即正确；对于，若 ，则 ，即 是 成立的充分条件；反之，不成立，如 x= ， y=10，满足 ，但不满足 ，即 不能 ，必要性不成立，故错误；对于，am 2bm 2ab，即“am 2bm 2”是“a b”的充分条件；反之，若 ab，m=0，则不能am 2bm 2，即必要性不成立，故 D 错误；综上所述
17、，以上说法中，判断正确的有故答案为：三、解答题（共 6 个小题，每小题 10 分，合计 70 分要求：书写规范，步骤清晰，按步骤赋分，没有过程，不给评分）16 （10 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且b2a2=c（bc ） ，a=4，（1）若 b= ，求 B；（2）若ABC 面积为 4 ，求 b 与 c 的值【解答】解：（1）由 b2a2=c（b c）得：a 2=b2+c2bc根据余弦定理：a 2=b2+c22bccosA 得：又：ABC 中，0 A180，则 A=60，由正弦定理： 结合 解出：又：ABC 中，0 B18060 ，则 B=45，（2）由
18、a=4，A=60写出余弦定理：a 2=b2+c22bccosA得：b 2+c2bc=16再由面积公式： 及已知得：bc=16联立，且 b0，c0 解得：b=4，c=417 （12 分）已知命题 p：实数 x 满足 x24ax+3a20，其中 a0；命题 q：实数x 满足 x2x60，若p 是q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围【解答】解：命题 p：实数 x 满足 x24ax+3a20，其中 a0，解得：3axa命题 q：实数 x 满足 x2x60，解得：2x3p 是q 的必要不充分条件，p 是 q 的充分不必要条件 ，a0，解得 a0实数 a 的取值范围是 18 （12 分）已知等差数
19、列a n中，a 7=9，S 7=42（1）求 a15 与 S20（2）数列c n中 cn=2nan，求数列c n的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，则由 a7=9，S 7=42联立： ，解得： ，则数列的通项公式为：a n=n+2 （2）由（1）知： ，则： ，得： ， （n+2） 2n+1，整理得： 19 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sn=n2+5n（1）证明数列a n是等差数列；（2）求数列 的前 n 项和 Tn【解答】证明：（1）当 n=1 时，S 1=1+5=6=a1当 n2 时，化简，得：a n=2n+4 检验，n=1 时，代
20、入上式符合则 ；解：（2）由题意知：= ，= ，解得： 20 （12 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，若抛物线y2=4x 的焦点与椭圆一个焦点重合（1）求椭圆的标准方程（2）若直线 m 椭圆左焦点 F1 且斜率为 1，交椭圆于 A、B 两点，求弦长|AB|【解答】解：（1）由题意，设所求椭圆标准方程为： ，焦点距为 2c抛物线 y2=4x 的焦点为 F（1，0） ，c=1，又离心率 ，则：再由 b2=a2c2 得：b 2=4；所求椭圆标准方程为： ，（2）由（1）知，左焦点为 F1（1，0） ，直线 m 的方程为：y 0=1（x +1）即y=x+1联立： 消去 y 得：
21、9x 2+10x15=0，则 ，由弦长公式|AB|= = =21 （12 分）如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，OA底面 ABCD，OA=2，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线 MN平面 OCD；（2）求异面直线 AC 与 MD 所成角的大小；（3）求直线 AC 与平面 OCD 所成角的余弦值【解答】证明：（1）如图，分别以 AB，AD，AO 所在直线为 x，y，z 轴建立坐标系，则 A（0，0 ， 0）B（i，0，0）C（I，I ，0）D（0，1，0）M（0，0，1）N （1，0） ，O（0，0，2）=（1， ，1） ， =（ 1，1，2） ， =（0，1， 2）设平面 OCD 的法向量为 =（x，y ，z） ，则 ，取 z=1，解得 =（0，2，1） ，=0，又 MN平面 OCD，直线 MN平面 OCD （6 分）解：（2）设 AC 与 MD 所成的角为 ， =（ 1，1，0） ， =（0，1， 1） ，cos = = ， ，AC 与 MD 所成角为 （3）设直线 AC 与平面 OCD 所成角为 ，则 sin= = ，cos= = ，直线 AC 与平面 OCD 所成角的余弦值为 （12 分）
