专题06 圆的综合问题(教师版含解析) -2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

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备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 06 圆的综合问题 【专题训练】 一、解答题一、解答题 12020 柳州市柳林中学中考真题如图,AB 为O 的直径,C 为O 上的一点,连接 AC、BC,ODBC 于点 E,交O 于 点 D,连接 CD、AD,AD 与 BC 交于点 F,CG 与 BA 的延长线交于点 G 1求证 ACDCFD; 2若CDAGCA,求证CG 为O 的切线; 3若 sinCAD 1 3 ,求 tanCDA 的值 【答案】 1证明ODBC, CD BD , CADFCD, 又ADCCDF, ACDCFD; 2证明连接 OC,如图 1 所示 AB 是O 的直径, ACB90, ABCCAB90, OBOC, OBCOCB, CDAOBC,CDAGCA, OCBGCA, OCGGCAOCAOCBOCA90, CGOC, OC 是O 的半径, CG 是O 的切线; 3解连接 BD,如图 2 所示 CADCBD, ODBC, sinCADsinCBD 1 3 DE BD ,BECE, 设 DEx,ODOBr,则 OErx,BD3x 在 Rt BDE 中,BE 2222 92 2BDDExxx , BC2BE4 2x, 在 Rt OBE 中,OE2BE2OB2, 即rx22 2x2r2, , 解得r 9 2 x, AB2r9x, 在 Rt ABC 中,AC2BC2AB2, AC24 2x29x2, AC7x 或 AC7x舍去, tanCDAtanCBA 7 4 2 ACx BCx 7 2 8 【点睛】 本题考查了切线的判定,圆周角定理,垂径定理,相似三角形的判定,三角函数等知识本题综合性比较强,熟练掌握圆周 角定理,垂径定理是解题的关键 2 2020 四川中考真题如图, 在O 中, 弦 AB 与直径 CD 垂直, 垂足为 M, CD 的延长线上有一点 P, 满足PBDDAB 过 点 P 作 PNCD,交 OA 的延长线于点 N,连接 DN 交 AP 于点 H 1求证BP 是O 的切线; 2如果 OA5,AM4,求 PN 的值; 3如果 PDPH,求证AHOPHPAP 【答案】 1如图,连接 BC,OB CD 是直径, CBD90, OCOB, CCBO, CBAD,PBDDAB, CBOPBD, OBPCBD90, PBOB, PB 是O 的切线; 2CDAB, CD 垂直平分 AB, PAPB, OAOB,OPOP, PAOPBOSSS, OAPOBP90, AMO90, OM 22 OAAM 22 54 3, AOMAOP,OAPAMO, AOMPOA, OA OP OM OA , 5 OP 3 5 , OP 25 3 , PNPC, NPCAMO90, AM PN OM OP , 4 PN 3 25 3 , PN100 9 3PDPH, PDHPHD, PDNPHDAHN, NPC90,OAP90, NAH NPD90, NAHNPD, AH PD NA NP , APNPNAPOAPNA90, APNPOA, 又PANPAO90, PANOAP, PN OP AN AP , NA NP AP OP , AH PD AH PH AP OP , AHOPHPAP 【点睛】 本题综合考查了切线的判定和性质,垂径定理,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识, 解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考压轴题 3 2020 广东广州市 中考真题如图,O为等边ABC的外接圆, 半径为 2, 点D在劣弧AB上运动不与点,A B重合, 连接DA,DB,DC 1求证DC是ADB的平分线; 2四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗如果是,求出函数解析式;如果不是,请说明理由; 3若点,M N分别在线段CA,CB上运动不含端点,经过探究发现,点D运动到每一个确定的位置,DMN 的周长 有最小值t,随着点D的运动,t的值会发生变化,求所有t值中的最大值 【答案】 1ABC 为等边三角形,BCAC, ACBC ,都为 1 3 圆, AOCBOC120, ADCBDC60, DC 是ADB 的角平分线 2是 如图,延长 DA 至点 E,使得 AEDB 连接 EC,则EAC180DACDBC AEDB,EACDBC,ACBC, EACDBCSAS, ECDBADC60, 故 EDC 是等边三角形, DCx,根据等边三角形的特殊性可知 DC 边上的高为 3 2 x 2 133 2 34 224 DBCADCEACADCCDE SSSSSSxxxx 3依次作点 D 关于直线 BC、AC 的对称点 D1、D2,根据对称性 C DMNDMMNNDD1MMNND2 D1、M、N、D 共线时 DMN 取最小值 t,此时 tD1D2, 由对称有 D1CDCD2Cx,D1CBDCB,D2CADCA, D1CD2D1CBBCAD2CADCB60DCA120 CD1D2CD2D160, 在等腰 D1CD2中,作 CHD1D2, 则在 Rt D1CH 中,根据 30特殊直角三角形的比例可得 D1H 1 33 22 CDx , 同理 D2H 2 33 22 CDx tD1D2 33DCx x 取最大值时,t 取最大值 即 D 与 O、C 共线时 t 取最大值,x4 所有 t 值中的最大值为4 3 【点睛】 本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题,关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量 42020 辽宁盘锦市 中考真题如图,BC是O的直径,AD是O的弦,AD交BC于点E,连接,AB CD,过点 E作EFAB ,垂足为F,AEFD 1求证ADBC; 2点G在BC的延长线上,连接 ,2AGDAGD 求证AG与O相切; 当 2 ,4 5 AF CE BF 时,直接写出CG的长 【答案】 1证明 ACAC BD , DAEP BAEF EFAB 90BFE 90BBEF 90AEFBEF 即 90AEB ADBC 2连接AO ACAC 2AOED AOEDAG ADBC 90AEO 90AOEOAE 90DAGOME 即90OAG AGAO AO是O的半径 AG 与O相切 如图, BC 为直径,EFAB, BACBFE90, ACFE, 2 5 CEAF BEBF , CE4, BE10, BC14, OAOC7, 7 43OE , 在 Rt AOE 中,由勾股定理,得 22 732 10AE , AOEDAG,90AEOAEG, AEOGEA, OEAE AEGE ,即 32 10 2 10GE , 40 3 GE , 4028 4 33 CGGECE 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质,切线的判定和性质,圆周角定理,勾股定理,以及等角的余角相等,解题的关键是熟 练掌握所学的知识,正确作出辅助线,从而进行解题 52020 山东淄博市 中考真题如图, ABC 内接于O,AD 平分BAC 交 BC 边于点 E,交O 于点 D,过点 A 作 AFBC 于点 F,设O 的半径为 R,AFh 1过点 D 作直线 MNBC,求证MN 是O 的切线; 2求证ABAC2Rh; 3设BAC2,求 ABAC AD 的值用含 的代数式表示 【答案】 解1证明如图 1,连接 OD, AD 平分BAC,BADCAD,, 又OD 是半径,ODBC, MNBC,ODMN,MN 是O 的切线; 2证明如图 2,连接 AO 并延长交O 于 H, AH 是直径,ABH90AFC, 又AHBACF, ACFAHB, ACAF AHAB , ABACAFAH2Rh; 3如图 3,过点 D 作 DQAB 于 Q,DPAC,交 AC 延长线于 P,连接 CD, BAC2,AD 平分BAC, BADCAD,,BDCD, BADCAD,DQAB,DPAC,DQDP, Rt DQBRt DPCHL,BQCP, DQDP,ADAD, Rt DQARt DPAHL,AQAP, ABACAQBQAC2AQ, cosBAD AQ AD ,AD cos AQ , ABAC AD 2 cos AQ AQ 2cos 1连接 OD, 由角平分线的性质可得BADCAD, 可得, 由垂径定理可得 ODBC, 可证 ODMN, 可得结论; 2连接 AO 并延长交O 于 H, 通过证明 ACFAHB, 可得 ACAF AHAB , 可得结论; 3由“HL”可证 Rt DQBRt DPC, Rt DQARt DPA,可得 BQCP,AQAP,可得 ABAC2AQ,由锐角三角函数可得 AD cos AQ ,即可求解 【点评】本题是圆的综合题,考查了圆的有关知识,角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质, 添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键 62020 黑龙江大庆市 中考真题如图,在ABC中,ABAC,以AB为直径的O交BC于点D,连接AD,过 点D作DMAC,垂足为M,AB、MD的延长线交于点N 1求证MN是O的切线; 2求证 2 DNBNBNAC; 3若6BC , 3 cos 5 C ,求DN的长 【答案】 1如图,连接 OD, AB 为O的直径, ADB90, ABAC, BDCD,点 D 为 BC 的中点, 又AOBO, OD 为 ABC 的中位线, ODAC, DMAC, ODMN, 故MN是O的切线 2ADB90, 1390, DMAC, 3590,2390, 25, ABAC,ADBC, 45, 12, 14, NN, BNDDNA, BNDN DNAN , ABAC, BNDNDN DNBNABBNAC , 2 DNBNBNAC 36BC , BDCD3, 3 cos 5 C , AC5 cos CD C , AB5, 由勾股定理可得 AD4,, 由2可得, BNDDNA, 3 4 BNDNBD DNANAD 3 4 BDDN, 3 4 DN AN , 3 4 DN ABBN ,即 3 3 4 5 4 DN DN , 解得 60 7 DN 【点睛】 本题考查圆的切线的判定、相似三角形的性质与判定和解直角三角形,解题的关键是熟练掌握相关性质和判定并灵活应用 72020 湖南娄底市 中考真题如图,点 C 在以AB为直径的O上,BD平分ABC交O于点 D,过 D 作BC的垂 线,垂足为 E 1求证DE与O相切; 2若5,4ABBE,求BD的长; 3请用线段AB、BE表示CE的长,并说明理由 【答案】 解1连OD,据题意得OBOD, ODBOBD , BD平分ABC, CBDOBD, CBDODB, //OD BC, 又DE BC , DEOD, DE与O相切 2AB为O的直径可得90ADB, 据1CBD OBD 且90DEB, 在DBE和ABD中, EBDABDDEBADB, , DBE ABD , 2 BDAB BE , 又5,4ABBE, 202 5BD 3CEABBE 由EBDABD 得CDAD, 90 ,90ADBCED , 2222 CDADABBD , 222 DEBDBE , 2222222 2CECDDEABBEBDABBE, 由,Rt DBE Rt ABD得AB BDBE , CEAB BE- 【点睛】 本题主要考查了圆的综合应用,结合三角形相似的知识点进行求解是解题的关键 82020 广西中考真题如图,在ACE中,以AC为直径的O交CE于点,D连接,AD且,DAEACE 连接 OD并延长交AE的延长线于点,P PB与O相切于点B 1求证AP是O的切线 2连接AB交OP于点F,求证FADDAEV V; 3若 1 2 tan OAF,求 AE AP 的值 【答案】 1证明AC为直径 90 ,ADC 90 ,ACECAD 又 90DAEDAC o ,OAAP AP 为O的切线 2连 ,OB,PA PB为圆的切线 ,PAPB 又,OBOA OPOP OBPOAP SSSVV ,BODDOA AD 弧DB弧 FADACE ,OFAB 又,ACEDAE Q ,90FADDAEAFDADE o FADDAE AA V V 3在RtOFA中, 1 2 tan OAF 设,2 ,5OFx AFx OAx, 故 22 5APOAx 51DFODOFOAOFxQ 且FADDAEV V ,FADDAEACE ,tan ACEtan FAD 即 51 2 x AEDF ACAFx 51555AExx 55 5 1 22 5 x AE APx 【点睛】 本题是圆的综合题目,考查了切线的判定、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识;本题综 合性强,有一定难度,熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键 9 2020 湖北恩施土家族苗族自治州 中考真题如图,AB是O的直径, 直线AM与O相切于点A, 直线BN与O 相切于点B,点C异于点A在AM上,点D在O上,且CDCA,延长CD与BN相交于点 E,连接AD并延 长交BN于点F 1求证CE是O的切线; 2求证BEEF; 3如图,连接EO并延长与O分别相交于点G、H,连接BH若6AB,4AC ,求tanBHE 【答案】 1连接 OD, CDCA, CADCDA, OAOD OAD ODA, 直线AM与O相切于点A, CAOCADOAD90 ODCCDAODA90 CE 是O的切线; 2连接 BD ODOB ODBOBD, CE 是O的切线,BF 是O的切线, OBDODE90 EDBEBD EDEB AMAB,BNAB AMBN CADBFD CADCDAEDF BFDEDF EFED BEEF 3过 E 点作 ELAM 于 L,则四边形 ABEL 是矩形, 设 BEx,则 CL4-x,CE4X 4x24-x262 解得x 9 4 9 3 4 tan 34 BE BOE OB BOE2BHE 2 2tan3 tan 1tan4 BHE BOE BHE 解得tanBHE 1 3 或-3-3 不和题意舍去 tanBHE 1 3 【点睛】 本题主要考查了切线的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,平行线的判定和性质,三角函数/,勾股定理等知识,熟练掌 握这些知识点并能熟练应用是解题的关键 102020 湖北孝感市 中考真题已知ABC内接于O,ABAC,ABC的平分线与O交于点D,与AC交 于点E,连接CD并延长与O过点A的切线交于点F,记BAC 1如图 1,若60, 直接写出 DF DC 的值为______; 当O的半径为 2 时,直接写出图中阴影部分的面积为______; 2如图 2,若60,且 2 3 DF DC ,4DE ,求BE的长 【答案】 解1 60BAC,ABAC ABC 是等边三角形, BD 平分ABC, DBC 1 2 ABC30, BDCBAC60 BCD180-DBC-BDC90 BD 是直径, BAD90,CDAD 连接 AO 并延长交 BC 于 H 点, AOBO BAHABO30, AHB180-BAH-ABC90 AHBC AF 是O的切线 AFAH 四边形 AHCF 是矩形 AFCF ADBBDC60 ADF180-ADB-BDC60 FAD90-ADF30 1 2 DFDF DCAD ; 半径为 2, AOOD2, DBC30, CD 1 2 BD2AD, DF 1 2 AD1, AF 2222 213ADDF , AOB180-2ABO120, AOD180-AOB60, 22 16016023 32 2 13 2360236023 AODFAOD AO SSSAODFAF 梯形扇形阴影 故答案为 1 2 ; 3 32 23 ; 2如图,连接AD,连接AO并延长交O于点H,连接DH,则90ADH, 90DAHDHA AF与O相切, 90DAHDAFFAO DAFDHA BD平分ABC, ABDCBD DHADAC, DAFDAC ABAC, AABCCB 四边形ABCD内接于O, 180ABCADC 又 180ADFADC, ADFABC 又ADB ACBABC , ADFADB 又AD公共, ASAADFADE, 4DFDE 2 3 DF DC , 6DC DCEABDDBC,CDE公共, DCEDBC CDDE DBCD ,即 64 6DB , 9DB 5BEDBDE 【点睛】 此题主要考查切线的判定与性质综合, 解题的关键是熟知切线的性质、 等边三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质 112020 湖北鄂州市 中考真题如图所示O与ABC的边BC相切于点 C,与AC、AB分别交于点 D、E, //DE OBDC是O的直径连接OE,过 C 作//CG OE交O于 G,连接DG、EC,DG与EC交于点 F 1求证直线AB与O相切; 2求证AE EDAC EF; 3若 1 3,tan 2 EFACE时,过 A 作//AN CE交O于 M、N 两点M 在线段AN上,求AN的长 【答案】 1DE//OB,BOCEDC, CG//OE,DEOBOE, 又DEOEDC,DEOBOE, 由题意得EOCO,BOBO, BOEBOCSAS, BEOBCO90, AB 是O 的切线 2 如图所示 DG 与 OE 交点作为 H 点, EO//GC, EHDDGC90, 又由1所知AEO90, AE//DF, AECDFC, AEDF ACDC , 由圆周角定理可知EDGECG,EOD2ECD, DO//GC, EODGCDGCEECD, ECDGCEEDF, 又FEDDEC, FEDDEC, DFEF DCED , AEEF ACED ,即AE EDAC EF 3 1 3,tan 2 EFACE,与ACE 相等角的 tan 值都相同 ED6,则 EC12, 根据勾股定理可得 22 36 1446 5CDEDEC EODOCO3 5 由2可得 1 2 AEEF ACED , 在 Rt AEO 中,可得 222 AOAEEO ,即 2 22 ACOCAEEO, 22 2 23 53 5AEAE , 解得 AE4 5,则 AC8 5,AO5 5 连接 ON,延长 BO 交 MN 于点 I,根据垂径定理可知 OIMN, AN//CE,CANACE 在 Rt AIO 中,可得 222 AOAIIO ,即 2 2 2 5 52OIOI , 解得 OI5,则 AI10, 在 Rt OIN 中, 222 ONINIO ,即 2 22 3 55IN , 解得 IN2 5 ANAIIN102 5 【点睛】 本题考查圆的综合知识及相似全等,关键在于根据条件结合知识点,特别是辅助线的做法要迎合题目给出的条件 122020 江西中考真题已知MPN的两边分别与圆O相切于点A,B,圆O的半径为r 1如图 1,点C在点A,B之间的优弧上, 80MPN ,求ACB的度数; 2如图 2,点C在圆上运动,当PC最大时,要使四边形APBC为菱形,APB的度数应为多少请说明理由; 3若PC交圆O于点D,求第2问中对应的阴影部分的周长用含r的式子表示 【答案】解1如图 1,连接 OA、OB PA,PB 为O 的切线 PAOPBO90 AOBMPN180 MPN80 AOB180-MPN100 AOB100 1 2 ACB50; 2当APB60时,四边形 APBC 为菱形,理由如下 如图 2连接 OA、OB 由1可知AOBAPB180 APB60 AOB120 ACB60APB 点 C 运动到 PC 距离最大 PC 经过圆心 PA、PB 为O 的切线 四边形 APBC 为轴对称图形 PAPB,CACB,PC 平分APB 和ACB. APBACB60 APOBPOACPBCP30 PA PBCA CB 四边形 APBC 为菱形; 3O 的半径为 r OAr,OP2 r AP 3r,PDr AOP60 60 1803 AD r lr C阴影31 3 D PAPDlr 【点睛】 本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、菱形的判定、弧长公式以及有关圆的最值问题,考查知识点较多,灵活应用所学 知识是解答本题的关键 132020 内蒙古鄂尔多斯市 中考真题我们知道,顶点坐标为h,k的抛物线的解析式为 yaxh2ka0今后我们还会 学到,圆心坐标为a,b,半径为 r 的圆的方程xa2yb2r2,如圆心为 P2,1,半径为 3 的圆的方程为x22y 129 1以 M3,1为圆心, 3为半径的圆的方程为 2如图,以 B3,0为圆心的圆与 y 轴相切于原点,C 是B 上一点,连接 OC,作 BDOC,垂足为 D,延长 BD 交 y 轴于 点 E,已知 sinAOC 3 5 连接 EC,证明EC 是B 的切线; 在 BE 上是否存在一点 Q,使 QBQCQEQO若存在,求点 Q 的坐标,并写出以 Q 为圆心,以 QB 为半径的Q 的 方程;若不存在,请说明理由 【答案】 解1以 M3,1为圆心, 3为半径的圆的方程为x3 2y123, 故答案为x32y123; 2OE 是B 切线, BOE90, CBOB,BDCO, CBEOBE, 又BCBO,BEBE, CBEOBESAS, BCEBOE90, BCCE, 又BC 是半径, EC 是B 的切线; 如图,连接 CQ,QO, 点 B3,0, OB3, AOCDOE90,DOEDEO90, AOCBEO, sinAOC 3 5 sinBEO BO BE 3 BE , BE5, OE 22 BEOB 259 4, 点 E0,4, QBQCQEQO, 点 Q 是 BE 的中点, 点 B3,0,点 E0,4, 点 Q 3 2 ,2, 以 Q 为圆心,以 QB 为半径的Q 的方程为x 3 2 2y22 25 4 【点睛】 本题是圆的综合题,考查了圆的有关知识,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数等知识,理解圆的方程定义是本题的关 键 142020 四川绵阳市 中考真题如图,在矩形 ABCD 中,对角线相交于点 O,M 为 BCD 的内切圆,切点分别为 N,P, Q,DN4,BN6 1求 BC,CD; 2点 H 从点 A 出发,沿线段 AD 向点 D 以每秒 3 个单位长度的速度运动,当点 H 运动到点 D 时停止,过点 H 作 HIBD 交 AC 于点 I,设运动时间为 t 秒 将 AHI 沿 AC 翻折得 A H I, 是否存在时刻 t, 使点 H 恰好落在边 BC 上若存在, 求 t 的值; 若不存在, 请说明理由; 若点 F 为线段 CD 上的动点,当 OFH 为正三角形时,求 t 的值 【答案】 解1M 为 BCD 的内切圆,切点分别为 N,P,Q,DN4,BN6, BPBN6,DQDN4,CPCQ,BDBNDN10, 设 CPCQa,则 BC6a,CD4a, 四边形 ABCD 是矩形, BCD90, BC2CD2BD2,即6a24a2102, 解得a2, BC628,CD426; 2存在时刻 t 25 12 s,使点 H恰好落在边 BC 上;理由如下 如图 1 所示 由折叠的性质得AHIAHI,AHAH3t, 四边形 ABCD 是矩形, ADBC8,ADBC,BCD90,OAOC 1 2 AC,OBOD 1 2 BD,ACBD, ACBD 22 BCCD 22 86 10,OAOD5, ADOOAD, HIBD, AHIADO, AHIAHIADOOADACH, AIHAHC, AH AC AI AH , AH2AIAC, HIBD, AIHAOD, AI AO AH AD ,即 5 AI 3 8 t , 解得AI 15 8 t, 3t2 15 8 t10, 解得t 25 12 , 即存在时刻 t 25 12 s,使点 H恰好落在边 BC 上; 作 PHOH 于 H,交 OF 的延长线于 P,作 OMAD 于 M,PNAD 于 N,如图 2 所示 则 OMCDPN,OMHHNP90,OM 是 ACD 的中位线, OM 1 2 CD3, OFH 是等边三角形, OFFH,OHFHOF60, FHPHPO30, FHFPOF,HP 3OH, DF 是梯形 OMNP 的中位线, DNDM4, MHOMOHMHONHP90, MOHNHP, OMHHNP, OM HN OH HP 1 3 , HN 3OM33, DHHNDN3 34, AHADDH123 3, t AH 3 4 3, 即当 OFH 为正三角形时,t 的值为4 3s 【点睛】 本题是圆的综合题目,考查了切线长定理、矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的 性质、含 30角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定、三角形中位线定理等知识;本题综合性强,熟练掌握切线长定理、 相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键 152020 四川广元市 中考真题在Rt ABC中, 90ACB ,OA 平分BAC交 BC 于点 O,以 O 为圆心,OC 长为 半径作圆交 BC 于点 D 1如图 1,求证AB 为O的切线; 2如图 2,AB 与O相切于点 E,连接 CE 交 OA 于点 F 试判断线段 OA 与 CE 的关系,并说明理由 若12,3OF FCOC,求tanB的值 【答案】 解1如图,过点 O 作 OGAB,垂足为 G, OA 平分BAC交 BC 于点 O, OGOC, 点 G 在O上, 即 AB 与O相切; 2OA 垂直平分 CE,理由是 连接 OE, AB 与O相切于点 E,AC 与O相切于点 C, AEAC, OEOC, OA 垂直平分 CE; 12,3OF FCOC, 则 FC2OF,在 OCF 中, 2 22 23OFOF, 解得OF 3 5 5 ,则 CF 6 5 5 , 由得OACE, 则OCFCOF90,又OCFACF90, COFACF,而CFOACO90, OCFOAC, OCOFCF OAOCAC ,即 3 56 5 3 55 3OAAC , 解得AC6, AB 与圆 O 切于点 E, BEO90,ACAE6,而BB, BEOBCA, BEOEBO BCACAB ,设 BOx,BEy, 则 3 366 yx xy , 可得 693 6318 yx xy , 解得 5 4 x y ,即 BO5,BE4, tanB OE BE 3 4 . 【点睛】 本题考查了圆的综合,切线的判定和性质,相似三角形的判定和性质,二元一次方程组的应用,有一定难度,解题要合理选 择相似三角形得出结论. 16 2020 黑龙江哈尔滨市 中考真题已知O是ABC的外接圆, AD 为O的直径,ADBC, 垂足为 E, 连接 BO, 延长 BO 交 AC 于点 F 1如图 1,求证3BFCCAD ; 2如图 2,过点 D 作//DGBF,交O于点 G,点 H 为 GD 的中点,连接 OH,求证BEOH; 3如图 3,在2的条件下,连接 CG,若,DGDEAOF的面积为 9 2 5 ,求线段 CG 的长 【答案】 解1AD 为O的直径,ADBC, BD CD,BECE, BADCAD, BOD2BAD, BOD2CAD, BODAOF, AOF2CAD, BFCAOFCAD, BFC2CADCAD3CAD; 2连接 OG, 点 H 为 GD 的中点,OGOD, DHGH,OHDG, ADBC, AEBOHD90, DGBF, BOHOHD90, 即DOHBOD90, BODOBE90, OBEDOH, 又OBOD, OBEDOH, BEOH; 3如图,连接 AG,过 A 点作 AMCG 于点 M,过 F 点作 FNAD 于点 N, 由2可知 DHOE, DG2DH2OE,DGDE, DE2OE, 设 OEm,则 DE2m, OBODOA3m, AE4m, 在 Rt OBE 中,BE 22 OBOE 2 2m, CEBE2 2m,tanBOE BE OE 2 2m m 2 2,tanEAC CE AE 2 2 4 m m 2 2 , tanAOFtanBOE2 2, NF ON 2 2, 设 ONa,则 NF2 2a, tanEAC 2 22 2 NFa ANAN , AN4a, ANNOAO, 4aa3m, a 3 5 m, FN2 2 3 5 m 6 2 5 m, S AOF 1 2 OA FN 9 2 5 , 1 2 3m6 2 5 m 9 2 5 , m21, m1, m0, m1, DH1,OD3,由2得 BECEOH2 2,AE4, 在 Rt AEC 中 AC 22 AECE 2 6, ODOA,DHHG, AG2OH4 2, ADGACG180,ACMACG180, ADGACM, cosADGcosACM, DHCM DOAC , 1 32 6 CM , CM 2 6 3 , 在 Rt ACM 中,AM 22 ACCM 8 3 3 , 在 Rt AGM 中,GM 22 AGAM 4 6 3 , CGGM-CM 2 6 3 【点睛】 本题考查了圆周角定理,全等三角形的性质和判定,锐角三角函数,垂径定理,勾股定理,掌握知识点灵活运用是解题关键 172020 四川成都市 中考真题如图,在ABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC为半径画O,O 与边AB 相切于点D,ACAD,连接OA交O 于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F 1求证AC 是O 的切线; 2若10AB, 4 tan 3 B ,求O 的半径; 3若F是AB的中点,试探究BDCE 与AF的数量关系并说明理由 【答案】 解1如图,连接 OD, O 与边 AB 相切于点 D, ODAB,即ADO90, AOAO,ACAD,OCOD, ACOADOSSS, ADOACO90, 又OC 是半径, AC 是O 的切线; 2在 Rt ABC 中,tanB 4 3 AC BC , 设 AC4x,BC3x, AC2BC2AB2, 16x29x2100, x2, BC6, ACAD8,AB10, BD2, OB2OD2BD2, 6-OC2OC24, OC 8 3 , 故O 的半径为 8 3 ; 3连接 OD,DE, 由1可知 ACOADO, ACOADO90,AOCAOD, 又CODO,OEOE, COEDOESAS, OCEODE, OCOEOD, OCEOECOEDODE, DEF180-OEC-OED180-2OCE, 点 F 是 AB 中点,ACB90, CFBFAF, FCBFBC, DFE180-BCF-CBF180-2OCE, DEFDFE, DEDFCE, AFBFDFBDCEBD 【点睛】 本题是圆的综合题,考查了圆的有关知识,切线的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数等知识, 灵活运用这些性质进行推理是本题的关键 18 2020 四川遂宁市 中考真题如图, 在 Rt ABC 中, ACB90, D 为 AB 边上的一点, 以 AD 为直径的O 交 BC 于点 E, 交 AC 于点 F,过点 C 作 CGAB 交 AB 于点 G,交 AE 于点 H,过点 E 的弦 EP 交 AB 于点 QEP 不是直径,点 Q 为弦 EP 的中点,连结 BP,BP 恰好为O 的切线 1求证BC 是O 的切线 2求证EF ED 3若 si
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