第1讲 相交线 同步培优课程(教师版)

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资源描述

1、 第第 1 1 讲讲 一一、直线的相交直线的相交 1 1两条直线的位置关系两条直线的位置关系 在同一平面内,两条直线要么相交,要么平行 【注】【注】两条直线:有且只有一个公共点,两直线相交; 无公共点,则两直线平行; 两个或两个以上公共点,则两直线重合,视为一条直线 2 2直线的相交直线的相交两线四角两线四角 (1)邻补角邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角,互为邻 补角 【例】【例】如图 1,和,和,和,和互为邻补角 【注】注】互为邻补角的两个角一定互补,但两个角互补不一定互为邻补角 (2)对顶角对顶角:一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线

2、,则这两个角互为对顶角 【例】【例】如图 1,和,和,互为对顶角 【注】注】互为对顶角的两个角一定相等,但两个角相等不一定互为对顶角 图 1 图 2 图 3 二二、垂直垂直 1 1 垂直: 垂直: 一条直线与另一条直线相交成, 这两条直线互相垂直, 其中一条直线叫做另一条直线的垂线, 它们的交点叫做垂足 【例】【例】如图 2,ABCD,垂足为O,可记为“ABCD于点O” 2 2性质:性质: (1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短垂线段最短 【注】注】直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离点到直线的距离

3、三三、三线八角三线八角 1 1同位角:同位角:两条直线被第三条直线所截,位置相同的一对角(即两个角分别在两条直线的同一侧,并且在 第三条直线的同侧) ,叫做同位角 【例】【例】如图 3,和,和,和,和都是同位角 2 2内错角:内错角:两条直线被第三条直线所截,两个角都在两条直线之间,并且位置交错的一对角(即两个角分 别在第三条直线的两侧) ,叫做内错角 【例】【例】如图 3,和,和都是内错角 3 3同旁内角:同旁内角:两条直线被第三条直线所截,两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线的同侧的一对 角,叫做同旁内角 【例】【例】如图 3,和,和都是同旁内角 4 3 2 1 D C B A D C

4、 B A O 8 7 65 4 3 2 1 F E D C B A 4 4角的计数技巧:角的计数技巧: (1) “F”字型中的同位角,如下图所示: (2) “Z”字型中的内错角,如下图所示: (3) “U”字型中的同旁内角,如下图所示: (1)在同一平面内的两条直线的位置关系有( ) A平行或垂直 B垂直或相交 C平行,垂直或相交 D平行或相交 (2)判断正误: 两条直线的位置关系只有两种:平行或相交 ( ) 平面内,两条线段不相交,则平行 ( ) 平面内不平行的两条射线必定相交 ( ) 【解析】【解析】(1)D; (2)错误,异面;错误;错误 (1)下列图中和是对顶角的有( ) A0 对 B

5、1 对 C2 对 D3 对 F M N D B F M N C A M N D B E M N E C A N M D A N MB C N M C A M N D B 模块一 直线的相交 例题1 例题2 (4) 2 (3) 2 (2) 2 (1) 2 (2)下列四个图中,与成邻补角的是( ) A B C D (3)下列各项中,有公共顶点,没有公共边的两个角是对顶角;如果两个角是对顶角,则这两个角相等; 相等的两个角是对顶角;如果两个角不是对顶角,则这两个角不相等;如果两个角不相等,则这两个角 不是对顶角,其中正确的有_ (填序号) 【解析】【解析】(1)A; (2)C; (3) (1)如图

6、3-1,AB、CD、EF交于点O,AOE ,DOF ,求AOD的对顶角和邻补角的度数 (2)如图 3-2,直线AB、CD交于O,OE平分AOD,BOCBOD ,求COE的度数 图 3-1 图 3-2 【解析】【解析】(1)由对顶角相等可知,COEDOF , 故AOCAOECOE 由AOC、AOD互为邻补角可知,AOD 由对顶角相等可知,AOD的对顶角BOC (2)由BOC、BOD互为邻补角可知,BOCBOD 又BOCBOD ,故BOD,BOC 由对顶角相等可知,AODBOC 又OE平分AOD,故.AOE , 从而可知,.COE 【提示提示】两线四角倒角,规范书写 如图,直线AB、CD相交于点O

7、,OE平分BOC,COF (1)若BOE ,求AOF的度数; (2)若:BODBOE ,求AOF的度数 【解析】【解析】(1); (2) 例题3 例题4 E C B D A O F A E C B O D A E F D C B O 求证:成对顶角的两个角的平分线在同一直线上 【解析】【解析】如图,AB、CD交于点O,则AOC与BOD成对顶角 设OE、OF分别为AOC、BOD的平分线, 则AOECOEAOC ,BOFDOFBOD , AOCBOD ,AOEBOF 又BOFDOFAOD , AOEDOFAOD, 即EOF,OE、OF在同一直线上 【提示提示】可补充证明:成邻补角的两个角的平分线互

8、相垂直 (1)下列说法中正确的是( ) 点到直线的距离是点到直线所作的垂线; 两个角互为邻补角,这两个角的角平分线互相垂直; 两个对顶角互补,则构成这两个角的两条直线互相垂直; 连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短 A B C D (2)P为直线外一点,点A、B、C为l上的三点,且PBl,下列说法错误的是( ) APA、PB、PC三条线段中,PB最短 B线段PB叫做点P到直线的l的距离 CPB是点P到l的垂线段 D线段AB的长是点A到PB的距离 【解析】【解析】(1)D; (2)B (1)如图 7-1,直线AB与CD相交于点O,OECD,OFAB,DOF ,求BOE和AOC的度数 (

9、2)如图 7-2,已知直线AB和CD相交于点O,OEOC,OF平分AOE,COF ,求BOD的度数 图 7-1 图 7-2 例题5 模块二 垂直 例题6 例题7 l CBA P F A C D B O E F A C D B O E 【解析】【解析】(1)OFAB,DOF BOD (垂直定义) AOCBOD (对顶角相等) OECD, BOE (垂直定义) (2)COE是直角, COE 又COF , FOECOECOF OF平分AOE, AOFFOE AOCAOFCOF BODAOC , BOD 【提示提示】利用垂直的定义来倒角,倒角一定要反复练习 如图所示,在一个面积为 1843200 平方

10、米的正方形货场中有一条长为 1600 米的直线铁路AE现有一辆装满货 物的卡车停放在D点,如果卡车的速度是每分钟 96 米,请说明 11 分钟内能否将这车货物运到铁路线旁? 【解析】【解析】由垂线段最短,可知比较D到AE的垂线段长度与卡车行驶 11 分钟路程的大小,即可得出结论 如右图所示,汽车由D到AE的最短距离是由D向AE引的垂线DH,连结DE 则 AEDABCD SS 正方形 , 又 AED SAE DEDHDH ,解得DH (米) 而卡车行驶 11 分钟的路程为(米)(米) ,所以 11 分钟内不能将这车货物由D点 运到铁路线旁 A BC D E H E D CB A 例题8 模块三

11、三线八角 如图,填空: 与是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角 与是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角 与是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角 与是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角 与是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角 【解析】【解析】与是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的同位角 与是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的同位角 与是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的内错角 与是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的内错角 与是两条直线l与l被第三条直线l所截构成的同旁内角 过点O任意作 7 条直线,求证:以O为顶点的角中,必有一个小于 【解

12、析】【解析】如图所示, 点O把 7 条直线分成 14 条射线,记为OA,OA,OA. 相邻两射线组成 14 个角,记为,. 其和为一个周角: L. 若结论不成立,则 i ,(, ,)i L. 相加,得 L. 这一矛盾说明,在,中,必有一个角小于 (1) 如图 1-1 所示,AB与CD相交所成的四个角中,1的邻补角是_,1的对顶角是_ 若1 2 5, 则2 _,3 _,4 _ (2)如图 1-2,直线AB、CD、EF相交于O,图中对顶角共有( ) A3 对 B4 对 C5 对 D6 对 图 1-1 图 1-2 例题9 非常挑战 复习巩固 演练1 l l l A7 A6 A5 A4 A3 A2 A

13、1 O A C D B A F C E O B D 【解析】【解析】(1)2和4,155,25,155 (2)D (1)如图 2-1,已知直线a、b、c相交于点O, , ,则_ (2)如图 2-2,直线AB、CD相交于点O,OE平分AOD,若BOD,则AOE_ 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】(1)由题意,得 (2)40 如图,已知直线AB和CD相交于点O(AOC为锐角) (1)写出AOC和BOD的大小关系;判断的依据是_ (2)过点O作射线OE、OF,若COE,OF平分AOE,求AOFCOF的 度数,说明你的理由 (3)在(2)的条件下,若AOD,请计算COF的度数 【解析】【解析】

14、(1)AOCBOD ;对顶角相等 (2)AOFCOF (3)COF 如图,已知ACB CDAB,垂足为D,则点A到直线CB的距离为线段_ 的长;线段DB的长为点_到直线_的距离 【解析】【解析】AC,B,CD 已知:如下图A、O、B三点共线,OC为任意一条射线,OE平分BOC,OD平分AOC求证:ODOE O c b a 3 2 1 C B O D E A 演练2 演练3 演练4 演练5 F E O D C BA A C DB 【解析】【解析】A、O、B三点共线AOB, OE平分BOC,OD平分AOC, COEBOC ,DOCAOC , ()COEDOCBOCAOCBOCAOC AOB 又DOECOEDOC ,DOE , ODOE 如图,A点处是一座小屋,BC是一条公路,一人在O处 (1)此人到小屋去,怎么走最近?理由是什么? (2)此人要到公路,怎么走最近?理由是什么? 【解析】【解析】(1)走线段OA最近,因为两点之间线段最短; (2)如图,过点O作ODBC,垂足为D,则走线段OD最近,因为垂线段最短 如图,判断下列各对角的位置关系: 与;与;与;与BCD;与 【解析】【解析】与是同位角,与是内错角,与是对顶角,与BCD是同旁内角,与 是内错角 演练6 演练7 A C D BO E

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