第4讲 实数 同步培优课程（教师版）

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1、第第 4 4 讲讲 模块一：平方根和立方根模块一：平方根和立方根 1 1平方根平方根 平方根 解释 总结 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即 2 xa，那 么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根） 0 只有一个平方根，它是 0 本身 例如：9 的平方根为3，225 的平方根为15. （1）一个正数有两个互 为相反数的平方根； （2）0 的平方根为 0； （3）负数没有平方根 表示 一个非负数a的平方根可用符号表示为a 数学语言：若 2 (0)xa a，则xa 例如：7 的平方根为7，26 的平方根为26 求一个数a的平方根的 运算，叫做开平方（开 方） ，a叫做被开方数 开 方运算和

2、平方运算互为 逆运算 2 2算术平方根算术平方根 算术平方根 解释 总结 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a， 即 2 xa， 那么这个正数x就叫做a的算 术平方根记作a，读作“根号a” 特 别地，我们规定：0 的算术平方根是 0， 即00 例如：9 的算术平方根为 3，7 的算术平 方根为7，0 的算术平方根为 0 （1） 一个正数只有一个算术平 方根； （2）0 的算术平方根为 0； （3）负数没有算术平方根 重要性质 双重非负性：在式子a中，有0a 且0a 两个重要等式： （1）如果0a ，则有 2 ()aa； （2）对于任意的数a，则有 2 aa (0) (0) a a a a

3、3 3立方根立方根 立方根 解释 总结 定义 一般地，如果一个数x的立方等于a，即 3 xa， 那么这个数x叫做a的立方根 （也叫做三次方根） 例如：27 的立方根为 3，125的立方根为5， 0 的立方根为 0 （1）任何实数都只有 1 个立 方根； （2）正数的立方根为正数， 负数的立方根为负数， 0 的立 方根为 0 表示 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a 叫做 被开方数，可用符号表示为 3 a，读作“三次根 号a” ， 3 a中“3”叫做根指数 数学语言：若 3 xa，则 3 xa 例如：7 的立方根为 3 7，3的立方根为 3 3 求一个数的立方根的运算， 叫做开立方，开立方与

4、立方 互为逆运算 重要 性质 （1）在式子 3 a中，a为任何实数； （2） 33 ()aa； 33 aa 模块二：实数的估算和高斯记号模块二：实数的估算和高斯记号 1 1估算法：估算法： （1）若 12 0aaa，则 12 aaa； （2）若 12 aaa，则 3 33 12 aaa； 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算a和 3 a的大小例 如：916a，则34a；827a，则 3 23a 常见实数的估算值：21.414，31.732，52.236 2 2高斯记号：高斯记号： 任何实数都可以由整数部分和小数部分组成，整数部分指的是不超过这个实数的最大整

5、数，小数部分是这 个实数减去它的整数部分 例如：5的整数部分为 2，那么小数部分为52；183的整数部分为 1，那么小数部分为184； 15的整数部分为4，那么小数部分为415 模块三：实数的概念和分类模块三：实数的概念和分类 1 1无理数：无理数：无限不循环小数叫无理数 2 2实数：实数：有理数和无理数统称实数 3 3实数与数轴的关系：实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示 一个实数即实数和数轴上的点是一一对应的. 4实数的分类 0 正整数 整数 负整数有理数有限小数或无限循环小数 正分数实数 分数 负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负

6、无理数 （1）求下列各数的平方根和算术平方根： 49 64 ；0.0001；5； 2 ( 3)；16 （2）平方根等于本身的数是_，算术平方根等于它本身的数是_ （3）一个数的平方根是 22 ab和4613ab，则这个数是_ 模块一 平方根和立方根 例题1 【解析】【解析】（1） 7 8 和 7 8 、0.01和 0.01、5和5、3和 3、2和 2； （2）0；0 和 1； （3）169 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查平方根和算术平方根的定义 判断下列各题，并说明理由 （1）81的平方根是9 （ ） （2）算术平方根一定是正数 （ ） （3）a一定是正数 （ ） （4） 2 a没

7、有算术平方根 （ ） （5）93 （ ） （6）若 2 36x ，则366x （ ） （7）6是 2 ( 6)的平方根 （ ） （8） 2 ( 6)的平方根是6 （ ） （9） 2 a的算术平方根是a （ ） （10）若 2 ()5a，则5a （ ） （11）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等 （ ） （12）如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等 （ ） 【解析】【解析】（6） （7） （12）正确 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查平方根、算术平方根定义的易错点，这道题建议老师可以以左右手或者开火 车的形式讲解，让每个孩子都参与进来 列举常见易错点：列举常

8、见易错点： 1注意区分a的平方根（算术平方根）与a的平方根（算术平方根）的计算；如（1） 2符号问题：0 不容忽略，常见错误有：算术平方根一定为正数，非正数一定没有平方根（算术平方根） ；如 （2） （3） （4） 3逻辑考查；如（7） （8） 不能判断符号时需加绝对值；如（9） （10） （1）已知1 |227| 0 xyxyxy ，求 22 xy； 2244 4x yxy （2） （七初半期）已知： 44 2 3 xx y ，则34xy=_ （3）已知x、y为实数， 22 441 +2 xx y x ，则312xy的平方根为_ （4） （育才期末）若x、y为实数，且满足2 4|4xyx ，

9、则xy的算术平方根为_ （5） （嘉祥 2014-2015 半期）已知x，y为实数，且1(1) 10 xyy，那么 20112011 xy_ 例题2 例题3 【解析】【解析】（1）由题意可得1=0 xy；227=0 xyxy； 所以1xy ，5xy 由知二推二可以得到： 222 ()211xyxyxy， 2244222 222 4(2)()229x yxyxyxyx y （2）4； （3）3； （4）2； （5）2 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查双重非负性，需要分析非负性，并且需要学生注意题目要求的问题，避免粗 心，所以做这样的题目一定要看清问题仔细作答 （1）若3x ，则 2 |

10、1(1) |=x_；计算 2 |3|(4)的结果是_ （2）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示： 化简： 222 |()|aabcabbcb_ （3） （育才半期， B26） 已知 22 (1000)( 998)2000 xx，811ymmm ， 求yx的平方根 【解析】【解析】（1）1、1； （2）22bca （3）由二次根式的定义知：9980 x，即998x ，又由二次根式的两个重要等式知： (1000)(998)2000 xx，得：1x ；由非负性知：1m ，则3y ，所以：4yx，平方根： 2 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查二次根式的两个重要等式及对范围的限制，注意 2

11、|aa，容易出错 （1）求下列各数的立方根： 1； 8； 3 3 8 ； 64； 2 ( 5) （2）已知：+12x的平方根为2，27xy的立方根为 4，求xy的值 （3）已知 3 xa， 2 (0)yb y，且 2 (4)8(4 )abba， 3 3 ()18ab，求xy的值 【解析】【解析】（1）1；2； 3 2 ；2； 3 25； （2）53； （3） 2 (4)8ab，|4| 8ab，4ba，48ba； 又 3 3 ()18ab，18ab，解得2a ，16b ， 进而可得8x ，4y ，32xy 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查立方根、平方根的定义和性质（需要更加细心） a

12、b 0 c 例题4 例题5 例题6 a b 0 c 计算： （1） 3 2742 2 （2） 23 ( 3)258 （3） 203 2427( 3) （4） 2 ( 31)( 32)( 32) 【解析】【解析】（1）2 21； （2）4； （3）2； （4）32 3 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查平方根和立方根基础的计算 （1）若404m ，则估计m的范围为（ ） A12m B23m C34m D45m （2）比较下列各数大小： 51 _0.5 2 ；3_2 2； 3 2 7_ 3 3 2；2_ 3 2 【解析】【解析】（1）B； （2）； （1）对于一个无理数m，我们把不超过m的

13、最大整数叫做m的整数部分，把m减去整数部分的差叫做m的小数 部分设21x ，a是x的小数部分，b是x的小数部分求 32 3abab的值 （2） （成外半期）若913与913的小数部分分别为a与b，则ab_ （3）设 x表示不大于x的最大整数，则 1 2 3 100_ 【解析】【解析】（1）由2的近似值知2213 ， 所以x的整数部分为 2，( 21)221a ， 又3212 ，所以x的整数部分为3，21( 3)22b 于是1ab 222 3()13 243 23abababab （2）1； （3） 1 2 31 4 5 6 7 82 9 10 11 153 16 17 244 模块二 实数的估

14、算和高斯记号 例题7 例题8 81 82 999 10010 原式1 3253 7495 116 137 158 179 1910625 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考察高斯记号 （1） 22 7 ，2， 3 0.0001，25，3.14， 0 ，0.61414，0.1001000100001这 9 个实数中，无理数 的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 （2）下面有四个命题： 有理数与无理数之和是无理数；有理数与无理数之积是无理数； 无理数与无理数之和是无理数；无理数与无理数之积是无理数 请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由 【解析】【解析】（1）D2， 3 0.00

15、01，0.1001000100001，是无理数 （可以开火车） （2）设a，b是有理数，是无理数 （可以通过举实际例子） 若ab， 则ba， 此式左边是无理数， 右边是有理数， 它是不成立的， 故a是无理数 正确 当0a 时，0a是有理数，不正确； 当2，2 时，0是有理数，故不正确； 当2时，2是有理数，故不正确 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查实数的分类和性质考查 已知x，y是有理数，且 1313 2.25 1.45 30 32412 xy ，求x，y的值 【解析】【解析】已知等式可变形为 1111 2.251.4530 34212 xyxy ， 因为x，y是有理数，所以 11

16、2.250 34 11 1.450 212 xy xy ， 模块三 实数的概念和分类 例题9 例题10 化简得 4327 617.4 xy xy ，解之得 3.6 4.2 x y 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要是应用下实数的性质注意如果说上述式子不为 0，而只为有理数，则整理后可 以得到一个等量关系 11 1.45=0 212 xy 证明2是无理数 【解析】【解析】用反证法假设2不是无理数，则2是有理数， 设2 p q （p，q是互质的正整数） 两边同时平方后，整理得 22 2pq，所以p一定是偶数 设2pm（m是自然数） ，代入上式得 22 42mq， 22 2qm 所以q是也是偶数

17、，p与q均为偶数和p，q互质矛盾， 所以2不是有理数，于是2是无理数 求下列各式的值： （1）25 （2）0.01 （3）169 （4） 2 (2) （5） 2 ( 6) （6） 4 16a （7） 22 0.01(0)a bab 【解析】【解析】（1）5； （2）0.1； （3）13； （4）2； （5）6； （6） 2 4a； （7）0.1ab （1）a的平方根是3，9的算术平方根是3b，则ab_ （2）已知 2 (1)xy与24xy互为相反数，则 23 xy的平方根是_ （3） （青羊区期末，B22）已经 2 1 2112yxx x ，则10 xy值是_ 教师备选 复习巩固 模块一 平方

18、根和立方根 演练1 演练2 （4）已知x，y为实数，且满足 22 1(1) 10 xyy，那么 20152015 xy_ 【解析】【解析】（1）8； （2） 1 2 x y ，平方根为3； （3）3； （4）2或 0 （1）立方根等于它本身的数是_；平方根与立方根相等的数是_ （2）下列说法中，正确的是（ ） A0.4的算术平方根是 0.2 B 2 ( 4)的平方根是 4 C 8 27 的立方根是 2 3 D64的立方根为 2 （3） （青羊期末）已知3|2| 0 xxy ，那么xy的立方根是_ （4）若8+| +3|= +3 abbb，那么ab的立方根是_ 【解析】【解析】（1）0和1；0；

19、 （2）D； （3） 3 9； （4）由二次根式和绝对值的非负性可知+30 b，所以： 833 abbb，故8ab那么ab的立方根为 2 计算： （1）|23|3 （2） 2 3 265 11 274 （3） 23 1 271.53 4 【解析】【解析】（1）2； （2） 1 12 ； （3）34 （1）数轴上在表示数3的点A和表示数5的点B之间表示整数的点共有_个 （2）观察例题：4 7 9，即2 73， 演练3 演练4 模块二 实数的估算和高斯记号 演练5 7的整数部分为 2，小数部分为72 请你观察上述的规律后试解下面的问题： 如果2的小数部分为a，3的小数部分为b， 求235ab的值

20、（3）设5的整数部分为m，小数部分为n，则4mn_ 【解析】【解析】（1）4 个; （2）21a ，31b ，原式=23; （3）2 5 （1）在实数3，25， 3 0.008，0.21， 2 ， 1 8 ，0.701700170001中，其中无理数的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 （2）已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简： 22 ()aabcabc_ （3） （西川半期，B25）已知a，b为有理数，m，n分别表示57的整数部分和小数部分，且 2 1amnbn， 求32ab_ 【解析】【解析】（1）C； （2）22bca； （3）因为：273，273 ，2573， 因此，整数部分2m ，小数部分37n ， 将m，n代入等式， 得：2(37)(166 7)1ab， 又由有理数的封闭性，将式子中的有理项合并，无理项合并， 得：(616 )(26 ) 71abab， 因此可得： 260 6161 ab ab ，即： 3 2 1 2 a b ，因此可得： 7 32 2 ab 模块三 实数的概念和分类 演练6 a b0 c