第4讲 实数 同步培优课程(教师版)
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1、第第 4 4 讲讲 模块一:平方根和立方根模块一:平方根和立方根 1 1平方根平方根 平方根 解释 总结 定义 一般地,如果一个数x的平方等于a,即 2 xa,那 么这个数x叫做a的平方根(也叫做二次方根) 0 只有一个平方根,它是 0 本身 例如:9 的平方根为3,225 的平方根为15. (1)一个正数有两个互 为相反数的平方根; (2)0 的平方根为 0; (3)负数没有平方根 表示 一个非负数a的平方根可用符号表示为a 数学语言:若 2 (0)xa a,则xa 例如:7 的平方根为7,26 的平方根为26 求一个数a的平方根的 运算,叫做开平方(开 方) ,a叫做被开方数 开 方运算和
2、平方运算互为 逆运算 2 2算术平方根算术平方根 算术平方根 解释 总结 定义 一般地,如果一个正数x的平方等于a, 即 2 xa, 那么这个正数x就叫做a的算 术平方根记作a,读作“根号a” 特 别地,我们规定:0 的算术平方根是 0, 即00 例如:9 的算术平方根为 3,7 的算术平 方根为7,0 的算术平方根为 0 (1) 一个正数只有一个算术平 方根; (2)0 的算术平方根为 0; (3)负数没有算术平方根 重要性质 双重非负性:在式子a中,有0a 且0a 两个重要等式: (1)如果0a ,则有 2 ()aa; (2)对于任意的数a,则有 2 aa (0) (0) a a a a
3、3 3立方根立方根 立方根 解释 总结 定义 一般地,如果一个数x的立方等于a,即 3 xa, 那么这个数x叫做a的立方根 (也叫做三次方根) 例如:27 的立方根为 3,125的立方根为5, 0 的立方根为 0 (1)任何实数都只有 1 个立 方根; (2)正数的立方根为正数, 负数的立方根为负数, 0 的立 方根为 0 表示 求一个数a的立方根的运算叫做开立方,a 叫做 被开方数,可用符号表示为 3 a,读作“三次根 号a” , 3 a中“3”叫做根指数 数学语言:若 3 xa,则 3 xa 例如:7 的立方根为 3 7,3的立方根为 3 3 求一个数的立方根的运算, 叫做开立方,开立方与
4、立方 互为逆运算 重要 性质 (1)在式子 3 a中,a为任何实数; (2) 33 ()aa; 33 aa 模块二:实数的估算和高斯记号模块二:实数的估算和高斯记号 1 1估算法:估算法: (1)若 12 0aaa,则 12 aaa; (2)若 12 aaa,则 3 33 12 aaa; 根据这两个重要的关系,我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数,来估算a和 3 a的大小例 如:916a,则34a;827a,则 3 23a 常见实数的估算值:21.414,31.732,52.236 2 2高斯记号:高斯记号: 任何实数都可以由整数部分和小数部分组成,整数部分指的是不超过这个实数的最大整
5、数,小数部分是这 个实数减去它的整数部分 例如:5的整数部分为 2,那么小数部分为52;183的整数部分为 1,那么小数部分为184; 15的整数部分为4,那么小数部分为415 模块三:实数的概念和分类模块三:实数的概念和分类 1 1无理数:无理数:无限不循环小数叫无理数 2 2实数:实数:有理数和无理数统称实数 3 3实数与数轴的关系:实数与数轴的关系:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示 一个实数即实数和数轴上的点是一一对应的. 4实数的分类 0 正整数 整数 负整数有理数有限小数或无限循环小数 正分数实数 分数 负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负
6、无理数 (1)求下列各数的平方根和算术平方根: 49 64 ;0.0001;5; 2 ( 3);16 (2)平方根等于本身的数是_,算术平方根等于它本身的数是_ (3)一个数的平方根是 22 ab和4613ab,则这个数是_ 模块一 平方根和立方根 例题1 【解析】【解析】(1) 7 8 和 7 8 、0.01和 0.01、5和5、3和 3、2和 2; (2)0;0 和 1; (3)169 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查平方根和算术平方根的定义 判断下列各题,并说明理由 (1)81的平方根是9 ( ) (2)算术平方根一定是正数 ( ) (3)a一定是正数 ( ) (4) 2 a没
7、有算术平方根 ( ) (5)93 ( ) (6)若 2 36x ,则366x ( ) (7)6是 2 ( 6)的平方根 ( ) (8) 2 ( 6)的平方根是6 ( ) (9) 2 a的算术平方根是a ( ) (10)若 2 ()5a,则5a ( ) (11)若两个数平方后相等,则这两个数也一定相等 ( ) (12)如果两个非负数相等,那么这两个数各自的算术平方根也一定相等 ( ) 【解析】【解析】(6) (7) (12)正确 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查平方根、算术平方根定义的易错点,这道题建议老师可以以左右手或者开火 车的形式讲解,让每个孩子都参与进来 列举常见易错点:列举常
8、见易错点: 1注意区分a的平方根(算术平方根)与a的平方根(算术平方根)的计算;如(1) 2符号问题:0 不容忽略,常见错误有:算术平方根一定为正数,非正数一定没有平方根(算术平方根) ;如 (2) (3) (4) 3逻辑考查;如(7) (8) 不能判断符号时需加绝对值;如(9) (10) (1)已知1 |227| 0 xyxyxy ,求 22 xy; 2244 4x yxy (2) (七初半期)已知: 44 2 3 xx y ,则34xy=_ (3)已知x、y为实数, 22 441 +2 xx y x ,则312xy的平方根为_ (4) (育才期末)若x、y为实数,且满足2 4|4xyx ,
9、则xy的算术平方根为_ (5) (嘉祥 2014-2015 半期)已知x,y为实数,且1(1) 10 xyy,那么 20112011 xy_ 例题2 例题3 【解析】【解析】(1)由题意可得1=0 xy;227=0 xyxy; 所以1xy ,5xy 由知二推二可以得到: 222 ()211xyxyxy, 2244222 222 4(2)()229x yxyxyxyx y (2)4; (3)3; (4)2; (5)2 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查双重非负性,需要分析非负性,并且需要学生注意题目要求的问题,避免粗 心,所以做这样的题目一定要看清问题仔细作答 (1)若3x ,则 2 |
10、1(1) |=x_;计算 2 |3|(4)的结果是_ (2)实数a,b,c在数轴上的位置如图所示: 化简: 222 |()|aabcabbcb_ (3) (育才半期, B26) 已知 22 (1000)( 998)2000 xx,811ymmm , 求yx的平方根 【解析】【解析】(1)1、1; (2)22bca (3)由二次根式的定义知:9980 x,即998x ,又由二次根式的两个重要等式知: (1000)(998)2000 xx,得:1x ;由非负性知:1m ,则3y ,所以:4yx,平方根: 2 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查二次根式的两个重要等式及对范围的限制,注意 2



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