1、-矩形的定义与性质矩形的定义与性质 合作学习合作学习 用用6 6根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形（如图）（如图）: : （1 1）能摆成多少个不同的平行四边形？）能摆成多少个不同的平行四边形？ 它们有什么共同特点？说出你的理由它们有什么共同特点？说出你的理由. . （2 2）在这些平行四边形中，有没有面积最）在这些平行四边形中，有没有面积最 大的一个平行四边形？说出你的理由大的一个平行四边形？说出你的理由. . （3 3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？ a A D B C A D B C A D B C
2、 A D B C A A B B C C D D 有一个角是直角的平行四边形叫做有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形。 A A B B C C D D （）矩形（）矩形的定义：的定义： （）（）实质上：矩形是特殊的平行四边形。实质上：矩形是特殊的平行四边形。 特殊特殊 （）（）矩形的表示：矩形的表示：矩形矩形ABCDABCD 一个角是直角一个角是直角 小学里学过的长方形、正方形都是矩形小学里学过的长方形、正方形都是矩形 想一想想一想： 你能举出在人们的日常生活你能举出在人们的日常生活 和生产实践中，有哪些东西是矩和生产实践中，有哪些东西是矩 形的？形的？ 矩形的性质的研究矩形的性质的研究
3、我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具 有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质.你能说出矩形你能说出矩形 有哪些性质吗有哪些性质吗? E 。 五五、矩形矩形 两条对角线互相平分两条对角线互相平分 三三、矩形的两组对角分别相等、矩形的两组对角分别相等 二、矩形的两组对边分别相等、矩形的两组对边分别相等 一一、矩形的两组对边分别平行、矩形的两组对边分别平行 四、矩形的邻角互补、矩形的邻角互补 六、矩形是一个中心对称图形。、矩形是一个中心对称图形。 四个角都是直角。四个角都是直角。 且对角线相等。且对角线
4、相等。 O A B C D 如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。 O O 探索矩形特殊性质：探索矩形特殊性质： A A B B C C D D (1)(1)矩形的四个角的度数分别为多少？矩形的四个角的度数分别为多少？ (2)(2)对角线对角线ACAC与与BDBD间有什么关系？间有什么关系？ 由动手操作时猜想“由动手操作时猜想“矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角”, 请你结合图形请你结合图形,说明一下理由说明一下理由.(不必写出过程不必写出过程) 性质定理性质定理1： 矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角. 符号符号语言：语言： 四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，
5、 A=B=C=D=90 由动手操作时猜想由动手操作时猜想“矩形的对角线相矩形的对角线相 等等”.请你写出证明过程：请你写出证明过程： 性质定理性质定理2： 矩形的对角线相等矩形的对角线相等 符号符号语言：语言： 四边形四边形ABCD是矩形，是矩形， AC=BD 已知：如图，已知：如图，AC，BD是矩形是矩形ABCD的对角线的对角线 求证：求证：AC=BD 证明：证明： 在矩形在矩形ABCD中中 AB=CD(平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等) ABC=DCB=Rt( (矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角) ) BC=CB ABCDCB AC=BD A O B C D 探究一：探究一
6、： 在矩形在矩形ABCD中，中，AC，BD相交于点相交于点O. OA、OB、OC、OD这四条线段有什么数量关系？这四条线段有什么数量关系？ OA=OB=OC=OD. 想一想想一想: : 如上图如上图, ,矩形的两条对角线把矩形分成了矩形的两条对角线把矩形分成了几个等腰三角几个等腰三角 形形? ? 图中图中一共一共几个直角三角形？几个直角三角形？有几对全等三角形？有几对全等三角形？请把他们写出来请把他们写出来. . 又又OA=OC= AC, OB=OD= BD AC=BD OA=OB=OC=OD 解：解： 1 2 1 2 (平行四边形的对角线平行四边形的对角线 互相平分互相平分) 四边形四边形A
7、BCD是矩形是矩形 (矩形的对角线相等矩形的对角线相等) A B C D O 在矩形在矩形ABCD中，中，AC，BD相交于点相交于点O. 探究二：探究二： （1）若）若AOD=120AOD=120，试判断，试判断ABO的形状；的形状； （2）若）若AOD=120, AB=4cm, 你能求出哪些线段的长度？你能求出哪些线段的长度？ 你能求出这个矩形的周长和面积吗？你能求出这个矩形的周长和面积吗？ 方法归纳方法归纳: 这个例题说明很多矩形的问题可以转化为这个例题说明很多矩形的问题可以转化为 什么图形来解决？什么图形来解决？ 4 4 ABO为等边三角形为等边三角形 矩形矩形 问题问题 直角三角形和等
8、腰三角形直角三角形和等腰三角形 问题问题 转化 例例: : 已知已知: :矩形矩形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线ACAC、BDBD 相交于点相交于点0, AOD=1200, AOD=120, AB = 4cm, , AB = 4cm, 求（求（1 1）判断）判断AOBAOB的形状；的形状； （2 2）矩形对角线的长）矩形对角线的长. . A B C D 120 O 4 1.1.在矩形在矩形ABCDABCD中中,AEBD,AEBD于于E E， 若若BE=OE=1BE=OE=1，则，则AC=_,AC=_, ABAB_AOB=_.AOB=_. 2.2.在矩形在矩形ABCDABCD中中,E,
9、E、F F分别是分别是ABAB、CDCD的中点的中点. . 求证：四边形求证：四边形AEFDAEFD是矩形是矩形. . 练一练练一练 E D B A C O O （1 1） E FC A D B （2 2） 2 2 4 4 6060度度 A B C D O 探索矩形的对称性探索矩形的对称性: : 矩形既是中心对称图形矩形既是中心对称图形, ,又是轴对称图形又是轴对称图形 想一想想一想 矩形是轴对称图形吗？矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条对称轴有几条? 是中心对称图形吗？是中心对称图形吗？ 练一练练一练 在矩形在矩形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相交相交 于点于点O,已知已知AB=6，
10、BC=8， (1)求求AC=-，BD=-， (2)矩形矩形ABCD的周长是的周长是-，面积是，面积是-。 A B C D O 10 10 28 48 6 8 已知已知: :如图如图, ,过矩形过矩形ABCDABCD的顶点作的顶点作CE/BDCE/BD，交，交ABAB的的 延长线于延长线于E E。 求证：求证：CAE=CEACAE=CEA A A B B C C D D E E 相信你相信你,一定行一定行 如图，将矩形纸片如图，将矩形纸片ABCD沿对角线沿对角线BD 对折，使点对折，使点A落在点落在点E处，处，BE交交CD于点于点F。 已知已知ABD=30度度. (1)求求CDE的度数；的度数；
11、 (2)求证：求证：EF=FC B A D C F E 某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花 坛，现征集设计方案，要求设计的图案，由圆和正方坛，现征集设计方案，要求设计的图案，由圆和正方 形组成（圆和正方形个数不限），并且使整个矩形地形组成（圆和正方形个数不限），并且使整个矩形地 成轴对称图形，请在矩形中画出你的设计方案。成轴对称图形，请在矩形中画出你的设计方案。 矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理矩形的性质定理1 矩形的对角线相等矩形的对角线相等. 矩形的性质定理矩形的性质定理2 矩形的对称性矩形的对称性 矩形是中心对称图形
12、矩形是中心对称图形, 又是轴对称图形又是轴对称图形 这节课你学到了什么这节课你学到了什么? 还有什么困惑吗？还有什么困惑吗？ 已知已知: :如图如图, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中,M,M为为BCBC的中点的中点. . 求证求证: : M D A BC （2 2）若要使）若要使AMDAMD是直角，应添加什是直角，应添加什 么条件么条件？ （1 1）AM=DM.AM=DM. 小结 反思 1.1.一个一个定义定义： 2.2.二个二个定理定理: : 3.3.二个二个结论结论: : (1)(1)矩形的对角线相等且互相平分，并把矩形矩形的对角线相等且互相平分，并把矩形 划分成四个等腰三角形划分成四
13、个等腰三角形, ,有八对全等三角形。有八对全等三角形。 (2)(2)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形 这节课你学到了什么这节课你学到了什么? ? 还有什么困惑吗？还有什么困惑吗？ 矩形的两条对角线将矩形分成四个面积相等的矩形的两条对角线将矩形分成四个面积相等的 等腰三角形等腰三角形( )( ) 试一试试一试 2.2.判断题判断题 1.1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ( ） A.A.对角相等对角相等 B.B.对边相等对边相等 C.C.对角线相等对角线相等 D.D.对角线互相平分对角线互相平分 C C 作
14、业布置作业布置: : 如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，E E、F F分分 别在别在ABAB、CDCD的中点，的中点， 求证：四边形求证：四边形AEFDAEFD是矩形。是矩形。 D F C A E B O O 矩形特殊性质：矩形特殊性质： A A B B C C D D 命题 矩形的对角线相等 命题 矩形的四个角都是直角 定理定理1: 定理定理2: A B C D O 矩形矩形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O,O,图中图中 有多少个直角三角形？有多少个直角三角形？有多少个有多少个等腰三角形？等腰三角形？ 有多少对全等三角形？有多少对全等三角形？
15、 矩形矩形 问题问题 直角三角形和等腰三角形直角三角形和等腰三角形 问题问题 转化 矩形的性质的研究矩形的性质的研究 我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具 有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质.你能说出矩形你能说出矩形 有哪些性质吗有哪些性质吗? E 。 五五、矩形矩形 两条对角线互相平分两条对角线互相平分 三三、矩形的两组对角分别相等、矩形的两组对角分别相等 二、矩形的两组对边分别相等、矩形的两组对边分别相等 一一、矩形的两组对边分别平行、矩形的两组对边分别平行 四、矩形的邻角互补、矩形的邻角互补 六、矩形是一个中心对称图形。、矩形是一个中心对称图形。 O A B C D 已知已知: :如图如图, ,过矩形过矩形ABCDABCD的顶点作的顶点作CE/BDCE/BD，交，交ABAB的的 延长线于延长线于E E。 求证：求证：CAE=CEACAE=CEA A A B B C C D D E E 相信你,一定行
