1、2021 级高三第三次质量检测数学试题级高三第三次质量检测数学试题 (考试时间：考试时间：120 分钟试卷满分：分钟试卷满分：150分分) 一一 单选题：本题共单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题在每小题给出的选项中，只有一项符合题 目要求目要求. 1. 设集合 2 780AxR xx ，270BxZx，则 RA B ( ) A. 7 1, 2 B. (, 1 C. 0,1,2,3 D. 1,0,1,2,3 【答案】D 【解析】 【分析】 先求集合A、B，再求集合A R ，再进行交集运算即可. 【详解】 2 7808A
2、xR xxx x 或1x ， 所以| 18 RA xx ， 7 270=|, 2 BxZxx xxZ ， 所以 RA B 1,0,1,2,3， 故选：D 2. 已知向量(1, )a y， ( 2,1)b 且()abb，则实数y ( ) A. 1 B. 1 2 C. 1 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由()abb可得()0abb，从而列出方程求出y的值 【详解】解：因为向量(1, )ay，( 2,1)b ， 所以( 1,1)aby ， 因为()abb，所以()0abb， 所以( 2) ( 1)1 (1)0y ，解得3y ， 故选：D 3. 已知实数 ln3 3a ， 2 1 lo
3、g 3 b ，sin 9 c ，则 a，b，c的大小关系为( ) A. abc B. bca C. acb D. bac 【答案】C 【解析】 【分析】 利用对数函数和指数函数的性质可判断3a ， 利用对数函数的性质可判断0b ， 利用三角函数的性质可判 断01c，由此可比较出 a，b，c 的大小关系 【详解】解：因为lnyx在(0,)上为增函数，且3e， 所以ln3ln1e， 因为3xy 在R上为增函数，所以 ln31 333，即3a ， 因为 2 logyx在(0,)上为增函数，且 1 1 3 ， 所以 22 1 loglog 10 3 ，即0b ， 因为(0,) 92 ，所以0sin1
4、9 ，即01c， 所以acb， 故选：C 4. 设数列 n a的前 n 项和为 n S，且 * 2 nn San nN ，则 3 a ( ) A. 7 B. 3 C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出 1 a，再当2n时，由 * 2 nn San nN 得 11 21 nn San ，两式相减后化简得， 1 21 nn aa ，则 1 12(1) nn aa ，从而得数列1 n a 为等比数列，进而求出 n a，可求得 3 a的值 【详解】解：当1n 时， 11 21Sa，得 1 1a ， 当2n时，由 * 2 nn San nN 得 11 21 nn San ，两式相减得
5、 1 221 nnn aaa ，即 1 21 nn aa ， 所以 1 12(1) nn aa ， 所以数列1 n a 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以 1 12 2n n a ，所以 1 2 21 n n a ， 所以 2 3 2 217a ， 故选：A 5. 六博，又称“陆博”，是春秋战国时期开始流行的一种棋类游戏.游戏中需要使用的“博茕”，与我们今天的 骰子非常接近，是古代人玩“六博”游戏的关键棋具.最早被发现的“博茕”是在陕西临潼秦始皇陵出土的石制 十四面茕.这枚“博茕”为球形十四而体，每面都刻有一个数字，分别为零到十三，每投一次，出现任何一个 数字都是等可能的.现投掷“博茕”
6、三次，观察向上的点数：则这三个数依次能构成公比不为 1的整数的等比 数列的概率为( ) A. 1 98 B. 1 686 C. 2 343 D. 1 343 【答案】D 【解析】 【分析】 利用枚举法，直接列举求解即可 【详解】枚举法：可组成的等比数列有 1，2，4；2，4，8；1，3，9；3，6，12； 4，2，1；8，4，2；9，3，1；12，6，3； 共有 8 种，列式计算得 3 81 14343 故选：D 6. 函数 2 2 cos ( ) sin xx f x xx 的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数为奇函数，可排除 D；再根据x
7、的函数值，即可得答案； 【详解】 2 2 ()cos() ()( ) () sin() xx fxf x xx ，故排除 D； 当x时，( )f x ， 故选：A. 7. 已知等比数列 n a中， 1 0a ，则“ 36 aa”是“ 15 aa”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 结合等比数列通项公式可求得q的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果. 【详解】设等比数列 n a的公比为q， 由 36 aa得： 3 11 aa q，又 1 0a ， 3 1q，解得：1q ， 当01q时， 4
8、115 0aa qa； 当0q 时， 4 115 aa qa，充分性不成立； 由 15 aa得： 4 11 aa q，又 1 0a ，解得： 4 1q，所以，11q ； 当10q时， 3 11 0aa q成立，所以， 25 11 a qa q，得 36 aa； 当01q 时， 3 11 0aa q成立，所以， 25 11 a qa q，得 36 aa； 所以，必要条件成立 故选：B 8. 若对任意xR，都有 5 sin 2cos()(,|) 6 xx R ，则满足条件的有序实数对( , ) 的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据诱导公式可得
9、 5 sin 2cos 2 63 xx ，根据条件即可求出 , 【详解】 5 sin 2sin 2cos 2cos() 6323 xxxx ， 由条件知2. 若2，由2() 3 kk Z且|，得 3 ； 若2,cos( 2)cos(2)xx ，则2() 3 kk Z， 所以2() 3 kk Z，又|，则 3 . 故选：C 二二 多选题： 本题共多选题： 本题共 4 小题， 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求小题， 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，分， 部分选对得部分选对得 3 分，选错不得分分，选错不得分. 9. 已知复数 2020 1 1
10、 i z i (i为虚数单位)，则下列说法错误的是( ) A. z的实部为 2 B. z的虚部为 1 C. 2zi D. |2|z 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】因为复数 20204 505 11 ( )22(1) 1 1112 iii zi iii ， 所以 z的虚部为 1， 22 1 +2|1 =| z ， 故 AC错误，BD 正确. 故选：AC 10. 给出下列命题，其中正确命题为( ) A. 若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为2,3，则回归直线的方程为 0.252.5yx B. 随机变量,B n p，若 30E， 20D，则
11、90n C. 随机变量X服从正态分布 2 1,N ，1.50.34P X ，则0.50.16P X D. 对于独立性检验，随机变量 2 K 观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用点斜式方程得出回归直线方程，了判断 A选项的正误；利用二项分布的期望和方差公式可判断 B选项 的正误；利用正态密度曲线的对称性可判断 C 选项的正误；利用独立性检验的基本思想可判断 D选项的正 误. 【详解】对于 A选项，若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为2,3， 则回归直线方程为30.252yx ，即0.252.5yx，A选项正确； 对于 B选项，随
12、机变量,B n p， 若 30E， 20D，则 30 120 Enp Dnpp ，解得 90 1 3 n p ，B选项正确； 对于 C选项，由于随机变量X服从正态分布 2 1,N ， 1.50.34P X ，则0.51.50.34P XP X，C 选项错误； 对于 D选项，对于独立性检验，随机变量 2 K 的观测值k值越大，则两变量有关系的程度越大，即k越大， 判定“两变量有关系”的错误率更低， 故k越小，判定“两变量有关系”的错误率更高，D选项正确. 故选：ABD. 11. 在平行四边形ABCD中，2AB ， 1AD ， 2DEEC ，AE交BD于 F且 2AE BD ，则下 列说法正确的有
13、( ) A. 12 33 AEACAD B. 2 5 DFDB C. , 3 AB AD D. 27 25 FB FC 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】 对于选项 A： 222 33 1 33 AEADDEADDCADADDCAAAC，故选项 A不正确； 对于选项 B：易证DEFBFA，所以 2 3 DFDE BFAB ，所以 22 35 DFFBDB，故选项 B 正确； 对于选项 C： 2AE BD ，即 2 2 3 ADABDABA ，所以 2221 2 33 ADADABAB ，所以 1 142
14、33 2 ADAB ，解得： 1AB AD uu u r uuu r ， 11 cos, 2 12 AB AD AB AD ABAD ，因为,0,AB AD，所以, 3 AB AD ， 故选项 C 正确； 对于选项 D： 332 555 ABFB FCDBFDDCADBDAB 32332 55555 ADADABABADAABABBAD 229693627 34 252525252525 ABAB ADAD ，故选项 D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项 B 的关键点是能得出DEFBFA，即可得 2 3 DFDE BFAB ，选项 D的关键 点是由于AB和AD的模长和夹角已知，故将
15、FB和FC用AB和AD表示，即可求出数量积. 12. 已知函数 1 ( )2lnf xx x ，数列 n a的前 n 项和为 n S，且满足 1 2a ， * 1 N nn af an ，则 下列有关数列 n a的叙述正确的是( ) A. 21 aa B. 1 n a C. 100 100S D. 1 12 nnn aaa 【答案】AB 【解析】 【分析】 A 计算出 2 a的值，与 1 a比较大小并判断是否正确；B利用导数分析 f x的最小值， 由此判断出1 n a 是 否正确；C根据 n a与1的大小关系进行判断；D构造函数 1 ln11h xxx x ，分析其单调性和 最值，由此确定出
16、1 ln10 n n a a ，将 1 ln10 n n a a 变形可得 1 1 2 n n a a ，再将 1 1 2 n n a a 变形 可判断结果. 【详解】A选项， 3 2 2 111 2ln2ln4ln2 222 ae，A正确； B选项， 因为 22 2121 ( ) x fx xxx ， 所以当1x 时， 0fx， 所以( )f x单增， 所以( )(1)1f xf， 因为 1 21a ，所以 1 1 nn af a ，所以1 n a ，B 正确； C选项，因为1 n a ，所以 100 100S，C错误； D 选项，令 1 ( )ln1(1)h xxx x ， 22 111
17、( )0 x h x xxx ， 所以( )h x在(1,)单调递增，所以( )(1)0h xh，所以 1 ln10 n n a a ， 则 2 2ln20 n n a a ，所以 11 2ln2 n nn a aa ，即 1 1 2 n n a a ， 所以 1 12 nnn a aa ，所以 D 错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问 题； (2)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限
18、制条件的转化. 三三 填空题填空题(本题共本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分) 13. 函数( ) x e f x x 在点(1, (1) f处的切线方程为_. 【答案】y e 【解析】 【分析】 求得函数的导数( ) fx，得到 ( )01 f 且(1)fe，即可求解. 【详解】因为函数( ) x e f x x ， 可得 2 (1) ( ) x ex fx x ，则(1)0k f 且(1)fe， 所以在点(1,(1)f处切线方程是y e 故答案为：y e 14. 已知单位向量, a b满足：|3ab，则|2 |ab_ . 【答案】3 【解析】 【分析】 先求出
19、 1 2 a b r r ，得到 22 2 |2 |2 | =+4+4abababa b ，然后，代入求解即可 【详解】由|3ab得， 2 2 2 |23ababa b，所以， 1 2 a b r r ， 22 2 |2 |2 | =+4+4abababa b1 423 故答案为： 3 15. 若 202022020 0122020 12222xaaxaxax，xR，则 22020 122020 222aaa_. 【答案】 2020 13 【解析】 【分析】 令 2020 1 2f xx，利用赋值法可得 22020 122020 222aaa 02ff，即可得解. 【详解】令 2020 1 2
20、f xx，则 2020 2020 0 21 43af， 22020 0122020 222aaaa 01f， 因此， 22020 122020 222aaa 2020 021 3ff . 故答案为： 2020 13 . 16. 已知ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 2 24 cos 2 B abcc ，则 2 bc ab 的 最小值为_. 【答案】3 【解析】 【分析】 利用二倍角的降幂公式以及余弦定理推导出 22 abbc，可得出 2 1 bc ab ba ab ，利用基本不等式 可求得 2 bc ab 的最小值. 【详解】由余弦定理得 222222 221 cos222
21、2 acbacb abccBccc aca ， 所以 22 abbc ， 则 2 2 2 1 ca b ba bbb ， 2 1213 babbc bb a abaa ， 当且仅当 ba ab 时，即ab时等号成立，所以 2 bc ab 的最小值为3. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： (1)利用正弦定理实现“边化角”； (2)利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形中的最值是一种常见的类型， 一是找到边之间的关系， 利用基本不等式求解；二是利用正弦定理， 转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性来求解. 四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，满分小题，满分
22、 70 分分. 17. 设 n a为等差数列， n b是正项等比数列， 且 11 2ab， 32 2ab.在 531 12bbb， 54 2ab， 这两个条件中任选一个，回答下列问题： (1)写出你选择的条件并求数列 n a和 n b的通项公式； (2)在(1)的条件下，若 * nnn cabnN，求数列 n c的前n项和 n S. 【答案】(1)条件选择见解析，31 n an，2n n b ；(2) 2 1 3 22 2 n n nn S . 【解析】 【分析】 (1)设 n a的公差为d， n b的公比为0q q ，根据所选的条件结合已知条件得出d和q的方程组，解 出这两个量的值，利用等差
23、数列和等比数列的通项公式可求得数列 n a和 n b的通项公式； (2)求得312n n cn ，利用分组求和法可求得 n S. 【详解】(1)选择：设 n a的公差为d， n b的公比为0q q . 则根据题意有 42 224 2224 dq qq ，解得 2 3 q d ， 所以23131 n ann， 1 2 22 nn n b ； 选择：设 n a的公差为d， n b的公比为0q q . 则根据题意有 3 224 2422 dq dq ，解得 2 3 q d ， 所以23131 n ann， 1 2 22 nn n b ； (2)由(1)可知312n n cn ， 所以 123 225
24、282312n n Sn 123 258312222nn 2 1 2 1 2 2313 22 21 22 n n nnnn . 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： (1)对于等差等比数列，利用公式法直接求和； (2)对于 n n a b型数列，其中 n a是等差数列， n b是等比数列，利用错位相减法求和； (3)对于 nn ab型数列，利用分组求和法； (4)对于 1 1 nn a a 型数列，其中 n a是公差为0d d 的等差数列，利用裂项相消法. 18. 设函数 3 ( )2cossin 32 f xxx ，xR. (1)求函数 ( )f x的对称轴方程； (2)在锐角三角形ABC
25、中，, ,a b c分别是角, ,A B C的对边，且 3 ( ) 2 f A ，2a，3 ABC S，求 ABC的周长. 【答案】(1) 5 , 122 k xk Z；(2)周长为6. 【解析】 【分析】 (1)化简 ( )f x的解析式得( )f xsin 2 3 x ，令2, 32 xkk Z可得答案. (2)由 3 ( )sin 2 32 f AA ，结合角A的范围，得出 3 A ，由三角形的面积公式可得4bc ，由 余弦定理可得出4bc 从而得出答案. 【详解】(1)因为 2 1333 ( )2cossinsinsin cos3sin 2222 f xxxxxxx 11cos2313
26、 sin23sin2cos2sin 2 222223 x xxxx ， 令2, 32 xkk Z，解得 5 , 122 k xk Z， 所以函数 ( )f x的对称轴方程为： 5 , 122 k xk Z (2)因为锐角三角形ABC，所以0, 2 A ，所以 2 2, 333 A ， 又因为 3 ( )sin 2 32 f AA ，所以 3 A 因为 13 sin3 24 ABC SbcAbc ，所以4bc 又因为 22222 ()21 cos 222 bcabcbca A bcbc ，所以4bc 所以ABC的周长为6a b c . 【点睛】关键点睛：本题考查由三角恒变换化简三角函数求对称轴方
27、程，由余弦定理解三角形，解答本题 的关键是先根据角A的范围，得出 3 A ，再由三角形的面积公式 1 sin3 2 ABC bcSA，求出bc，最 后由余弦定理 222 cos 2 bca A bc 通过配方可得出4bc ，属于中档题. 19. 某规划部门拟在一条河道附近建设一个如图所示的“创新产业园区”，已知整个可用建筑用地可抽象为 ABC，其中折线ABC为河岸，经测量河岸拐弯处 2 3 ABC ，4BA千米，且ABC为等腰三角 形.根据实际情况需要在该产业园区内再规划一个核心功能区PMN， 其中 MN分别在BABC(不包括端 点)上，P为AC中点，且 2 MPN ，设APM. (1)若 6
28、 ，求MN的长度； (2)求核心功能区PMN的面积的最小值. 【答案】(1) 7(千米)；(2)最小值为126 3 . 【解析】 【分析】 (1)当 6 时，则2BM ，得 M 为BA中点，从而/ /PMBA且 1 2 2 PMBA，由 90MPN ， 得90PNC ，然后在RtPNC和RtPMN求解即可； (2)由已知得150,90,60AMPNPCPNC ，在APM和CPNV中，分别利用正 弦定理求得 3 sin 150 PM ， 3 sin 60 PN ，从而可表示出 13 22sin 150sin 60 PMN SPM PN ，化简得 3 3 sin2 2 PMN S ，进而可求得答案
29、 【详解】(1)若 6 ，则2BM ，所以 M为BA中点，所以/ /PMBA且 1 2 2 PMBA， 又因为90MPN ，所以90PNC . 因为ABC为等腰三角形且120ABC ，所以30CA ，4 3AC . 所以在RtPNC中，3PN ； 所以RtPMN中，7MN (千米) (2)设,0, 2 APM ，则150,90,60AMPNPCPNC 在APM中， sin30sin 150 APPM ，所以 3 sin 150 PM 在CPNV中， sin30sin 60 PCPN ，所以 3 sin 60 PN 所以 133 22sin 150sin 60 1331 2cossincossi
30、n 2222 PMN SPM PN 22 33 33133 sin22cossincossincossin 24444 因为0, 2 ，所以sin2(0,1， 所以 4 时，PMN的面积的最小值为12 6 3 . 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和三角恒等变换公式的应用，解题的关键是分别在APM和 CPNV中，分别利用正弦定理求得 3 sin 150 PM ， 3 sin 60 PN ，在利用三角形的面积公 式和三角恒等变换公式可得 3 3 sin2 2 PMN S ，从而可求出三角形的面积的最小值. 20. 发展扶贫产业，找准路子是关键.重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路，还
31、将当地打造 成了种植中药材黄精的产业示范基地.通过种植黄精，华溪村村民的收入逐年递增.以下是 2013年至 2019 年 华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据： 根据以上数据，绘制如图所示的散点图. 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 x 1 2 3 4 5 6 7 每户平均可支配收入 y(千元) 4 15 22 26 29 31 32 (1)根据散点图判断，y abx 与lnycdx哪一个更适宜作为每户平均可支配收入 y(千元)关于年份代 码 x的回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)，并建立 y 关于 x的回归方程(结果保留 1 位小
32、数)； (2)根据(1)建立的回归方程，试预测要到哪一年华溪村的每户平均可支配收入才能超过 35(千元)？ (3)从 2013 年到 2019年中任选两年，求事件 A：“恰有一年的每户平均可支配收入超过 22(千元)”的概率. 参考数据：其中ln ii ux， 7 1 1 7 i i uu . y u 7 1 ii i x y 7 1 ii i u y 7 2 1 i i u 2.1 e 22.7 1.2 759 235.1 13.2 8.2 参考公式：对于一组数据 11 ,u v， 22 ,u v，, nn u v，其回归直线 vau的斜率和截距的最小二 乘估计公式分别为 1 22 1 n
33、ii i n i i uvnuv unu ， a vu. 【答案】(1)选择lnycdx更适合，方程为5.714.2lnyx；(2)到 2021 年每户平均可支配收入能 超过 35(千元)；(3) 4 7 . 【解析】 【分析】 (1)从散点图可知图像呈对数型，故选lnycdx更适合，然后利用表中的数据求解回归方程， (2)令5.7 14.2ln35x，解不等式即可得答案， (3)由表中的数据可知，7年中有 4年每户平均可支配收入超过 22(千元)，从而可求得结果 【详解】(1)选择lnycdx更适合. 因 7 1 72 22 1 7 235.17 1.222.7 14.2 13.27 1.2
34、 7 ii i i i u yuy d uu ，所以14.2d ； 因为22.714.2 1.25.7cydu，所以5.7c ， 所以方程为5.714.2lnyx. (2)令5.7 14.2ln35x，则 2.1 8.2xe， 所以到 2021年每户平均可支配收入能超过 35(千元). (3)由表中的数据可知，7年中有 4年每户平均可支配收入超过 22(千元)，3 年每户平均可支配收入不超过 22(千元)， 所以 11 34 2 7 CC4 ( ) C7 P A . 21. 已知函数( )cos lnf xxxax. (1)当0a时，求函数 ( )f x在, 2 上的最大值； (2)若函数 (
35、 )f x在0, 2 上单调递增，求实数 a的取值范围. 【答案】(1) max ( )0f x ；(2) 2 ,ln . 【解析】 【分析】 (1)对函数进行求导得 cos ( )sinln x fxxx x ，易得( )0fx 在, 2 上恒成立，即可得答案； (2)由题意得：( )0fx 恒成立，即 cos sinln x axx x 在0, 2 恒成立.构造函数 cos ( )sinln x h xxx x ，利用导数求出函数的最小值即可； 详解】(1)当0a时， cos ( )sinln x fxxx x 显然( )0fx 在, 2 上恒成立， 所以 ( )f x在, 2 单调递减，
36、 所以 max ( )0 2 f xf ； (2)因为 cos ( )sinln x fxxxa x ， 所以( )0fx 恒成立，即 cos sinln x axx x 在0, 2 恒成立. 令 cos ( )sinln,0, 2 x h xxxx x ； 则 2 12sin ( )cosln x h xxx xx 当1, 2 x 时，ln0,cos0,sin0 xxx，所以( )0h x 当(0,1)x时，令 2 1 ( )ln,(0,1)xxx x ，因为 2 33 122 ( )0 x x xxx ，所以 ( )x在(0,1)x 单调递减，所以( )(1)10 x ，所以(0,1)x时
37、，( )0h x 综上，当0, 2 x 时，( )0h x 恒成立，所以( )h x在0, 2 单调递减， 所以 2 ( )ln 2 h xh ，所以 2 ,lna . 【点睛】根据导数的正负研究函数的单调性；不等式恒成立问题，常用参变分离进行求解. 22. 已知离心率为 2 2 的椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的上顶点为D，右焦点为F，点 4,2P且 PFDF. (1)求椭圆C的方程； (2)过点P作直线l交椭圆C于A、B两点(A在P与B之间)，与直线DF交于点Q.记 1 PAPB， 2 QABQ，求 12 的值. 【答案】(1) 22 1 84 xy ；(2) 12 0.
38、【解析】 【分析】 (1)由已知条件可得出关于a、c方程组，解出这两个量的值，可求得b的值，进而可得出椭圆C的标准 方程； (2)设直线l的方程为42yk x，设点 11 ,A x y、 22 ,B x y，联立直线l与椭圆C的方程，求出点 Q的坐标，利用平面向量的坐标运算得出 12 的表达式，并代入韦达定理可求得 12 的值. 【详解】(1)因为PFDF，所以 2 22 42ca，又 2 2 c a ，解得2 2a ，2bc， 所以椭圆C的方程为 22 1 84 xy ； (2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为4x，此时直线l与椭圆C无公共点， 直线l的斜率存在，设l为42yk x，设
39、 11 ,A x y、 22 ,B x y， 联立l与椭圆C的方程得： 222 2181 232320kxkk xkk， 则有 12 2 442 21 kk xx k ， 2 12 2 3232 21 kk x x k ， 又因为直线DF为2yx ，联立AB与DF可得 4 1 Q k x k ， 由 1 PAPB，即 11122 4,24,2xyxy，可得 1 1 2 4 4 x x ， 同理可得 1 2 2 4 1 4 1 k x k k x k ， 所以 1221 12 22 44 44 11 4 4 1 kk xxxx kk k xx k ， 其中分子为 1221121212 44324
40、 4442 1111 kkkk xxxxxxxxx x kkkk 222 222 22 32 2322322 641323232 12121121(1) 21(1) 21 kkkkkkkk k kkkk kkkkkkkkk 2 2 22 32211322 0 1 211 21 kkkkkk kkkk ， 所以 12 0. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： (1)设直线方程，设交点坐标为 11 ,x y、 22 ,x y； (2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算； (3)列出韦达定理； (4)将所求问题或题中的关系转化为 12 xx、 12 x x的形式； (5)代入韦达定理求解.
