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2021届重庆市沙坪坝区高三上学期第三次质量检测数学试题(教师版)

1、2021 级高三第三次质量检测数学试题级高三第三次质量检测数学试题 (考试时间:考试时间:120 分钟试卷满分:分钟试卷满分:150分分) 一一 单选题:本题共单选题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的选项中,只有一项符合题在每小题给出的选项中,只有一项符合题 目要求目要求. 1. 设集合 2 780AxR xx ,270BxZx,则 RA B ( ) A. 7 1, 2 B. (, 1 C. 0,1,2,3 D. 1,0,1,2,3 【答案】D 【解析】 【分析】 先求集合A、B,再求集合A R ,再进行交集运算即可. 【详解】 2 7808A

2、xR xxx x 或1x , 所以| 18 RA xx , 7 270=|, 2 BxZxx xxZ , 所以 RA B 1,0,1,2,3, 故选:D 2. 已知向量(1, )a y, ( 2,1)b 且()abb,则实数y ( ) A. 1 B. 1 2 C. 1 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由()abb可得()0abb,从而列出方程求出y的值 【详解】解:因为向量(1, )ay,( 2,1)b , 所以( 1,1)aby , 因为()abb,所以()0abb, 所以( 2) ( 1)1 (1)0y ,解得3y , 故选:D 3. 已知实数 ln3 3a , 2 1 lo

3、g 3 b ,sin 9 c ,则 a,b,c的大小关系为( ) A. abc B. bca C. acb D. bac 【答案】C 【解析】 【分析】 利用对数函数和指数函数的性质可判断3a , 利用对数函数的性质可判断0b , 利用三角函数的性质可判 断01c,由此可比较出 a,b,c 的大小关系 【详解】解:因为lnyx在(0,)上为增函数,且3e, 所以ln3ln1e, 因为3xy 在R上为增函数,所以 ln31 333,即3a , 因为 2 logyx在(0,)上为增函数,且 1 1 3 , 所以 22 1 loglog 10 3 ,即0b , 因为(0,) 92 ,所以0sin1

4、9 ,即01c, 所以acb, 故选:C 4. 设数列 n a的前 n 项和为 n S,且 * 2 nn San nN ,则 3 a ( ) A. 7 B. 3 C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出 1 a,再当2n时,由 * 2 nn San nN 得 11 21 nn San ,两式相减后化简得, 1 21 nn aa ,则 1 12(1) nn aa ,从而得数列1 n a 为等比数列,进而求出 n a,可求得 3 a的值 【详解】解:当1n 时, 11 21Sa,得 1 1a , 当2n时,由 * 2 nn San nN 得 11 21 nn San ,两式相减得

5、 1 221 nnn aaa ,即 1 21 nn aa , 所以 1 12(1) nn aa , 所以数列1 n a 是以2为首项,2为公比的等比数列, 所以 1 12 2n n a ,所以 1 2 21 n n a , 所以 2 3 2 217a , 故选:A 5. 六博,又称“陆博”,是春秋战国时期开始流行的一种棋类游戏.游戏中需要使用的“博茕”,与我们今天的 骰子非常接近,是古代人玩“六博”游戏的关键棋具.最早被发现的“博茕”是在陕西临潼秦始皇陵出土的石制 十四面茕.这枚“博茕”为球形十四而体,每面都刻有一个数字,分别为零到十三,每投一次,出现任何一个 数字都是等可能的.现投掷“博茕”

6、三次,观察向上的点数:则这三个数依次能构成公比不为 1的整数的等比 数列的概率为( ) A. 1 98 B. 1 686 C. 2 343 D. 1 343 【答案】D 【解析】 【分析】 利用枚举法,直接列举求解即可 【详解】枚举法:可组成的等比数列有 1,2,4;2,4,8;1,3,9;3,6,12; 4,2,1;8,4,2;9,3,1;12,6,3; 共有 8 种,列式计算得 3 81 14343 故选:D 6. 函数 2 2 cos ( ) sin xx f x xx 的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数为奇函数,可排除 D;再根据x

7、的函数值,即可得答案; 【详解】 2 2 ()cos() ()( ) () sin() xx fxf x xx ,故排除 D; 当x时,( )f x , 故选:A. 7. 已知等比数列 n a中, 1 0a ,则“ 36 aa”是“ 15 aa”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 结合等比数列通项公式可求得q的范围,可验证充分性和必要性是否成立,由此得到结果. 【详解】设等比数列 n a的公比为q, 由 36 aa得: 3 11 aa q,又 1 0a , 3 1q,解得:1q , 当01q时, 4

8、115 0aa qa; 当0q 时, 4 115 aa qa,充分性不成立; 由 15 aa得: 4 11 aa q,又 1 0a ,解得: 4 1q,所以,11q ; 当10q时, 3 11 0aa q成立,所以, 25 11 a qa q,得 36 aa; 当01q 时, 3 11 0aa q成立,所以, 25 11 a qa q,得 36 aa; 所以,必要条件成立 故选:B 8. 若对任意xR,都有 5 sin 2cos()(,|) 6 xx R ,则满足条件的有序实数对( , ) 的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据诱导公式可得

9、 5 sin 2cos 2 63 xx ,根据条件即可求出 , 【详解】 5 sin 2sin 2cos 2cos() 6323 xxxx , 由条件知2. 若2,由2() 3 kk Z且|,得 3 ; 若2,cos( 2)cos(2)xx ,则2() 3 kk Z, 所以2() 3 kk Z,又|,则 3 . 故选:C 二二 多选题: 本题共多选题: 本题共 4 小题, 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求小题, 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,分, 部分选对得部分选对得 3 分,选错不得分分,选错不得分. 9. 已知复数 2020 1 1

10、 i z i (i为虚数单位),则下列说法错误的是( ) A. z的实部为 2 B. z的虚部为 1 C. 2zi D. |2|z 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】因为复数 20204 505 11 ( )22(1) 1 1112 iii zi iii , 所以 z的虚部为 1, 22 1 +2|1 =| z , 故 AC错误,BD 正确. 故选:AC 10. 给出下列命题,其中正确命题为( ) A. 若回归直线的斜率估计值为0.25,样本点中心为2,3,则回归直线的方程为 0.252.5yx B. 随机变量,B n p,若 30E, 20D,则

11、90n C. 随机变量X服从正态分布 2 1,N ,1.50.34P X ,则0.50.16P X D. 对于独立性检验,随机变量 2 K 观测值k值越小,判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用点斜式方程得出回归直线方程,了判断 A选项的正误;利用二项分布的期望和方差公式可判断 B选项 的正误;利用正态密度曲线的对称性可判断 C 选项的正误;利用独立性检验的基本思想可判断 D选项的正 误. 【详解】对于 A选项,若回归直线的斜率估计值为0.25,样本点中心为2,3, 则回归直线方程为30.252yx ,即0.252.5yx,A选项正确; 对于 B选项,随

12、机变量,B n p, 若 30E, 20D,则 30 120 Enp Dnpp ,解得 90 1 3 n p ,B选项正确; 对于 C选项,由于随机变量X服从正态分布 2 1,N , 1.50.34P X ,则0.51.50.34P XP X,C 选项错误; 对于 D选项,对于独立性检验,随机变量 2 K 的观测值k值越大,则两变量有关系的程度越大,即k越大, 判定“两变量有关系”的错误率更低, 故k越小,判定“两变量有关系”的错误率更高,D选项正确. 故选:ABD. 11. 在平行四边形ABCD中,2AB , 1AD , 2DEEC ,AE交BD于 F且 2AE BD ,则下 列说法正确的有

13、( ) A. 12 33 AEACAD B. 2 5 DFDB C. , 3 AB AD D. 27 25 FB FC 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据向量的线性运算,以及向量的夹角公式,逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】 对于选项 A: 222 33 1 33 AEADDEADDCADADDCAAAC,故选项 A不正确; 对于选项 B:易证DEFBFA,所以 2 3 DFDE BFAB ,所以 22 35 DFFBDB,故选项 B 正确; 对于选项 C: 2AE BD ,即 2 2 3 ADABDABA ,所以 2221 2 33 ADADABAB ,所以 1 142

14、33 2 ADAB ,解得: 1AB AD uu u r uuu r , 11 cos, 2 12 AB AD AB AD ABAD ,因为,0,AB AD,所以, 3 AB AD , 故选项 C 正确; 对于选项 D: 332 555 ABFB FCDBFDDCADBDAB 32332 55555 ADADABABADAABABBAD 229693627 34 252525252525 ABAB ADAD ,故选项 D正确. 故选:BCD 【点睛】关键点点睛:选项 B 的关键点是能得出DEFBFA,即可得 2 3 DFDE BFAB ,选项 D的关键 点是由于AB和AD的模长和夹角已知,故将

15、FB和FC用AB和AD表示,即可求出数量积. 12. 已知函数 1 ( )2lnf xx x ,数列 n a的前 n 项和为 n S,且满足 1 2a , * 1 N nn af an ,则 下列有关数列 n a的叙述正确的是( ) A. 21 aa B. 1 n a C. 100 100S D. 1 12 nnn aaa 【答案】AB 【解析】 【分析】 A 计算出 2 a的值,与 1 a比较大小并判断是否正确;B利用导数分析 f x的最小值, 由此判断出1 n a 是 否正确;C根据 n a与1的大小关系进行判断;D构造函数 1 ln11h xxx x ,分析其单调性和 最值,由此确定出

16、1 ln10 n n a a ,将 1 ln10 n n a a 变形可得 1 1 2 n n a a ,再将 1 1 2 n n a a 变形 可判断结果. 【详解】A选项, 3 2 2 111 2ln2ln4ln2 222 ae,A正确; B选项, 因为 22 2121 ( ) x fx xxx , 所以当1x 时, 0fx, 所以( )f x单增, 所以( )(1)1f xf, 因为 1 21a ,所以 1 1 nn af a ,所以1 n a ,B 正确; C选项,因为1 n a ,所以 100 100S,C错误; D 选项,令 1 ( )ln1(1)h xxx x , 22 111

17、( )0 x h x xxx , 所以( )h x在(1,)单调递增,所以( )(1)0h xh,所以 1 ln10 n n a a , 则 2 2ln20 n n a a ,所以 11 2ln2 n nn a aa ,即 1 1 2 n n a a , 所以 1 12 nnn a aa ,所以 D 错误. 故选:AB. 【点睛】易错点睛:本题主要考查导数与数列的综合问题,属于难题.解决该问题应该注意的事项: (1)转化以函数为背景的条件时,应该注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是很容易被忽视的问 题; (2)利用函数的方法研究数列中的相关问题时,应准确构造相应的函数,注意数列中相关限

18、制条件的转化. 三三 填空题填空题(本题共本题共 4小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分) 13. 函数( ) x e f x x 在点(1, (1) f处的切线方程为_. 【答案】y e 【解析】 【分析】 求得函数的导数( ) fx,得到 ( )01 f 且(1)fe,即可求解. 【详解】因为函数( ) x e f x x , 可得 2 (1) ( ) x ex fx x ,则(1)0k f 且(1)fe, 所以在点(1,(1)f处切线方程是y e 故答案为:y e 14. 已知单位向量, a b满足:|3ab,则|2 |ab_ . 【答案】3 【解析】 【分析】 先求出

19、 1 2 a b r r ,得到 22 2 |2 |2 | =+4+4abababa b ,然后,代入求解即可 【详解】由|3ab得, 2 2 2 |23ababa b,所以, 1 2 a b r r , 22 2 |2 |2 | =+4+4abababa b1 423 故答案为: 3 15. 若 202022020 0122020 12222xaaxaxax,xR,则 22020 122020 222aaa_. 【答案】 2020 13 【解析】 【分析】 令 2020 1 2f xx,利用赋值法可得 22020 122020 222aaa 02ff,即可得解. 【详解】令 2020 1 2

20、f xx,则 2020 2020 0 21 43af, 22020 0122020 222aaaa 01f, 因此, 22020 122020 222aaa 2020 021 3ff . 故答案为: 2020 13 . 16. 已知ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 2 24 cos 2 B abcc ,则 2 bc ab 的 最小值为_. 【答案】3 【解析】 【分析】 利用二倍角的降幂公式以及余弦定理推导出 22 abbc,可得出 2 1 bc ab ba ab ,利用基本不等式 可求得 2 bc ab 的最小值. 【详解】由余弦定理得 222222 221 cos222

21、2 acbacb abccBccc aca , 所以 22 abbc , 则 2 2 2 1 ca b ba bbb , 2 1213 babbc bb a abaa , 当且仅当 ba ab 时,即ab时等号成立,所以 2 bc ab 的最小值为3. 故答案为:3. 【点睛】方法点睛:解三角形的基本策略: (1)利用正弦定理实现“边化角”; (2)利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形中的最值是一种常见的类型, 一是找到边之间的关系, 利用基本不等式求解;二是利用正弦定理, 转化为关于某个角的三角函数,利用三角函数的有界性来求解. 四四 解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,满分小题,满分

22、 70 分分. 17. 设 n a为等差数列, n b是正项等比数列, 且 11 2ab, 32 2ab.在 531 12bbb, 54 2ab, 这两个条件中任选一个,回答下列问题: (1)写出你选择的条件并求数列 n a和 n b的通项公式; (2)在(1)的条件下,若 * nnn cabnN,求数列 n c的前n项和 n S. 【答案】(1)条件选择见解析,31 n an,2n n b ;(2) 2 1 3 22 2 n n nn S . 【解析】 【分析】 (1)设 n a的公差为d, n b的公比为0q q ,根据所选的条件结合已知条件得出d和q的方程组,解 出这两个量的值,利用等差

23、数列和等比数列的通项公式可求得数列 n a和 n b的通项公式; (2)求得312n n cn ,利用分组求和法可求得 n S. 【详解】(1)选择:设 n a的公差为d, n b的公比为0q q . 则根据题意有 42 224 2224 dq qq ,解得 2 3 q d , 所以23131 n ann, 1 2 22 nn n b ; 选择:设 n a的公差为d, n b的公比为0q q . 则根据题意有 3 224 2422 dq dq ,解得 2 3 q d , 所以23131 n ann, 1 2 22 nn n b ; (2)由(1)可知312n n cn , 所以 123 225

24、282312n n Sn 123 258312222nn 2 1 2 1 2 2313 22 21 22 n n nnnn . 【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法: (1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和; (2)对于 n n a b型数列,其中 n a是等差数列, n b是等比数列,利用错位相减法求和; (3)对于 nn ab型数列,利用分组求和法; (4)对于 1 1 nn a a 型数列,其中 n a是公差为0d d 的等差数列,利用裂项相消法. 18. 设函数 3 ( )2cossin 32 f xxx ,xR. (1)求函数 ( )f x的对称轴方程; (2)在锐角三角形ABC

25、中,, ,a b c分别是角, ,A B C的对边,且 3 ( ) 2 f A ,2a,3 ABC S,求 ABC的周长. 【答案】(1) 5 , 122 k xk Z;(2)周长为6. 【解析】 【分析】 (1)化简 ( )f x的解析式得( )f xsin 2 3 x ,令2, 32 xkk Z可得答案. (2)由 3 ( )sin 2 32 f AA ,结合角A的范围,得出 3 A ,由三角形的面积公式可得4bc ,由 余弦定理可得出4bc 从而得出答案. 【详解】(1)因为 2 1333 ( )2cossinsinsin cos3sin 2222 f xxxxxxx 11cos2313

26、 sin23sin2cos2sin 2 222223 x xxxx , 令2, 32 xkk Z,解得 5 , 122 k xk Z, 所以函数 ( )f x的对称轴方程为: 5 , 122 k xk Z (2)因为锐角三角形ABC,所以0, 2 A ,所以 2 2, 333 A , 又因为 3 ( )sin 2 32 f AA ,所以 3 A 因为 13 sin3 24 ABC SbcAbc ,所以4bc 又因为 22222 ()21 cos 222 bcabcbca A bcbc ,所以4bc 所以ABC的周长为6a b c . 【点睛】关键点睛:本题考查由三角恒变换化简三角函数求对称轴方

27、程,由余弦定理解三角形,解答本题 的关键是先根据角A的范围,得出 3 A ,再由三角形的面积公式 1 sin3 2 ABC bcSA,求出bc,最 后由余弦定理 222 cos 2 bca A bc 通过配方可得出4bc ,属于中档题. 19. 某规划部门拟在一条河道附近建设一个如图所示的“创新产业园区”,已知整个可用建筑用地可抽象为 ABC,其中折线ABC为河岸,经测量河岸拐弯处 2 3 ABC ,4BA千米,且ABC为等腰三角 形.根据实际情况需要在该产业园区内再规划一个核心功能区PMN, 其中 MN分别在BABC(不包括端 点)上,P为AC中点,且 2 MPN ,设APM. (1)若 6

28、 ,求MN的长度; (2)求核心功能区PMN的面积的最小值. 【答案】(1) 7(千米);(2)最小值为126 3 . 【解析】 【分析】 (1)当 6 时,则2BM ,得 M 为BA中点,从而/ /PMBA且 1 2 2 PMBA,由 90MPN , 得90PNC ,然后在RtPNC和RtPMN求解即可; (2)由已知得150,90,60AMPNPCPNC ,在APM和CPNV中,分别利用正 弦定理求得 3 sin 150 PM , 3 sin 60 PN ,从而可表示出 13 22sin 150sin 60 PMN SPM PN ,化简得 3 3 sin2 2 PMN S ,进而可求得答案

29、 【详解】(1)若 6 ,则2BM ,所以 M为BA中点,所以/ /PMBA且 1 2 2 PMBA, 又因为90MPN ,所以90PNC . 因为ABC为等腰三角形且120ABC ,所以30CA ,4 3AC . 所以在RtPNC中,3PN ; 所以RtPMN中,7MN (千米) (2)设,0, 2 APM ,则150,90,60AMPNPCPNC 在APM中, sin30sin 150 APPM ,所以 3 sin 150 PM 在CPNV中, sin30sin 60 PCPN ,所以 3 sin 60 PN 所以 133 22sin 150sin 60 1331 2cossincossi

30、n 2222 PMN SPM PN 22 33 33133 sin22cossincossincossin 24444 因为0, 2 ,所以sin2(0,1, 所以 4 时,PMN的面积的最小值为12 6 3 . 【点睛】关键点点睛:此题考查正弦定理和三角恒等变换公式的应用,解题的关键是分别在APM和 CPNV中,分别利用正弦定理求得 3 sin 150 PM , 3 sin 60 PN ,在利用三角形的面积公 式和三角恒等变换公式可得 3 3 sin2 2 PMN S ,从而可求出三角形的面积的最小值. 20. 发展扶贫产业,找准路子是关键.重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路,还

31、将当地打造 成了种植中药材黄精的产业示范基地.通过种植黄精,华溪村村民的收入逐年递增.以下是 2013年至 2019 年 华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据: 根据以上数据,绘制如图所示的散点图. 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 x 1 2 3 4 5 6 7 每户平均可支配收入 y(千元) 4 15 22 26 29 31 32 (1)根据散点图判断,y abx 与lnycdx哪一个更适宜作为每户平均可支配收入 y(千元)关于年份代 码 x的回归方程模型(给出判断即可,不必说明理由),并建立 y 关于 x的回归方程(结果保留 1 位小

32、数); (2)根据(1)建立的回归方程,试预测要到哪一年华溪村的每户平均可支配收入才能超过 35(千元)? (3)从 2013 年到 2019年中任选两年,求事件 A:“恰有一年的每户平均可支配收入超过 22(千元)”的概率. 参考数据:其中ln ii ux, 7 1 1 7 i i uu . y u 7 1 ii i x y 7 1 ii i u y 7 2 1 i i u 2.1 e 22.7 1.2 759 235.1 13.2 8.2 参考公式:对于一组数据 11 ,u v, 22 ,u v,, nn u v,其回归直线 vau的斜率和截距的最小二 乘估计公式分别为 1 22 1 n

33、ii i n i i uvnuv unu , a vu. 【答案】(1)选择lnycdx更适合,方程为5.714.2lnyx;(2)到 2021 年每户平均可支配收入能 超过 35(千元);(3) 4 7 . 【解析】 【分析】 (1)从散点图可知图像呈对数型,故选lnycdx更适合,然后利用表中的数据求解回归方程, (2)令5.7 14.2ln35x,解不等式即可得答案, (3)由表中的数据可知,7年中有 4年每户平均可支配收入超过 22(千元),从而可求得结果 【详解】(1)选择lnycdx更适合. 因 7 1 72 22 1 7 235.17 1.222.7 14.2 13.27 1.2

34、 7 ii i i i u yuy d uu ,所以14.2d ; 因为22.714.2 1.25.7cydu,所以5.7c , 所以方程为5.714.2lnyx. (2)令5.7 14.2ln35x,则 2.1 8.2xe, 所以到 2021年每户平均可支配收入能超过 35(千元). (3)由表中的数据可知,7年中有 4年每户平均可支配收入超过 22(千元),3 年每户平均可支配收入不超过 22(千元), 所以 11 34 2 7 CC4 ( ) C7 P A . 21. 已知函数( )cos lnf xxxax. (1)当0a时,求函数 ( )f x在, 2 上的最大值; (2)若函数 (

35、 )f x在0, 2 上单调递增,求实数 a的取值范围. 【答案】(1) max ( )0f x ;(2) 2 ,ln . 【解析】 【分析】 (1)对函数进行求导得 cos ( )sinln x fxxx x ,易得( )0fx 在, 2 上恒成立,即可得答案; (2)由题意得:( )0fx 恒成立,即 cos sinln x axx x 在0, 2 恒成立.构造函数 cos ( )sinln x h xxx x ,利用导数求出函数的最小值即可; 详解】(1)当0a时, cos ( )sinln x fxxx x 显然( )0fx 在, 2 上恒成立, 所以 ( )f x在, 2 单调递减,

36、 所以 max ( )0 2 f xf ; (2)因为 cos ( )sinln x fxxxa x , 所以( )0fx 恒成立,即 cos sinln x axx x 在0, 2 恒成立. 令 cos ( )sinln,0, 2 x h xxxx x ; 则 2 12sin ( )cosln x h xxx xx 当1, 2 x 时,ln0,cos0,sin0 xxx,所以( )0h x 当(0,1)x时,令 2 1 ( )ln,(0,1)xxx x ,因为 2 33 122 ( )0 x x xxx ,所以 ( )x在(0,1)x 单调递减,所以( )(1)10 x ,所以(0,1)x时

37、,( )0h x 综上,当0, 2 x 时,( )0h x 恒成立,所以( )h x在0, 2 单调递减, 所以 2 ( )ln 2 h xh ,所以 2 ,lna . 【点睛】根据导数的正负研究函数的单调性;不等式恒成立问题,常用参变分离进行求解. 22. 已知离心率为 2 2 的椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的上顶点为D,右焦点为F,点 4,2P且 PFDF. (1)求椭圆C的方程; (2)过点P作直线l交椭圆C于A、B两点(A在P与B之间),与直线DF交于点Q.记 1 PAPB, 2 QABQ,求 12 的值. 【答案】(1) 22 1 84 xy ;(2) 12 0.

38、【解析】 【分析】 (1)由已知条件可得出关于a、c方程组,解出这两个量的值,可求得b的值,进而可得出椭圆C的标准 方程; (2)设直线l的方程为42yk x,设点 11 ,A x y、 22 ,B x y,联立直线l与椭圆C的方程,求出点 Q的坐标,利用平面向量的坐标运算得出 12 的表达式,并代入韦达定理可求得 12 的值. 【详解】(1)因为PFDF,所以 2 22 42ca,又 2 2 c a ,解得2 2a ,2bc, 所以椭圆C的方程为 22 1 84 xy ; (2)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为4x,此时直线l与椭圆C无公共点, 直线l的斜率存在,设l为42yk x,设

39、 11 ,A x y、 22 ,B x y, 联立l与椭圆C的方程得: 222 2181 232320kxkk xkk, 则有 12 2 442 21 kk xx k , 2 12 2 3232 21 kk x x k , 又因为直线DF为2yx ,联立AB与DF可得 4 1 Q k x k , 由 1 PAPB,即 11122 4,24,2xyxy,可得 1 1 2 4 4 x x , 同理可得 1 2 2 4 1 4 1 k x k k x k , 所以 1221 12 22 44 44 11 4 4 1 kk xxxx kk k xx k , 其中分子为 1221121212 44324

40、 4442 1111 kkkk xxxxxxxxx x kkkk 222 222 22 32 2322322 641323232 12121121(1) 21(1) 21 kkkkkkkk k kkkk kkkkkkkkk 2 2 22 32211322 0 1 211 21 kkkkkk kkkk , 所以 12 0. 【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下: (1)设直线方程,设交点坐标为 11 ,x y、 22 ,x y; (2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,必要时计算; (3)列出韦达定理; (4)将所求问题或题中的关系转化为 12 xx、 12 x x的形式; (5)代入韦达定理求解.