1、高中数学必修高中数学必修 5 5 知识点知识点 第一章第一章 解三角形解三角形 （一）解三角形：（一）解三角形： 1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边， ，则有 2 sinsinsin abc R C (R为C的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式：2 sinaR，2 sinbR，2 sincRC； sin 2 a R ，sin 2 b R ，sin 2 c C R ；: :sin:sin:sina b cC； 3、三角形面积公式： 111 sinsinsin 222 C SbcabCac 4、余弦定理：在C中，有 222 2cosabcbc，推论： 222 cos 2 bca
2、 bc 第二章第二章 数列数列 1、数列中 n a与 n S之间的关系： 1 1 , (1) ,(2). n nn Sn a SSn 注意通项能否合并。 2、等差数列： 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即 n a 1n a=d ， （n2，n N ） ， 那么这个数列就叫做等差数列。 等差中项：若三数aA b、 、成等差数列 2 ab A 通项公式： 1 (1)() nm aandanm d 或( n apnq pq、 是常数）. 前n项和公式： 1 1 1 22 n n n nn aa Snad 常用性质： 若 Nqpnmqpnm,，则 qpnm aa
3、aa； 下标为等差数列的项, 2mkmkk aaa ，仍组成等差数列； 数列ban（b,为常数）仍为等差数列； 若 n a、 n b是等差数列，则 n ka、 nn kapb (k、p是非零常数)、 * ( ,) p nq ap qN 、 ，也成 等差数列。 单调性： n a的公差为d，则： ）0d n a为递增数列； ）0d n a为递减数列； ）0d n a为常数列； 数列 n a为等差数列 n apnq（p,q 是常数） 若等差数列 n a的前项和，则、 是等差数列。 3、等比数列 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列。 等
4、比中项：若三数ab、 G、成等比数列 2 ,Gab（ab同号） 。反之不一定成立。反之不一定成立。 通项公式： 1 1 nn m nm aa qa q 前n项和公式： 1 1 1 11 n n n aq aa q S qq 常用性质 若 Nqpnmqpnm,，则 mnpq aaaa； , 2mkmkk aaa 为等比数列，公比为 k q(下标成等差数列,则对应的项成等比数列) 数列 n a（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列 n a；则lg n a是公差为 lgq的等差等差数列； 若 n a是等比数列，则 2 nn caa， 1 n a ， ( ) r n arZ是等比数列
5、，公比依次是 2 1 . r qqq q ， ， 单调性： 11 0,10,01aqaq或 n a为递增数列； 11 0,010,1 n aqaqa 或为递减数列； 1 n qa 为常数列； 0 n qa为摆动数列； 既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 若等比数列 n a的前项和，则、 是等比数列. n n S k S kk SS 2kk SS 23 n n S k S kk SS 2kk SS 23 4、非等差、等比数列通项公式的求法非等差、等比数列通项公式的求法 类型类型 观察法观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从 而根据规律写出此数列的一
6、个通项。 类型类型 公式法：公式法：若已知数列的前项和与 n a的关系，求数列 n a的通项 n a可用公式 1 1 , (1) ,(2) n nn Sn a SSn 构造两式作差求解。 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二” ，即分段式；另一种是“合二为一” ，即 1 a和 n a 合为一个表达， （要先分1n 和2n两种情况分别进行运算，然后验证能否统一） 。 类型类型 累加法：累加法： 形如形如)( 1 nfaa nn 型的递推数列型的递推数列（其中)(nf是关于n的函数）可构造： 1 12 21 (1) (2) . (1 . ) nn nn aaf n aaf n aaf
7、将上述1n个式子两边分别相加，可得： 1 (1)(2). (2)(1),(2) n af nf nffan 若( )f n是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若( )f n是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若( )f n是关于n的二次函数，累加后可分组求和; 若( )f n是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. 类型类型 累乘法：累乘法： 形如形如 1 ( ) nn aaf n 1 ( ) n n a f n a 型的递推数列型的递推数列 （其中)(nf是关于n的函数）可构造： 1 1 2 2 1 (1) ( . 2) (1 . ) n n n n a f n a
8、 a f n a a f a 将上述1n个式子两边分别相乘，可得： 1 (1)(2) .(2) (1) ,(2) n af nf nffan 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 类型类型 构造数列法：构造数列法： 形如形如qpaa nn 1 （其中（其中, p q均为常数且均为常数且0p ）型的递推式：型的递推式： （1）若1p 时，数列 n a为等差数列; （2）若0q 时，数列 n a为等比数列; n n S （3 3）若）若1p 且且0q时，数列时，数列 n a 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列构造等比数列来求
9、来求. .方法 有如下两种： 法一：法一：设 1 () nn ap a ,展开移项整理得 1 (1) nn apap ,与题设 1nn apaq 比较系数 （待定系数法）得 1 ,(0)() 111 nn qqq pap a ppp 1 () 11 nn qq ap a pp ,即 1 n q a p 构成以 1 1 q a p 为首项，以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出 1 n q a p 的通项整理可得. n a 法二：法二：由qpaa nn 1 得 1 (2) nn apaq n 两式相减并整理得 1 1 , nn nn aa p aa 即 1nn aa 构成以 21 a
10、a为首项，以p为公比的等比数列.求出 1nn aa 的通项再转化为类型（累加法）类型（累加法）便可求出. n a 形如形如 1 ( ) nn apaf n (1)p 型的递推式型的递推式： 当当( )f n为一次函数类型（即为一次函数类型（即等差数列）时：等差数列）时： 法一：法一：设 1 (1) nn aAnBp aA nB ，通过待定系数法确定A B、的值，转化成以 1 aAB 为首项，以p为公比的等比数列 n aAnB，再利用等比数列的通项公式求出 n aAnB的通项整 理可得. n a 法二：法二：当( )f n的公差为d时，由递推式得： 1 ( ) nn apaf n ， 1 (1)
11、 nn apaf n 两式相减得： 11 () nnnn aap aad ， 令 1nnn baa 得： 1nn bpbd 转化为类型类型求出 n b， 再用类型 （累类型 （累 加法）加法）便可求出. n a 当当( )f n为指数函数类型（即为指数函数类型（即等比数列）时：等比数列）时： 法一：法一：设 1 ( )(1) nn af np af n ， 通过待定系数法确定的值， 转化成以 1 (1)af为首项， 以p为公比的等比数列( ) n af n，再利用等比数列的通项公式求出( ) n af n的通项整理可得. n a 法二：法二：当( )f n的公比为q时，由递推式得： 1 ( )
12、 nn apaf n ， 1 (1) nn apaf n ，两边同 时乘以q得 1 (1) nn a qpqaqf n ，由两式相减得 11 () nnnn aa qp aqa ，即 1 1 nn nn aqa p aqa ，在转化为类型类型便可求出. n a 法三：法三：递推公式为 n nn qpaa 1 （其中 p，q 均为常数）或 1 n nn aparq （其中 p，q, r 均为常 数） 时， 要先在原递推公式两边同时除以 1n q， 得： qq a q p q a n n n n 1 1 1 ， 引入辅助数列引入辅助数列 n b（其中 n n n q a b ） ， 得： q b
13、q p b nn 1 1 再应用类型类型的方法解决。 当当( )f n为任意为任意数列时，可用数列时，可用通法通法： 在 1 ( ) nn apaf n 两边同时除以 1n p 可得到 1 11 ( ) nn nnn aaf n ppp ，令 n n n a b p ，则 1 1 ( ) nn n f n bb p ， 在转化为类型（累加法）类型（累加法） ，求出 n b之后得 n nn ap b. 类型类型 对数变换法：对数变换法： 形如形如 1 (0,0) q nn apapa 型的递推式：型的递推式： 在原递推式 1 q n apa 两边取对数得 1 lglglg nn aqap ，令l
14、g nn ba得： 1 lg nn bqbp ，化归 为qpaa nn 1 型，求出 n b之后得10 . n b n a （注意：底数不一定要取 10，可根据题意选择） 。 类型类型 倒数变换法：倒数变换法： 形如形如 11nnnn aapaa （p为常数且0p ）的递推式：的递推式：两边同除于 1nn aa ，转化为 1 11 nn p aa 形式， 化归为qpaa nn 1 型求出 1 n a 的表达式，再求 n a； 还有形如还有形如 1 n n n ma a paq 的递推式，的递推式，也可采用取倒数方法转化成 1 11 nn mm aq ap 形式，化归为qpaa nn 1 型求出
15、 1 n a 的表达式，再求 n a. 类型类型 形如形如 nnn qapaa 12 型的递推式：型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列 1 nn aa的形式求解。方法为：设)( 112nnnn kaahkaa ，比较 系数得qhkpkh,，可解得h k、，于是 1 nn aka 是公比为h的等比数列，这样就化归为 qpaa nn 1 型。 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列， 可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式. n a 5、非等差、等比数列前非等差、等比数列前n项和公式的求法项和公式的求法 错位相减法错位相减法 若数列 n a为等
16、差数列，数列 n b为等比数列，则数列 nn a b的求和就要采用此法. 将数列 nn a b的每一项分别乘以 n b的公比， 然后在错位相减， 进而可得到数列 nn a b的前n项和. 此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法. 裂项相消法裂项相消法 一般地，当数列的通项 12 ()() n c a anbanb 12 ( ,a b b c为常数）时，往往可将 n a变成两项的差， 采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项： 设 12 n a anbanb ，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得 21 c bb ，从而可得 122112 11 =(). ()()() cc
17、anbanbbbanbanb 常见的拆项公式有： 111 (1)1n nnn ； 1111 (); (21)(21)2 2121nnnn 11 ();ab abab 1 1 ; mmm nnn CCC !(1)!.n nnn 分组法求和分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组. 倒序相加法倒序相加法 如果一个数列 n a，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式 相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序
18、相加法。特征： 121 . nn aaaa 记住常见数列的前n项和： (1) 123.; 2 n n n 2 1 35 .(21);nn 2222 1 123.(1)(21). 6 nn nn 第三章第三章 不等式不等式 3.13.1、不等关系与不等式、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 （对称性）abba （传递性）,ab bcac （可加性）abacb c （同向可加同向可加性）dbcadcba, （异向可减异向可减性）dbcadcba, （可积性）bcaccba0, bcaccba0, （同向正数同向正数可乘性）0,0abcdacbd （异向正数异向正数可除性） 0,0 ab abc
19、d cd （平方法则）0(,1) nn abab nNn且 （开方法则）0(,1) nn abab nNn且 （倒数法则） ba ba ba ba 11 0; 11 0 2、几个重要不等式 22 2abab abR，,（当且仅当ab时取号）. 变形公式： 22 . 2 ab ab （基本不等式）（基本不等式） 2 ab ab abR，,（当且仅当（当且仅当ab时取到等号）时取到等号）. . 变形公式： 2abab 2 . 2 ab ab 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） ，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”一正、二定、三相等”. （三个正数的算术（三个正数的算术几何平均不等
20、式）几何平均不等式） 3 3 abc abc ()abcR、 、（当且仅当abc时取到等 号）. 222 abcabbcca abR， （当且仅当abc时取到等号）. 333 3(0,0,0)abcabc abc （当且仅当abc时取到等号）. 0,2 ba ab ab 若则（当仅当 a=b 时取等号） 0,2 ba ab ab 若则（当仅当 a=b 时取等号） b a nb na ma mb a b 1 其中(000)abmn， 规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. 22 0;axaxaxaxa当时，或 22 .xaxaaxa 绝对值三角不等式.ababab 3、几个著名不等式
21、 平均不等式： 22 11 2 22 abab ab ab abR，,（当且仅当ab时取号）. （即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式： 2 22 ; 22 abab ab 2 22 () . 2 ab ab 幂平均不等式： 2222 1212 1 .(.) . nn aaaaaa n 二维形式的三角不等式： 222222 11221212 ()()xyxyxxyy 1122 ( ,).x y xyR 二维形式的柯西不等式： 22222 ()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR当且仅当adbc时，等号成 立. 三维形式的柯西不等式： 2222222 1231
22、231 1223 3 ()()() .aaabbbaba ba b 一般形式的柯西不等式： 222222 1212 (.)(.) nn aaabbb 2 1 122 (.) . nn aba ba b 向量形式的柯西不等式： 设, 是两个向量，则, 当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成 立. 排序不等式（排序原理） ：设 1212 .,. nn aaa bbb为两组实数. 12 ,., n c cc是 12 ,., n b bb的任 一排列，则 12111 12 2 . nnnn n aba ba baca ca c 1 12 2 . nn aba ba b（反序和反序和乱序和乱序和
23、顺顺 序和序和） 当且仅当 12 . n aaa或 12 . n bbb时，反序和等于顺序和. 琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数( )f x,对于定义域中任意两点 1212 ,(),x x xx有 12121212 ()()()() ()(). 2222 xxf xf xxxf xf x ff 或 则称 f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）比较法（作差，作商法） 、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： 舍去或加上一些项，如
24、22 131 ()() ; 242 aa 将分子或分母放大（缩小） ，如 2 11 , (1)kk k 2 11 , (1)kk k 2212 (), 21kkkkkk * 12 (,1) 1 kNk kkk 等. 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 2 0(0)axbxc或 2 (0,40)abac 解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. . 6、高次不等式的解法：穿
25、根法穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切奇穿偶切） ，结合原式不等号的方向，写出不等式 的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分移项通分标准化，则 ( ) 0( )( )0 ( ) ( )( )0 ( ) 0 ( )0( ) f x f xg x g x f xg x f x g xg x （“ 或 ”时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. . 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 2 ( )0 ( )(0) ( ) f x f xa a f xa 2 ( )0 ( )(0) ( ) f x f xa
26、 a f xa 2 ( )0 ( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( ) ( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或 2 ( )0 ( )( )( )0 ( ) ( ) f x f xg xg x f xg x ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. . 9、指数不等式的解法： 当1a 时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x 当01a时, ( )(
27、 ) ( )( ) f xg x aaf xg x 规律：根据指数函数的性质转化规律：根据指数函数的性质转化. . 10、对数不等式的解法 当1a 时, ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 当01a时, ( )0 log( )log( )( )0. ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 规律：根据对数函数的性质转化规律：根据对数函数的性质转化. . 11、含绝对值不等式的解法： 定义法： (0). (0) aa a aa 平方法： 22 ( )( )( )( ).f xg xfxgx 同解变形法，其同
28、解定理有： (0);xaaxa a (0);xaxaxa a或 ( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x ( )( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xf xg xf xg xg x 或 规律：关键是去掉绝对值的符号规律：关键是去掉绝对值的符号. . 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、规律：找零点、划区间、划区间、分段讨论去绝对值分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 2 0axbxc且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： 讨论a与
29、0 的大小； 讨论与 0 的大小； 讨论两根的大小. 14、恒成立问题 不等式 2 0axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 当0a时 0,0;bc 当0a时 0 0. a 不等式 2 0axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 当0a时0,0;bc 当0a时 0 0. a ( )f xa恒成立 max ( );f xa ( )f xa恒成立 max ( );f xa ( )f xa恒成立 min ( );f xa ( )f xa恒成立 min ( ).f xa 15、线性规划问题 二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 法一：取点定域法：法一：取点定域法： 由于直线0AxB
30、yC的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以， 在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点 00 (,)xy（如原点） ，由 00 AxByC的正负即可判断 出0AxByC(或0)表示直线哪一侧的平面区域. 即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点. . 法二：法二：根据0AxByC(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，0AxByC (或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方即：同号上方，异号下方. . 二元一次不等式组所表示的平面区域： 不等式组表示的平面区域是各
31、个不等式所表示的平面区域的公共部分. 利用线性规划求目标函数zAxBy( ,A B为常数）的最值： 法一：法一：角点法角点法： 如果目标函数zAxBy （xy、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都 在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为 目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值 法二：法二：画画移移定定求：求： 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 0: 0lAxBy ，平移直线 0 l（据可行域， 将直线 0 l平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解( , )x y；第四步，将最优解(
32、, )x y代入目标函数 zAxBy即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法：最优解的确定方法： 利用z的几何意义： Az yx BB , z B 为直线的纵截距. 若若0,B 则使目标函数则使目标函数zAxBy所表示直线的所表示直线的纵截距最大的角点处，纵截距最大的角点处，z取得最大值， 使取得最大值， 使直线的直线的纵纵 截距最小的角点处，截距最小的角点处，z取得最小值；取得最小值； 若若0,B 则使目标函数则使目标函数zAxBy所表示直线的所表示直线的纵截距最大的角点处，纵截距最大的角点处，z取得最小值，使取得最小值，使直线的直线的纵纵 截距最小的角点处，截距最小的角点处，z取得最大值取得最大值. . 常见的目标函数的类型： “截距”型：“截距”型：;zAxBy “斜率”型：“斜率”型： y z x 或; yb z xa “距离”型：“距离”型： 22 zxy或 22; zxy 22 ()()zxayb或 22 ()() .zxayb 在求该“三型”“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义几何意义求解，从而使问题简单化.
