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2021年高中数学必修5全册知识点总结

1、高中数学必修高中数学必修 5 5 知识点知识点 第一章第一章 解三角形解三角形 (一)解三角形:(一)解三角形: 1、正弦定理:在C中,a、b、c分别为角、C的对边, ,则有 2 sinsinsin abc R C (R为C的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式:2 sinaR,2 sinbR,2 sincRC; sin 2 a R ,sin 2 b R ,sin 2 c C R ;: :sin:sin:sina b cC; 3、三角形面积公式: 111 sinsinsin 222 C SbcabCac 4、余弦定理:在C中,有 222 2cosabcbc,推论: 222 cos 2 bca

2、 bc 第二章第二章 数列数列 1、数列中 n a与 n S之间的关系: 1 1 , (1) ,(2). n nn Sn a SSn 注意通项能否合并。 2、等差数列: 定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即 n a 1n a=d , (n2,n N ) , 那么这个数列就叫做等差数列。 等差中项:若三数aA b、 、成等差数列 2 ab A 通项公式: 1 (1)() nm aandanm d 或( n apnq pq、 是常数). 前n项和公式: 1 1 1 22 n n n nn aa Snad 常用性质: 若 Nqpnmqpnm,,则 qpnm aa

3、aa; 下标为等差数列的项, 2mkmkk aaa ,仍组成等差数列; 数列ban(b,为常数)仍为等差数列; 若 n a、 n b是等差数列,则 n ka、 nn kapb (k、p是非零常数)、 * ( ,) p nq ap qN 、 ,也成 等差数列。 单调性: n a的公差为d,则: )0d n a为递增数列; )0d n a为递减数列; )0d n a为常数列; 数列 n a为等差数列 n apnq(p,q 是常数) 若等差数列 n a的前项和,则、 是等差数列。 3、等比数列 定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比 数列。 等

4、比中项:若三数ab、 G、成等比数列 2 ,Gab(ab同号) 。反之不一定成立。反之不一定成立。 通项公式: 1 1 nn m nm aa qa q 前n项和公式: 1 1 1 11 n n n aq aa q S qq 常用性质 若 Nqpnmqpnm,,则 mnpq aaaa; , 2mkmkk aaa 为等比数列,公比为 k q(下标成等差数列,则对应的项成等比数列) 数列 n a(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;正项等比数列 n a;则lg n a是公差为 lgq的等差等差数列; 若 n a是等比数列,则 2 nn caa, 1 n a , ( ) r n arZ是等比数列

5、,公比依次是 2 1 . r qqq q , , 单调性: 11 0,10,01aqaq或 n a为递增数列; 11 0,010,1 n aqaqa 或为递减数列; 1 n qa 为常数列; 0 n qa为摆动数列; 既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 若等比数列 n a的前项和,则、 是等比数列. n n S k S kk SS 2kk SS 23 n n S k S kk SS 2kk SS 23 4、非等差、等比数列通项公式的求法非等差、等比数列通项公式的求法 类型类型 观察法观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从 而根据规律写出此数列的一

6、个通项。 类型类型 公式法:公式法:若已知数列的前项和与 n a的关系,求数列 n a的通项 n a可用公式 1 1 , (1) ,(2) n nn Sn a SSn 构造两式作差求解。 用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二” ,即分段式;另一种是“合二为一” ,即 1 a和 n a 合为一个表达, (要先分1n 和2n两种情况分别进行运算,然后验证能否统一) 。 类型类型 累加法:累加法: 形如形如)( 1 nfaa nn 型的递推数列型的递推数列(其中)(nf是关于n的函数)可构造: 1 12 21 (1) (2) . (1 . ) nn nn aaf n aaf n aaf

7、将上述1n个式子两边分别相加,可得: 1 (1)(2). (2)(1),(2) n af nf nffan 若( )f n是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; 若( )f n是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; 若( )f n是关于n的二次函数,累加后可分组求和; 若( )f n是关于n的分式函数,累加后可裂项求和. 类型类型 累乘法:累乘法: 形如形如 1 ( ) nn aaf n 1 ( ) n n a f n a 型的递推数列型的递推数列 (其中)(nf是关于n的函数)可构造: 1 1 2 2 1 (1) ( . 2) (1 . ) n n n n a f n a

8、 a f n a a f a 将上述1n个式子两边分别相乘,可得: 1 (1)(2) .(2) (1) ,(2) n af nf nffan 有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 类型类型 构造数列法:构造数列法: 形如形如qpaa nn 1 (其中(其中, p q均为常数且均为常数且0p )型的递推式:型的递推式: (1)若1p 时,数列 n a为等差数列; (2)若0q 时,数列 n a为等比数列; n n S (3 3)若)若1p 且且0q时,数列时,数列 n a 为线性递推数列,其通项可通过待定系数法为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列构造等比数列来求

9、来求. .方法 有如下两种: 法一:法一:设 1 () nn ap a ,展开移项整理得 1 (1) nn apap ,与题设 1nn apaq 比较系数 (待定系数法)得 1 ,(0)() 111 nn qqq pap a ppp 1 () 11 nn qq ap a pp ,即 1 n q a p 构成以 1 1 q a p 为首项,以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出 1 n q a p 的通项整理可得. n a 法二:法二:由qpaa nn 1 得 1 (2) nn apaq n 两式相减并整理得 1 1 , nn nn aa p aa 即 1nn aa 构成以 21 a

10、a为首项,以p为公比的等比数列.求出 1nn aa 的通项再转化为类型(累加法)类型(累加法)便可求出. n a 形如形如 1 ( ) nn apaf n (1)p 型的递推式型的递推式: 当当( )f n为一次函数类型(即为一次函数类型(即等差数列)时:等差数列)时: 法一:法一:设 1 (1) nn aAnBp aA nB ,通过待定系数法确定A B、的值,转化成以 1 aAB 为首项,以p为公比的等比数列 n aAnB,再利用等比数列的通项公式求出 n aAnB的通项整 理可得. n a 法二:法二:当( )f n的公差为d时,由递推式得: 1 ( ) nn apaf n , 1 (1)

11、 nn apaf n 两式相减得: 11 () nnnn aap aad , 令 1nnn baa 得: 1nn bpbd 转化为类型类型求出 n b, 再用类型 (累类型 (累 加法)加法)便可求出. n a 当当( )f n为指数函数类型(即为指数函数类型(即等比数列)时:等比数列)时: 法一:法一:设 1 ( )(1) nn af np af n , 通过待定系数法确定的值, 转化成以 1 (1)af为首项, 以p为公比的等比数列( ) n af n,再利用等比数列的通项公式求出( ) n af n的通项整理可得. n a 法二:法二:当( )f n的公比为q时,由递推式得: 1 ( )

12、 nn apaf n , 1 (1) nn apaf n ,两边同 时乘以q得 1 (1) nn a qpqaqf n ,由两式相减得 11 () nnnn aa qp aqa ,即 1 1 nn nn aqa p aqa ,在转化为类型类型便可求出. n a 法三:法三:递推公式为 n nn qpaa 1 (其中 p,q 均为常数)或 1 n nn aparq (其中 p,q, r 均为常 数) 时, 要先在原递推公式两边同时除以 1n q, 得: qq a q p q a n n n n 1 1 1 , 引入辅助数列引入辅助数列 n b(其中 n n n q a b ) , 得: q b

13、q p b nn 1 1 再应用类型类型的方法解决。 当当( )f n为任意为任意数列时,可用数列时,可用通法通法: 在 1 ( ) nn apaf n 两边同时除以 1n p 可得到 1 11 ( ) nn nnn aaf n ppp ,令 n n n a b p ,则 1 1 ( ) nn n f n bb p , 在转化为类型(累加法)类型(累加法) ,求出 n b之后得 n nn ap b. 类型类型 对数变换法:对数变换法: 形如形如 1 (0,0) q nn apapa 型的递推式:型的递推式: 在原递推式 1 q n apa 两边取对数得 1 lglglg nn aqap ,令l

14、g nn ba得: 1 lg nn bqbp ,化归 为qpaa nn 1 型,求出 n b之后得10 . n b n a (注意:底数不一定要取 10,可根据题意选择) 。 类型类型 倒数变换法:倒数变换法: 形如形如 11nnnn aapaa (p为常数且0p )的递推式:的递推式:两边同除于 1nn aa ,转化为 1 11 nn p aa 形式, 化归为qpaa nn 1 型求出 1 n a 的表达式,再求 n a; 还有形如还有形如 1 n n n ma a paq 的递推式,的递推式,也可采用取倒数方法转化成 1 11 nn mm aq ap 形式,化归为qpaa nn 1 型求出

15、 1 n a 的表达式,再求 n a. 类型类型 形如形如 nnn qapaa 12 型的递推式:型的递推式: 用待定系数法,化为特殊数列 1 nn aa的形式求解。方法为:设)( 112nnnn kaahkaa ,比较 系数得qhkpkh,,可解得h k、,于是 1 nn aka 是公比为h的等比数列,这样就化归为 qpaa nn 1 型。 总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列, 可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式. n a 5、非等差、等比数列前非等差、等比数列前n项和公式的求法项和公式的求法 错位相减法错位相减法 若数列 n a为等

16、差数列,数列 n b为等比数列,则数列 nn a b的求和就要采用此法. 将数列 nn a b的每一项分别乘以 n b的公比, 然后在错位相减, 进而可得到数列 nn a b的前n项和. 此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法. 裂项相消法裂项相消法 一般地,当数列的通项 12 ()() n c a anbanb 12 ( ,a b b c为常数)时,往往可将 n a变成两项的差, 采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项: 设 12 n a anbanb ,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得 21 c bb ,从而可得 122112 11 =(). ()()() cc

17、anbanbbbanbanb 常见的拆项公式有: 111 (1)1n nnn ; 1111 (); (21)(21)2 2121nnnn 11 ();ab abab 1 1 ; mmm nnn CCC !(1)!.n nnn 分组法求和分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两步:找通向项公式由通项公式确定如何分组. 倒序相加法倒序相加法 如果一个数列 n a,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个和式 相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序

18、相加法。特征: 121 . nn aaaa 记住常见数列的前n项和: (1) 123.; 2 n n n 2 1 35 .(21);nn 2222 1 123.(1)(21). 6 nn nn 第三章第三章 不等式不等式 3.13.1、不等关系与不等式、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 (对称性)abba (传递性),ab bcac (可加性)abacb c (同向可加同向可加性)dbcadcba, (异向可减异向可减性)dbcadcba, (可积性)bcaccba0, bcaccba0, (同向正数同向正数可乘性)0,0abcdacbd (异向正数异向正数可除性) 0,0 ab abc

19、d cd (平方法则)0(,1) nn abab nNn且 (开方法则)0(,1) nn abab nNn且 (倒数法则) ba ba ba ba 11 0; 11 0 2、几个重要不等式 22 2abab abR,,(当且仅当ab时取号). 变形公式: 22 . 2 ab ab (基本不等式)(基本不等式) 2 ab ab abR,,(当且仅当(当且仅当ab时取到等号)时取到等号). . 变形公式: 2abab 2 . 2 ab ab 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”一正、二定、三相等”. (三个正数的算术(三个正数的算术几何平均不等

20、式)几何平均不等式) 3 3 abc abc ()abcR、 、(当且仅当abc时取到等 号). 222 abcabbcca abR, (当且仅当abc时取到等号). 333 3(0,0,0)abcabc abc (当且仅当abc时取到等号). 0,2 ba ab ab 若则(当仅当 a=b 时取等号) 0,2 ba ab ab 若则(当仅当 a=b 时取等号) b a nb na ma mb a b 1 其中(000)abmn, 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. 22 0;axaxaxaxa当时,或 22 .xaxaaxa 绝对值三角不等式.ababab 3、几个著名不等式

21、 平均不等式: 22 11 2 22 abab ab ab abR,,(当且仅当ab时取号). (即调和平均几何平均算术平均平方平均). 变形公式: 2 22 ; 22 abab ab 2 22 () . 2 ab ab 幂平均不等式: 2222 1212 1 .(.) . nn aaaaaa n 二维形式的三角不等式: 222222 11221212 ()()xyxyxxyy 1122 ( ,).x y xyR 二维形式的柯西不等式: 22222 ()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR当且仅当adbc时,等号成 立. 三维形式的柯西不等式: 2222222 1231

22、231 1223 3 ()()() .aaabbbaba ba b 一般形式的柯西不等式: 222222 1212 (.)(.) nn aaabbb 2 1 122 (.) . nn aba ba b 向量形式的柯西不等式: 设, 是两个向量,则, 当且仅当是零向量,或存在实数k,使k时,等号成 立. 排序不等式(排序原理) :设 1212 .,. nn aaa bbb为两组实数. 12 ,., n c cc是 12 ,., n b bb的任 一排列,则 12111 12 2 . nnnn n aba ba baca ca c 1 12 2 . nn aba ba b(反序和反序和乱序和乱序和

23、顺顺 序和序和) 当且仅当 12 . n aaa或 12 . n bbb时,反序和等于顺序和. 琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数( )f x,对于定义域中任意两点 1212 ,(),x x xx有 12121212 ()()()() ()(). 2222 xxf xf xxxf xf x ff 或 则称 f(x)为凸(或凹)函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法)比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: 舍去或加上一些项,如

24、22 131 ()() ; 242 aa 将分子或分母放大(缩小) ,如 2 11 , (1)kk k 2 11 , (1)kk k 2212 (), 21kkkkkk * 12 (,1) 1 kNk kkk 等. 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 2 0(0)axbxc或 2 (0,40)abac 解集的步骤: 一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. . 6、高次不等式的解法:穿

25、根法穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向,写出不等式 的解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分移项通分标准化,则 ( ) 0( )( )0 ( ) ( )( )0 ( ) 0 ( )0( ) f x f xg x g x f xg x f x g xg x (“ 或 ”时同理) 规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. . 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 2 ( )0 ( )(0) ( ) f x f xa a f xa 2 ( )0 ( )(0) ( ) f x f xa

26、 a f xa 2 ( )0 ( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( ) ( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或 2 ( )0 ( )( )( )0 ( ) ( ) f x f xg xg x f xg x ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x 规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. . 9、指数不等式的解法: 当1a 时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x 当01a时, ( )(

27、 ) ( )( ) f xg x aaf xg x 规律:根据指数函数的性质转化规律:根据指数函数的性质转化. . 10、对数不等式的解法 当1a 时, ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 当01a时, ( )0 log( )log( )( )0. ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 规律:根据对数函数的性质转化规律:根据对数函数的性质转化. . 11、含绝对值不等式的解法: 定义法: (0). (0) aa a aa 平方法: 22 ( )( )( )( ).f xg xfxgx 同解变形法,其同

28、解定理有: (0);xaaxa a (0);xaxaxa a或 ( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x ( )( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xf xg xf xg xg x 或 规律:关键是去掉绝对值的符号规律:关键是去掉绝对值的符号. . 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、规律:找零点、划区间、划区间、分段讨论去绝对值分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 2 0axbxc且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有: 讨论a与

29、0 的大小; 讨论与 0 的大小; 讨论两根的大小. 14、恒成立问题 不等式 2 0axbxc的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: 当0a时 0,0;bc 当0a时 0 0. a 不等式 2 0axbxc的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: 当0a时0,0;bc 当0a时 0 0. a ( )f xa恒成立 max ( );f xa ( )f xa恒成立 max ( );f xa ( )f xa恒成立 min ( );f xa ( )f xa恒成立 min ( ).f xa 15、线性规划问题 二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一:取点定域法:法一:取点定域法: 由于直线0AxB

30、yC的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以, 在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点 00 (,)xy(如原点) ,由 00 AxByC的正负即可判断 出0AxByC(或0)表示直线哪一侧的平面区域. 即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点. . 法二:法二:根据0AxByC(或0),观察B的符号与不等式开口的符号,若同号,0AxByC (或0)表示直线上方的区域;若异号,则表示直线上方的区域.即:同号上方,异号下方即:同号上方,异号下方. . 二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各

31、个不等式所表示的平面区域的公共部分. 利用线性规划求目标函数zAxBy( ,A B为常数)的最值: 法一:法一:角点法角点法: 如果目标函数zAxBy (xy、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都 在该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组对应z值,最大的那个数为 目标函数z的最大值,最小的那个数为目标函数z的最小值 法二:法二:画画移移定定求:求: 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线 0: 0lAxBy ,平移直线 0 l(据可行域, 将直线 0 l平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解( , )x y;第四步,将最优解(

32、, )x y代入目标函数 zAxBy即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法:最优解的确定方法: 利用z的几何意义: Az yx BB , z B 为直线的纵截距. 若若0,B 则使目标函数则使目标函数zAxBy所表示直线的所表示直线的纵截距最大的角点处,纵截距最大的角点处,z取得最大值, 使取得最大值, 使直线的直线的纵纵 截距最小的角点处,截距最小的角点处,z取得最小值;取得最小值; 若若0,B 则使目标函数则使目标函数zAxBy所表示直线的所表示直线的纵截距最大的角点处,纵截距最大的角点处,z取得最小值,使取得最小值,使直线的直线的纵纵 截距最小的角点处,截距最小的角点处,z取得最大值取得最大值. . 常见的目标函数的类型: “截距”型:“截距”型:;zAxBy “斜率”型:“斜率”型: y z x 或; yb z xa “距离”型:“距离”型: 22 zxy或 22; zxy 22 ()()zxayb或 22 ()() .zxayb 在求该“三型”“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义几何意义求解,从而使问题简单化.