1、2021 年江苏省无锡市江阴市青阳片中考数学诊断试卷（年江苏省无锡市江阴市青阳片中考数学诊断试卷（3 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确 的，请用的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 13 的相反数是（ ） A3 B3 C D 2函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx0 3某班 6 名同学在一次“1 分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次） ：39
2、，45，42，37，41，39这 组数据的众数、中位数分别是（ ） A42，37 B39，40 C39，41 D41，42 4下列计算正确的是（ ） Aa+aa2 B6x35x2x C3x2+2x35x5 D3a2b4ba2a2b 5下面有 4 个汽车标致图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 6如图，ABCD，直线 l 分别交 AB、CD 于 E、F，158，则2 的度数是（ ） A58 B148 C132 D122 7一个正多边形每个外角都是 30，则这个多边形边数为（ ） A10 B11 C12 D13 8已知一次函数 y2x1 经过 P（a，b） ，则 2b4a 的值为（
3、） A1 B2 C2 D1 9 如图， ABCD 对角线 AC 与 BD 交于点 O， 且 AD3， AB5， 在 AB 延长线上取一点 E， 使 BEAB， 连接 OE 交 BC 于 F，则 BF 的长为（ ） A B C D1 10在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A、B、C 的坐标分别为（0，3） 、 （t，3） 、 （t，0） ，点 D 是 直线 ykx+1 与 y 轴的交点，若点 A 关于直线 ykx+1 的对称点 A恰好落在四边形 OABC 内部（不包 括正好落在边上） ，则 t 的取值范围为（ ） A2t2 B2t2 C2t2 或 2t2 D以上答案都不对 二、填空题（
4、本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡 上相应的位置处）上相应的位置处） 11 （2 分）分解因式：a3a 12 （2 分）月球的直径约为 3500000 米，将 3500000 这个数用科学记数法表示应为 13 （2 分）若圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 4cm，则圆锥的侧面积为 cm2 （结果保留 ） 14 （2 分）如图，ABCD 中，AE 平分BAD，若B52，则AEC 的度数为 15 （2 分）已知点 P（x，y）位于第四象限，且 xy+4（x
5、，y 为整数） ，写一个符合条件 P 的坐标 16 （2 分） 九章算术是中国传统数学最重要的著作之一书中记载： “今有人共买鸡，人出九，盈十一； 人出六，不足十六问人数几何？”意思是： “有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一 钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱问：共有几个人？”设共有 x 个人共同出钱买鸡，根据题意， 可列一元一次方程为 17 （2 分） 如图， 在ABC 中， A70，BC4，以 BC 的中点 D 为圆心， 2 为半径作弧，分别交边 AB、 AC 于 E、F，则的长为 18 （2 分）下列关于二次函数 y（xm）2+m2+1（m 为常数）的结论：该函数的图象与
6、函数 y x2的图象形状相同；该函数的图象一定经过点（0，1） ；当 x0 时，y 随 x 的增大而减小；该函 数的图象的顶点在函数 yx2+1 的图象上其中所有正确结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 19 （8 分）计算： （1）； （2）a（a3）+（2a） （2+a） 20 （8 分） （1）解方程：x2+4x20； （2）解不等式组 21 （8 分）如图，点 D 是ABC 的边 AB 上一点，点
7、 E 为 AC 的中点，过点 C 作 CFAB 交 DE 延长线于 点 F （1）求证：ADCF （2）连接 AF，CD，求证：四边形 ADCF 为平行四边形 22 （8 分）暑假期间，小明和小华准备游览一下无锡本地著名景点，备选景点有灵山大佛山（记为 A） 、鼋 头渚（记为 B） 、梅园（记为 C） 、荡口古镇（记为 D） ，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被 选中的可能性相同 （1）小明选择去梅园的概率为 （2）若小明灵山大佛已经去过，所以准备在 B、C、D 中选一个地点游玩，小华荡口古镇已经去过，准 备在 A、B、C 中选一个地点游玩，请用树状图或列表的方法求小明和小华正好选择同
8、一个景点的概率 23 （6 分）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒 毒宣传” 、 “文明交通岗” 、 “关爱老人” 、 “义务植树” 、 “社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分 学生对志愿者服务情况进行调查结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了 1 项，最 多的参与了 5 项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图 （1）被随机抽取的学生共有 名； （2）在扇形统计图中，活动数为 3 项的学生所对应的扇形圆心角的度数为 ； （3）该校共有学生 2000 人，估计其中参与了 4 项或 5 项活动的学生共有多少
9、人？ 24 （8 分）如图，在 RtABC 中，C90，点 D 是 AB 的中点，ACBC （1）试用无刻度的直尺和圆规，在 BC 上作一点 E，使得直线 ED 平分 ABC 的周长； （不要求写作法， 但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 DE 分 RtABC 面积为 1：2 两部分，请探究 AC 与 BC 的数量关系 25 （8 分）如图，点 A、B、C 分别是O 上的点，CD 是O 的直径，P 是 CD 延长线上的一点，APAC （1）若B60求证：AP 是O 的切线； （2）若点 B 是弧 CD 的中点，AB 交 CD 于点 E，CD4，求 BEAB 的值 26 （10 分）
10、某企业接到一批防护服生产任务，按要求 15 天完成，已知这批防护服的出厂价为每件 80 元， 为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制该企业第 x 天生产的防护服数量为 y 件，y 与 x 之间的关系可以用图中的函数图象来刻画 （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式 ； （2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前 5 天为每件 50 元，从第 6 天起每件服装的成本比前一 天增加 2 元，设第 x 天创造的利润为 w 元，直接利用（1）的结论，求 w 与 x 之间的函数表达式，并求 出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润出厂价成本） 27 （10 分）如图 1，在菱形
11、 ABCD 中，AB5，tanABC，点 E 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的 速度沿着射线 DA 的方向匀速运动，设运动时间为 t（秒） ，将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转一个角 （ BCD） ，得到对应线段 CF （1）求证：BEDF； 当 t 秒时，DF 的长度有最小值； （2）如图 2，连接 BD、EF、BD 交 EC、EF 于点 P、Q，当 t 为何值时，EPQ 是直角三角 形 28 （10 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过 A、B 两点，直线 AB 交 x 轴交于点 C，点 D 为 二次函数图象的顶点，若点 A 的坐标为（1，4a） ，点 B 的坐标
12、为（2，a） （1）用含 a 的代数式表示 b、c； 求点 C 的坐标 （2） 若直线 AB 与抛物线 yax2+bx+c 的对称轴交于点 E， 且ADEACD， 求该二次函数的表达式 2021 年江苏省无锡市江阴市青阳片中考数学诊断试卷（年江苏省无锡市江阴市青阳片中考数学诊断试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确 的，请用的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）铅笔把答题卡上
13、相应的选项标号涂黑） 13 的相反数是（ ） A3 B3 C D 【分析】依据相反数的定义求解即可 【解答】解：3 的相反数是 3 故选：B 2函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx0 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为 0；分析原函数式可得关系式 x20，解可得答案 【解答】解：根据题意得：x20， 解得 x2 故选：A 3某班 6 名同学在一次“1 分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次） ：39，45，42，37，41，39这 组数据的众数、中位数分别是（ ） A42，37 B39，40 C39，41 D41，42 【分析】找中位数要把数据按从小到
14、大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位 数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个 【解答】解：从小到大排列此数据为：37、39、39、41、42、45，数据 39 出现了两次最多为众数，39 和 41 处在第 3 位和第四位，他们的平均数为 40，所以 40 为中位数所以本题这组数据的中位数是 40， 众数是 39 故选：B 4下列计算正确的是（ ） Aa+aa2 B6x35x2x C3x2+2x35x5 D3a2b4ba2a2b 【分析】根据同类项的定义和合并同类法则进行计算，判断即可 【解答】解：A、a+a2a，故本选项错误； B、6x3与 5x2不
15、是同类项，不能合并，故本选项错误； C、3x2与 2x3不是同类项，不能合并，故本选项错误； D、3a2b4ba2a2b，故本选项正确； 故选：D 5下面有 4 个汽车标致图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念结合 4 个汽车标志图案的形状求解 【解答】解：由轴对称图形的概念可知第 1 个，第 2 个，第 3 个都是轴对称图形 第 4 个不是轴对称图形，是中心对称图形 故选：D 6如图，ABCD，直线 l 分别交 AB、CD 于 E、F，158，则2 的度数是（ ） A58 B148 C132 D122 【分析】利用平行线的性质可得CFE158，再利用
16、邻补角相等可得答案 【解答】解：ABCD， CFE158， 218058122， 故选：D 7一个正多边形每个外角都是 30，则这个多边形边数为（ ） A10 B11 C12 D13 【分析】利用任何多边形的外角和是 360即可求出答案 【解答】解：多边形的外角的个数是 3603012，所以多边形的边数是 12故选：C 8已知一次函数 y2x1 经过 P（a，b） ，则 2b4a 的值为（ ） A1 B2 C2 D1 【分析】直接把点 P（a，b）代入一次函数 y2x1，进而可得出结论 【解答】解：一次函数 y2x1 经过 P（a，b） ， 2a1b， 2ab1， 2b4a2（2ab）2 故选
17、：B 9 如图， ABCD 对角线 AC 与 BD 交于点 O， 且 AD3， AB5， 在 AB 延长线上取一点 E， 使 BEAB， 连接 OE 交 BC 于 F，则 BF 的长为（ ） A B C D1 【分析】首先作辅助线：取 AB 的中点 M，连接 OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即 可求得：EFBEOM 与 OM 的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得 BF 的值 【解答】解：取 AB 的中点 M，连接 OM， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，OBOD， OMADBC，OMAD3， EFBEOM， ， AB5，BEAB， BE2，BM， EM+2， ，
18、 BF， 故选：A 10在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A、B、C 的坐标分别为（0，3） 、 （t，3） 、 （t，0） ，点 D 是 直线 ykx+1 与 y 轴的交点，若点 A 关于直线 ykx+1 的对称点 A恰好落在四边形 OABC 内部（不包 括正好落在边上） ，则 t 的取值范围为（ ） A2t2 B2t2 C2t2 或 2t2 D以上答案都不对 【分析】根据条件，可以求得点 A 关于直线 BD 的对称点 E 的坐标，再根据 E 在图形中的位置，得到关 于 t 的方程组 【解答】解：点 B（t，3）在直线 ykx+1 上， 3kt+1，得到，于是直线 BD 的表达式是
19、 于是过点 A（0，3）与直线 BD 垂直的直线解析式为 联立方程组，解得，则交点 M 根据中点坐标公式可以得到点 E， 点 E 在长方形 ABCO 的内部 ，解得或者 本题答案：或者 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡 上相应的位置处）上相应的位置处） 11 （2 分）分解因式：a3a a（a+1） （a1） 【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：a3a， a（a21） ， a（a+1） （
20、a1） 故答案为：a（a+1） （a1） 12 （2 分）月球的直径约为 3500000 米，将 3500000 这个数用科学记数法表示应为 3.5106 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10， n 为整数， 据此判断即可 【解答】解：35000003.5106 故答案为：3.5106 13 （2 分）若圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 4cm，则圆锥的侧面积为 12 cm2 （结果保留 ） 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2 【解答】解：底面圆的半径为 3，则底面周长6，侧面面积6412cm2 故答案为：12 14 （2 分）如图，ABCD
21、中，AE 平分BAD，若B52，则AEC 的度数为 116 【分析】 由平行四边形的性质得出DAEAEB， BAD128， 由角平分线定义求出AEBDAE BAD64，即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， BAD+B180，DAEAEB， BAD180B18052128， AE 平分BAD， AEBDAEBAD64， AEC180AEB18064116； 故答案为：116 15 （2 分）已知点 P（x，y）位于第四象限，且 xy+4（x，y 为整数） ，写一个符合条件 P 的坐标 （2， 1） 【分析】首先确定 x、y 的取值范围，然后再结合不等式 xy+4
22、（x，y 为整数）确定 x、y 的值，进而可 得答案 【解答】解：P（x，y）位于第四象限， x0，y0， xy+4（x，y 为整数） ， P（2，1） ， 故答案为： （2，1） 16 （2 分） 九章算术是中国传统数学最重要的著作之一书中记载： “今有人共买鸡，人出九，盈十一； 人出六，不足十六问人数几何？”意思是： “有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一 钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱问：共有几个人？”设共有 x 个人共同出钱买鸡，根据题意， 可列一元一次方程为 9x116x+16 【分析】设有 x 个人共同买鸡，根据买鸡需要的总钱数不变，即可得出关于 x 的一元一次方
23、程，此题得 解 【解答】解：设有 x 个人共同买鸡，根据题意得： 9x116x+16 故答案为：9x116x+16 17 （2 分） 如图， 在ABC 中， A70，BC4，以 BC 的中点 D 为圆心， 2 为半径作弧，分别交边 AB、 AC 于 E、F，则的长为 【分析】求出EDF，利用弧长公式求解即可 【解答】解：由题意，DBDEDF2， BDEB，CDFC， A70， B+C110， BDE+CDF3602（B+C）140， EDF18014040， 的长， 故答案为： 18 （2 分）下列关于二次函数 y（xm）2+m2+1（m 为常数）的结论：该函数的图象与函数 y x2的图象形状
24、相同；该函数的图象一定经过点（0，1） ；当 x0 时，y 随 x 的增大而减小；该函 数的图象的顶点在函数 yx2+1 的图象上其中所有正确结论的序号是 【分析】利用二次函数的性质一一判断即可 【解答】解：二次函数 y（xm）2+m+1（m 为常数）与函数 yx2的二次项系数相同， 该函数的图象与函数 yx2的图象形状相同，故结论正确； 在函数 y（xm）2+m2+1 中，令 x0，则 ym2+m2+11， 该函数的图象一定经过点（0，1） ，故结论正确； y（xm）2+m2+1， 抛物线开口向下，对称轴为直线 xm，当 xm 时，y 随 x 的增大而减小，故结论错误； 抛物线开口向下，当
25、xm 时，函数 y 有最大值 m2+1， 该函数的图象的顶点在函数 yx2+1 的图象上故结论正确， 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤）明过程或演算步骤） 19 （8 分）计算： （1）； （2）a（a3）+（2a） （2+a） 【分析】 （1）先分别求出每一项的值，再把所得结果相加即可求出答案 （2）先根据单项式乘以多项式的法则和平方差公式分别进行计算，再合并同类项即可求出结果 【解答】解： （1） 14+1 2 （2）a
26、（a3）+（2a） （2+a） a23a+4a2 3a+4 20 （8 分） （1）解方程：x2+4x20； （2）解不等式组 【分析】 （1）利用配方法解方程，在本题中，把常数项2 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系 数 4 的一半的平方 （2）解不等式组，就是分别解两个不等式后，再根据大小小大取中，求出公共部分 【解答】解： （1）x2+4x20， x2+4x2， x2+4x+46， （x+2）26， x+2， x12，x22， （2）， 由得：x1， 由得：x4， 不等式组的解集为：1x4， 21 （8 分）如图，点 D 是ABC 的边 AB 上一点，点 E 为 AC 的中点，过点
27、C 作 CFAB 交 DE 延长线于 点 F （1）求证：ADCF （2）连接 AF，CD，求证：四边形 ADCF 为平行四边形 【分析】 （1）根据 CFAB 就可以得出AECF，ADEF，证明ADECFE 就可以求出结 论； （2）由ADECFE 就可以得出 DEFE，又有 AECE 于是就得出结论 【解答】解： （1）证明：CFAB， ADEF，FCEA 点 E 为 AC 的中点， AEEC 在ADE 和CFE 中， ， ADECFE（AAS） ADCF； （2）ADECFE， DEFE AEEC， 四边形 ADCF 为平行四边形 22 （8 分）暑假期间，小明和小华准备游览一下无锡本地
28、著名景点，备选景点有灵山大佛山（记为 A） 、鼋 头渚（记为 B） 、梅园（记为 C） 、荡口古镇（记为 D） ，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被 选中的可能性相同 （1）小明选择去梅园的概率为 （2）若小明灵山大佛已经去过，所以准备在 B、C、D 中选一个地点游玩，小华荡口古镇已经去过，准 备在 A、B、C 中选一个地点游玩，请用树状图或列表的方法求小明和小华正好选择同一个景点的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出选择同一个景点的结果数，然后根据概率公式 求解 【解答】解： （1）小明选择去梅园的概率为， 故答案
29、为：； （2）画树状图分析如下： 所以小明和小华都选择去相同地点旅游的概率是 23 （6 分）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒 毒宣传” 、 “文明交通岗” 、 “关爱老人” 、 “义务植树” 、 “社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分 学生对志愿者服务情况进行调查结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了 1 项，最 多的参与了 5 项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图 （1）被随机抽取的学生共有 50 名； （2）在扇形统计图中，活动数为 3 项的学生所对应的扇形圆心角的度数为 72 ； （3）该校
30、共有学生 2000 人，估计其中参与了 4 项或 5 项活动的学生共有多少人？ 【分析】 （1）由参与 2 项的人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用 360乘以活动数为 3 项的人数所占比例即可； （3）用总人数乘以样本中参与 4 项或 5 项的学生数所占比例即可 【解答】解： （1）被随机抽取的学生共有 1428%50（名） ， 故答案为：50； （2）在扇形统计图中，活动数为 3 项的学生所对应的扇形圆心角的度数为 36072， 故答案为：72； （3）估计其中参与了 4 项或 5 项活动的学生共有 2000720（人） 24 （8 分）如图，在 RtABC 中，C90，点 D
31、 是 AB 的中点，ACBC （1）试用无刻度的直尺和圆规，在 BC 上作一点 E，使得直线 ED 平分 ABC 的周长； （不要求写作法， 但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 DE 分 RtABC 面积为 1：2 两部分，请探究 AC 与 BC 的数量关系 【分析】 （1） 延长 BC， 在 BC 的延长线上取一点 T， 使得 CTCA， 作线段 BT 的垂直平分线， 垂足为 E， 作直线 DE 即可 （2）若 DE 分 RtABC 面积为 1：2 两部分，推出 BE2EC，设 ECa，则 BE2a，求出 AC 即可解 决问题 【解答】解： （1）如图，直线 DE 即为所求 （2
32、）若 DE 分 RtABC 面积为 1：2 两部分， BE2EC，设 ECa，则 BE2a， BC3a， BEET， ACETECa， BC3AC 25 （8 分）如图，点 A、B、C 分别是O 上的点，CD 是O 的直径，P 是 CD 延长线上的一点，APAC （1）若B60求证：AP 是O 的切线； （2）若点 B 是弧 CD 的中点，AB 交 CD 于点 E，CD4，求 BEAB 的值 【分析】 （1）求出ADC 的度数，求出P、ACO、OAC 度数，求出OAP90，根据切线判定 推出即可； （2）求出 BD 长，求出DBE 和ABD 相似，得出比例式，代入即可求出答案 【解答】 （1）
33、证明：连接 AD，OA， ADCB，B60， ADC60， CD 是直径， DAC90， ACO180906030， APAC，OAOC， OACACD30，PACD30， OAP18030303090， 即 OAAP， OA 为半径， AP 是O 切线 （2）解：连接 AD，BD， CD 是直径， DBC90， CD4，B 为弧 CD 中点， BDBC2， BDCBCD45， DABDCB45， 即BDEDAB， DBEDBA， DBEABD， ， BEABBDBD228 26 （10 分）某企业接到一批防护服生产任务，按要求 15 天完成，已知这批防护服的出厂价为每件 80 元， 为按时完
34、成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制该企业第 x 天生产的防护服数量为 y 件，y 与 x 之间的关系可以用图中的函数图象来刻画 （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式 ； （2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前 5 天为每件 50 元，从第 6 天起每件服装的成本比前一 天增加 2 元，设第 x 天创造的利润为 w 元，直接利用（1）的结论，求 w 与 x 之间的函数表达式，并求 出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润出厂价成本） 【分析】 （1）根据题意即可得出 y 与 x 的函数关系式； （2）分 0 x5 和 5x15 两种情况讨论，根据题意可得到 w 与 x
35、 的关系式，再根据一次函数与二次 函数的性质解答 【解答】解： （1）270554， （570270）（155）30， 当 5x15 时，设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b（x 为正整数） ，根据题意得： ，解得， y30 x+120， y 与 x 的函数关系式为， 故答案为：； （2）当 0 x5 时，w（8050）54x1620 x， 16200， w 随 x 的增大而增大， 当 x5 时，w最大162058100； 当 5x15 时，w80502（x5）（30 x+120）60 x2+960 x+4800， 对称轴， x8 时，8640 86408100， 第 8 天时利润最大，
36、最大利润是 8640 元 27 （10 分）如图 1，在菱形 ABCD 中，AB5，tanABC，点 E 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的 速度沿着射线 DA 的方向匀速运动，设运动时间为 t（秒） ，将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转一个角 （ BCD） ，得到对应线段 CF （1）求证：BEDF； 当 t 8 秒时，DF 的长度有最小值； （2）如图 2，连接 BD、EF、BD 交 EC、EF 于点 P、Q，当 t 为何值时，EPQ 是直角三角 形 【分析】 （1）由“SAS”可证DCFBCE，可得 DFBE； 由垂线段最短可得当 BEAD 时， BE 有最小值， 即 DF 有最小
37、值， 由锐角三角函数和勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解 【解答】证明： （1）ECFBCD，即BCE+DCEDCF+DCE， DCFBCE， 四边形 ABCD 是菱形， DCBC， 在DCF 和BCE 中， ， DCFBCE（SAS） ， DFBE； DFBE， 当 BE 取最小值时，DF 有最小值， 由垂线段最短可得，当 BEAD 时，BE 有最小值，即 DF 有最小值， 如图 1，过点 B 作 BEAD 于 E， ADBC， ABCBAE， tanBAEtanABC， 设 AE3k，BE4k， EA2+EB2AB2， 16k2+9k225， k1， AE3，
38、 DE8， t8， 故答案为 8； （2）CECF， CEQ90， 当EQP90时，如图 2， ECFBCD，BCDC，ECFC， CBDCEF， BPCEPQ， BCPEQP90， ABCD5，tanABCtanADC， DE3， t3； 当EPQ90时，如图 2， 菱形 ABCD 的对角线 ACBD， EC 与 AC 重合， DE5， t5， 综上所述，t3 或 5 时，EPQ 是直角三角形 28 （10 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过 A、B 两点，直线 AB 交 x 轴交于点 C，点 D 为 二次函数图象的顶点，若点 A 的坐标为（1，4a） ，点 B 的坐标为
39、（2，a） （1）用含 a 的代数式表示 b、c； 求点 C 的坐标 （2） 若直线 AB 与抛物线 yax2+bx+c 的对称轴交于点 E， 且ADEACD， 求该二次函数的表达式 【分析】 （1）分别把 x1，y4a，和 x2，ya 代入 yax2+bx+c 中，即可以分别用 a 表示出 b 和 c； 设直线 AB 的表达式为 ymx+n（m0） ，把 x1，y4a，把 x2，ya 代入 ymx+n 中，可求 出直线 AB 的表达式，进而可以求出点 C 的坐标； （2）利用ADEACD，得到ADFACG，从而得到 tanADFtanACG，可得，最 终可求得 a 的值 【解答】解： （1）
40、分别把 x1，y4a，和 x2，ya 代入 yax2+bx+c 中， 得：4aab+c，a4a+2b+c， 解得：b2a，ca， b2a，ca； （2）设直线 AB 的表达式为 ymx+n（m0） ， 把 x1，y4a，把 x2，ya 代入 ymx+n 中； 得：4am+n，a2m+n， 解得：ma，n3a， 直线 AB 的表达式为 ya x+3a， 令 y0，得 0a x+3a， 解得，x3， 点 C 的坐标为（3，0） （3）如图，作 AFDE 于点 F，作 AGx 轴于点 G， 对称轴 x1， 点 D 的坐标为（1，0） ， ADEACD， ADFACG， tanADFtanACG， tanADF，tanACG， ， A（1，4a） ， F（1，4a） ，G（1，0） ， 又C（3，0） ，D（1，0） ， AF2，FD4a，AG4a，GC4， ， 解得：a（负值已舍去） 二次函数的表达式 y
