1、2021 年浙江省宁波市中考数学模拟试卷(潮卷)年浙江省宁波市中考数学模拟试卷(潮卷) 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 4 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1的相反数是( ) A B C D 2下列计算中正确的是( ) Ab6b3b2 Bb3b3b9 C (a3)3a9 Da2+a2a4 3今年是我国脱贫攻坚决胜之年,全国要完成 3900000 贫困人口的搬迁建设任务,数据 3900000 用科学记 数法应表示为( ) A0.39108 B3.9107 C3.9106 D39105 4一个不透明的袋
2、子里装有 3 个红球和 5 个黄球,它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是黄 球的概率为( ) A B C D 5如图,有一块含有 30角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上当115时, 2 的度数是( ) A15 B25 C25 D45 6如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形,它的左视图是( ) A B C D 74 月 23 日为世界读书日,倡导全民多读书、读好书成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况, 随机抽取了一个班级的学生,对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计,统计数据 如表所示: 读书时间(小时) 4 5 6 7 8 学生人数 6
3、 10 9 8 7 则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是( ) A6,5 B6,6 C6.5,6 D6.5,5 8我国民间流传的数学名题: “只闻隔壁人分银,不知多少银和人,每人 7 两少 7 两,每人半斤多半斤, 试问各位善算者,多少人分多少银?(1 斤等于 10 两) ” ,其大意是:听见隔壁一些人在分银两,每人 7 两还缺 7 两,每人半斤则多半斤,问共有多少人?共有多少两银子?设有 x 个人,共分 y 两银子,根据 题意,可列方程组为( ) A B C D 9 二次函数 yax2+bx+c (a0) 的图象如图所示, 它的对称轴为直线 x1 则下列选项正确的是 ( ) Aabc0
4、 B4acb20 C (ca) (c+3a)0 Dabm(am+b) (m 为实数) 10如图,一个长方形 ABCD 是由四块小长方形拼成(四块小长方形放置时既不重叠,也没有空隙) ,其中 和两块长方形的形状大小完全相同,如果要求出和两块长方形的周长之差,则只要知道哪条 线段的长( ) AEF BFG CGH DFH 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 5 分,共分,共 30 分)分) 11 (5 分)代数式在实数范围内有意义,则实数 x 的取值范围是 12 (5 分)分解因式:8a2a3 13 (5 分)如图,在ABC 中,ADBC 于点 D,点 E,F 分别是 AB,AC 边的中点,请你
5、在ABC 中添 加一个条件: ,使得四边形 AEDF 是菱形 14 (5 分)如图,AOB90,B30,以点 O 为圆心,OA 为半径作弧交 AB 于点 C,交 OB 于点 D,若 OA4,则阴影部分的面积为 15 (5 分)如图,等腰ABC 中,ABAC5,BC6,BD 是腰 AC 上的高,点 O 是线段 BD 上一动点, 当半径为的O 与ABC 的一边相切时,OB 的长为 16 (5 分)如图,点 B,D 在 x 轴正半轴上,点 A,C 在函数 y(k0,x0)的图象上,AOAB, CBCD,且 OACB,设AOB,CBD 的面积分别为 S1,S2,则的值为 ;当 k4 时,S2 的值为
6、三、解答题(本大题有三、解答题(本大题有 8 小题,共小题,共 80 分)分) 17 (8 分) (1)化简:m(m+2)(m1)2 (2)解不等式:1 18 (8 分)图分别是 45 的网格,点 A,B 均在格点上,请按要求画出下列图形,所画的图形的各个 顶点均在格点上 (1)请在图中画一个四边形 ABCD,使得四边形 ABCD 为轴对称图形; ( 2 ) 请 在 图 中 画 一 个 四 边 形ABEF , 使 得 四 边 形ABEF为 中 心 对 称 图 形 19 (8 分) 如图, 小甬的家在某住宅楼 AB 的最顶层, 他家对面有一建筑物 CD, 他很想知道建筑物的高度, 他首先量出 A
7、 到地面的距离(AB)为 20m,又测得从 A 处看建筑物底部 C 的俯角 为 30,看建筑物 顶部 D 的仰角 为 53,且 AB,CD 都与地面垂直,点 A,B,C,D 在同一平面内 (1)求 AB 与 CD 之间的距离(结果保留根号) (2)求建筑物 CD 的高度(结果精确到 1m) (参考数据:sin530.8,cos530.6,tan531.3,1.7) 20 (10 分)如图,二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C(0,3) , 且二次函数图象的顶点坐标为(1,4) ,点 C,D 是抛物线上的一对对称点,一次函数的图象过点 B,
8、 D (1)求 A,B 两点的坐标 (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围 21(10 分) 某校九年级在一次体育模拟测试中, 随机抽查了部分学生的体育成绩, 根据成绩分成如下六组: A.40 x45,45x50,C.50 x55,D.55x60,E.60 x65,F.65x70并根据数据制作出 如下不完整的统计图请根据统计图解决下列问题, (1)补全频数分布直方图,并求出 m 的值; (2)若测试成绩不低于 60 分为优秀,则本次测试的优秀率是多少? (3)在(2)的条件下,若该校九年级有 1800 名学生,且都参加了该次模拟测试,则成绩优秀的学生约 有多少人?
9、22 (10 分)如图,一辆货车和一辆轿车先后从甲地开往乙地,线段 OA 表示货车离开甲地的距离 y(km) 与时间 x(h)之间的函数关系;折线 BCD 表示轿车离开甲地的距离 y(km)与时间 x(h)之间的函数 关系,请根据图象解答下列问题: (1)求线段 CD 所在直线的函数表达式 (2)货车出发多长时间两车相遇?此时两车距离乙地多远? 23 (12 分) 【基础巩固】 (1)如图,ABCACDCED,求证:ABCCED 【尝试应用】 (2)如图,在菱形 ABCD 中,A60,点 E,F 分别为边 AD,AB 上两点,将菱形 ABCD 沿 EF 翻折,点 A 恰好落在对角线 DB 上的
10、点 P 处,若 PD2PB,求的值 【拓展提高】 (3) 如图, 在矩形 ABCD 中, 点 P 是 AD 边上一点, 连接 PB, PC, 若 PA2, PD4, BPC120, 求 AB 的长 24 (14 分)定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段,且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点 连线长度的平方,则称这个点为三角形该边的“奇点” 如图,ABC 中,点 D 是 BC 边上一点,连 接 AD,若 AD2BDCD,则称点 D 是ABC 中 BC 边上的“奇点” (1)关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有 (填写正确的序号) 1 点;2 点;1 点或 2 点;1 点或 2 点或 3
11、点 (2)如图,ABC 中,BC11,tanB,tanC,点 D 是 BC 边上的“奇点” ,求线段 BD 的长 (3)如图,ABC 是O 的内接三角形,D 是 BC 上一点,连接 OD,AD,若 ODAD 求证:点 D 是ABC 中 BC 边上的“奇点” ; 若 AD 是ABC 的角平分线,求的值 2021 年浙江省宁波市中考数学模拟试卷(潮卷)年浙江省宁波市中考数学模拟试卷(潮卷) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 4 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1的相反
12、数是( ) A B C D 【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号,即可得出答案 【解答】解:的相反数是, 故选:C 2下列计算中正确的是( ) Ab6b3b2 Bb3b3b9 C (a3)3a9 Da2+a2a4 【分析】分别根据同底数幂的除法法则,同底数幂的乘法法则,幂的乘方运算法则以及合并同类项法则 逐一判断即可 【解答】解:Ab6b3b3,故本选项不合题意; Bb3b3b6,故本选项不合题意; C (a3)3a9,正确,故本选项符合题意; Da2+a22a2,故本选项不合题意; 故选:C 3今年是我国脱贫攻坚决胜之年,全国要完成 3900000 贫困人口的搬迁建设任务,
13、数据 3900000 用科学记 数法应表示为( ) A0.39108 B3.9107 C3.9106 D39105 【分析】根据科学记数法形式:a10n,其中 1|a|10,n 为正整数,即可求解 【解答】解:3900000 用科学记数法应表示为:3.9106 故选:C 4一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 5 个黄球,它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是黄 球的概率为( ) A B C D 【分析】用黄球的个数除以球的总个数即可 【解答】解:从袋中任意摸出一个球有 8 种等可能结果,其中摸出的小球是黄球的有 5 种结果, 所以从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为, 故选:D 5如图,
14、有一块含有 30角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上当115时, 2 的度数是( ) A15 B25 C25 D45 【分析】根据 BECD 得到EBC15,依据ABC60,EBC15,由角的和差关系可求2 45 【解答】解:如图, BECD, EBC115, ABC60, 245 故选:D 6如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形,它的左视图是( ) A B C D 【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可 【解答】解:从左边看有两列,从左到右第一列是两个正方形,第二列底层是一个正方形 故选:D 74 月 23 日为世界读书日,倡导全民多读书、读好书成都高新区某学
15、校为了了解学生的课外阅读情况, 随机抽取了一个班级的学生,对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计,统计数据 如表所示: 读书时间(小时) 4 5 6 7 8 学生人数 6 10 9 8 7 则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是( ) A6,5 B6,6 C6.5,6 D6.5,5 【分析】根据表格中的数据可知该班有学生 40 人,从而可以求得中位数和众数,本题得以解决 【解答】解:由表格可得,读书时间为 5 小时最多,故一周读书时间的众数为 5, 该班学生一周读书时间的第 20 个数 6 和第 21 个数是 6,故该班学生一周读书时间的中位数为6, 故选:A 8我国民间流
16、传的数学名题: “只闻隔壁人分银,不知多少银和人,每人 7 两少 7 两,每人半斤多半斤, 试问各位善算者,多少人分多少银?(1 斤等于 10 两) ” ,其大意是:听见隔壁一些人在分银两,每人 7 两还缺 7 两,每人半斤则多半斤,问共有多少人?共有多少两银子?设有 x 个人,共分 y 两银子,根据 题意,可列方程组为( ) A B C D 【分析】根据“每人 7 两还缺 7 两,每人半斤则多半斤” ,即可得出关于 x,y 的二元一次方程组,此题 得解 【解答】解:依题意,得: 故选:D 9 二次函数 yax2+bx+c (a0) 的图象如图所示, 它的对称轴为直线 x1 则下列选项正确的是
17、 ( ) Aabc0 B4acb20 C (ca) (c+3a)0 Dabm(am+b) (m 为实数) 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断 【解答】解:A、由图示知,抛物线对称轴位于 y 轴左侧,则 a、b 同号,即 ab0抛物线与 y 轴交于 正半轴,则 c0所以 abc0,故本选项不符合题意 B、由图示知,抛物线与 x 轴有两个交点,则 b24ac0,所以 4acb20,故本选项不符合题意 C、由对称轴 x1 得到:b2a 又当 x1 时,y0,
18、a+b+c0 抛物线开口向下, a0 ca0 (ca) (c+3a)(ca) (c+a+b)0 故本选项不符合题意 D、x1 时,函数值最大, ab+cm2amb+c, abm(amb) , 故本选项符合题意 故选:D 10如图,一个长方形 ABCD 是由四块小长方形拼成(四块小长方形放置时既不重叠,也没有空隙) ,其中 和两块长方形的形状大小完全相同,如果要求出和两块长方形的周长之差,则只要知道哪条 线段的长( ) AEF BFG CGH DFH 【分析】根据题意和图形,可以写出和两块长方形的周长之差,然后整理化简即可 【解答】解:和两块长方形的形状大小完全相同, FHBECH,AEDHGH
19、, 和两块长方形的周长之差是: 2(EG+EB)2(AE+EF) 2(EG+EBAEEF) 2(EGEF)+(EBAE) 2FG+(FHGH) 2(FG+FG) 4FG, 要求出和两块长方形的周长之差,则只要知道线段 FG 的长即可, 故选:B 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 5 分,共分,共 30 分)分) 11 (5 分)代数式在实数范围内有意义,则实数 x 的取值范围是 x2 【分析】直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案 【解答】解:若代数式在实数范围内有意义,则 x+20, 解得:x2 故答案是:x2 12 (5 分)分解因式:8a2a3 2a(2+a) (2a) 【分析】
20、原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可 【解答】解:原式2a(4a2) 2a(2+a) (2a) 故答案为:2a(2+a) (2a) 13 (5 分)如图,在ABC 中,ADBC 于点 D,点 E,F 分别是 AB,AC 边的中点,请你在ABC 中添 加一个条件: ABAC(答案不唯一) ,使得四边形 AEDF 是菱形 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出 DEABAE,DFACAF,由 ABAC,得出 DE DFAEAF,即可得出结论 【解答】解:添加条件:ABAC理由如下: ADBC,点 E,F 分别是 AB,AC 边的中点, DEABAE,DFACAF, ABAC, DEDFAEA
21、F, 四边形 AEDF 是菱形; 故答案为:ABAC(答案不唯一) 14 (5 分)如图,AOB90,B30,以点 O 为圆心,OA 为半径作弧交 AB 于点 C,交 OB 于点 D,若 OA4,则阴影部分的面积为 【分析】连接 OC,作 CHOB 于 H,根据直角三角形的性质求出 AB,根据勾股定理求出 BD,证明 AOC 为等边三角形, 得到AOC60, COB30, 根据扇形面积公式、 三角形面积公式计算即可 【解答】解:连接 OC,作 CHOB 于 H, AOB90,B30, OAB60,AB2OA8, 由勾股定理得,OB4, OAOC,OAB60, AOC 为等边三角形, AOC60
22、, COB30, COCB,CHOC2, 阴影部分的面积44+42, 故答案为: 15 (5 分)如图,等腰ABC 中,ABAC5,BC6,BD 是腰 AC 上的高,点 O 是线段 BD 上一动点, 当半径为的O 与ABC 的一边相切时,OB 的长为 或 【分析】作 AHBC 于点 H,根据等腰三角形的性质可得 HC 的长,再利用三角函数可得 DC,根据勾 股定理得到 BD 的长,根据半径为的O 与ABC 的一边相切,分三种情况讨论根据相似三角形的性 质求解即可得到结论 【解答】解:如图,作 AHBC 于点 H, ABAC5,BC6, HC3, AHC90,AC5, cosC, DC, BD,
23、 O 与 AC 相切时,切点为 D, 半径为, OD, BD, OBBDOD; O 与 BC 相切时,切点为 M, OMBC, BMOBDC90, MBODBC, MBODBC, , , BO; O 与 AB 相切时,切点为 N, ONAB, BNOBDA90, NBODBA, NBODBA, , , BO 当圆 O 与 AB 相切时,OB 的长为, BD, , 也就是说,圆 O 与 AB 相切,是圆心 O 在线段 BD 外即在直线 BD 上的时候,不符合题意, 故答案只有两种情况,即圆 O 与 AC,AB 相切时 综上所述,AP 的长为或 故答案为:或 16 (5 分)如图,点 B,D 在
24、x 轴正半轴上,点 A,C 在函数 y(k0,x0)的图象上,AOAB, CBCD,且 OACB,设AOB,CBD 的面积分别为 S1,S2,则的值为 3+2 ;当 k4 时, S2的值为 128 【分析】过点 A 作 AEx 轴于 E,过点 C 作 CFx 轴于 F,设 A(a,) ,C(b,) ,由 OACB, 可得AOECBF,进而可得 tanAOEtanCBF,应用三角函数定义即可得到 b22aba20,解 得 b(1+)a,再根据三角形面积公式分别求得 S1k,S2(32)k,从而可得答案 【解答】解:如图,过点 A 作 AEx 轴于 E,过点 C 作 CFx 轴于 F, 设 A(a
25、,) , OEa,AE, OAAB,AEOB, OEBEa, B(2a,0) , 设 C(b,) , OFb,CF, BFOFOBb2a, OACB, AOECBF, tanAOEtanCBF, , AEBFCFOE,即:(b2a)a, 整理得:b22aba20, 解得:b1(1+)a,b2(1)a(舍去) , CF(1),BFb2a(1+)a2a(1)a, BD2BF2(1)a, C( (1+)a, (1) , S1OBAE2ak, S2BDCF2(1)a(1)(32)k, 3+2, 当 k4 时,S2(32)4128 故答案为:3+2;128 三、解答题(本大题有三、解答题(本大题有 8
26、小题,共小题,共 80 分)分) 17 (8 分) (1)化简:m(m+2)(m1)2 (2)解不等式:1 【分析】 (1)先根据单项式乘多项式法则,完全平方公式计算,再去括号,合并同类项即可求解; (2)去分母,去括号,移项,合并同类项,化系数为 1 即可求解 【解答】解: (1)m(m+2)(m1)2 m2+2m(m22m+1) m2+2mm2+2m1 4m1; (2)1, 去分母得 3(1+x)2(2x1)6, 去括号得 3+3x4x+26, 移项,合并同类项得x1, 化系数为 1 得 x1 18 (8 分)图分别是 45 的网格,点 A,B 均在格点上,请按要求画出下列图形,所画的图形
27、的各个 顶点均在格点上 (1)请在图中画一个四边形 ABCD,使得四边形 ABCD 为轴对称图形; ( 2 ) 请 在 图 中 画 一 个 四 边 形ABEF , 使 得 四 边 形ABEF为 中 心 对 称 图 形 【分析】 (1)根据轴对称图形的定义画出图形即可(答案不唯一) (2)根据中心对称图形的定义画出图形即可(答案不唯一) 【解答】解: (1)如图中,四边形 ABCD 即为所求作(答案不唯一) (2)如图中,四边形 ABEF 即为所求作(答案不唯一) 19 (8 分) 如图, 小甬的家在某住宅楼 AB 的最顶层, 他家对面有一建筑物 CD, 他很想知道建筑物的高度, 他首先量出 A
28、 到地面的距离(AB)为 20m,又测得从 A 处看建筑物底部 C 的俯角 为 30,看建筑物 顶部 D 的仰角 为 53,且 AB,CD 都与地面垂直,点 A,B,C,D 在同一平面内 (1)求 AB 与 CD 之间的距离(结果保留根号) (2)求建筑物 CD 的高度(结果精确到 1m) (参考数据:sin530.8,cos530.6,tan531.3,1.7) 【分析】(1) 作 AMCD 于 M, 根据矩形的性质得到 CMAB20, AMBC, 根据正切的定义求出 AM; (2)根据正切的定义求出 DM,结合图形计算,即可得到答案 【解答】解: (1)作 AMCD 于 M, 则四边形 A
29、BCM 为矩形,DAM53,CAM30, CMAB20,AMBC, 在 RtACM 中,tan, 则 AM20(m) , 答:AB 与 CD 之间的距离 20m; (2)在 RtAMD 中,tan, 则 DMAMtan53201.71.344.2(m) , DCDM+CM44.2+2064(m) , 答:建筑物 CD 的高度约为 64m 20 (10 分)如图,二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C(0,3) , 且二次函数图象的顶点坐标为(1,4) ,点 C,D 是抛物线上的一对对称点,一次函数的图象过点 B, D (1)求 A,B 两点
30、的坐标 (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围 【分析】 (1)根据待定系数法求得抛物线的解析式,然后令 y0,解一元二次方程即可求得 A、B 的坐 标; (2)求得 D 点的坐标,然后根据图象即可求得 【解答】解: (1)设二次函数的表达式为 ya(x+1)2+4, 把点 C(0,3)代入,得 3a+4,解得 a1, 二次函数的表达式为 yx22x+3, 当 y0 时,解得 x1 或 x3, 点 A 的坐标为(3,0) ,点 B 的坐标为(1,0) ; (2)点 C,D 是抛物线上的一对对称点,C(0,3) ,对称轴为直线 x1, D(2,3) , 由图象可知,使
31、一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围 x2 或 x1 21(10 分) 某校九年级在一次体育模拟测试中, 随机抽查了部分学生的体育成绩, 根据成绩分成如下六组: A.40 x45,45x50,C.50 x55,D.55x60,E.60 x65,F.65x70并根据数据制作出 如下不完整的统计图请根据统计图解决下列问题, (1)补全频数分布直方图,并求出 m 的值; (2)若测试成绩不低于 60 分为优秀,则本次测试的优秀率是多少? (3)在(2)的条件下,若该校九年级有 1800 名学生,且都参加了该次模拟测试,则成绩优秀的学生约 有多少人? 【分析】 (1)根据 B 组的频数和所对的圆
32、心角的度数,可以计算出本次调查的人数,再根据频数分布直 方图中的数据,可以得到 E 组的频数,从而可以将频数分布直方图补充完整,根据直方图中的数据,可 以计算出 m 的值; (2)根据直方图中的数据,可以计算出本次测试的优秀率是多少; (3)根据(2)中的结果,可以计算出成绩优秀的学生约有多少人 【解答】解: (1)本次抽查的学生有:650(人) , E 组学生有:5026816414(人) , 补全的频数分布直方图如右图所示, m360115.2, 即 m 的值是 115.2; (2)100%36%, 即本次测试的优秀率是 36%; (3)180036%648(人) , 答:成绩优秀的学生约
33、有 648 人 22 (10 分)如图,一辆货车和一辆轿车先后从甲地开往乙地,线段 OA 表示货车离开甲地的距离 y(km) 与时间 x(h)之间的函数关系;折线 BCD 表示轿车离开甲地的距离 y(km)与时间 x(h)之间的函数 关系,请根据图象解答下列问题: (1)求线段 CD 所在直线的函数表达式 (2)货车出发多长时间两车相遇?此时两车距离乙地多远? 【分析】 (1)由图象可得甲、乙两地相距 300km,轿车比货车晚出发 1.2 小时,利用待定系数法求解析 式; (2)求出 OA 解析式,联立方程组,可求解 【解答】解: (1)设线段 CD 所在直线的函数表达式为:ykx+b, 由图
34、象可得:甲、乙两地相距 300km,轿车比货车晚出发 1.2 小时, 由题意可得: , 解得:, 线段 CD 所在直线的函数表达式为:y110 x195(2.5x4.5) ; (3)设 OA 解析式为:ymx, 由题意可得:3005m, m60, OA 解析式为:y60 x, , 解得:, 30023466(千米) , 答:货车出发 3.9 小时两车相遇,此时两车距离乙地 66 千米 23 (12 分) 【基础巩固】 (1)如图,ABCACDCED,求证:ABCCED 【尝试应用】 (2)如图,在菱形 ABCD 中,A60,点 E,F 分别为边 AD,AB 上两点,将菱形 ABCD 沿 EF
35、翻折,点 A 恰好落在对角线 DB 上的点 P 处,若 PD2PB,求的值 【拓展提高】 (3) 如图, 在矩形 ABCD 中, 点 P 是 AD 边上一点, 连接 PB, PC, 若 PA2, PD4, BPC120, 求 AB 的长 【分析】 (1)ABCACD,ACEA+ABC,则AECD,进而求解; (2)证明ABD 为等边三角形,由(1)得ABCCED,则,即, 即可求解; (3)证明BEPPFC,则,即,即可求解 【解答】解: (1)ABCACD,ACEA+ABC, DCE+A+,即AECD, ABCCED, ABCCED; (2)四边形 ABCD 为菱形, ABAD, A60,
36、ABD 为等边三角形, EPFAADBABD60, 由(1)得:ABCCED, , 设 BPa,则 DP2a,AEPEx,AFPFy, 则 DE3ax,BF3ay, , 解得:, 的值为; (3)如图,在 AD 上取点 E、F,使ABEDCF30, 四边形 ABCD 为矩形, AD90, BEPBPCPFC120, EPB+FPC18012060,EPB+EBP60, FPCEBP, BEPPFC, , 设 ABCDm, 则, 解得:m或(舍去) , AB 24 (14 分)定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段,且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点 连线长度的平方,则称这个点为三角形该
37、边的“奇点” 如图,ABC 中,点 D 是 BC 边上一点,连 接 AD,若 AD2BDCD,则称点 D 是ABC 中 BC 边上的“奇点” (1)关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有 (填写正确的序号) 1 点;2 点;1 点或 2 点;1 点或 2 点或 3 点 (2)如图,ABC 中,BC11,tanB,tanC,点 D 是 BC 边上的“奇点” ,求线段 BD 的长 (3)如图,ABC 是O 的内接三角形,D 是 BC 上一点,连接 OD,AD,若 ODAD 求证:点 D 是ABC 中 BC 边上的“奇点” ; 若 AD 是ABC 的角平分线,求的值 【分析】 (1)根据“奇点”的定义
38、即可判断直角三角形 (2)根据三角函数,转化为边的比例,求出 BH5、CH6、AH3结合点 D 的位置分类讨论,利用 已知定义建立方程即可求解 (2)延长 AD 叫O 于点 E,连接 BE证明BDEADC利用对应边成比例即可求证 先判定ABEADC利用对应边比例即可求解 【解答】解: (1)若直角三角形为等腰直角三角形有一个“奇点” 若直角三角形非等腰直角三角形,则有两个:奇点 故直角三角形有 1 或者 2 个“奇点” 故答案为: (2)作 AHBC 于 H 由 tanB,tanC, 可设 AH3x,则 BH5x、CH6x BC11x11, x1 BH5、CH6、AH3 设 DHa 如图,当点 D 在点 H 左侧时, 由点 D 是 BC 边上的“奇点” ,有:AD2BDCD a2+9(5a) (6+a) 解得:a3 或 a(舍) BD5a2 如图,当点 D 在点 H 右侧时, AD2BDCD a2+9(5+a) (6a) 解得:a或 a3(舍) BD5+a 综上:BD 的长为 2 或 (3)证明:如图,延长 AD 叫O 于点 E,连接 BE ODAD ADED EC,BDEADC BDEADC ,即:ADEDBDCD AD2BDCD 点 D 是ABC 中边 BC 边上的“奇点” AD 是角平分线 BAECAD EE ABEADC ABACADAE2AD2