1、2021 年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（潮卷）年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（潮卷） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1的相反数是（ ） A B C D 2下列计算中正确的是（ ） Ab6b3b2 Bb3b3b9 C （a3）3a9 Da2+a2a4 3今年是我国脱贫攻坚决胜之年，全国要完成 3900000 贫困人口的搬迁建设任务，数据 3900000 用科学记 数法应表示为（ ） A0.39108 B3.9107 C3.9106 D39105 4一个不透明的袋
2、子里装有 3 个红球和 5 个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是黄 球的概率为（ ） A B C D 5如图，有一块含有 30角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上当115时， 2 的度数是（ ） A15 B25 C25 D45 6如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A B C D 74 月 23 日为世界读书日，倡导全民多读书、读好书成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况， 随机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据 如表所示： 读书时间（小时） 4 5 6 7 8 学生人数 6
3、 10 9 8 7 则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（ ） A6，5 B6，6 C6.5，6 D6.5，5 8我国民间流传的数学名题： “只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人 7 两少 7 两，每人半斤多半斤， 试问各位善算者，多少人分多少银？（1 斤等于 10 两） ” ，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人 7 两还缺 7 两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有 x 个人，共分 y 两银子，根据 题意，可列方程组为（ ） A B C D 9 二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 它的对称轴为直线 x1 则下列选项正确的是 （ ） Aabc0
4、 B4acb20 C （ca） （c+3a）0 Dabm（am+b） （m 为实数） 10如图，一个长方形 ABCD 是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙） ，其中 和两块长方形的形状大小完全相同，如果要求出和两块长方形的周长之差，则只要知道哪条 线段的长（ ） AEF BFG CGH DFH 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）代数式在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 12 （5 分）分解因式：8a2a3 13 （5 分）如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，点 E，F 分别是 AB，AC 边的中点，请你
5、在ABC 中添 加一个条件： ，使得四边形 AEDF 是菱形 14 （5 分）如图，AOB90，B30，以点 O 为圆心，OA 为半径作弧交 AB 于点 C，交 OB 于点 D，若 OA4，则阴影部分的面积为 15 （5 分）如图，等腰ABC 中，ABAC5，BC6，BD 是腰 AC 上的高，点 O 是线段 BD 上一动点， 当半径为的O 与ABC 的一边相切时，OB 的长为 16 （5 分）如图，点 B，D 在 x 轴正半轴上，点 A，C 在函数 y（k0，x0）的图象上，AOAB， CBCD，且 OACB，设AOB，CBD 的面积分别为 S1，S2，则的值为 ；当 k4 时，S2 的值为
6、三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）化简：m（m+2）（m1）2 （2）解不等式：1 18 （8 分）图分别是 45 的网格，点 A，B 均在格点上，请按要求画出下列图形，所画的图形的各个 顶点均在格点上 （1）请在图中画一个四边形 ABCD，使得四边形 ABCD 为轴对称图形； （ 2 ） 请 在 图 中 画 一 个 四 边 形ABEF ， 使 得 四 边 形ABEF为 中 心 对 称 图 形 19 （8 分） 如图， 小甬的家在某住宅楼 AB 的最顶层， 他家对面有一建筑物 CD， 他很想知道建筑物的高度， 他首先量出 A
7、 到地面的距离（AB）为 20m，又测得从 A 处看建筑物底部 C 的俯角 为 30，看建筑物 顶部 D 的仰角 为 53，且 AB，CD 都与地面垂直，点 A，B，C，D 在同一平面内 （1）求 AB 与 CD 之间的距离（结果保留根号） （2）求建筑物 CD 的高度（结果精确到 1m） （参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.3，1.7） 20 （10 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ， 且二次函数图象的顶点坐标为（1，4） ，点 C，D 是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点 B，
8、 D （1）求 A，B 两点的坐标 （2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围 21（10 分） 某校九年级在一次体育模拟测试中， 随机抽查了部分学生的体育成绩， 根据成绩分成如下六组： A.40 x45，45x50，C.50 x55，D.55x60，E.60 x65，F.65x70并根据数据制作出 如下不完整的统计图请根据统计图解决下列问题， （1）补全频数分布直方图，并求出 m 的值； （2）若测试成绩不低于 60 分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ （3）在（2）的条件下，若该校九年级有 1800 名学生，且都参加了该次模拟测试，则成绩优秀的学生约 有多少人？
9、22 （10 分）如图，一辆货车和一辆轿车先后从甲地开往乙地，线段 OA 表示货车离开甲地的距离 y（km） 与时间 x（h）之间的函数关系；折线 BCD 表示轿车离开甲地的距离 y（km）与时间 x（h）之间的函数 关系，请根据图象解答下列问题： （1）求线段 CD 所在直线的函数表达式 （2）货车出发多长时间两车相遇？此时两车距离乙地多远？ 23 （12 分） 【基础巩固】 （1）如图，ABCACDCED，求证：ABCCED 【尝试应用】 （2）如图，在菱形 ABCD 中，A60，点 E，F 分别为边 AD，AB 上两点，将菱形 ABCD 沿 EF 翻折，点 A 恰好落在对角线 DB 上的
10、点 P 处，若 PD2PB，求的值 【拓展提高】 （3） 如图， 在矩形 ABCD 中， 点 P 是 AD 边上一点， 连接 PB， PC， 若 PA2， PD4， BPC120， 求 AB 的长 24 （14 分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点 连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点” 如图，ABC 中，点 D 是 BC 边上一点，连 接 AD，若 AD2BDCD，则称点 D 是ABC 中 BC 边上的“奇点” （1）关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有 （填写正确的序号） 1 点；2 点；1 点或 2 点；1 点或 2 点或 3
11、点 （2）如图，ABC 中，BC11，tanB，tanC，点 D 是 BC 边上的“奇点” ，求线段 BD 的长 （3）如图，ABC 是O 的内接三角形，D 是 BC 上一点，连接 OD，AD，若 ODAD 求证：点 D 是ABC 中 BC 边上的“奇点” ； 若 AD 是ABC 的角平分线，求的值 2021 年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（潮卷）年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（潮卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1的相反
12、数是（ ） A B C D 【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，即可得出答案 【解答】解：的相反数是， 故选：C 2下列计算中正确的是（ ） Ab6b3b2 Bb3b3b9 C （a3）3a9 Da2+a2a4 【分析】分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项法则 逐一判断即可 【解答】解：Ab6b3b3，故本选项不合题意； Bb3b3b6，故本选项不合题意； C （a3）3a9，正确，故本选项符合题意； Da2+a22a2，故本选项不合题意； 故选：C 3今年是我国脱贫攻坚决胜之年，全国要完成 3900000 贫困人口的搬迁建设任务，
13、数据 3900000 用科学记 数法应表示为（ ） A0.39108 B3.9107 C3.9106 D39105 【分析】根据科学记数法形式：a10n，其中 1|a|10，n 为正整数，即可求解 【解答】解：3900000 用科学记数法应表示为：3.9106 故选：C 4一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 5 个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是黄 球的概率为（ ） A B C D 【分析】用黄球的个数除以球的总个数即可 【解答】解：从袋中任意摸出一个球有 8 种等可能结果，其中摸出的小球是黄球的有 5 种结果， 所以从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为， 故选：D 5如图，
14、有一块含有 30角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上当115时， 2 的度数是（ ） A15 B25 C25 D45 【分析】根据 BECD 得到EBC15，依据ABC60，EBC15，由角的和差关系可求2 45 【解答】解：如图， BECD， EBC115， ABC60， 245 故选：D 6如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可 【解答】解：从左边看有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形 故选：D 74 月 23 日为世界读书日，倡导全民多读书、读好书成都高新区某学
15、校为了了解学生的课外阅读情况， 随机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据 如表所示： 读书时间（小时） 4 5 6 7 8 学生人数 6 10 9 8 7 则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（ ） A6，5 B6，6 C6.5，6 D6.5，5 【分析】根据表格中的数据可知该班有学生 40 人，从而可以求得中位数和众数，本题得以解决 【解答】解：由表格可得，读书时间为 5 小时最多，故一周读书时间的众数为 5， 该班学生一周读书时间的第 20 个数 6 和第 21 个数是 6，故该班学生一周读书时间的中位数为6， 故选：A 8我国民间流
16、传的数学名题： “只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人 7 两少 7 两，每人半斤多半斤， 试问各位善算者，多少人分多少银？（1 斤等于 10 两） ” ，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人 7 两还缺 7 两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有 x 个人，共分 y 两银子，根据 题意，可列方程组为（ ） A B C D 【分析】根据“每人 7 两还缺 7 两，每人半斤则多半斤” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题 得解 【解答】解：依题意，得： 故选：D 9 二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 它的对称轴为直线 x1 则下列选项正确的是
17、 （ ） Aabc0 B4acb20 C （ca） （c+3a）0 Dabm（am+b） （m 为实数） 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：A、由图示知，抛物线对称轴位于 y 轴左侧，则 a、b 同号，即 ab0抛物线与 y 轴交于 正半轴，则 c0所以 abc0，故本选项不符合题意 B、由图示知，抛物线与 x 轴有两个交点，则 b24ac0，所以 4acb20，故本选项不符合题意 C、由对称轴 x1 得到：b2a 又当 x1 时，y0，
18、a+b+c0 抛物线开口向下， a0 ca0 （ca） （c+3a）（ca） （c+a+b）0 故本选项不符合题意 D、x1 时，函数值最大， ab+cm2amb+c， abm（amb） ， 故本选项符合题意 故选：D 10如图，一个长方形 ABCD 是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙） ，其中 和两块长方形的形状大小完全相同，如果要求出和两块长方形的周长之差，则只要知道哪条 线段的长（ ） AEF BFG CGH DFH 【分析】根据题意和图形，可以写出和两块长方形的周长之差，然后整理化简即可 【解答】解：和两块长方形的形状大小完全相同， FHBECH，AEDHGH
19、， 和两块长方形的周长之差是： 2（EG+EB）2（AE+EF） 2（EG+EBAEEF） 2（EGEF）+（EBAE） 2FG+（FHGH） 2（FG+FG） 4FG， 要求出和两块长方形的周长之差，则只要知道线段 FG 的长即可， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）代数式在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 x2 【分析】直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案 【解答】解：若代数式在实数范围内有意义，则 x+20， 解得：x2 故答案是：x2 12 （5 分）分解因式：8a2a3 2a（2+a） （2a） 【分析】
20、原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式2a（4a2） 2a（2+a） （2a） 故答案为：2a（2+a） （2a） 13 （5 分）如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，点 E，F 分别是 AB，AC 边的中点，请你在ABC 中添 加一个条件： ABAC（答案不唯一） ，使得四边形 AEDF 是菱形 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出 DEABAE，DFACAF，由 ABAC，得出 DE DFAEAF，即可得出结论 【解答】解：添加条件：ABAC理由如下： ADBC，点 E，F 分别是 AB，AC 边的中点， DEABAE，DFACAF， ABAC， DEDFAEA
21、F， 四边形 AEDF 是菱形； 故答案为：ABAC（答案不唯一） 14 （5 分）如图，AOB90，B30，以点 O 为圆心，OA 为半径作弧交 AB 于点 C，交 OB 于点 D，若 OA4，则阴影部分的面积为 【分析】连接 OC，作 CHOB 于 H，根据直角三角形的性质求出 AB，根据勾股定理求出 BD，证明 AOC 为等边三角形， 得到AOC60， COB30， 根据扇形面积公式、 三角形面积公式计算即可 【解答】解：连接 OC，作 CHOB 于 H， AOB90，B30， OAB60，AB2OA8， 由勾股定理得，OB4， OAOC，OAB60， AOC 为等边三角形， AOC60
22、， COB30， COCB，CHOC2， 阴影部分的面积44+42， 故答案为： 15 （5 分）如图，等腰ABC 中，ABAC5，BC6，BD 是腰 AC 上的高，点 O 是线段 BD 上一动点， 当半径为的O 与ABC 的一边相切时，OB 的长为 或 【分析】作 AHBC 于点 H，根据等腰三角形的性质可得 HC 的长，再利用三角函数可得 DC，根据勾 股定理得到 BD 的长，根据半径为的O 与ABC 的一边相切，分三种情况讨论根据相似三角形的性 质求解即可得到结论 【解答】解：如图，作 AHBC 于点 H， ABAC5，BC6， HC3， AHC90，AC5， cosC， DC， BD，
23、 O 与 AC 相切时，切点为 D， 半径为， OD， BD， OBBDOD； O 与 BC 相切时，切点为 M， OMBC， BMOBDC90， MBODBC， MBODBC， ， ， BO； O 与 AB 相切时，切点为 N， ONAB， BNOBDA90， NBODBA， NBODBA， ， ， BO 当圆 O 与 AB 相切时，OB 的长为， BD， ， 也就是说，圆 O 与 AB 相切，是圆心 O 在线段 BD 外即在直线 BD 上的时候，不符合题意， 故答案只有两种情况，即圆 O 与 AC，AB 相切时 综上所述，AP 的长为或 故答案为：或 16 （5 分）如图，点 B，D 在
24、x 轴正半轴上，点 A，C 在函数 y（k0，x0）的图象上，AOAB， CBCD，且 OACB，设AOB，CBD 的面积分别为 S1，S2，则的值为 3+2 ；当 k4 时， S2的值为 128 【分析】过点 A 作 AEx 轴于 E，过点 C 作 CFx 轴于 F，设 A（a，） ，C（b，） ，由 OACB， 可得AOECBF，进而可得 tanAOEtanCBF，应用三角函数定义即可得到 b22aba20，解 得 b（1+）a，再根据三角形面积公式分别求得 S1k，S2（32）k，从而可得答案 【解答】解：如图，过点 A 作 AEx 轴于 E，过点 C 作 CFx 轴于 F， 设 A（a
25、，） ， OEa，AE， OAAB，AEOB， OEBEa， B（2a，0） ， 设 C（b，） ， OFb，CF， BFOFOBb2a， OACB， AOECBF， tanAOEtanCBF， ， AEBFCFOE，即：（b2a）a， 整理得：b22aba20， 解得：b1（1+）a，b2（1）a（舍去） ， CF（1），BFb2a（1+）a2a（1）a， BD2BF2（1）a， C（ （1+）a， （1） ， S1OBAE2ak， S2BDCF2（1）a（1）（32）k， 3+2， 当 k4 时，S2（32）4128 故答案为：3+2；128 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8
26、小题，共小题，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）化简：m（m+2）（m1）2 （2）解不等式：1 【分析】 （1）先根据单项式乘多项式法则，完全平方公式计算，再去括号，合并同类项即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为 1 即可求解 【解答】解： （1）m（m+2）（m1）2 m2+2m（m22m+1） m2+2mm2+2m1 4m1； （2）1， 去分母得 3（1+x）2（2x1）6， 去括号得 3+3x4x+26， 移项，合并同类项得x1， 化系数为 1 得 x1 18 （8 分）图分别是 45 的网格，点 A，B 均在格点上，请按要求画出下列图形，所画的图形
27、的各个 顶点均在格点上 （1）请在图中画一个四边形 ABCD，使得四边形 ABCD 为轴对称图形； （ 2 ） 请 在 图 中 画 一 个 四 边 形ABEF ， 使 得 四 边 形ABEF为 中 心 对 称 图 形 【分析】 （1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一） （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一） 【解答】解： （1）如图中，四边形 ABCD 即为所求作（答案不唯一） （2）如图中，四边形 ABEF 即为所求作（答案不唯一） 19 （8 分） 如图， 小甬的家在某住宅楼 AB 的最顶层， 他家对面有一建筑物 CD， 他很想知道建筑物的高度， 他首先量出 A
28、 到地面的距离（AB）为 20m，又测得从 A 处看建筑物底部 C 的俯角 为 30，看建筑物 顶部 D 的仰角 为 53，且 AB，CD 都与地面垂直，点 A，B，C，D 在同一平面内 （1）求 AB 与 CD 之间的距离（结果保留根号） （2）求建筑物 CD 的高度（结果精确到 1m） （参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.3，1.7） 【分析】（1） 作 AMCD 于 M， 根据矩形的性质得到 CMAB20， AMBC， 根据正切的定义求出 AM； （2）根据正切的定义求出 DM，结合图形计算，即可得到答案 【解答】解： （1）作 AMCD 于 M， 则四边形 A
29、BCM 为矩形，DAM53，CAM30， CMAB20，AMBC， 在 RtACM 中，tan， 则 AM20（m） ， 答：AB 与 CD 之间的距离 20m； （2）在 RtAMD 中，tan， 则 DMAMtan53201.71.344.2（m） ， DCDM+CM44.2+2064（m） ， 答：建筑物 CD 的高度约为 64m 20 （10 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ， 且二次函数图象的顶点坐标为（1，4） ，点 C，D 是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点 B， D （1）求 A，B 两点
30、的坐标 （2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围 【分析】 （1）根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后令 y0，解一元二次方程即可求得 A、B 的坐 标； （2）求得 D 点的坐标，然后根据图象即可求得 【解答】解： （1）设二次函数的表达式为 ya（x+1）2+4， 把点 C（0，3）代入，得 3a+4，解得 a1， 二次函数的表达式为 yx22x+3， 当 y0 时，解得 x1 或 x3， 点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（1，0） ； （2）点 C，D 是抛物线上的一对对称点，C（0，3） ，对称轴为直线 x1， D（2，3） ， 由图象可知，使
31、一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围 x2 或 x1 21（10 分） 某校九年级在一次体育模拟测试中， 随机抽查了部分学生的体育成绩， 根据成绩分成如下六组： A.40 x45，45x50，C.50 x55，D.55x60，E.60 x65，F.65x70并根据数据制作出 如下不完整的统计图请根据统计图解决下列问题， （1）补全频数分布直方图，并求出 m 的值； （2）若测试成绩不低于 60 分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ （3）在（2）的条件下，若该校九年级有 1800 名学生，且都参加了该次模拟测试，则成绩优秀的学生约 有多少人？ 【分析】 （1）根据 B 组的频数和所对的圆
32、心角的度数，可以计算出本次调查的人数，再根据频数分布直 方图中的数据，可以得到 E 组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整，根据直方图中的数据，可 以计算出 m 的值； （2）根据直方图中的数据，可以计算出本次测试的优秀率是多少； （3）根据（2）中的结果，可以计算出成绩优秀的学生约有多少人 【解答】解： （1）本次抽查的学生有：650（人） ， E 组学生有：5026816414（人） ， 补全的频数分布直方图如右图所示， m360115.2， 即 m 的值是 115.2； （2）100%36%， 即本次测试的优秀率是 36%； （3）180036%648（人） ， 答：成绩优秀的学生约
33、有 648 人 22 （10 分）如图，一辆货车和一辆轿车先后从甲地开往乙地，线段 OA 表示货车离开甲地的距离 y（km） 与时间 x（h）之间的函数关系；折线 BCD 表示轿车离开甲地的距离 y（km）与时间 x（h）之间的函数 关系，请根据图象解答下列问题： （1）求线段 CD 所在直线的函数表达式 （2）货车出发多长时间两车相遇？此时两车距离乙地多远？ 【分析】 （1）由图象可得甲、乙两地相距 300km，轿车比货车晚出发 1.2 小时，利用待定系数法求解析 式； （2）求出 OA 解析式，联立方程组，可求解 【解答】解： （1）设线段 CD 所在直线的函数表达式为：ykx+b， 由图
34、象可得：甲、乙两地相距 300km，轿车比货车晚出发 1.2 小时， 由题意可得： ， 解得：， 线段 CD 所在直线的函数表达式为：y110 x195（2.5x4.5） ； （3）设 OA 解析式为：ymx， 由题意可得：3005m， m60， OA 解析式为：y60 x， ， 解得：， 30023466（千米） ， 答：货车出发 3.9 小时两车相遇，此时两车距离乙地 66 千米 23 （12 分） 【基础巩固】 （1）如图，ABCACDCED，求证：ABCCED 【尝试应用】 （2）如图，在菱形 ABCD 中，A60，点 E，F 分别为边 AD，AB 上两点，将菱形 ABCD 沿 EF
35、翻折，点 A 恰好落在对角线 DB 上的点 P 处，若 PD2PB，求的值 【拓展提高】 （3） 如图， 在矩形 ABCD 中， 点 P 是 AD 边上一点， 连接 PB， PC， 若 PA2， PD4， BPC120， 求 AB 的长 【分析】 （1）ABCACD，ACEA+ABC，则AECD，进而求解； （2）证明ABD 为等边三角形，由（1）得ABCCED，则，即， 即可求解； （3）证明BEPPFC，则，即，即可求解 【解答】解： （1）ABCACD，ACEA+ABC， DCE+A+，即AECD， ABCCED， ABCCED； （2）四边形 ABCD 为菱形， ABAD， A60，
36、ABD 为等边三角形， EPFAADBABD60， 由（1）得：ABCCED， ， 设 BPa，则 DP2a，AEPEx，AFPFy， 则 DE3ax，BF3ay， ， 解得：， 的值为； （3）如图，在 AD 上取点 E、F，使ABEDCF30， 四边形 ABCD 为矩形， AD90， BEPBPCPFC120， EPB+FPC18012060，EPB+EBP60， FPCEBP， BEPPFC， ， 设 ABCDm， 则， 解得：m或（舍去） ， AB 24 （14 分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点 连线长度的平方，则称这个点为三角形该
37、边的“奇点” 如图，ABC 中，点 D 是 BC 边上一点，连 接 AD，若 AD2BDCD，则称点 D 是ABC 中 BC 边上的“奇点” （1）关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有 （填写正确的序号） 1 点；2 点；1 点或 2 点；1 点或 2 点或 3 点 （2）如图，ABC 中，BC11，tanB，tanC，点 D 是 BC 边上的“奇点” ，求线段 BD 的长 （3）如图，ABC 是O 的内接三角形，D 是 BC 上一点，连接 OD，AD，若 ODAD 求证：点 D 是ABC 中 BC 边上的“奇点” ； 若 AD 是ABC 的角平分线，求的值 【分析】 （1）根据“奇点”的定义
38、即可判断直角三角形 （2）根据三角函数，转化为边的比例，求出 BH5、CH6、AH3结合点 D 的位置分类讨论，利用 已知定义建立方程即可求解 （2）延长 AD 叫O 于点 E，连接 BE证明BDEADC利用对应边成比例即可求证 先判定ABEADC利用对应边比例即可求解 【解答】解： （1）若直角三角形为等腰直角三角形有一个“奇点” 若直角三角形非等腰直角三角形，则有两个：奇点 故直角三角形有 1 或者 2 个“奇点” 故答案为： （2）作 AHBC 于 H 由 tanB，tanC， 可设 AH3x，则 BH5x、CH6x BC11x11， x1 BH5、CH6、AH3 设 DHa 如图，当点 D 在点 H 左侧时， 由点 D 是 BC 边上的“奇点” ，有：AD2BDCD a2+9（5a） （6+a） 解得：a3 或 a（舍） BD5a2 如图，当点 D 在点 H 右侧时， AD2BDCD a2+9（5+a） （6a） 解得：a或 a3（舍） BD5+a 综上：BD 的长为 2 或 （3）证明：如图，延长 AD 叫O 于点 E，连接 BE ODAD ADED EC，BDEADC BDEADC ，即：ADEDBDCD AD2BDCD 点 D 是ABC 中边 BC 边上的“奇点” AD 是角平分线 BAECAD EE ABEADC ABACADAE2AD2