1、三角形巩固练习三角形巩固练习 一选择题（共一选择题（共 15 小题）小题） 1直角ABC、DEF 如图放置，其中ACBDFE90，ABDE 且 ABDE若 DFa，BCb， CFc，则 AE 的长为（ ） Aa+c Bb+c Ca+bc Dab+c 2如图，OP 平分AOB，PCOA，点 D 是 OB 上的动点，若 PC5cm，则 PD 的长可以是（ ） A2cm B3cm C4cm D6cm 3如图，ABC 中，B55，D 是 BC 延长线上一点，且ACD130，则A 的度数是（ ） A50 B65 C75 D85 4如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样
2、的玻璃，那么最省 事的办法是（ ） A带去 B带去 C带去 D带和去 5使两个直角三角形全等的条件是（ ） A一个锐角对应相等 B两个锐角对应相等 C一条边对应相等 D两条边对应相等 6等腰三角形的底和腰是方程 x26x+80 的两根，则这个三角形的周长为（ ） A8 B10 C8 或 10 D不能确定 7如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A三角形的稳定性 B两点之间线段最短 C两点确定一条直线 D垂线段最短 8如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面积为（ ） A4 B6 C16 D55 9如
3、图，在ABC 中，C90，B30，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M 和 N，再分别以 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结 AP 并延长交 BC 于点 D，则下列说法中正确的个数是（ ） AD 是BAC 的平分线；ADC60；点 D 在 AB 的中垂线上；SDAC：SABC1：3 A1 B2 C3 D4 10如图，已知矩形 ABCD 中，R、P 分别是 DC、BC 上的点，E、F 分别是 AP、RP 的中点，当 P 在 BC 上从 B 向 C 移动而 R 不动时，那么下列结论成立的是（ ） A线段 EF 的长逐渐增大 B线段 EF 的长逐渐
4、减小 C线段 EF 的长不改变 D线段 EF 的长不能确定 11如图，AD 是ABC 中BAC 的角平分线，DEAB 于点 E，SABC10，DE2，AB6，则 AC 长是 （ ） A3 B4 C6 D5 12如图，三角形 ABC 中，A 的平分线交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC，DFAB，垂足分别为 E，F， 下面四个结论： AFEAEF； AD 垂直平分 EF； ； EF 一定平行 BC 其中正确的是（ ） A B C D 13在锐角三角形 ABC 中，AH 是 BC 边上的高，分别以 AB、AC 为一边，向外作正方形 ABDE 和 ACFG， 连接 CE、BG 和 EG，EG
5、与 HA 的延长线交于点 M，下列结论：BGCE； BGCE； AM 是 AEG 的中线； EAMABC，其中正确结论的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 14如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 边中点，BD、CE 交于点 H，BE、AH 交于点 G，则下列结论： AGBE；BG4GE；SBHESCHD；AHBEHD 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 15 已知， 如图长方形 ABCD 中， AB3cm，AD9cm，将此长方形折叠， 使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF， 则ABE 的面积为（ ） A3cm2 B4cm2 C6cm2 D12cm2 二
6、填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 16ABC 中，ABAC12 厘米，BC8 厘米，点 D 为 AB 的中点如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒 的速度由 B 点向 C 点运动， 同时， 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点 Q 的运动速度为 厘 米/秒，BPD 能够与CQP 全等 17如图，ABAC，BDAC 于点 D，点 E，F 分别为 AB，BD 上的动点，且 AEBF，DBA34 （1）CE 与 BD 的大小关系 （填“”或“” ） ； （2）当 CE+AF 取得最小值时，BEC 的度数是 18在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示） 已知斜放
7、置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，正 放置的四个正方形的面积依次是 S1，S2，S3，S4，则 S1+S2+S3+S4 19如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若 AC6，BC 5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车” ，则这个 风车的外围周长是 20若（a1）2+|b2|0，则以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为 21如图所示，在ABC 中，DE 是 AC 的中垂线，AE3cm，ABD 的周长为 13cm，则ABC 的周长是 cm 22已知 a、b、c 是ABC 的三边长，且满足关系式+|ab|0，则
8、ABC 的形状为 23 在直角ABC中， C90， AD平分BAC交BC于点D， 若CD4， 则点D到斜边AB的距离为 24如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE2CE，过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为 25如图，在边长为 6的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线上一点，BEDG，连接 EG，CFEG 交 EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE，BH若 BH8，则 FG 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 26如图，点 O 是等边ABC 内一点，AO
9、B110，BOC以 OC 为一边作等边三角形 OCD，连 结 AD （1）求证：BOCADC； （2）当 150时，试判断AOD 的形状，并说明理由； （3）探究：当 为多少度时，AOD 是等腰三角形？ 27如图所示，四边形 ABCD 中，AB3cm，AD4cm，BC13cm，CD12cm，A90，求四边形 ABCD 的面积 28如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D、F 分别在 AB、AC 上，CFCB，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90后得 CE，连接 EF （1）求证：BCDFCE； （2）若 EFCD，求BDC 的度数 29如图，在 RtABC 中，C90
10、，BD 是ABC 的一条角平分线点 O、E、F 分别在 BD、BC、AC 上，且四边形 OECF 是正方形 （1）求证：点 O 在BAC 的平分线上； （2）若 AC5，BC12，求 OE 的长 30如图，在ABCD 中，BCD120，分别延长 DC、BC 到点 E，F，使得BCE 和CDF 都是正三 角形 （1）求证：AEAF； （2）求EAF 的度数 三角形巩固练习三角形巩固练习 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 15 小题）小题） 1直角ABC、DEF 如图放置，其中ACBDFE90，ABDE 且 ABDE若 DFa，BCb， CFc，则 AE 的长为（ ）
11、 Aa+c Bb+c Ca+bc Dab+c 【分析】根据全等三角形的判定方法证明ABCDEF（AAS） ，得 ACDF，BCEF，最后根据线段 的和差可得结论 【解答】解：ABDE， DGH90， DFE90， AFH90， AFHDGH， DHGAHF， AD， 在ABC 与DEF 中， ， ABCDEF（AAS） ， ACDF，BCEF， DFa，BCb，CFc， AEAC+EFCFDF+BCCFa+bc 故选：C 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，确定用 AAS 定理进行证明是关键 2如图，OP 平分AOB，PCOA，点 D 是 OB 上的动点，若 PC5cm，
12、则 PD 的长可以是（ ） A2cm B3cm C4cm D6cm 【分析】过 P 作 PDOB 于 D，则此时 PD 长最小，根据角平分线的性质求出此时 PD 的长度，再逐个 判断即可 【解答】解：过 P 作 PDOB 于 D，则此时 PD 长最小， OP 平分AOB，PCOA， PDPC， PC5cm， PD5（cm） ， 即 PD 的最小值是 5cm， 选项 A、选项 B、选项 C 都不符合题意，只有选项 D 符合题意， 故选：D 【点评】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，注意：垂线段最短，角平分线上的点到角两边的距 离相等 3如图，ABC 中，B55，D 是 BC 延长线上一点，且
13、ACD130，则A 的度数是（ ） A50 B65 C75 D85 【分析】根据三角形的外角性质列式计算，得到答案 【解答】解：ACD 是AB 的一个外角， ACDA+B， AACDB1305575， 故选：C 【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解 题的关键 4如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省 事的办法是（ ） A带去 B带去 C带去 D带和去 【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案 【解答】解：A、带去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能
14、得到与原来一样的三角形，故 A 选项错误； B、带去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故 B 选项错误； C、带去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合 ASA 判定，故 C 选项正确； D、带和去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故 D 选项 错误 故选：C 【点评】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握 5使两个直角三角形全等的条件是（ ） A一个锐角对应相等 B两个锐角对应相等 C一条边对应相等 D两条边对应相等 【分析】利用全等三角形的判定来确定做题时，要结合已知条件与三角形
15、全等的判定方法逐个验证 【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三 角形全等，故 A 选项错误； B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故 B 选项错误； C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故 C 选项错误； D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用 SAS 证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相 等，也可证全等，故 D 选项正确 故选：D 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有 ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可 以发现至少得有一组对应边相等，才有可能
16、全等 6等腰三角形的底和腰是方程 x26x+80 的两根，则这个三角形的周长为（ ） A8 B10 C8 或 10 D不能确定 【分析】先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解 【解答】解：方程 x26x+80 的解是 x2 或 4， （1）当 2 为腰，4 为底时，2+24 不能构成三角形； （2）当 4 为腰，2 为底时，4，4，2 能构成等腰三角形，周长4+4+210 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和分情况讨论的思想，注意根据三角形的三边关系确定是否能构 成三角形，不可盲目讨论 7如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（
17、 ） A三角形的稳定性 B两点之间线段最短 C两点确定一条直线 D垂线段最短 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释 【解答】解：构成AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性 故选：A 【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的 应用 8如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面积为（ ） A4 B6 C16 D55 【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可 【解答】解：a、b、c 都是正方形， ACCD，ACD90； ACB+DCEACB
18、+BAC90， BACDCE， ABCCED90，ACCD， ACBCDE（AAS） ， ABCE，BCDE； 在 RtABC 中，由勾股定理得：AC2AB2+BC2AB2+DE2， 即 SbSa+Sc11+516， 故选：C 【点评】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较 强 9如图，在ABC 中，C90，B30，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M 和 N，再分别以 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结 AP 并延长交 BC 于点 D，则下列说法中正确的个数是（ ） AD 是BAC 的平分线；AD
19、C60；点 D 在 AB 的中垂线上；SDAC：SABC1：3 A1 B2 C3 D4 【分析】根据作图的过程可以判定 AD 是BAC 的角平分线； 利用角平分线的定义可以推知CAD30，则由直角三角形的性质来求ADC 的度数； 利用等角对等边可以证得ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点 D 在 AB 的中垂线上； 利用 30 度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比 【解答】解：根据作图的过程可知，AD 是BAC 的平分线 故正确； 如图，在ABC 中，C90，B30， CAB60 又AD 是BAC 的平分线， 12CAB30，
20、390260，即ADC60 故正确； 1B30， ADBD， 点 D 在 AB 的中垂线上 故正确； 如图，在直角ACD 中，230， CDAD， BCCD+BDAD+ADAD，SDACACCDACAD SABCACBCACADACAD， SDAC：SABCACAD：ACAD1：3 故正确 综上所述，正确的结论是：，共有 4 个 故选：D 【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图基本作图解题时，需要熟悉 等腰三角形的判定与性质 10如图，已知矩形 ABCD 中，R、P 分别是 DC、BC 上的点，E、F 分别是 AP、RP 的中点，当 P 在 BC 上从 B 向 C 移动
21、而 R 不动时，那么下列结论成立的是（ ） A线段 EF 的长逐渐增大 B线段 EF 的长逐渐减小 C线段 EF 的长不改变 D线段 EF 的长不能确定 【分析】因为 R 不动，所以 AR 不变根据中位线定理，EF 不变 【解答】解：连接 AR 因为 E、F 分别是 AP、RP 的中点， 则 EF 为APR 的中位线， 所以 EFAR，为定值 所以线段 EF 的长不改变 故选：C 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边 AR 不变，则对应的中位线的长度就不变 11如图，AD 是ABC 中BAC 的角平分线，DEAB 于点 E，SABC10，DE2，AB6，则 AC 长是 （ ）
22、A3 B4 C6 D5 【分析】 过点 D 作 DFAC 于 F， 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DEDF， 再根据 SABC SABD+SACD列出方程求解即可 【解答】解：如图，过点 D 作 DFAC 于 F， AD 是ABC 中BAC 的角平分线，DEAB， DEDF， 由图可知，SABCSABD+SACD， 62+AC210， 解得 AC4 故选：B 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键 12如图，三角形 ABC 中，A 的平分线交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC，DFAB，垂足分别为 E，F， 下面四个结论： AFEAEF
23、； AD 垂直平分 EF； ； EF 一定平行 BC 其中正确的是（ ） A B C D 【分析】由三角形 ABC 中，A 的平分线交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC，DFAB，根据角平分线 的性质，可得 DEDF，ADEADF，又由角平分线的性质，可得 AFAE，继而证得AFE AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得AD 垂直平分 EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得 【解答】解：三角形 ABC 中，A 的平分线交 BC 于点 D，DEAC，DFAB， ADEADF，DFDE， AFAE， AFEAEF，故正确； DFDE，AFAE， 点 D 在 EF 的垂直平分线上，点 A 在
24、 EF 的垂直平分线上， AD 垂直平分 EF，故正确； SBFDBFDF，SCDECEDE，DFDE， ；故正确； EFD 不一定等于BDF， EF 不一定平行 BC故错误 故选：A 【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度适中， 注意掌握数形结合思想的应用 13在锐角三角形 ABC 中，AH 是 BC 边上的高，分别以 AB、AC 为一边，向外作正方形 ABDE 和 ACFG， 连接 CE、BG 和 EG，EG 与 HA 的延长线交于点 M，下列结论：BGCE； BGCE； AM 是 AEG 的中线； EAMABC，其中正确结论的个数是（ ） A4
25、 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】 根据正方形的性质可得 ABAE， ACAG， BAECAG90， 然后求出CAEBAG， 再利用“边角边”证明ABG 和AEC 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BGCE，判定正确； 设 BG、CE 相交于点 N，根据全等三角形对应角相等可得ACEAGB，然后求出CNG90，根 据垂直的定义可得 BGCE，判定正确；过点 E 作 EPHA 的延长线于 P，过点 G 作 GQAM 于 Q， 根据同角的余角相等求出ABHEAP，再利用“角角边”证明ABH 和EAP 全等，根据全等三角 形对应角相等可得EAMABC 判定正确，全等三角形对应边相等可得
26、EPAH，同理可证 GQ AH，从而得到 EPGQ，再利用“角角边”证明EPM 和GQM 全等，根据全等三角形对应边相等可 得 EMGM，从而得到 AM 是AEG 的中线 【解答】解：在正方形 ABDE 和 ACFG 中，ABAE，ACAG，BAECAG90， BAE+BACCAG+BAC， 即CAEBAG， 在ABG 和AEC 中， ， ABGAEC（SAS） ， BGCE， （故正确） ； 设 BG、CE 相交于点 N， ABGAEC， ACEAGB， NCF+NGFACF+AGF90+90180， CNG360（NCF+NGF+F）360（180+90）90， BGCE， （故正确） ；
27、 过点 E 作 EPHA 的延长线于 P，过点 G 作 GQAM 于 Q， AHBC， ABH+BAH90， BAE90， EAP+BAH1809090， ABHEAP， 在ABH 和EAP 中， ， ABHEAP（AAS） ， EAMABC， （故正确） ， EPAH， 同理可得 GQAH， EPGQ， 在EPM 和GQM 中， ， EPMGQM（AAS） ， EMGM， AM 是AEG 的中线， （故正确） 综上所述，结论都正确 故选：A 【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线 EP HA 的延长线于 P，过点 G 作 GQAM 于 Q 构造出
28、全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键 14如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 边中点，BD、CE 交于点 H，BE、AH 交于点 G，则下列结论： AGBE；BG4GE；SBHESCHD；AHBEHD 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】首先根据正方形的性质证得BAECDE，推出ABEDCE，再证ADHCDH，求 得HADHCD，推出ABEHAD；求出ABE+BAG90；最后在AGE 中根据三角形的内 角和是 180求得AGE90即可得到正确根据 tanABEtanEAG，得到 AGBG，GE AG，于是得到 BG4EG，故正确；根据 ADBC，求出 SB
29、DESCDE，推出 SBDESDEHS CDESDEH， 即； SBHESCHD， 故正确； 由AHDCHD， 得到邻补角和对顶角相等得到AHB EHD，故正确； 【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形，E 是 AD 边上的中点， AEDE，ABCD，BADCDA90， 在BAE 和CDE 中 ， BAECDE（SAS） ， ABEDCE， 四边形 ABCD 是正方形， ADDC，ADBCDB45， 在ADH 和CDH 中， ， ADHCDH（SAS） ， HADHCD， ABEDCE ABEHAD， BADBAH+DAH90， ABE+BAH90， AGB1809090， AGBE，故正确
30、； tanABEtanEAG， AGBG，GEAG， BG4EG，故正确； ADBC， SBDESCDE， SBDESDEHSCDESDEH， 即；SBHESCHD，故正确； ADHCDH， AHDCHD， AHBCHB， BHCDHE， AHBEHD，故正确； 故选：D 【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充 分利用正方形的特殊性质：四边相等，两两垂直； 四个内角相等，都是 90 度； 对角线相等， 相互垂直，且平分一组对角 15 已知， 如图长方形 ABCD 中， AB3cm，AD9cm，将此长方形折叠， 使点 B 与点 D 重合，折痕为
31、 EF， 则ABE 的面积为（ ） A3cm2 B4cm2 C6cm2 D12cm2 【分析】根据折叠的条件可得：BEDE，在直角ABE 中，利用勾股定理就可以求解 【解答】解：将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，BEED AD9cmAE+DEAE+BE BE9AE， 根据勾股定理可知 AB2+AE2BE2 解得 AE4 ABE 的面积为 3426故选 C 【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平 方 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 16ABC 中，ABAC12 厘米，BC8 厘米，点 D 为 AB 的中点如果点 P 在线段
32、 BC 上以 3 厘米/秒 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度为 3 或 4.5 厘米/秒，BPD 能够与CQP 全等 【分析】根据等腰三角形的性质得出BC，根据全等三角形的判定得出两种情况：BDCP，BP CQ，BDCQ，BPPC，再求出答案即可 【解答】解：设运动时间为 t 秒， AB12 厘米，点 D 为 AB 的中点， BDAB6（cm） ， ABAC， BC， 要使，BPD 能够与CQP 全等，有两种情况： BDCP，BPCQ， 83t6， 解得：t， CQBP32， 点 Q 的运动速度为 23（厘米/秒） ；
33、BDCQ，BPPC， BC8 厘米， BPCPBC4（厘米） ， 即 3t4， 解得：t， CQBD6 厘米， 点 Q 的运动速度为 64.5（厘米/秒） ， 故答案为：3 或 4.5 【点评】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键， 用了分类讨论思想 17如图，ABAC，BDAC 于点 D，点 E，F 分别为 AB，BD 上的动点，且 AEBF，DBA34 （1）CE 与 BD 的大小关系 （填“”或“” ） ； （2）当 CE+AF 取得最小值时，BEC 的度数是 101 【分析】 （1）过 C 作 CHAB 于 H，利用等腰三角形的两条腰上的高相
34、等，即可得到 BDCH，再根据 CECH，即可得到 CEBD； （2）将 CA 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 AG，连接 EG，判定ABFGAE（SAS） ，即可得到 AF GE，进而得出 CE+AFCE+GE，依据当 C，E，G 三点共线时，CE+GE 有最小值，即 CE+AF 有最小 值，根据ACG 是等腰直角三角形，即可得到ACE45，依据ABD34，ADB90，即可 得出CAE56，最后依据三角形外角性质进行计算即可 【解答】解： （1）如图所示，过 C 作 CHAB 于 H， ABAC，BDAC， ， BDCH， 点 E 为 AB 上的动点， CECH， CEBD， 故答案为：
35、； （2）如图所示，将 CA 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 AG，连接 EG， 则CAG90，CAGA， 又CAAB， ABGA， BDAC，GAAC， BDAG， ABFEAG， 又BFAE， ABFGAE（SAS） ， AFGE， CE+AFCE+GE， 当 C，E，G 三点共线时，CE+GE 有最小值，即 CE+AF 有最小值， 此时，ACG 是等腰直角三角形， ACE45， ABD34，ADB90， CAE56， BECACE+CAE45+56101， 故答案为：101 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形外角性质的运用，解 决问题的关键是掌握
36、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的性质 18在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示） 已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，正 放置的四个正方形的面积依次是 S1，S2，S3，S4，则 S1+S2+S3+S4 4 【分析】 运用勾股定理可知， 每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积， 据此即可解答 【解答】 解：观察发现， ABBE，ACBBDE90， ABC+BAC90，ABC+EBD90， BACEBD， ABCBDE（AAS） ， BCED， AB2AC2+BC2， AB2AC2+ED2S1+S2， 即 S1+S21， 同理 S3+S43 则 S1+S2+S
37、3+S41+34 故答案为：4 【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的 正方形的面积 19如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若 AC6，BC 5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车” ，则这个 风车的外围周长是 76 【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长 【解答】解：设将 AC 延长到点 D，连接 BD， 根据题意，得 CD6212，BC5 BCD90 BC2+CD2BD2，即 52+122BD2 BD13 AD+BD6+1
38、319 这个风车的外围周长是 19476 故答案为：76 【点评】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题 20若（a1）2+|b2|0，则以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为 5 【分析】先根据非负数的性质列式求出 a、b 再分情况讨论求解即可 【解答】解：根据题意得，a10，b20， 解得 a1，b2， 若 a1 是腰长，则底边为 2，三角形的三边分别为 1、1、2， 1+12， 不能组成三角形， 若 a2 是腰长，则底边为 1，三角形的三边分别为 2、2、1， 能组成三角形， 周长2+2+15 故答案为：5 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质， 非负数的性质
39、， 以及三角形的三边关系， 难点在于要讨论求解 21如图所示，在ABC 中，DE 是 AC 的中垂线，AE3cm，ABD 的周长为 13cm，则ABC 的周长是 19 cm 【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案 【解答】解：ABC 中，DE 是 AC 的中垂线， ADCD，AECEAC3cm， ABD 的周长AB+AD+BDAB+BC13 则ABC 的周长为 AB+BC+ACAB+BC+6 把代入得ABC 的周长13+619cm 故答案为：19 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；解答此题时要注意利用垂直平分线的性质找出题中的等量 关系，进行
40、等量代换，然后求解 22已知 a、b、c 是ABC 的三边长，且满足关系式+|ab|0，则ABC 的形状为 等腰直 角三角形 【分析】 已知等式左边为两个非负数之和， 根据两非负数之和为 0， 两非负数同时为 0， 可得出 c2a2+b2， 且 ab，利用勾股定理的逆定理可得出C 为直角，进而确定出三角形 ABC 为等腰直角三角形 【解答】解：+|ab|0， c2a2b20，且 ab0， c2a2+b2，且 ab， 则ABC 为等腰直角三角形 故答案为：等腰直角三角形 【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质：绝对值及算术平方根，以及等腰直角三角形的 判定，熟练掌握非负数的性质及勾股定
41、理的逆定理是解本题的关键 23在直角ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，若 CD4，则点 D 到斜边 AB 的距离为 4 【分析】根据角平分线的性质定理，解答出即可； 【解答】解：如右图，过 D 点作 DEAB 于点 E，则 DE 即为所求， C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D， CDDE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） ， CD4， DE4 故答案为：4 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等 24如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE2CE，过点 C
42、作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为 【分析】在 BE 上截取 BGCF，连接 OG，证明OBGOCF，则 OGOF，BOGCOF，得出 等腰直角三角形 GOF，在 RtBCE 中，根据射影定理求得 GF 的长，即可求得 OF 的长 【解答】解：如图，在 BE 上截取 BGCF，连接 OG， RtBCE 中，CFBE， EBCECF， OBCOCD45， OBGOCF， 在OBG 与OCF 中 OBGOCF（SAS） OGOF，BOGCOF， OGOF， 在 RtBCE 中，BCDC6，DE2EC， EC2， BE2， BC2BFBE， 则 62BF，解得：BF， EFBEB
43、F， CF2BFEF， CF， GFBFBGBFCF， 在等腰直角OGF 中 OF2GF2， OF 故答案为： 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用 25如图，在边长为 6的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线上一点，BEDG，连接 EG，CFEG 交 EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE，BH若 BH8，则 FG 5 【分析】 如解答图， 连接 CG， 首先证明CGDCEB， 得到GCE 是等腰直角三角形； 过点 H 作 AB、 BC 的垂线，垂足分别为点 M、N，进而证明HEMHCN，得到四边形 MB
44、NH 为正方形，由此求出 CH、HN、CN 的长度；最后利用相似三角形 RtHCNRtGFH，求出 FG 的长度 【解答】解：如图所示，连接 CG 在CGD 与CEB 中 CGDCEB（SAS） ， CGCE，GCDECB， GCE90，即GCE 是等腰直角三角形 又CHGE， CHEHGH 过点 H 作 AB、BC 的垂线，垂足分别为点 M、N，则MHN90， 又EHC90， 12， HEMHCN 在HEM 与HCN 中， HEMHCN（ASA） HMHN， 四边形 MBNH 为正方形 BH8， BNHN4， CNBCBN642 在 RtHCN 中，由勾股定理得：CH2 GHCH2 HMAG
45、， 13， 23 又HNCGHF90， RtHCNRtGFH ，即， FG5 故答案为：5 【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等 重要知识点，难度较大作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 26如图，点 O 是等边ABC 内一点，AOB110，BOC以 OC 为一边作等边三角形 OCD，连 结 AD （1）求证：BOCADC； （2）当 150时，试判断AOD 的形状，并说明理由； （3）探究：当 为多少度时，AOD 是等腰三角形？ 【分析】（1） 由等边三角形的性质得出ABCCA
46、BODCDOC60， 根据 SAS 可证明BOC ADC （2）利用全等三角形的性质可以求出ADO 的度数，由此即可判定AOD 的形状； （3）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解 【解答】 （1）证明：ABC 和ODC 是等边三角形， ABCCABODCDOC60， BCAC，COCD，ACBDCO60， ACBACODCOACO， ACDBCO， 在BOC 和ADC 中， ， BOCADC（SAS） ； （2）解：ADO 是直角三角形 理由如下：BOCADC， BOCADC， BOC150，ODC60， ADO1506090， ADO 是直角三角形； （3）解：COBCAD，AO
47、D190，ADO60，OAD50， 要使 AOAD，需AODADO， 19060， 125； 要使 OAOD，需OADADO， 6050， 110； 要使 ODAD，需OADAOD， 19050， 140 所以，当 为 125、110、140时，AOD 是等腰三角形 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质以及等腰三角形的 性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键 27如图所示，四边形 ABCD 中，AB3cm，AD4cm，BC13cm，CD12cm，A90，求四边形 ABCD 的面积 【分析】连接 BD，根据已知分别求得ABD 的面积与BDC 的面积，即可求四边形 ABCD 的面积 【解答】解：连接 BD， AB3cm，AD4cm，A90 BD5cm，SABD346cm2 又BD5cm，BC13cm，CD12cm BD2+CD2BC2 BDC90 SBDC51230cm2 S四边形ABCDSABD+SBDC6+3036cm2 【点评】 此题主要考查勾股定理和逆定理的应用， 还涉及了三角形的面积
