1、 2020 年秋浙教版九年级数学上册第年秋浙教版九年级数学上册第 4 章相似三角形单元培优测试卷章相似三角形单元培优测试卷 一、一、选择题选择题（共（共 1010 题；共题；共 3 30 0 分）分） 1.已知 ，那么下列等式中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2.如图，直线abc ， 分别交直线m ， n于点A ， B ， C ， D ， E ， F ， 若AB 2，BC4，DE3，则 EF 的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3.如图，三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC上的一点，且DE平行于BC，SADES四边形DECB ， 则ABC 与ADE 相似比
2、的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦 AD 平分BAC，交 BC 于点 E，AB6，AD5，则 DE 的长为（ ） A. 2.2 B. 2.5 C. 2 D. 1.8 5.如图，等腰 与等腰 是以点 O 为位似中心的位似图形，位似比为 ，则点 D 的坐标是（ ） A. B. C. D. 6.宽与长的比是 （约 0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协 调和匀称美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ，分别取 的中点 ， 连接 ，以点 F 为圆心，以 为半径画弧，交 的延长线于点 G；作 ，交
3、的延长 线于点 H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 ABEF B. 矩形 EFCD C. 矩形 EFGH D. 矩形 ABGH 7.如图，在正三角形 中，分别在 ， 上，且 ， ，则有（ ） A. B. C. D. 8.如图，AB 是 O 的直径，CD 是弦，AECD 于点 E，BFCD 于点 F.若 BF=FE=2，FC=1，则 AC 的长是（ ） A. B. C. D. 9.如图，在 中， ，高 ，正方形 一边在 上，点 分别在 上， 交 于点 ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 10.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为
4、6，绕底面 一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图 2 是此时的示意图，则图 2 中水面高度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题二、填空题（共（共 8 8 题；共题；共 2424 分）分） 11.如果两个相似三角形的对应边的比是 4:5，那么这两个三角形的面积比是_ 12.如果两个相似三角形的相似比为 23，两个三角形的周长的和是 100cm，那么较小的三角形的周长 为_cm. 13.如图， 内接于 于点 H，若 ， 的半径为 7，则 _ 14.在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称 为格点三角形，如图，已知RtABC是6
5、6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与RtABC相似 的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是_. 15.如图，在 RtABC 中，AC6，BC8，点 P 是 AC 边的中点，点 D 和 E 分别是边 BC 和 AB 上的 任意一点，则 PD+DE 的最小值为_. 16.如图，在四边形 ABCD 中，ABC90，对角线 AC、BD 交于点 O ， AOCO ， CD BD ， 如果 CD3，BC5，那么 AB_ 17.如图，把某矩形纸片ABCD沿EF ， GH折叠 （点E ， H在AD边上，点F ， G在BC边上） ， 使点 B 和点 C 落在 AD 边上同一点 P 处，A 点的对称点为
6、A点，D 点的对称点为 D点，若 FPG=90，AEP 的面积为 4，DPH 的面积为 1，则矩形 ABCD 的面积等于_ 18.如图，在 中， ，点 E 是边 的中点，点 P 是边 上一动点， 设 图是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点那么 的值为 _ 三、三、解答题解答题（共（共 7 7 题；共题；共 6666 分）分） 19.如图，在ABC 中，BD 是 AC 边上的高，点 E 在边 AB 上，联结 CE 交 BD 于点 O，且 ，AF 是BAC 的平分线，交 BC 于点 F，交 DE 于点 G. （1）求证：CEAB （2）求证： . 20.如图，抛物线 的图象经过点 ，交 x
7、 轴于点 、 (点 A 在点 B 左侧)，连 接 直线 与 轴交于点 D,与 上方的抛物线交于点 E,与 交于点 F （1）求抛物线的解析式及点 、 的坐标； （2） 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 21.如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC 上一动点（点 E 与点 A，C 不重合），连 接 DE，作 EFDE 交射线 BA 于点 F，过点 E 作 MNBC 分别交 CD，AB 于点 M、N，作射线 DF 交 射线 CA 于点 G. （1）求证：EFDE； （2）当 AF2 时，求 GE 的长. 22.如图，在 R
8、tABC 中，AC4，BAC90，B30，D 是 BC 上一点，AEAD ， ADE30，连接 CE （1）求证：ADEABC； （2）求证：ACEABD； （3）设 CEx ， 当 CD2CE 时，求 x 的值 23.如图 1，在矩形 ABCO 中，OA8，OC6，D ， E 分别是 AB ， BC 上一点，AD2，CE 3，OE 与 CD 相交于点 F （1）求证：OECD； （2）如图 2，点 G 是 CD 的中点，延长 OG 交 BC 于 H ， 求 CH 的长 24.如图，在 的正方形方格中，每个小正方形的边长都为 1，顶点都在网格线交点处的三角形， 是一个格点三角形 （1）在图 中
9、，请判断 与 是否相似，并说明理由； （2）在图 中，以 O 为位似中心，再画一个格点三角形，使它与 的位似比为 2：1 （3） 在图 中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与 相似，且有一条公共边和一个公共角 25.在平面直角坐标系 中，把与 x 轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图，抛物线 的顶点为 D，交 x 轴于点 A、B（点 A 在点 B 左侧），交 y 轴于点 C.抛物线 与 是“共根抛物线”，其顶点为 P. （1）若抛物线 经过点 ，求 对应的函数表达式； （2）当 的值最大时，求点 P 的坐标； （3）设点 Q 是抛物线 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若 与
10、相似，求其“共 根抛物线” 的顶点 P 的坐标. 答案答案 一、选择题 1.A、由比例的性质得到 3y=5x，故本选项不符合题意 B、根据比例的性质得到 x+y=8k（k 是正整数），故本选项符合题意 C、根据合比性质得到 ，故本选项不符合题意 D、根据等比性质得到 ，故本选项不符合题意 故答案为：B 2.直线 abc ， ，即 ， EF6 故答案为：B 3.解：SADES四边形 DECB ， SABC2SADE ， DEBC， ADEABC， ， 即 ， 即ABC 与ADE 相似比的值是 ， 故答案为：C. 4.解：如图 1，连接 BD、CD， AB 为O 的直径， ADB90， BD ，
11、弦 AD 平分BAC， CDBD ， CBDDAB， 在ABD 和BED 中， ABDBED， ，即 ， 解得 DE . 故答案为：A. 5.解：等腰 与等腰 是以点 O 为位似中心的位似图形，位似比为 ， ，即：DE=3BC=12， CE=DE=12， ，解得：OC=6， OE=6+12=18， 点 的坐标是： 故答案为：A 6.解：设正方形的边长为 2，则 CD2，CF1 在直角三角形 DCF 中，DF FG CG 1 矩形 DCGH 为黄金矩形 故答案为：D. 7.由已知中正三角形 ABC 中，D、E 分别在 AC、AB 上， ，AEBE， 易判断出：AED 为一个锐角三角形，BED 为
12、一个钝角三角形，故 A 不符合题意； ABD 也是一个钝角三角形，故 C 也不符合题意； 但BCD 为一个锐角三角形，故 D 也不符合题意； 故答案为：B 8.解：连接 BC， AB 是 O 的直径， ACB=90， ACE+BCF=90， BFCD， CFB=90， CBF+BC=90， ACE=CBF， AECD， AEC=CFB=90， ， ， FB=FE=2，FC=1， CE=CF+EF=3， ， ， ， 故答案为：B. 9.解：四边形 EFGH 是正方形， EFBC， AEFABC， . 设 AN=x，则 EF=FG=DN=60-x， 解得：x=20 所以，AN=20. 故答案为：B
13、. 10.解：过点 C 作 CFBG 于 F，如图所示： 设 DE=x，则 AD=8-x， 根据题意得： （8-x+8）33=336， 解得：x=4， DE=4， E=90， 由勾股定理得：CD= ， BCE=DCF=90， DCE=BCF， DEC=BFC=90， CDEBCF， ， 即 ， CF= 故答案为：A 二、填空题 11.解：两个相似三角形的相似比为： ， 这两个三角形的面积比 ； 故答案为：1625. 12.设两个三角形的周长分别为 由已知，得 解得 较小的三角形的周长为 40 cm. 13.解：作直径 AD，连接 BD， AD 为直径， ABD90，又 AHBC， ABDAHC
14、， 由圆周角定理得，DC， ABDAHC， ，即 ， 解得，AB ， 故答案为： 14.解： 在 中， ， ， ， ， 与 相似的格点三角形的两直角边的比值为 ， 若该三角形最短边长为 4，则另一直角边长为 8，但在 网格图形中，最长线段为 ，但此时画 出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为 8 的线段，故最短直角边长应小于 4， 在图中尝试，可画出 ， ， 的三角形， ， ， ， 此时 的面积为： ， 为面积最大的三角形，其斜边长为： . 故答案为： . 15.解：作点 P 关于 BC 的对称点 F，过 F 作 FEAB 于 E 交 BC 于 D， 则此时，PD+DE
15、的值最小，且 PD+DE 的最小值EF， CFCP， 点 P 是 AC 边的中点， APPC3， AF9， 在 RtABC 中，AC6，BC8， AB10， AEFACB90， A+BA+F， BF， ABCAFE， ， ， EF ， PD+DE 的最小值为 ， 答案为： . 16.过点 A 作 AEBD ， CDBD ， AEBD ， CDBAED90，COAO ， CODAOE ， AOECOD（AAS） CDAE3， CDB90，BC5，CD3， DB 4， ABCAEB90， ABE+EAB90，CBD+ABE90， EABCBD ， 又CDBAEB90， ABEBCD ， ， ， A
16、B 故答案为： 17.解：四边形 ABCD 是矩形， AB=CD， 由折叠可知 ：PA=AB，PD=CD， PD=PA， FPG=90，EPF=DPH，GPH=APE， APE+DPH=EPF+GPH=90， AEP+APE=90， AEP=DPH， AEPDPH， AEP 的面积为 4，DPH 的面积为 1， ， 设 DH=k，则 AP=PD=2k，AE=4k， SDPH= PDDH= k2k=1， k=1， PH= ， PE= ， AD=AE+EP+PH+HP=4+2 + +1=5+3 ， AB=2k=2， S矩形 ABCD=ABAD=2（5+3 ）=10+6 . 故答案为：10+6 .
17、18.解：如图，过 B 作 AC 的平行线，过 C 作 AB 的平行线，交于点 D， 可得四边形 ABCD 为平行四边形，又 AB=AC， 四边形 ABCD 为菱形，点 A 和点 D 关于 BC 对称， PA+PE=PD+PE， 当 P，D，E 共线时，PA+PE 最小，即 DE 的长， 观察图像可知：当点 P 与点 B 重合时，PD+PE= ， 点 E 是 AB 中点， BE+BD=3BE= ， BE= ，AB=BD= ， BAC=120， ABD=（180-120）22=60， ABD 为等边三角形， DEAB，BDE=30， DE=3，即 PA+PE 的最小值为 3， 即点 H 的纵坐标
18、为 a=3， 当点 P 为 DE 和 BC 交点时， ABCD， PBEPCD， ， 菱形 ABCD 中，ADBC， BC=2 =6， ， 解得：PC=4， 即点 H 的横坐标为 b=4， a+b=3+4=7， 故答案为：7. 三、解答题 19.（1）证明： ， . BD 是 AC 边上的高， BDC = 90，ADB 和ODC 是直角三角形. RtADBRtODC. ABD =OCD. 又EOB=DOC，DOC+OCD+ODC=180， EOB +ABD+OEB =180. OEB = 90. CEAB. （2）证明：在ADB 和AEC 中， BAD=CAE，ABD =OCD， ADBAEC
19、. ， 即 . 在DAE 和BAC 中 DAE =BAC， . DAEBAC. AF 是BAC 的平分线， ，即 . 20. （1）解：把 代入 ，即 ，解得 抛物线的解析式为 令 可得: ； （2）解：存在， 如图，由题意，点 E 在 y 轴的右侧，作 轴，交 于点 G 直线 与 轴交于点 ， 设 所在直线的解析式为 ， 将 代入上述解析式得： 解得: 的解析式为 设 则 ，其中 . 抛物线开口方向朝下 当 时，有最大值，最大值为 . 将 t=2 代入 =-2+3+2=3 点 的坐标为 21. （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，AC 是对角线， ECM45， MNBC，BCM90， N
20、MC+BCM180，MNB+B180， NMC90，MNB90， MECMCE45，DMEENF90， MCME， CDMN， DMEN， DEEF，EDM+DEM90， DEF90， DEM+FEN90， EDMFEN， 在DME 和ENF 中， ， DMEENF（ASA）， EFDE； （2）解：由（1）知，DMEENF， MENF， 四边形 MNBC 是矩形， MCBN， 又MEMC，AB4，AF2， BNMCNF1， EMC90， CE ， AFCD， DGCFGA， ， ， ABBC4，B90， AC4 ， ACAG+GC， AG ，CG ， GEGCCE . 22. （1）AEAD
21、，BAC=90， EAD=CAB=90， B=30，ADE=30， B=ADE， ADEABC； （2）EAD=CAB=90， EAC=DAB=90CAD， ADEABC， ， ， EAC=DAB， ACEABD； （3）在 RtABC 中，CAB=90，AC=4，B=30， BC=2AC=8，AB= =4 ， CE=x，CD=2CE， CD=2x， ACEABD， ， ， BD= x， BC=CD+BD=2x+ x=8， 解得：x=168 23.（1）四边形 ABCO 是矩形， OA=BC=8，OC=AB=6， 在 RtOCE 中，CE=3， OE= ， ABOC，即 ADOC，且 AD=2
22、， ， ， PA=4， PO=PA+OA=12， 在 RtOPC 中，OC=6， CP= ， OABC，即 OPCE， ， ， EF= OE= ， CF= CP= ， ( )2+( )2= =9， EF2+CF2=CE2 ， CEF 是直角三角形， CFE=90， OECD； （2）在 RtCBD 中，CB=8，BD=ABAD=62=4， 根据勾股定理，得 CD= ， 点 G 是 CD 的中点， CG=DG=2 ， 由（1）知：CP=6 ， DP=CPCD=2 ， 点 G 是 CP 的三等分点， OABC，即 OPCH， ， ， CH=6 答：CH 的长为 6 24. （1）解：如图 所示：
23、与 相似， 理由： ， ， ； ， ， ， ， 与 相似； （2）解：如图 所示： 即为所求； （3）解：如图 所示： 和 即为所求 25. （1）解：当 时， ，解得 ， . 、 、 . 由题意得，设 对应的函数表达式为 ， 又 经过点 ， ， . 对应的函数表达式为 . （2）解： 、 与 轴交点均为 、 ， 、 的对称轴都是直线 . 点 在直线 上. . 如图 1，当 A、C、P 三点共线时， 的值最大， 此时点 P 为直线 与直线 的交点. 由 、 可求得，直线 对应的函数表达式为 . 点 . （3）解： 由题意可得， ， ， ， 因为在 中， ，故 . 由 ，得顶点 . 因为 的顶点 P 在直线 上，点 Q 在 上， 不可能是直角. 第一种情况：当 时， 如图 2，当 时，则得 . 设 ，则 ， . 由 得 ，解得 . 时，点 Q 与点 P 重合，不符合题意， 舍去，此时 . 如图 3，当 时，则得 . 设 ，则 . . 由 得 ，解得 （舍），此时 . 第二种情况：当 时， 如图 4，当 时，则得 . 过 Q 作 交对称轴于点 M， . .由图 2 可知 ， . ，又 ，代入得 . 点 ， 点 . 如图 5，当 时，则 . 过 Q 作 交对称轴于点 M， ，则 . 由图 3 可知 ， ， ， ， . 又 ，代入得 . 点 ， 点 ， 综上所述， 或 或 或 .
